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专题 16.4 期末复习之解答压轴题十三大题型总结
【人教版】
【题型1 探究三角形的边与面积的关系】..............................................................................................................1
【题型2 探究角度之间的关系】..............................................................................................................................3
【题型3 由三角形全等分类讨论求参数的值】.....................................................................................................5
【题型4 利用全等三角形解决阅读理解类问题】.................................................................................................7
【题型5 由轴对称求线段的最小值】......................................................................................................................9
【题型6 利用整式乘法或因式分解求值】............................................................................................................11
【题型7 利用因式分解解决数字问题】................................................................................................................13
【题型8 利用分式化简求值】................................................................................................................................14
【题型9 由分式方程的解求字母的值或取值范围】...........................................................................................14
【题型10 利用分式方程解决实际问题】................................................................................................................15
【题型11 等腰三角形中的证明与计算】................................................................................................................16
【题型12 数式或图形的规律探究】........................................................................................................................18
【题型13 数式或图形中新定义问题】....................................................................................................................20
【题型1 探究三角形的边与面积的关系】
【例1】（2023下·江苏镇江·八年级统考期末）【想一想】
在三角形的三条重要线段（高、中线、角平分线）中，能把三角形面积平分的是三角形的______；
【比一比】
如图，已知l //l ，点A、D在直线l 上，点B、C在直线l 上，连接AB、AC、DB、DC，AC与DB相
1 2 1 2
交于点O，则△ABC的面积_______△DBC的面积；（填“＞”“＜”或“＝”）【用一用】
如图所示，学校种植园有一块四边形试验田STPQ．现准备过S点修一条笔直的小路（小路面积忽略不计），
将试验田分成面积相等的两部分，安排“拾穗班”、“锄禾班”两班种植蔬菜，进行劳动实践，王老师提
醒同学们先把四边形转化为同面积的三角形，再把三角形的面积二等分即可．请你在下图中画出小路SM，
并保留作图痕迹．
【变式1-1】（2023上·浙江金华·八年级期末）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，AB=15，
若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒．
(1)当t= 秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
(2)当t=4秒时，CP把△ABC分成的△APC和△BPC的面积之比是 ；
(3)当t为多少秒时，△BPC的面积为18．
【变式1-2】（2023上·上海·八年级上海市育才初级中学校考阶段练习）已知：如图所示，△ABC中，D、
E分别在边AC、AB上，CD=3AD，BE：AE=3：2，求DF：FB的值．【变式1-3】（2023上·山东临沂·八年级统考期末）阅读下列材料：
阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在ΔABC中AB=AC，BD是ΔABC的高，P是BC边上一点，PM、
PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M、N．
求证：BD=PM+PN．
1 1 1
阳阳发现，连接AP，有S =S +S ，即 AC⋅BD= AB⋅PM+ AC⋅PN．由AB=AC，
ΔABC ΔABP ΔACP 2 2 2
可得BD=PM+PN．
他又画出了当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时BD、
PM、PN之间的数量关系是：BD=PN-PM．
请回答：
（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；
证明：连接AP．∵S =S - ________，
ΔABC ΔAPC
1 1 1
∴ AC⋅BD= AC⋅________- AB⋅________．
2 2 2
∵AB=AC，∴BD=PN-PM．
（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：
在ΔABC中，AB=AC=BC，BD是ΔABC的高．P是ΔABC所在平面上一点，PM、PN、PQ分别与直
线AB、AC、BC垂直，垂足分别为点M、N、Q．
①如图3，若点P在ΔABC的内部，猜想BD、PM、PN、PQ之间的数量关系并写出推理过程．②若点P在如图4所示的位置，利用图4探究得此时BD、PM、PN、PQ之间的数量关系是：_______．
（直接写出结论即可）
【题型2 探究角度之间的关系】
【例2】（2023下·江苏宿迁·八年级统考期末）在△ABC中，∠C=80°，点D、E分别是△ABC边AC、
BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
(1)若点 P 在线段AB上，如图①且∠α=60°，则∠1+∠2=
(2)若点P 在边AB上运动，如图①，则∠α，∠1，∠2之间有何关系?并说明理由．
(3)若点P 运动到边BA的延长线上，如图②，则∠α，∠1，∠2之间有何关系?猜想 并说明理由．
(4)若点P 运动到△ABC外，如图③，则∠α，∠1，∠2之间的关系为 ．
【变式2-1】（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）（1）如图1，把三角形纸片ABC折叠，使3个顶点重合
于点P．这时，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________°；
（2）如果三角形纸片ABC折叠后，3个顶点并不重合于同一点，如图2，那么(1)中的结论是否仍然成立？
请说明理由；
（3）折叠后如图3所示，直接写出∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6之间的数量关系_______；
（4）折叠后如图4，直接写出∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6之间的数量关系：_______；
【变式2-2】（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）小明在学习过程中，对一个问题做如下探究．
如图，在△ABC中，射线BD交AC于点D，点E是线段AD上的任意一点，过点E作EF∥BC交直线BD
于点F，直线EG与射线BD交于点G．(1)如图1，若∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠CBD=∠ABD，∠FEG=∠CEG，则∠BGE=______°；
(2)如图2，若∠A=70°，∠CBD=2∠ABD，∠FEG=2∠CEG，则∠BGE=______°；
(3)如图3，若∠CBD=n∠ABD，∠FEG=n∠CEG（n≥1），则探索∠BGE与∠A之间的数量关系，
并说明理由．
(4)如图4，在（3）的条件下，若点E在线段DC上运动（此时G在△ABC外部），或在线段DC的延长线
运动（此时G在△ABC内部），请在备用图中选择其中的一种情况画出示意图，探索∠BGE与∠A之间
的数量关系，并说明理由．
【变式2-3】（2023上·福建泉州·八年级校考期末）如图①，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于
点E、F，∠EFB=∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH．
(1)已知∠EFD=70°，求∠B的度数；
(2)求证：FH平分∠GFD．
(3)在（1）的条件下，若∠FQH=30°，将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图②，若当边FH转至线段EF
上时停止转动，记旋转角为α，请求出当α为多少度时，QH与△EBF某一边平行？
(4)在（3）的条件下，直接写出∠DFQ与∠GFH之间的关系．
【题型3 由三角形全等分类讨论求参数的值】
【例3】（2023下·陕西西安·八年级校考期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，
AC=6．(1)求BO的长；
(2)F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B
运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两
点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
【变式3-1】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）如图1，在四边形BCDE中，∠D=∠E=90°，点A在
边上DE上，且AC⊥AB．
(1)求证：∠DAC=∠EBA．
(2)如图2，若AC=8，AB=6．点F从点C出发，沿折线CAB以速度为每秒2个单位长度向终点B运动；
点G从点B出发，沿折线BAC以速度为每秒1个单位长度向终点C运动；F，G向DE作垂线，垂足分别为
M，N．设点G的运动时间为ts．当△AMF与A，N，G三点构成的三角形全等时，求AG的长．
【变式3-2】（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射
线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．
(1)求证：∠BAM=∠BCA；
(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
5
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且S = S ，求此时t的值；
△ABP 2 △BQC
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得△APB
与△BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
【变式3-3】（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三
角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点
A与点D、点B与点E分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动
点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s （0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为
ts （0≤t≤5）．
（1）当t＝2时，S AQF＝3S BQC，则a＝ ；
△ △
（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；
（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为
顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．
【题型4 利用全等三角形解决阅读理解类问题】
【例4】（2023下·四川达州·八年级四川省大竹中学校考期末）（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方
法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在ΔABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是 ；则中线AD的取值范围是 ；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接
EF，此时：BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=160°，以C为顶点作
∠ECF=80°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE、DF与EF的数量关系
【变式4-1】（2023上·辽宁大连·八年级校联考期末）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题:如图 1,在四边形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,AE 是∠BAD 的平分线,AB∥DC，求
证:AD=AB+DC． 小明发现以下两种方法:
方法 1:如图 2,延长 AE、DC 交于点 F；
方法 2:如图 3,在 AD 上取一点 G 使 AG=AB,连接 EG、CG.
(1)根据阅读材料,任选一种方法,证明：AD=AB+DC； 用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题:
1
(2)如图 4,在四边形 ABCD 中,AE 是∠BAD 的平分线,E 是 BC 的中点,∠BAD=60°,∠ABC=180°- ∠BCD，求
2
证:CD=CE.
【变式4-2】（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）已知：如图①，纸片Rt△ABC，∠ACB=90°．(1)将△ABC沿着MN折叠，使得△AMN与△CMN重合，MN为折痕，展开后如图②所示．试判断MN与
BC的位置关系，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，连接MC，过点M作ME⊥BC，点E为垂足，如图③所示．
①将△BME沿ME折叠，点B能与点C重合吗？请说明理由；
②图中与△AMN全等的三角形有______个；
(3)将图②中纸片沿MC剪开得△MBC，如图④所示，将另一张纸片△OPQ与△MBC 拼接，边OP与边
MC恰好重合(点O与点C重合)，若OP=OQ，且△MBC的面积与△OPQ的面积相等，试探索∠BMC与
∠POQ的数量关系，并说明理由．
【变式4-3】（2023上·河北张家口·八年级校考期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行
了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形：
__________；
【理解与运用】
(2)如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，求x的取值范围；
(3)如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC=AB，求证：
AQ=2AD．【题型5 由轴对称求线段的最小值】
【例5】（2023下·重庆大渡口·八年级统考期末）在△ABC和△AEF中，AC=AE，连接CE，CE恰好平
分∠ACB，在CE上存在一点D，使∠DAF与∠ACB互为补角，连接AD．
(1)如图1，当
∠ACB=60°时，求∠CAE的度数；
(2)如图2，当∠ACB=120°，AD=AF时，试说明EF与AC的位置关系；
(3)在（2）问的条件下，如图3连接FD并延长，分别交BC，AE于点M，N，若MN=4，AC=BC，P，
Q分别为AB和AE上的动点，请直接写出△DPQ周长的最小值．
【变式5-1】（2023下·山东青岛·八年级统考期末）如图，等边ΔABC（三边相等，三个内角都是60°的三
角形）的边长为10cm，动点D和动点E同时出发，分别以每秒1cm的速度由A向B和由C向A运动，其中
一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为t，062+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，
F(32)=92+72．
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全
相同，则称这个四位数为“南麓数”，例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：
（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；
（2）试说明10不是雪松数；
（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后
两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t．
【题型8 利用分式化简求值】
【例8】（2023下·八年级统考课时练习）已知3x-2y-4z=0，2x+ y-5z=0且xyz≠0，求1( z2 2x2z+4xyz+2y2z)的值．
x+ y+z+ -
z x+ y-z x2+2xy+ y2-z2
(1 1) (1 1) (1 1)
【变式8-1】（2023上·福建龙岩·八年级统考期末）已知x=a + ，y=b + ，z=c + ．
b c a c a b
1 1
（1）当a=1，b=1，c=2时，求 + 的值；
x-1 y-1
1 1 1
（2）当ab+bc+ac≠0时,求 + + 的值．
x+1 y+1 z+1
【变式8-2】（2023上·北京·八年级北师大实验中学校考期末）已知实数x、y、z满足
x y z x2 y2 z2
+ + =1，求 + + 的值.
y+z z+x x+ y y+z z+x x+ y
【变式8-3】（2023上·北京·八年级北师大实验中学校考期末）小芳在计算 bc-a2 （ ， ， 互不相
a+ a b c
a2+b2+c2
等）时.发现若交换a与b时，这个式子的值不变；若把a和c交换时，这个式子的值也不变.如果a+b+c=1，
请你求出这个不变的值.
【题型9 由分式方程的解求字母的值或取值范围】
【例9】（2023上·江西宜春·八年级江西省丰城中学校考阶段练习）（1）已知关于x的分式方程
a 3
+ =1．
x-1 1-x
①当a=5时，求方程的解．
②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．
mx-1 1
（2）关于x的方程 + =2有整数解，求此时整数m的值．
x-2 2-x
2 mx 3
【变式9-1】（2023上·全国·八年级专题练习）m为何值时，关于x的方程 + = 会产生增根？
x-2 x2-4 x+2
【变式9-2】（2023上·北京·八年级北师大实验中学校考期末）阅读下列材料：
a
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程 =1的解为正数，求
x-4
a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x的方程，得
到方程的解为x=a+4，由题目可得a+4>0，所以a>-4，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须
保证a≠0才行．
(1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．完成下列问题：
m x
(2)已知关于x的方程 - =2的解为非负数，求m的取值范围；
x-3 3-x
3-2x nx-2
(3)若关于x的方程 + =-1无解，求n的值．
x-3 x-3
a b-x
【变式9-3】（2023下·安徽滁州·八年级校考期末）已知，关于x的分式方程 - =1．
2x+3 x-5
(1)当a=2，b=1时，求分式方程的解；
a b-x
(2)当a=1时，求b为何值时，分式方程 - =1无解；
2x+3 x-5
a b-x
(3)若b=0，a为正整数，分式方程 - =1的解为整数时，求a的值．
2x+3 x-5
【题型10 利用分式方程解决实际问题】
【例10】（2023·重庆江津·八年级统考期末）某商厦用8万元购进纪念运动休闲衫，面市后供不应求，商
厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售
这种运动休闲衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完．
（1）商厦第一批和第二批各购进休闲衫多少件？
（2）请问在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？
【变式10-1】（2023下·江苏盐城·八年级东台市三仓镇中学校考期末）某一项工程，在工程招标时，接到
甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领
导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．
据上述条件解决下列问题：
①规定期限是多少天？写出解答过程；
②在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款?
【变式10-2】（2023上·山东德州·八年级统考期末）甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1
月甲参加了两次登山活动．
（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15
分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？
（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h的代数式表示）
【变式10-3】（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
（1）甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为 元；
（2）乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的
原价是多少？
（3）在（1）、（2）的结论下，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．
甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；
a+b
乙商场：两次提价的百分率都是 （a＞0，b＞0，a≠b）．
2
请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由．
【题型11 等腰三角形中的证明与计算】
【例11】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，点E
在BC的延长线上，连接DB、DE，DB=DE．
(1)求证：∠ABD=∠CDE；
(2)如图2，若∠BAC=60°，求证：AD=CE；
(3)如图3，在（2）的条件下，点F是△ABC外一点，连接FC，AF，BF，且FC平分∠AFB，若CF=6，
1
AF= BF，求BF的长．
2
【变式11-1】（2023上·北京西城·八年级北京四中校考期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点E在射
线AB上且∠ACE=2α，在射线CE上取点D使得CD=CA，连接AD并延长交射线CB于点F．(1)当0°<2α<60°时，
①∠DAB=______；(请用含α的代数式表示)
②求证：CE+BE=CF；
(2)当60°<2α<120°时，请根据题意补全图形，并写出线段CE，BE，CF间的数量关系______.
【变式11-2】（2023上·广西南宁·八年级校考期末）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深
入研究．
教材再现：如图，△ABD，△AEC都是等边三角形．求证：BE=DC．
(1)请写出证明过程；
继续研究：
(2)如图，在图1的基础上若CD与BE交于点O，AB与CD交于点M，AC与BE交于点N，连接AO，求证：
AO平分∠DOE；(3)在（2）的条件下再探索OA，OC，OE之间的数量关系，并证明．
【变式11-3】（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期末）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，
Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC-CA运动，且它们的速度都为1cm/s
．当点Q到达点A时，点P随之停止运动．连接PQ，PC，设点P的运动时间为t（s）．
(1)当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为_____（cm），BP的长为______（cm）（用含t的式子表示）．
(2)当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值．
(3)当点Q从点C运动到点A的过程中，连接PQ，直接写出PQ中点O经过的路径长．
【题型12 数式或图形的规律探究】
【例12】（2023下·河南南阳·八年级统考期末）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这
个分式表示成“部分分式”．
1-3x 1-3x M N
例：将分式 表示成部分分式．解：设 = + ，将等式右边通分，得
x2-1 x2-1 x+1 x-1
M(x-1)+N(x+1) (M+N)x+(N-M) 1-3x -2 -1
= ，依据题意，得¿，解得¿，所以 = + 请你适用
(x+1)(x-1) x2-1 x2-1 x+1 x-1
上面所学到的方法，解决下面的问题：
2n+1
(1)将分式 表示成部分分式；
n2+n
3 5 7 9 39 41
(2)按照（1）的规律，求 - + - +⋯+ - 的值．
1×2 2×3 3×4 4×5 19×20 20×21【变式12-1】（2023上·河南安阳·八年级统考期末）观察下列两个数的积(这两个数的十位上的数相同，个
位上的数的和等于10)，你发现结果有什么规律?
53×57=100×5×6+3×7=3021；
38×32=100×3×4+8×2=1216；
84×86=100×8×9+4×6=7224；
71×79=100×7×8+1×9=5609；
（1）设这两个数的十位数字为x，个位数字分别为y和(10- y)，请用含x和y的等式表示你发现的规律；
（2）请验证你所发现的规律；
（3）利用你发现的规律直接写出下列算式的答案．
58×52= ； 63×67= ； 752= ；952= ．
1 1 1
【变式12-2】（2023上·山东淄博·八年级统考期末）仔细观察下面的变形规律： = - ，
1×2 1 2
1 1 1 1 1 1
= - ， = - ，……解答下面的问题：
2×3 2 3 3×4 3 4
1 1
(1)总结规律：已知n为正整数，请将 和 写成上面式子的形式；
n(n+1) n(n+2)
(2)类比发现：
1 1 1 1 1 1 1 1
计算 + + +⋯+ 与 + + +⋯+ 的结果；
1×2 2×3 3×4 2021×2022 2×4 4×6 6×8 2020×2022
(3)知识迁移：解关于n（n为正整数）的分式方程：
1 1 1 1 n+100
+ + +⋯+ = ；
1×3 3×5 5×7 (2n-1)(2n+1) 2n+202
1 1 1 1 1
(4)规律应用：化简 + + + +⋯+ ．
1×3 2×4 3×5 4×6 n(n+2)
【变式12-3】（2023下·江苏无锡·八年级校联考期末）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示
同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，
它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两
条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 ；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 、
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是 （等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正
方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为__________________
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
【题型13 数式或图形中新定义问题】
【例13】（2023上·北京海淀·八年级人大附中校考期末）若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，
令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为
整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，则a＝0，b＝
2，c＝﹣5，d＝4，故A的关联点为（6，1）．
（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，则A的关联点坐标为 ．
（2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，若整式C的关联点为
（6，﹣3），求整式B的表达式．
（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若
整式F的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E的表达式．
【变式13-1】（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）【提出定义】在一个三角形中，如果有一个角是另
一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”，例如：在△ABC中，∠A=60°，∠B=30°，则
△ABC为“二倍角三角形”．
(1)下列三角形一定是二倍角三角形的是（填序号）______；
①等腰三角形 ②直角三角形 ③等边三角形 ④等腰直角三角形
(2)若△ABC为二倍角三角形，∠A=60°，则这个三角形中最小的角为______°；
(3)已知△ABC是二倍角三角形，其中∠A是最小的角，求∠A的最大值；
(4)如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交
于点G，且∠G=40°，当∠B=______°时，△ABE是二倍角三角形．mn
【变式13-2】（2023下·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期末）我们定义：形如x+ =m+n
x
（m，n不为零），且两个解分别为x =m，x =n的方程称为“十字分式方程”．
1 2
6 2×3
例如x+ =5为十字分式方程，可化为x+ =2+3，∴x =2，x =3．
x x 1 2
7 (-1)×(-7)
再如x+ =-8为十字分式方程，可化为x+ =(-1)+(-7)．∴x =-1，x =-7．
x x 1 2
应用上面的结论解答下列问题：
12
(1)若x+ =-7为十字分式方程，则x =______，x =______．
x 1 2
6 b a
(2)若十字分式方程x- =-5的两个解分别为x =a，x =b，求 + +1的值．
x 1 2 a b
2023k-2022k2
(3)若关于x的十字分式方程x- =2023k-2022的两个解分别为x ，x （k>2，x >x ），
x-1 1 2 1 2
求x +4044的值．
1
x
2
【变式13-3】（2023上·江苏无锡·八年级统考期末）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三
角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，
我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），BE是△ABD的“双等腰线”，AD、BE
是△ABC的“三等腰线”．(1)请在图（2）中，作出△ABC的“双等腰线”，并标注相等角的度数
①∠B=70°，∠A=35° ②∠B=81°，∠A=27°．
(2)直角三角形的______就是它的“双等腰线”
(3)如果一个顶角是锐角的等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是______．
(4)已知中，，和分别是的“三等腰线”，点在边上，点在边上，且，，请根据题意写出度数的所有可能的
值______．
