文档内容
第 15 讲 因式分解 （9 个知识点+9 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是
两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
知识点2．公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．知识点3．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因
式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，
而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商
即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
知识点4．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形
式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
知识点5．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
知识点6．因式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因
式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
知识点7．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a ，a 的积a •a ，
1 2 1 2
把常数项c分解成两个因数c ，c 的积c •c ，并使a c +a c 正好是一
1 2 1 2 1 2 2 1
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a x+c ）（a x+c ）．
1 1 2 2
知识点8．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（ ）2＝（x+ ）（x﹣ ）
知识点9．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具
体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
题型强化
题型一．因式分解的意义
1．（2023秋•石河子校级期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为
A． B．
C． D．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解： 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 不合题意；
、是整式的乘法，故 不合题意；
、是整式的乘法，故 不合题意；
、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义．
2．（2024春•双流区期末）请你写出一个整式 ，使得多项式 能因式分解，这个整式 可以是
（答案不唯一） ．
【分析】根据因式分解的定义解答即可．
【解答】解：这个整式 可以是： （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项
式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．3．（2023秋•腾冲市校级月考）先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式 等于整式 与整式 之积，则称整式 和整式 为整式 的因式．
如：①因为 ，所以 和 是 的因式．
②若 是 的因式，则求常数 的值的过程如下：
解： 是 的因式，
存在一个整式 ，使得 ．
当 时， ，此时 ．
将 代入 得， ，解得 ．
（1） 是 的因式吗？ 不是 （填“是”或“不是” ；
（2）若整式 是 的因式，求常数 的值．
【分析】（1）根据因式分解 十字相乘法分解因式即可作出判断；
（2）根据多项式乘法将等式展开有： ，再将 代入 即可求
解．
【解答】解：（1） ，
不是 的因式，
故答案为：不是，
（2） 整式 是 的因式，
存在一个整式 ，使得 ，
当 时， ，
此时 ．将 代入 得，
，
解得： ．
【点评】本题考查了因式分解 十字相乘法等和因式分解 分组分解法的应用，主要考查学生的理解能力
和阅读能力．
题型二．公因式
4．（2024春•大东区期末）多项式 的公因式是
A． B． C． D．
【分析】直接利用公因式的定义分析得出答案．
【解答】解：多项式 的公因式是： ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了公因式，正确把握定义是解题关键．
5．（2024春•高州市期中）单项式 与 的公因式是 ．
【分析】根据公因式的确定方法：①系数取最小公倍数②字母取公共的字母③字母指数取最小的，即可写
出答案．
【解答】解： 与 中都含有 ，
与 的公因式为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了公因式的确定，关键是正确把握公因式的确定方法．
6．（2023秋•莱芜区期中）已知： ， ， ，问多项式 、 、
是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
【分析】先将各式因式分解后再判断有没有公因式．
【解答】解：多项式 、 、 有公因式，
理由： ， ， ，多项式 、 、 的公因式是 ．
【点评】本题考查多项式的公因式，将各多项式因式分解是求解本题的关键．
题型三．因式分解-提公因式法
7．（2023秋•淄川区期末）计算 的结果是
A． B． C． D．
【分析】先将原算式变式后，运用提公因式因式分解法进行求解．
【解答】解：
，
故选： ．
【点评】此题考查了有理数的混合运算能力，关键是能准确理解并运用提公因式法因式分解．
8．（2024•盱眙县校级模拟）因式分解： ．
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
【解答】解：原式 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
9．（2024春•南明区校级期末）已知 ， ，求 的值．
【分析】原式提取公因式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解： ， ，
原式 ．
【点评】此题考查了因式分解 提公因式法，熟练掌握提公因式法分解因式是解本题的关键．题型四．因式分解-运用公式法
10．（2023秋•纳溪区期末）因式分解 的结果是
A． B． C． D．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：原式
．
故选： ．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
11．（2024•西藏）分解因式： ．
【分析】直接用完全平方公式分解即可．
【解答】解： ．
【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式．完全平方公式： ．
12．（2024•鹤城区校级开学）（1）计算： ；
（2）分解因式： ．
【分析】（1）利用负整数指数幂、零指数幂、乘方和绝对值法则进行计算即可；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行分解因式即可．
【解答】解：（1）
；
（2）．
【点评】此题考查了因式分解 运用公式法，实数的运算，解题的关键是掌握因式分解的方法，实数的运
算法则．
题型五．提公因式法与公式法的综合运用
13．（2023秋•大同期末）下列因式分解正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据提公因式法、公式法逐项进行因式分解，再进行判断即可．
【解答】解： ． ，因此选项 不符合题意；
． ，因此选项 不符合题意；
，因此选项 不符合题意；
． ，因此选项 符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握 ， 是正
确应用的前提．
14．（2024秋•城关区校级月考）因式分解： ．
【分析】先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
15．（2024秋•朝阳区校级月考）分解因式：（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】此题考查了分解因式．熟练掌握因式分解的方法并能根据式子灵活先用合适的方法是解题的关键．
题型六．因式分解-分组分解法
16．（2023秋•盘山县期末）用提公因式法分解因式 时，提取的公因式是
A． B． C． D．
【分析】根据公因式的定义：各项中系数的最大公约数、相同字母或因式的最低次幂的积，找出公因式即
可．
【解答】解：原式 ，
提取的公因式为 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了利用提公因式法分解因式，解题关键是熟练掌握求多项式各项的公因式．
17．（2024•吉安三模）分解因式： ．
【分析】本题所给的是一元整系数多项式，根据求根法，若原式有有理根，则只可能是 的约数），经
检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为的形式．
【解答】解：设原式 ，
所以有 ，解得 ．
原式 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它
能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．
由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式
中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式
分解的方法叫作待定系数法．待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛．本题超出教材
大纲要求，属于竞赛题，有一定难度．
18．（2023秋•沙坪坝区校级期末）把下列各式因式分解：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先提取公因式 ，然后利用完全平方公式进行因式分解；
（2）首先分组，进而利用公式法分解因式得出即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．【点评】本题考查了用提公因式法，公式法和分组法进行因式分解，注意先提公因式，再利用公式法分解，
同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
题型七．因式分解-十字相乘法等
19．（2024春•邵阳期末）若 ，则 ， 的值分别是
A．4，3 B．3，4 C．5，2 D．2，5
【分析】据十字相乘法的分解方法和特点可知： ， ．
【解答】解： ，
．
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式， ．
20 ． （ 2024• 长 沙 模 拟 ） 分 解 因 式 ：
．
【分析】原式利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式．
故答案为： ．
【点评】此题考查了因式分解 十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21．（2023秋•湖北期末）阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“ ”看成整体，令 ，则原式
再将“ ”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ；
（3）求证：无论 为何值，式子 的值一定是一个不小于1的数．
【分析】（1）将“ ”看成整体，令 ，则原式 ，再将“ ”还原，得原
式 ；
（2）将“ ”看成整体，令 ，则原式 ，再
将“ ”还原，得：原式 ；
（3）先由 ，运用整体思想，再即可得到式子 的值
一定是一个不小于1的数．
【解答】（1）解：令 ，
原式 ，将“ ”还原，得原式 ；
故答案为： ；
（2）解：令 ，
原式
，
将“ ”还原，得：
原式 ；
（3）证明：令 ，
原式
，
将 还原，
原式 ，
因为无论 为何值 ，
所以
即式子 的值一定是一个不小于1的数．
【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
题型八．实数范围内分解因式22．（2023秋•渝中区校级期末）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是
A． B． C． D．
【分析】利用因式分解的方法，分别判断得出即可．
【解答】解： 、原式 ，不符合题意；
、原式 ，不符合题意；
、原式 ，不符合题意；
、 不能因式分解了，符合题意；
故选： ．
【点评】此题主要考查了公式法及提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．
23 ． （ 2024 秋 • 杨 浦 区 校 级 月 考 ） 在 实 数 范 围 内 分 解 因 式 ：
．
【分析】令 ，将 看作常数，利用公式法解得 的值，继而求得答案．
【解答】解：令 ，将 看作常数，
则 ， ， ，
那么△ ，
则 ，
．
【点评】本题主要考查了多项式的因式分解，一元二次方程的解法，令 ，将 看作常数解得 的值，是解题的关键．
24．（2023秋•环翠区期末）把下列各式分解因式．
（1） ；
（2） ；
（3） （实数范围内）；
（4） ．
【分析】（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（2）利用平方差公式、完全平方公式分解因式即可；
（3）连续利用平方差公式分解因式即可；
（4）利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
题型九．因式分解的应用
25．（2024•温江区校级自主招生）当 为自然数时， 一定能被下列哪个数整除
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】先将代数式 分解因式，进而可求解．
【解答】解：
，
当 为自然数时， 一定能被8整除，
故选： ．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，将整式分解因式是解题的关键．
26．（2024•温江区校级自主招生）已知 ，则 201 5 ．
【分析】先将 变换为 ．再提取公因式 ，将 作为一个整体直接代入计算．
【解答】解： ，
，
．
故答案为：2015．【点评】本题考查因式分解的运用，解决本题的关键是将 作为一个整体直接代入，求得结果．
27．（2024秋•沈丘县校级月考）已知：整式 ， ， 为任意有理数．
（1） 的值可能为负数吗？请说明理由；
（2）请通过计算说明：当 是整数时， 的值一定能被4整除．
【分析】（1）将 ， 代入算式 进行计算、辨别即可；
（2）将 ， 代入算式 的进行计算、辨别即可．
【解答】解：（1） 的值不可能为负数．理由如下：
，
，
的值不可能为负数；
（2） ，
是整数，
一定能被4整除，
当 是整数时， 的值一定能被4整除．
【点评】此题考查了整式乘法问题的解决能力，解答本题的关键是能准确理解相关计算法则并能进行准确
的计算、推导．
分层练习
一、单选题
1．因式分解：x2﹣4y2＝（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y） B．（2x+y）（2x﹣y）
C．（x+2y）（2x﹣y） D．（2x+y）（x﹣2y）
【答案】A
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．
【详解】x2-4y2=（x+2y）（x-2y）
故选A．【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-
b）．
2．下列从左到右的运算是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】按照因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，逐一进行判断即可．
【详解】A选项等号左右两边不相等，故错误；
B选项等号右边不是乘积的形式，故错误；
C选项等号右边是乘积的形式，故正确；
D选项等号右边不是乘积的形式，故错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的概念是解题的关键．
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、等式右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、等式右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解
与整式乘法的区别．
4．下列因式分解正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，进行判断即可得到答案．
【详解】解：A. ，故A项错误，不符合题意；
B.结果不是积的形式，不属于因式分解，故B项错误，不符合题意；
C. ，故C项错误，不符合题意；
D. ，故D项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，
是解题的关键，注意因式分解要分解彻底．
5．下列各式中，不能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式、判断能否用公式法分解因式
【分析】公式法分解因式，主要是平方差公式，完全平方公式，立方公式，由此即可求解．
【详解】解： 选项， 是平方差公式因式分解，不符合题意；
选项， 是完全平方因式分解，不符合题意；
选项， 不可以用公式法因式分解，符合题意；
选项， 是平方差公式因式分解，不符合题意．
故选： ．
【点睛】本题主要考查利用公式法因式分解，掌握公式法中的平方差公式，完全平方公式是解题的关键．
6．下列各式从左到右的变形属于因式分解且分解正确的是（ ）
A．(x+1)(x－1)=x2－1 B．2x2－y2=(2x+y)(x－y)C．a2+2a+1=a(a+2)+1 D．－a2+4a－4=－(a－2)2
【答案】D
【详解】【分析】本题考查的是因式分解的基本概念，将一个多项式写成几个整式乘积的形式．
解：－a2+4a－4=－(a2-4a+4）=－(a－2)2
故选D
7．下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A．4x2+y2 B．－4x2－y2 C．－4x2+y2 D．－4x+y2
【答案】C
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】根据能用平方差公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、两平方项的符号相同，故本选项错误；
B、两平方项的符号相同，故本选项错误；
C、符合平方差公式，正确；
D、只有一个平方项，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差
公式分解因式．
8．已知ab＝2，a﹣2b＝3，则4ab2﹣2a2b的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【分析】将4ab2-2a2b进行因式分解，得出4ab2-2a2b=2ab（2b-a），再将ab=2，2b-a=-3代入计算即可．
【详解】∵ab＝2，a﹣2b＝3，
∴2b﹣a＝﹣3
∴4ab2﹣2a2b
＝2ab（2b﹣a）
＝2×2×（﹣3）
＝﹣12．
故选D．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，涉及的知识有：提取公因式法，以及完全平方公式的运用，熟练掌
握公式是解本题的关键．9．下列分解因式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解
因式．据此作答．
【详解】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；
B. 是分解因式；
C. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；
D. x2−4y2=(x+2y)(x−2y)，解答错误.
故选B.
【点睛】本题考查的知识点是因式分解定义和十字相乘法分解因式，解题关键是注意：（1）因式分解的
是多项式，分解的结果是积的形式．（2）因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止．
10．下列变形，属于因式分解的有（ ）
①x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）；②x2+3x﹣16＝x（x+3）﹣16；③（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16；④x2+x＝x
（x+1）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】判断是否是因式分解
【详解】解：①x2-16=（x+4）（x-4），是因式分解；
②x2+3x-16=x（x+3）-16，不是因式分解；
③（x+4）（x-4）=x2-16，是整式乘法；
④x2+x=x(x+1))，是因式分解．
故选B．
二、填空题
11．因式分解： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的的方法是解题的关键．
提公因式n，然后利用公式法因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．因式分解： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】先提公因式 ，然后根据平方差公式求解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
13．多项式 在有理数范围内分解因式为 ．
【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】直接运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
14．如果 ， ，则多项式 的值是 ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值
【分析】原式提取公因式后，把各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解： ， ，
原式 ．
故答案为： ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
15．多项式kx2－9xy－10y2可分解因式得(mx＋2y)(3x－5y)，则k= ，m= ．
【答案】 k=9 m=3
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【分析】直接利用多项式乘法将原式化简，进而得出关于m，k的等式求出答案即可．
【详解】解：∵kx2-9xy-10y2=（mx+2y）（3x-5y），
∴kx2-9xy-10y2=3mx2-5mxy+6xy-10y2=3mx2-（5mxy-6xy）-10y2，
∴
解得：
故答案为：9，3．
【点睛】此题主要考查了十字相乘法的应用，正确利用多项式乘法是解题关键．
16．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称这个正整数为智慧数．如， ，则16
是一个智慧数，5和3称为16的一对智慧分解数．则2019的智慧分解数有 ．
【答案】338和335及1010和1009
【知识点】加减消元法、平方差公式分解因式、因式分解的应用
【分析】设未知数建立方程求解．
【详解】解：设2019=a2-b2=（a+b）（a-b）．
其中a，b是正整数，且a＞b．
∵2019=673×3=2019×1，
∴ 或 ．
∴ 或 ．
∴2019的智慧分解数有338和335及1010和1009．
故答案为：338和335及1010和1009．
【点睛】本题考查因式分解的应用，根据智慧分解数定义确定a，b是求解本题的关键．
17．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t(s，t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定： 、例如18可以分解成
1×18，2×9，3×6这三种，这时就有 ．给出下列关于F(n)的说法：(1) ；(2)
；(3)F(27)＝3；(4)若n是一个整数的平方，则F(n)＝1．其中正确说法的有 ．
【答案】2
【知识点】因式分解的应用
【分析】把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大
的数，看结果是否与所给结果相同．
【详解】∵2=1×2，∴F（2）= ，故（1）是正确的；
2
∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，∴F（24）= = ，故（2）是错误的；
3
∵27=1×27=3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，∴F（27）= ，故（3）是错误的；
∵n是一个完全平方数，∴n能分解成两个相等的数，则F（n）=1，故（4）是正确的，∴正确的有
（1），（4）．
故答案为2．
【点睛】本题考查了题目信息获取能力，解决本题的关键是理解答此题的定义：所有这种分解中两因数之
差的绝对值最小，F（n）= （p≤q）．
18．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅
洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样
的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如 ， 等．下列几个命题中：
（1） 是“回文数”；
（2）所有两位数中，有 个“回文数”；所有三位数中，有 个“回文数”；
（3）任意四位数的“回文数”是 的倍数；
（4）如果一个“回文数” 是另外一个正整数 的平方，则称 为“平方回数”．若 是一个千位数字为
1的四位数的“回文数”，若 ，且s是一个“平方回数”，则 ．
其中，真命题有 ．（填序号）
【答案】（1）（3）（4）【知识点】不等式的性质、因式分解的应用、新定义下的实数运算
【分析】根据“回文数”的定义进行分析即可求解．
【详解】解：（1）根据定义 正读倒读都一样，故 是“回文数”；（1）是真命题；
（2）两位数的“回文数”为： ， ， ， ， ， ， ， ， ，合计 个；
三位数的“回文数”中，百位和个位是 的为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
合计10个，同理百位和个位是 的有10个，依次类推，则三位数的“回文数”合计 个；（2）
是假命题；
（3）设任意四位数 的“回文数”千位，百位，十位，个位上的数字分别为 ， ， ， ，则
，
根据定义， ， ，
∴ ，
∴ 是 的倍数；（3）是真命题；
（4）若 是一个千位数字为1的四位数的“回文数”，设百位和十位上的数字为 ，
则 ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
又∵ 是一个“平方回数”，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；（4）是真命题；
故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】本题考查了因式分解，新定义，不等式的性质等，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．
三、解答题
19．计算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－1
【答案】5050
【知识点】含乘方的有理数混合运算、因式分解在有理数简算中的应用【分析】观察发现：把每两项作为一组，利用平方差公式把原式化为： ，再利用和式特
点求值即可得到答案．
【详解】解：原式＝（1002－992）＋（982－972）＋（962－952）＋…＋（22－1）
＝（100＋99）＋（98＋97）＋（96＋95）＋…＋（2＋1）
＝（100＋1）＋（99＋2）＋（98＋3）＋（97＋4）＋…＋（51＋50）
＝50×（100＋1）
＝5050．
【点睛】本题考查的是利用平方差公式进行有理数的简便运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握平方差
公式是解题的关键．
20．如图是某体育公园内的草坪示意图，该草坪的两端为半圆形，中间是长方形．已知半圆形草坪的半径
为 ，长方形草坪的长为 ．
(1)利用因式分解表示草坪的面积；
(2)当 ， 时，求草坪的面积．（ 取3.14）
【答案】(1)
(2)
【知识点】提公因式法分解因式、已知字母的值 ，求代数式的值、用代数式表示式
【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，因式分解的含义，正确理解题意列出代数式是解题的关
键．
（1）根据花坛的面积等于长为l，宽为 的长方形面积加上半径为r的圆的面积进行求解即可；
（2）根据（1）所求把 ， 代入求解即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：当 ， 时，
∴21．父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且 ，请你求出父亲和儿子今年各
多少岁？
【答案】40岁，14岁
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意得到 ，将 变形为 ，
整体代入求出 ，即可求出 ，问题得解．
【详解】解：由题意，得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
答：父亲今年40岁，儿子今年14岁．
22．分解因式．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了分解因式：
（1）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
（2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
23．某养殖专业户现计划投资建养鸡场和养鸭场，两个养殖场均为正方形．已知养鸭场的面积比养鸡场的
面积大 ，两个养殖场的围墙总长为 ．请你帮助他分别算出这两个养殖场的面积．（两个养殖场
没有公共围墙）
【答案】养鸡场的面积为 ，养鸭场的面积为 ．
【知识点】加减消元法、二元二次方程组及其解法、因式分解的应用
【分析】此题主要考查了方程的应用题以及正方形的周长、面积公式以及平方差公式等知识点，由题意可
知养鸭场的面积 养鸡场的面积 ，养鸭场的周长 养鸡场的周长 ，因此可列方程组求解，根
据等量关系得出方程和熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．
【详解】解：设养鸭场的边长为 ，养鸡场的边长为 ，
由题意得 ，
将方程组变形为
把 代入 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，即 ．
∴养鸡场的面积为 ，
养鸭场的面积为 ．
24．仔细观察下列各式：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
请你根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：___________；
(2)写出第 （ 为正整数）个等式，并证明等式成立．
【答案】(1)
(2) ；证明见解析
【知识点】完全平方公式分解因式、数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律
【分析】（1）根据已知等式规律写出第4个等式；
（2）根据前几个式子的规律写出第 （ 为正整数）个等式， ，根
据完全平方公式因式分解即可得证．
【详解】（1）解：第4个等式： ，
故答案为： ．
（2）解：第 （ 为正整数）个等式，
证明：左边∴左边 右边
【点睛】本题考查了整式的乘法，因式分解，数字类规律题，熟练掌握完全平方公式，因式分解是解题的
关键．
25．教科书中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全平方式”，如果一个多项式
不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，
使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值
等．
例如：分解因式．
原式
例如，求代数式 的最小值．
原式
．
可知当 时， 有最小值，最小值是 ．
(1)分解因式： __________．
(2)当 ， 为何值时，多项式 有最小值，并求出这个最小值．
【答案】(1)
(2) ， ，多项式的最小值为
【知识点】因式分解的应用、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方、完全平方式，熟练掌握这三个知识点的综合应用，用配方法把多项式化为完全平方的形式是解题关键．
（1）把 化为 的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；
（2）用配方法首先把多项式化为 的形式，进一步分解因式，再根据平方的非
负性求出多项式最小值．
【详解】（1）解：
；
故答案为： ；
（2）
当 ， 时，多项式有最小值，
解得 ， ，多项式的最小值为 ．
26．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式 变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫
做多项式 的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：根据以上材料，解答下列问题：
(1)用多项式的配方法将 化成 的形式；
(2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式 进行分解因式的解答过程，老师说，这位同
学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“_____”标画出来，然后写出
完整的、正确的解答过程：
解：
(3)求证：x，y取任何实数时，多项式 的值总为正数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)证明见解析
【知识点】综合运用公式法分解因式
【分析】（1）根据配方法，可得答案；
（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；
（3）根据交换律、结合率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
【详解】（1）
；
（2）如图所示：
解：正确的解答过程：
；
（3）证明：
，
故x，y取任何实数时，多项式 的值总为正数．
【点睛】本题考查了综合运用公式法分解因式，利用完全平方公式：配方是解题关键．
