文档内容
专题 2.4 整式的乘法与因式分解全章压轴八类必考点
【人教版】
【考点1 巧用幂的运算】..........................................................................................................................................1
【考点2 幂的运算新定义问题】..............................................................................................................................4
【考点3 不含某一项求参问题】..............................................................................................................................9
【考点4 恒成立问题】............................................................................................................................................13
【考点5 巧用乘法公式求值】................................................................................................................................17
【考点6 巧用配方法求值】....................................................................................................................................20
【考点7 乘法公式的几何背景】............................................................................................................................22
【考点8 因式分解的应用】....................................................................................................................................33
【考点1 巧用幂的运算】
1．（2024秋•郑州期中）如果m＝3a+1，n＝2+9a，那么用含m的代数式表示n为（ ）
A．n＝2+3m B．n＝m2
C．n＝（m﹣1）2+2 D．n＝m2+2
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．
【解答】解：∵m＝3a+1，
∴3a＝m﹣1，
∴n＝2+9a＝2+（3a）2＝2+（m﹣1）2．
故选：C．
2．（2024秋•闵行区期中）如果x+2y﹣6＝0，那么4y•2x﹣2的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．16 D．32
【分析】根据幂的乘方运算法则把4y化为以2为底的幂，再利用同底数幂的乘法运算法则将 4y•2x﹣2化
为以2为底的幂并将x与y的数量关系代入求值即可．
【解答】解：由x+2y﹣6＝0，得x+2y＝6，
4y•2x﹣2
＝22y•2x﹣2
＝2x+2y﹣2，把x+2y＝6代入2x+2y﹣2，
得原式＝2x+2y﹣2
＝26﹣2
＝24
＝16．
故选：C．
3．（2024秋•官渡区校级期中）已知a＝313，b＝96，c＝275，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
【分析】根据幂的乘方可得b＝96＝（32）6＝312，c＝275＝（33）5＝315，即可求解．
【解答】解：∵b＝96＝（32）6＝312，a＝313，c＝275＝（33）5＝315且12＜13＜15，
∴c＞a＞b．
故选：A．
4．（2024春•成华区校级期中）若9x＝27÷3y，则4x•2y+1＝ 1 6 ．
【分析】先根据题意得出2x+y的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵9x＝27÷3y，
∴32x＝33÷3y，即32x＝33﹣y，
∴2x＝3﹣y，
∴2x+y＝3，
∴4x•2y+1＝22x•2y+1＝22x+y+1＝24＝16．
故答案为：16．
19
5．（2023秋•青浦区校级期中）已知27＝9y﹣1，16y＝8x+4，则x﹣y＝ − ．
6
【分析】根据幂的乘方的逆运算即可求解．
【解答】解：∵27＝9y﹣1，16y＝8x+4，
∴33＝32（y﹣1），24y＝23（x+4），
∴2（y﹣1）＝3，3（x+4）＝4y，
2 5
解得：x=− ，y= ，
3 2
2 5 19
∴x−y=− − =− ，
3 2 6
19
故答案为：− ．
66．（2024春•新吴区校级期中）已知 x﹣y＝4，xy+z2﹣2z+5＝0，则4x+2y×8z＝ 1 8 ．
【分析】根据已知可得（y+2）2+（z﹣1）2＝0，根据非负数性质得到y＝﹣2，z＝1，x＝2代入所求代
数式计算即可．
【解答】解：∵x﹣y＝4，
∴x＝4+y，
∴y（4+y）+z2﹣2z+5＝0，
∴y2+4y+4+z2﹣2z+1＝0，
∴（y+2）2+（z﹣1）2＝0，
∴y＝﹣2，z＝1，x＝2，
1
∴4x+2y×8z＝42+2﹣2×8＝16 + ×8= 16+2＝18．
4
故答案为：18．
7．（2024春•龙华区校级月考）尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若3×27m÷9m＝316，求m的值；
（2）若26＝a2＝4b，求a+b值；
（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘、除法法则，幂的乘方进行计算即可；
（2）根据幂的乘法法则进行计算即可；
（3）根据幂的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：（1）∵3×27m÷9m＝316，
∴3×33m÷32m＝316，
∴31+m＝316，
∴1+m＝16，
∴m＝15；
（2）∵26＝a2＝4b，
∴（23）2＝a2，26＝22b，
∴a＝23＝8，2b＝6，
∴b＝3，
∴a+b＝8+3＝11；
当a＝﹣8时，也成立，
故a+b＝﹣8+3＝﹣5．（3）∵x2n＝4，
∴（3x3n）2﹣4（x2）2n
＝9（x2n）3﹣4（x2n）2
＝9×43﹣4×42
＝512．
【考点2 幂的运算新定义问题】
1．（2024•东港区校级一模）对数的定义：一般地，若 ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的
对数，记作：x＝log N．比如指数式24＝16可以转化为4＝log 16，对数式2＝log 25，可以转化为52＝
a 2 5
25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log （M•N）＝log M+log N（a＞0，a≠1，M＞0，N
e a a
＞0）．理由如下：设log M＝m，log N＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得
a e
m+n＝log （M•N），又∵m+n＝log M+log N，∴log （M•N）＝log M+log N，类似还可以证明对数的
a a a a a a
M
另一个性质：log =log M−logN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)．请利用以上内容计算
a N a
log 54+log 2﹣log 4＝ 3 ．
3 3 3
【分析】根据新定义把原式变形为 log （2×27）+log 2﹣log （2×2），进一步变形得到
3 3 3
log 27+log 2+log 2﹣（log 2+log 2），据此求解即可．
3 3 3 3 3
【解答】解：log 54+log 2﹣log 4
3 3 3
＝log （2×27）+log 2﹣log （2×2）
3 3 3
＝log 27+log 2+log 2﹣（log 2+log 2）
3 3 3 3 3
=log 33+2log 2−2log 2
3 3 3
＝3，
故答案为：3．
2．（2024秋•鲤城区校级期中）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9]＝
2．
（1）（2，32]＝ 5 ；若（﹣2，k]＝3，则k＝ ﹣ 8 ；
（2）已知（4，13]＝a，（2，3]＝b，（2，78]＝c，试求a，b，c满足的数量关系．
【分析】（1）4a＝13，2b＝3，2c＝78，根据已知条件中的新定义得到25＝32，（﹣2）3＝﹣8，再求出
答案即可；
（2）根据已知条件中的新定义得到4a＝13，2b＝3，2c＝78，再根据78＝13×3×2，利用同底数幂相乘法
则求出答案即可．【解答】解：（1）∵xn＝y，我们规定（x，y]＝n，25＝32，
∴（2，32]＝5，k＝（﹣2）3＝﹣8，
故答案为：5，﹣8；
（2）∵xn＝y，我们规定（x，y]＝n，
∴4a＝13，2b＝3，2c＝78，
∵78＝13×3×2，
∴4a•2b•2＝2c，
22a+b+1＝2c，
∴c＝2a+b+1．
3．（2023秋•衡阳期末）对于整数a、b定义运算：a※b＝（ab）m+（ba）n（其中m、n为常数），如
3※2＝（32）m+（23）n．
（1）填空：当m＝1，n＝2023时，2※1＝ 3 ；
（2）若1※4＝10，2※2＝15，求42m+n﹣1的值．
【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可；
（2）判断出4n＝9，4m＝6，可得结论．
【解答】解：（1）2※1＝（21）1+（12）2023
＝2+1
＝3，
故答案为：3；
（2）∵1※4＝10，2※2＝15，
（14）m+（41）n＝10，（22）m+[（2）2]n＝15，
整理得：4n＝9，4m+4n＝15，解得：4m＝6，
42m+n﹣1＝42m×4n÷4
＝（4m）2×4n÷4
＝62×9÷4
＝81．
4．（2024春•贺州期末）定义一种幂的新运算：xa xb＝xab+xa+b．如：3 32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝
36，请利用这种运算规则解决下列问题： ⊕ ⊕
（1）求22 23的值；
（2）2p＝3⊕，2q＝5，3q＝6，求2p 2q的值．
【分析】（1）根据新定义的运算，⊕把相应的值代入运算即可；（2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：（1）22 23
＝22×3+22+3 ⊕
＝26+25
＝64+32
＝96；
（2）当2p＝3，2q＝5，3q＝6时．
2p 2q
＝⊕2pq+2p+q
＝（2p）q+2p×2q
＝3q+3×5
＝6+15
＝21．
5．（2023秋•蓬江区校级期中）新定义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝
2．
（1）填空：（2，4）＝ 2 ；（﹣3，81）＝ 4 ；
（2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c；
（3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系．
【分析】（1）根据新定义计算即可．
（2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可．
（3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可．
【解答】（1）解：∵22＝4，
∴（2，4）＝2．
∵（﹣3）4＝81，
∴（﹣3，81）＝4．
故答案为：2，4．
（2）证明：∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，
∴4a＝12，4b＝5，4c＝60，
∴4a×4b＝12×5＝60＝4c，
∴a+b＝c．
（3）解：设（e，5）＝（f，125）＝k，∴ek＝5，fk＝125＝53，
∵（ek）3＝53，
∴（e3）k＝53，
∴（e3）k＝fk，
∴e3＝f．
6．（2023秋•攸县期末）一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为
logb，即logb=n．譬如：34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log81（即log81=4)．根据对数
a a 3 3
的定义完成下列问题：
（1）计算以下各对数的值：
log4= 2 ；log16= 4 ；log64= 6 ．
2 2 2
（2）由（1）中计算的结果及结合三个数4；16；64之间满足的等量关系式，直接写出log4； log16；
2 2
log64
满足的等量关系式．
2
（3）由（2）猜想一般性结论：logm+logn= logmn （a＞0且a≠1，m＞0，n＞0），并根据幂的运
a a a
算法则：ab•ac＝ab+c以及对数的含义证明你的猜想．
【分析】（1）根据题中给出的运算法则计算即可；
（2）由（1）中的结果即可得出log4； log16； log64满足的等量关系式；
2 2 2
（3）设logm=b，logn=c，则ab＝m，ac＝n，分别表示出mn，b+c的值，即可得出猜想．
a a
【解答】解：（1）∵22＝4，
∴log4=2；
2
∵24＝16，
∴log16=4；
2
∵26＝64，
∴log64=6，
2故答案为：2，4，6；
（2）∵2+4＝6，
∴log64=log4+log16
；
2 2 2
（3）logm+logn=logmn，
a a a
证明：设logm=b，logn=c，
a a
则ab＝m，ac＝n，
∴mn＝ab⋅ac＝ab+c，
∵b+c=logm+logn，
a a
∴logm+logn=logmn
，
a a a
故答案为：logmn
．
a
7．（2023春•工业园区校级月考）定义一种幕的新运算：xa xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列
问题： ⊕
（1）求22 23的值；
（2）若2p⊕＝3，2q＝5，3q＝7，求2p 2q的值；
（3）若运算9 9t的结果为810，则⊕t的值是多少？
【分析】（1）⊕根据所给的新定义把x＝2代入xa xb＝xab+xa+b中进行求解即可；
（2）先根据积的乘方求出2pq＝7，再根据2p 2⊕q＝2pq+2p+q进行求解即可；
（3）先求出9 9t＝10×9t，再根据9 9t＝81⊕0，得到10×9t＝810，由此即可得到答案．
【解答】解：（⊕1）∵xa xb＝xab+xa+⊕b，
∴22 23 ⊕
＝22⊕×3+22+3
＝26+25
＝64+32
＝96；
（2）∵2p＝3，3q＝7，
∴（2p）q＝3q，
∴2pq＝7∴2p 2q
＝2p⊕q+2p+q
＝7+3×5
＝7+15
＝22；
（3）9 9t
＝91•t+9⊕1+t
＝9t+9×9t
＝10×9t，
∵9 9t＝810，
∴1⊕0×9t＝810
∴9t＝81，
∴t＝2．
【考点3 不含某一项求参问题】
1．（2024秋•梁平区期中）已知（5﹣3x+mx2﹣6x3）（1﹣2x）的计算结果中不含x3的项，则m的值为（
）
1
A．3 B．﹣3 C．− D．0
2
【分析】把式子展开，找到所有x3项的所有系数，令其为0，可求出m的值．
【解答】解：∵（5﹣3x+mx2﹣6x3）（1﹣2x）＝5﹣13x+（m+6）x2+（﹣6﹣2m）x3+12x4．
又∵结果中不含x3的项，
∴﹣2m﹣6＝0，解得m＝﹣3．
故选：B．
2．（2024秋•南关区期中）若（x2+px）（x2﹣3x+q）乘积中不含x2项和x3项，则p、q的值为（ ）
A．p＝3，q＝9 B．p＝3，q＝﹣9 C．p＝﹣3，q＝9 D．p＝0，q＝0
【分析】把式子展开，找到所有x2和x3项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．
【解答】解：（x2+px）（x2﹣3x+q）
＝x4﹣3x3+qx2+px3﹣3px2+pqx
＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p）x2+pqx，
∵展开式中不含x2项和x3项，
∴p﹣3＝0，q﹣3p＝0，∴p＝3，q＝9，
故选：A．
3．（2024秋•南阳月考）已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x
＝﹣4时，A的值为（ ）
A．0 B．4 C．﹣4 D．2
【分析】首先根据多项式乘多项式的方法，求出A•B的值是多少，然后用它加上C，求出A•B+C的值
是多少，最后根据A•B+C的值与x的取值无关，可得x的系数是0，据此求出a的值，最后代入求值即
可．
【解答】解：∵A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，
∴A•B+C
＝（x2+3x﹣a）（﹣x）+（x3+3x2+5）
＝﹣x3﹣3x2+ax+x3+3x2+5
＝ax+5，
∵A•B+C的值与x的取值无关，
∴a＝0，
∴A＝x2+3x﹣a＝x2+3x，
当x＝﹣4时，A＝（﹣4）2+3×（﹣4）＝4，
故选：B．
4．（2024秋•沙坪坝区校级期中）关于x的三次三项式A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣
1）+d（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式B＝x2+ex+f（e，f均为非零常数），下列说
法有几个正确（ ）
①当A+B的结果为关于x的三次三项式时，则f＝﹣10；
②若二次三项式B＝x2+ex+f能分解成（x﹣3）（x+5），则ef＝﹣30；
③当多项式A与B的乘积中不含x4项时，则e＝6；
④a﹣b+c＝﹣2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①计算A+B的值，再根据题意列方程求解；
②计算（x﹣3）（x+5）的值，根据题意列方程求e，f的值，再计算ef；
③先求AB的值，再根据题意列方程求解；
④先求A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，再列方程求解．
【解答】解：①A+B＝5x3﹣5x2+ex+（10+f），∵e，f均为非零常数，
∴10+f＝0，
∴f＝﹣10，
故①正确；
②∵B＝x2+ex+f＝（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，
∴e＝2，f＝﹣15，
∴ef＝﹣30，
故②是正确的；
③∵AB＝5x5+（5e﹣6）x4+（5f﹣6e）x3+（10﹣6f）x2+10ex+10f，
∵5e﹣6＝0，
∴e＝1.2，
故③是错误的；
④∵A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d
＝ax3+（b﹣3a）x2+（2a﹣2b+c）x+（a+b﹣c+d），
a=5
{ )
b−3a=−6
∴ ，
2a−2b+c=0
a+b−c+d=10
a=5
{ )
b=9
解得： ，
c=3
d=9
∴a﹣b+c＝﹣1，
故④是错误的；
故选：B．
5．（2024秋•椒江区校级期中）已知关于x的多项式mx﹣n与2x2﹣3x+4的乘积结果中不含x的二次项，
且常数项为﹣6，求m+n的值．
【分析】先将mx﹣n与2x2﹣3x+4乘积展开，根据二次项系数为0、常数项为﹣6，计算出m和n的值，
再代入m+n计算即可．
【解答】解：原式＝2mx3﹣3mx2+4mx﹣2nx2+3nx﹣4n
＝2mx3﹣（3m+2n）x2+（4m+3n）x﹣4n，
根据条件可得：{−(3m+2n)=0)
∴ ，
−4n=−6
{m=−1
)
解得 3 ，
n=
2
3 1
∴m+n=−1+ = ．
2 2
6．（2024秋•衡南县校级月考）在（ax2+bx+1）（2x2﹣3x﹣1）的计算结果中，不含x的一次和三次项，
求a，b的值．
【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据题意得出 2b﹣3a＝0，﹣（b+3）＝0，求
出即可．
【解答】解：（ax2+bx+1）（2x2﹣3x﹣1）
＝2ax4﹣3ax3﹣ax2+2bx3﹣3bx2﹣bx+2x2﹣3x﹣1
＝2ax4+（2b﹣3a）x3+（2﹣a﹣3b）x2﹣（b+3）x﹣1．
∵计算结果中不含x的一次和三次项，
{−(b+3)=0)
∴ ，
2b−3a=0
{a=−2)
解得 ．
b=−3
{a=−2)
故答案为 ．
b=−3
1
7．（2024春•烟台期末）在学习多项式乘以多项式时，我们知道（ x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一
2
1
个多项式，并且最高次项为 x•2x•3x＝3x3，常数项为4×5×（﹣6）＝﹣120．那么一次项是多少呢？
2
1
要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是： ×5×（﹣
2
6）+4×2×（﹣6）+4×5×3＝﹣3，即一次项为﹣3x．
参考材料中用到的方法，解决下列问题：
（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数；
（2）如果计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式不含一次项，求a的值．
【分析】（1）根据所给的求解方式进行求解即可；
（2）不含一次项，则其系数为0，从而可求解．【解答】解：（1）（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为：
1×1×（﹣3）+2×3×（﹣3）+2×1×5
＝﹣3﹣18+10
＝﹣11；
（2）（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式一次项系数为：
1×a×（﹣1）+1×（﹣3）×（﹣1）+1×a×2
＝﹣a+3+2a
＝a+3，
∵多项式不含一次项，
∴a+3＝0，
解得：a＝﹣3．
【考点4 恒成立问题】
1．（2024春•兴化市期中）若无论x取何值时，关于x的方程（x+m）（x+n）＝x2﹣2mnx+4总成立，则
m2+n2的值是（ ）
A．46 B．56 C．72 D．81
【分析】将方程坐标展开，对比两边各项的系数，得出关于 m，n的等式，利用整体思想即可解决问
题．
【解答】解：由题知，
因为（x+m）（x+n）＝x2﹣2mnx+4，
所以x2+（m+n）x+mn＝x2﹣2mnx+4，
则m+n＝﹣2mn，mn＝4．
所以m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4（mn）2﹣mn＝4×42﹣2×4＝56．
故选：B．
2．（2024秋•汝阳县期中）关于x的恒等式是x无论取何值等式总成立，它是解决某些问题的一种方法．
若多项式x2+ax+6可分解为（x+2）（x+b），则a+b的值为 ．
【分析】根据题意可知，多项式x2+ax+6可分解为（x+2）（x+b），然后利用多项式乘多项式的运算法
则求出a，b的值，然后再把a，b的值代入a+b计算即可．
【解答】解：∵多项式x2+ax+6可分解为（x+2）（x+b），
∴x2+ax+6＝x2+（b+2）x+2b，
∴b+2＝a，2b＝6，
解得：b＝3，a＝5，∴a+b＝5+3＝8．
3．（2024秋•洪雅县校级月考）若x（x2+a）+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，则（a﹣b）3＝ ．
【分析】利用单项式乘多项式的法则对式子进行运算，从而可求解．
【解答】解：x（x2+a）+3x﹣2b＝x3+5x+4，
x3+ax+3x﹣2b＝x3+5x+4，
x3+（a+3）x﹣2b＝x3+5x+4，
∴a+3＝5，﹣2b＝4，
解得a＝2，b＝﹣2，
∴（a﹣b）3
＝[2﹣（﹣2）]3
＝43
＝64．
故答案为：64．
4．（2024春•崇川区校级月考）对于任意的x、y，若存在a、b使得8x+y（a﹣2b）＝ax﹣2b（x﹣2y）恒
成立，则a+b＝ ．
【分析】将已知等式左边展开，再比较等式左右两边对应项系数即可．
【解答】解：∵8x+y（a﹣2b）＝ax﹣2b（x﹣2y）恒成立，
∴8x+y（a﹣2b）＝（a﹣2b）x+4by，
{ a−2b=8 )
∴ ，
a−2b=4b
{a=12)
解得 ，
b=2
a+b＝12+2＝14．
故答案为：14．
5．（2024春•青羊区校级月考）如果等式x2+3x+2＝（x﹣1）2+B（x﹣1）+C恒成立，其中B，C为常数，
B+C＝ ．
【分析】因为x2+3x+2＝（x﹣1）2+B（x﹣1）+C＝x2+（B﹣2）x+1+C恒成立，根据对应相等即可得出
答案．
【解答】解：∵x2+3x+2＝（x﹣1）2+B（x﹣1）+C＝x2+（B﹣2）x+1+C恒成立，
∴B﹣2＝3，1+C＝2，
∴B＝5，C＝6，故B+C＝11．
故答案为：11．
6．（2023秋•任城区校级月考）阅读材料回答问题：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的
值．
解法：设2x3﹣x2+m＝A（2x+1）（A为整式）
∵上式为恒等式，
1 1 1 1
∴当x=− 时，2⋅(− ) 3−(− ) 2+m=A⋅(− ×2+1)，
2 2 2 2
1 1
即2⋅(− ) 3−(− ) 2+m=0．
2 2
1
解得：m= ．
2
若多项式x4+mx2+nx﹣16含有因式（x﹣1）和（x﹣2），则mn＝ ．
【分析】根据范例进行分解因式即可．
【解答】解：设x4+mx2+nx﹣16＝B（x﹣1）（x﹣2）（B为整式），
∵上式为恒等式，
∴当x＝1或x＝2时，等号右侧都为0，
{ 1+m+n−16=0 )
∴ ，
16+4m+2n−16=0
{ m+n=15 )
整理得 ，
4m+2n=0
{m=−15)
解 ，
n=30
mn＝﹣15×30＝﹣450．
故答案为：﹣450．
7．（2023秋•湖北期末）阅读以下材料
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问
题：
（1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝ ；
（2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4；（3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．
【分析】（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝A2﹣2A+1（A﹣1）2，再将“A”还原，得
原式＝（x﹣y﹣1）2；
（2）将“a2﹣4a”看成整体，令a2﹣4a＝A，则原式＝（A+2）（A+6）+4＝A2+8A+12+4＝（A+4）2，
再将“A”还原，得：原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4；
（3）先由（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17，运用整体思想，再即可得到式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣
2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．
【解答】（1）解：令x﹣y＝A，
原式＝A2﹣2A+1＝（A﹣1）2，
将“A”还原，得原式＝（x﹣y﹣1）2；
故答案为：（x﹣y﹣1）2；
（2）解：令 a2﹣4a＝A，
原式＝（A+2）（A+6）+4
＝A2+8A+12+4
＝（A+4）2，
将“A”还原，得：
原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4；
（3）证明：令 n2﹣2n＝A，
原式＝（A﹣3）（A+5）+17
＝A2+2A﹣15+17
＝A2+2A+2
＝（A+1）2+1，
将 A＝n2﹣2n 还原，
原式＝（n2﹣2n+1）2+1＝（n﹣1）4+1，
因为无论n为何值 （n﹣1）4≥0，
所以 （n﹣1）4+1≥1
即式子 （n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17 的值一定是一个不小于1的数．
【考点5 巧用乘法公式求值】
1．（2024秋•罗湖区校级期中）观察各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣
1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…根据以上规律计算：﹣22025+22024﹣22023+22022﹣22021+...+24﹣23+22﹣2+1的值是（ ）
−22025+1 −22026+1
A． B．
3 3
C．﹣22026﹣1 D．﹣22025+1
【分析】先计算（﹣2﹣1）[（﹣2）2025+（﹣2）2024+（﹣2）2023+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]＝
（﹣2）2026﹣1，然后再计算所给式子．
【解答】解：∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2025+（﹣2）2024+（﹣2）2023+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]＝
（﹣2）2026﹣1＝22026﹣1，
22026−1 −22026+1
∴原式=− = ．
3 3
故选：B．
2．（2023秋•德城区期末）设 a＝x﹣2022，b＝x﹣2024，c＝x﹣2023．若 a2+b2＝16，则 c2 的值是（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由a＝x﹣2022，b＝x﹣2024，c＝x﹣2023，可得a﹣1＝c＝b+1，a﹣b＝2，根据完全平方公式
求出ab的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵a＝x﹣2022，b＝x﹣2024，c＝x﹣2023，
∴a﹣1＝x﹣2023＝c＝b+1，a﹣b＝2，
∵a2+b2＝16，
∴（a﹣b）2+2ab＝16，
∴ab＝6，
∴c2＝（a﹣1）（b+1）
＝ab+a﹣b﹣1
＝6+2﹣1
＝7，
故选：C．
3．（2024春•小店区校级月考）已知（x﹣2025）2+（x﹣2027）2＝34，则（x﹣2026）2的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】先把（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34变形为（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2＝34，把（x﹣
2016）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（x﹣2016）2的方程，解方程即可求解．
【解答】解：∵（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34，∴（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2＝34，
（x﹣2016）2+2（x﹣2016）+1+（x﹣2016）2﹣2（x﹣2016）+1＝34，
2（x﹣2016）2+2＝34，
2（x﹣2016）2＝32，
（x﹣2016）2＝16．
故选：D．
4．（2023秋•滨海新区校级期末）（1）已知x+y＝8，xy＝5，则x2+y2的值为 ．
（2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝30，则（x﹣y）2的值为 ．
（3）已知x满足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝10，则（x﹣2023）2的值为 ．
【分析】（1）利用完全平方公式将代数式变形，再整体代入求值，即可解题．
（2）本题解法与（1）类似，先利用完全平方公式将代数式变形，再整体代入求值，即可解题．
（3）本题利用数学整体的思想，设x﹣2023＝a，将等式变成含a的方程，表示出a2的值，即可求解．
【解答】解：（1）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∵x+y＝8，xy＝5，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝82﹣2×5＝54．
故答案为：54．
（2）∵（x+y）2﹣（x2+y2）＝x2+2xy+y2﹣x2﹣y2＝2xy，
∵（x+y）2＝49，x2+y2＝30，
∴2xy＝49﹣30＝19，
∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝30﹣19＝11．
故答案为：11．
（3）设x﹣2023＝a，则x﹣2022＝a+1，x﹣2024＝a﹣1，
∵（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝10，
∴（a+1）2+（a﹣1）2＝10，有a2+2a+1+a2﹣2a+1＝10，
整理得a2＝4，
∴（x﹣2023）2＝4，
故答案为：4．
5．（2024秋•道里区校级月考）观察：下列等式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，⋯据此规律，当（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝0 时，代数式
x2025+2x2024的值为 ．【分析】利用规律得出（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1＝0，求出x，再代入求解即可．
【解答】解：根据规律可得原式＝x7﹣1＝0，
∴x＝1，
∴x2025+2x2024＝12025+2×12024＝3，
故答案为：3．
6．（2024秋•徐汇区校级期中）已知（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）a4+b4．
【分析】（1）将“（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6”代入a2+b2＝（a﹣b）2+2ab中，即可求出结论；
（2）原式利用完全平方公式变形，把各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，
∴a2+b2＝a2+b2﹣2ab+2ab＝（a﹣b）2+2ab＝25+2×（﹣6）＝25﹣12＝13；
（2）∵a2+b2＝13，ab＝﹣6，
∴a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝132﹣2×（﹣6）2＝169﹣72＝97．
7．（2024秋•上海月考）已知a2﹣4a﹣1＝0．
1
（1）求a2+
的值；
a2
1
（2）求(a−2)( +2)的值．
a
1
【分析】（1）由a2﹣4a﹣1＝0可变形为a− =4，利用完全平方公式即可求解；
a
1
（2）先相乘后整理得2(a− )−3，再整体代入即可．
a
1 1
【解答】解：（1）根据条件可知a−4− =0，即a− =4，
a a
1 2
∴(a− ) =16，
a
1
即a2+ −2=16，
a2
1
∴a2+ =18；
a2
1 2 1
（2）∵(a−2)( +2)=1− +2a−4=2(a− )−3，
a a a1
∴(a−2)( +2)=2×4−3=5．
a
【考点6 巧用配方法求值】
1
1．（2024秋•海淀区校级期中）已知实数a，b满足 (a−2) 2+2=b(a−b)，则3a2+4b2+1012a﹣2024b+1
2
的值是（ ）
A．65 B．105 C．115 D．2025
1 1
【分析】先将已知条件变形为( a−b) 2+( a−2) 2=0，然后根据非负数的性质求出a、b的值，最后
2 2
代入要求的代数式计算即可．
1
【解答】解： (a−2) 2+2=b(a−b)，
2
1
(a2−4a+4)+2=ab−b2
，
2
1
a2−2a+2+2=ab−b2
，
2
1
a2−2a−ab+b2+4=0，
2
1 1
( a2−ab+b2 )+( a2−2a+4)=0，
4 4
1 1
( a−b) 2+( a−2) 2=0，
2 2
1 1
∴ a−b=0， a−2=0，
2 2
∴a＝4，b＝2，
∴3a2+4b2+1012a﹣2024b+1
＝3×42+4×22+1012×4﹣2024×2+1
＝3×16+4×4+4048﹣4048+1
＝48+16+1
＝65，
故选：A．
2．（2024秋•海安市校级月考）若实数a，b，c满足：a2﹣2a﹣b＝0，2a2+b2﹣4a+2b＝2﹣c，则c的最大
值为 ．
【分析】化简得到a2﹣2a＝b，再整体代入2a2+b2﹣4a+2b＝2﹣c，配方出（b+2）2＝6﹣c，即可求解．【解答】解：由a2﹣2a﹣b＝0可得：a2﹣2a+1＝b+1，即（a﹣1）2＝b+1≥0，则b≥﹣1，
由2（a2﹣2a）+b2+2b＝2﹣c可得：b2+4b＝2﹣c
∴6﹣c＝（b+2）2≥0，
c＝6﹣（b+2）2
当b＝﹣1时，（b+2）2最小，
则c最大值为5．
故答案为：5．
3．（2024秋•洛龙区校级月考）已知a2﹣4b＝1，b2+10c＝﹣46，c2﹣6a＝7，则a+b+c的值是 ．
【分析】由a2﹣4b＝1，b2+10c＝﹣46，c2﹣6a＝7得a2﹣4b+b2+10c+c2﹣6a+38＝0，配方得（a﹣3）2+
（b﹣2）2+（c+5）2＝0，根据非负数的性质得a＝3，b＝2，c＝﹣5，即可求得结果．
【解答】解：由a2﹣4b＝1，b2+10c＝﹣46，c2﹣6a＝7得a2﹣4b+b2+10c+c2﹣6a+38＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c+5）2＝0，
∴a＝3，b＝2，c＝﹣5，
a+b+c＝0．
故答案为：0．
3
4．（2024春•瑶海区校级月考）已知a−b=b−c=c−a= ，a2+b2+c2=1，则 ab+bc+ca的值等于
5
．
【分析】利用完全平方公式求出（a−b），（b−c），（a−c）的平方和，然后代入数据计算即可求解．
3
【解答】解：∵a−b=b−c=c−a= ，
5
9 9 9
∴(a−b) 2= ，(b−c) 2= ，(c−a) 2= ，
25 25 25
9 9 9
∴a2−2ab+b2= ，b2−2bc+c2= ，c2−2ac+a2=
，
25 25 25
9 9 9
∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac= + + ，
25 25 25
27
∴2(a2+b2+c2 )−2(ab+bc+ac)= ，
25
∵a2+b2+c2＝1，
27
∴2−2(ab+bc+ac)= ，
2523
∴ab+bc+ca= ，
50
23
故答案为： ．
50
5．（2024秋•宝山区校级月考）我们学过很多数学公式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、
简洁美．根据你所学的知识解决下列问题：
①若a＝2023，b＝2024，c＝2025，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值；
②若a2+b2+c2＝89，a+b+c＝9，求出ab+bc+ac的值．
1
【分析】（1）将a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac变形为 [(a−b) 2+(b−c) 2+(c−a) 2 ]，然后代入计算即可；
2
（2）根据已知得出（a+b+c）2＝81，推出a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝81，再结合已知即可求出ab+bc+ac
的值．
【解答】解：（1）a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
1
= (a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ac+a2 )
2
1
= [(a−b) 2+(b−c) 2+(c−a) 2 ]
2
当a＝2023，b＝2024，c＝2025时，
1
原式= [(2023−2024) 2+(2024−2025) 2+(2025−2023) 2 ]
2
1
= ×(1+1+4)
2
＝3；
（2）∵a+b+c＝9，
∴（a+b+c）2＝81，
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝81，
∵a2+b2+c2＝89，
∴2ab+2bc+2ac＝﹣8，
∴ab+bc+ac＝﹣4．
【考点7 乘法公式的几何背景】
1．（2024秋•广东校级期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
例如由图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，这样就用图形面积验证了完全平方公式．
（1）类似地，写出图2中所表示的数学等式为 a （ b + c ）＝ a b + a c ；（2）如图 3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为 （ a ﹣ b ） 2 + 4 ab ＝
（ a + b ） 2 ；
（3）利用上面（2）的结论解决问题：若x+y＝7，xy＝6，求（x﹣y）2的值；
（4）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一
起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a2+b2＝130，ab＝63，
请求出阴影部分的面积．
【分析】（1）根据大长方形的面积等于两个小长方形的面积之和，即可求解；
（2）根据大正方形的面积等于四个小长方形的面积与小正方形的面积之和，即可求解；
（3）由（2）可知：（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，即可求解；
1 1
（4）由图可知：阴影部分的面积=a2+b2− a2− (a+b)b，化简后即可求解．
2 2
【解答】解：（1）根据题意可知，图2中所表示的数学等式为：a（b+c）＝ab+ac，
故答案为：a（b+c）＝ab+ac；
（2）由图可知，用不同的代数式表示大正方形的面积，得到的数学等式为：
（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）由（2）可知：（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，
∴72＝（x﹣y）2+4×6，
解得：（x﹣y）2＝25．
故答案为：25；
（4）由图可知：阴影部分的面积为：1 1
a2+b2− a2− (a+b)b
2 2
1 1 1
=a2+b2− a2− ab− b2
2 2 2
1 1 1
= a2+ b2− ab
2 2 2
1 1
= (a2+b2 )− ab
2 2
1 1
= ×130− ×63
2 2
＝33.5．
2．（2024秋•麦积区期中）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，
可以帮助理解数学问题．图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 （ a + b ） 2 ＝ a 2 + 2 a b + b 2 ；图
②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 （ a ﹣ b ） 2 ＝ a 2 ﹣ 2 a b + b 2 ．
【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图③的正方形．
（1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（2）若a﹣b＝10，ab＝﹣16，求a+b的值．
【解决问题】如图④，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，
设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积．
【分析】（1）图①中阴影部分的面积可以看成是一个大正方形的面积或两个小正方形的面积加两个长方形的面积，由此求解即可；图②中阴影部分可以看成是边长为a﹣b的正方形，也可以看成大正方形
与两个长方形和一个小正方形的面积差，由此求解即可；
（2）分别表示出大正方形的面积，小长方形的面积，阴影部分的面积，由此求解即可；
（3）由（1）得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，代值求解即可；
（4）设正方形ACDE和BCFG的边长分别为a，b，根据2ab＝（a+b）2﹣a2﹣b2即可求解．
【解答】（1）由图可得：图①中阴影部分的面积可以看成是一个大正方形的面积即（a+b）2，或两个
正方形的面积加两个长方形的面积即a2+2ab+b2，
∴图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为（a+b）2＝a2+2ab+b2；
图②中阴影部分可以看成是边长为a﹣b的正方形，即面积为（a﹣b）2；
所以面积为a2﹣b2﹣2b（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2，
所以图②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
故答案为：①（a+b）2＝a2+2ab+b2②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
（2）大正方形的面积为（a+b）2，小长方形的面积为ab，阴影部分的面积为（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（3）由（1）得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
∵a﹣b＝10，ab＝﹣16，
∴（a+b）2＝102+4×（﹣16）＝36
∴a+b＝±6；
（4）设正方形ACDE和BCFG的边长分别为a，b，
a+b＝6，a2+b2＝20，
∴2ab＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝16，
∴ab＝8，
1
∴S = ab=4，
△AFC 2
3．（2024秋•龙华区校级期中）在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位
同学拼成了如图2、图3所示的正方形．（1）【理解探究】
①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到（a+b）2，2ab，a2+b2之间的等量关系式：
a 2 + b 2 ＝（ a + b ） 2 ﹣ 2 ab ．
②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： （ a ﹣ b ） 2 ＝（ a + b ） 2 ﹣ 4 ab
．
（2）【类比应用】根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值．
（3）【拓展升华】
如图4，在△BCE中，∠BCE＝90°，CE＝8，点Q是边CE上的点，在边BC上取一点M，使BM＝
EQ，设BM＝x（x＞0），分别以BC，CQ为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接
21
BQ，若CM＝3，△BCQ的面积等于 ，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和： 7 9 ．
2
【分析】（1）①阴影部分的面积等于大正方形的面积减去2个空白小长方形的面积；②阴影部分的面
积等于大正方形的面积减去4个空白小长方形的面积；
（2）2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2），（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，再代入计算求值；
1
（3）BM＝x，则BM＝EQ＝x，CQ＝CE﹣EQ＝8﹣x，BC＝BM+CM＝3+x；由S△BCQ =
2
BC•CQ，可得
（8﹣x）（3+x）＝21，令8﹣x＝a，x+3＝b，则a+b＝11，ab＝21；正方形ABCD和正方形COPQ的面
积和为a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算求值．
【解答】解：（1）根据题意有，
①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
②（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）由（1）可得，
5
2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝52﹣20＝5，即mn= ，
2
5
（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝52﹣4× =15，
2
5
∴mn的值为 ，（m﹣n）2的值为15；
2
（3）BM＝x，则BM＝EQ＝x，CQ＝CE﹣EQ＝8﹣x，BC＝BM+CM＝3+x，1
∵S△BCQ =
2
BC•CQ，
∴（8﹣x）（3+x）＝21，
令8﹣x＝a，x+3＝b，则a+b＝11，ab＝21，
正方形ABCD和正方形COPQ的面积和为：
BC2+CQ2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝112﹣2×21＝79，
∴正方形ABCD和正方形COPQ的面积和为79．
故答案为：79．
4．（2024秋•和平区期中）小天在课外研究代数式（a+b）2与a2+2ab+b2的关系，做了如下工作：
（Ⅰ）计算：根据表格中所给的字母a和b的值，分别计算代数式（a+b）2和a2+2ab+b2的值，填在表
格空白处．
a＝1，b＝2 a＝3，b＝﹣1
（a+b）2的值 9 4
a2+2ab+b2的值 9 4
（Ⅱ）猜想：比较两个代数式的计算结果，直接写出（a+b）2与a2+2ab+b2有什么关系？
（Ⅲ）验证：小天发现可以用几何图形说明上述猜想．
如图是用三种不同大小的正方形与长方形，拼成的一个大正方形，用两种方法表示大正方形的面积：
方法1： （ a + b ） 2 ，方法2： a 2 + 2 a b + b 2 ．
由以上过程可知，（2）中的猜想成立．
（Ⅳ）应用：利用上面发现的结论，求下列两个式子的值．
①20242+2×2024×976+9762；
②10012﹣2×1001×999+9992．
【分析】（I）把a＝1，b＝2和a＝3，b＝﹣1分别代入（a+b）2、a2+2ab+b2，求出值即可；
（II）根据（I），可以得出结论（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（III）根据图形，用两种方法表示出正方形的面积，用代数式表示出来，证明（II）的结论；
（IV）根据上面结论，将数据代入计算即可．
【解答】解：（I）当a＝1，b＝2时，（a+b）2＝（1+2）2＝9，
a2+2ab+b2＝12+2×2+22＝9，
当a＝3，b＝﹣1时，
（3﹣1）2＝22＝4，
a2+2ab+b2＝32+2×3×（﹣1）+（﹣1）2＝4，
故答案为：9；4；9；4．
（II）（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（III）a×（a+b）+b×（a+b）
＝（a+b）×（a+b）
＝（a+b）2；
a×a+b×b+ab+ab＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2；a2+2ab+b2．
（Ⅳ）①20242+2×2024×976+9762
＝（2024+976）2
＝30002
＝9000000；
10012﹣2×1001×999+9992
＝（1001﹣999）2
＝22
＝4．
5．（2024秋•蒸湘区校级月考）在学习完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2后，我们对公式的运用进一
步探讨．
（1）若ab＝30，a+b＝10，求a2+b2的值．
（2）阅读以下解法，并解决相应问题．
“若y满足（40﹣y）（y﹣20）＝50，求（40﹣y）2+（y﹣20）2的值”．
解：设40﹣y＝a，y﹣20＝b，则a+b＝（40﹣y）+（y﹣20）＝20，ab＝（40﹣y）（（y﹣20））＝
50，ab＝（40﹣y）（y﹣20）＝50，这样就可以利用（1）的方法进行求值了．①若x满足（50﹣x）
（x﹣40）＝2，则（50﹣x）2+（x﹣40）2＝ 9 6 ．
②若x满足4（x+3）2+（2x﹣1）2＝169，求2（x+3）•（2x﹣1）的值；
③如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为45，求图
中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab进行求解即可；
（2）①设m＝50﹣x，n＝x﹣40，则m+n＝10，mn＝2，再根据m2+n2＝（m+n）2﹣2mn进行求解即
可；②设s＝2（x+3）＝2x+6，t＝2x﹣1，则s2+t2＝169，s﹣t＝7，再根据﹣2st＝（s﹣t）2﹣（s2+t2）
求出 st＝60，据此可得答案；③由题意得S =(10−x) 2+(6−x) 2，设 10﹣x＝a，6﹣x＝b，则
阴影
S =a2+b2 ，根据长方形CEPF的面积为45，得到ab＝45，再根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab进行求解
阴影
即可．
【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×30＝40；
（2）①设m＝50﹣x，n＝x﹣40，则有m+n＝10，mn＝2，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×2＝96，
∴（50﹣x）2+（x﹣40）2＝96，
故答案为：96；
②设s＝2（x+3）＝2x+6，t＝2x﹣1，
∴s2+t2＝169，s﹣t＝7，
∴﹣2st＝（s﹣t）2﹣（s2+t2）＝72﹣169＝﹣120，
∴st＝60，
∴2（x+3）•（2x﹣1）＝60；
③由题意得S =(10−x) 2+(6−x) 2，
阴影
设10﹣x＝a，6﹣x＝b，则S =a2+b2，
阴影
∴a﹣b＝4，
∵（10﹣x）•（6﹣x）＝ab＝45，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝106，
∴S =a2+b2=106．
阴影
6．（2024秋•隆昌市校级月考）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝6，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值．
解：设7﹣x＝a，x﹣2＝b，则（7﹣x）（x﹣2）＝ab＝6，a+b＝（7﹣x）+（x﹣2）＝5，
∴（7﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13．
请仿照上面的方法解答下列各题．
（1）已知（x﹣5）（x﹣8）＝10，求（x﹣5）2+（x﹣8）2的值；
（2）若y满足（y﹣2024）2+（y﹣2025）2＝99，求（y﹣2024）（y﹣2025）的值；
（3）如图所示，正方形ABCD的边长为m，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形
DEMF的面积是24，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
【分析】（1）设x﹣5＝a，x﹣8＝b，则（x﹣5）（x﹣8）＝ab＝10，求得a﹣b，那么（x﹣5）2+（x﹣
8）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab代入求解即可；
（2）设y﹣2024＝c，y﹣2025＝d，则（y﹣2024）2+（y﹣2025）2＝c2+d2＝99，求得c﹣d，那么，（y
﹣2024）（y﹣2025）＝cd＝[c2+d2﹣（c﹣d）2]÷2代入求解即可；
（3）根据题意得（m﹣1）（m﹣3）＝24．设m﹣1＝p，m﹣3＝q，则（m﹣1）（m﹣3）＝pq＝24，可
求得p﹣q，那么，（p+q）2＝（p﹣q）2+4pq，结合p＞0，q＞0，有p+q＝10，结合S阴影 ＝S正方形MFRN
﹣S正方形GFDH ＝（m﹣1）2﹣（m﹣3）2＝p2﹣q2＝（p+q）（p﹣q）即可求得答案．
【解答】解：（1）利用完全平方公式，根据题意，设x﹣5＝a，x﹣8＝b，
则（x﹣5）（x﹣8）＝ab＝10，
a﹣b＝（x﹣5）﹣（x﹣8）＝3，
∴（x﹣5）2+（x﹣8）2
＝a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝32+2×10＝29；
故（x﹣5）2+（x﹣8）2的值为29；
（2）利用完全平方公式，根据题意，设y﹣2024＝c，y﹣2025＝d，
则（y﹣2024）2+（y﹣2025）2＝c2+d2＝99，
c﹣d＝（y﹣2024）﹣（y﹣2025）＝1，
∴（y﹣2024）（y﹣2025）
＝cd
＝[c2+d2﹣（c﹣d）2]÷2
＝（99﹣1）÷2
＝49；
故（y﹣2024）（y﹣2025）的值为49；
（3）根据正方形的面积公式，得（m﹣1）（m﹣3）＝24，
利用完全平方公式，设m﹣1＝p，m﹣3＝q，
则（m﹣1）（m﹣3）＝pq＝24，
p﹣q＝（m﹣1）﹣（m﹣3）＝2，
∴（p+q）2＝（p﹣q）2+4pq
＝22+4×24
＝100，
∵p＞0，q＞0，
∴p+q＝10，
∴S阴影 ＝S正方形MFRN ﹣S正方形GFDH
＝（m﹣1）2﹣（m﹣3）2
＝p2﹣q2
＝（p+q）（p﹣q）
＝10×2
＝20．
∴阴影部分的面积是20．
7．（2023春•盐湖区校级期中）【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到
一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按
图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：（1）观察图②，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （ a + b ） 2 ﹣（ a ﹣ b ） 2 ＝ 4 ab
；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，xy＝5，求（x﹣y）2的值；
（3）观察图③，它可以看成是把一个大长方形分割成小长方形或者小正方形，从中可以得到恒等式：
a2+3ab+2b2＝ （ a + 2 b ）（ a + b ） ；
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（4）观察图④，它可以看成是把一个大正方体分割成小长方体或小正方体，从中可以得到恒等式：
（a+b）3＝ a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ．
【分析】（1）先由图①可知长方形的面积为：4ab，在根据图②中大正方形的面积为：（a+b）2，阴
影部分的小正方形的面积为：（a﹣b）2，最后根据图②“大正方形的面积﹣阴影部分正方形的面积＝
长方形的面积”即可得出答案；
（2）根据（1）的结论可得出：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，然后将x+y＝6，xy＝5打入计算即可得出答
案；
（3）观察图形③，根据面积的不同计算方法即可得出相关的恒等式．
（4）观察图形④，根据体积的不同计算方法即可得出相关的恒等式．
【解答】解：（1）（a+b）2，（a﹣b）2、ab之间的等量关系是：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
理由如下：
由图①可知长方形的面积为：4ab，
由图②可知：大正方形的面积为：（a+b）2，阴影部分是小正方形，边长为：（a﹣b），
故得：阴影部分正方形的面积为：（a﹣b）2，观察图①、②可得：大正方形的面积﹣阴影部分正方形的面积＝长方形的面积，
即：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
（2）由（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
又∵x+y＝6，xy＝5，
∴（x﹣y）2＝62﹣4×5＝16；
故答案为：16．
（3）得到的恒等式为：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．
理由如下：
由图③，根据面积的不同计算方法得：（a+2b）（a+b）＝ab+a2+ab+b2+ab+b2，
即：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．
（3）得到的恒等式为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
理由如下：
由图④，根据体积的不同计算方法可得；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
【考点8 因式分解的应用】
1．（2024秋•九龙坡区校级期中）“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．“如果一个
多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去
这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅
可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最
小值．
例如：分解因式：x2+2x﹣3，
解：原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）
例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值为﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：n2+6n﹣7＝ （ n ﹣ 1 ）（ n + 7 ） ；
（2）当a、b为何值时，多项式a2+b2﹣6a+10b+38有最小值，并求出这个最小值；
（3）当a、b为何值时，多项式4a2﹣4ab+2b2﹣8a﹣4b+30有最小值，并求出这个最小值．【分析】（1）仿样例对含字母的项进行配方化成完全平方式，再运用平方差公式进行分解因式；
（2）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式4a2﹣4ab+2b2﹣8a﹣4b+30转化为（2a﹣b﹣2）2+（b﹣4）2+10，然后利用非
负数的性质进一步得最小值．
【解答】解：（1）n2+6n﹣7
＝n2+6n+9﹣16
＝（n+3）2﹣42
＝（n﹣1）（n+7），
故答案为：（n﹣1）（n+7）．
（2）a2+b2﹣6a+10b+38＝（a﹣3）2+（b+5）2+4，
∵（a﹣3）2≥0，（b+5）2≥0，
∴当 a＝3，b＝﹣5时，多项式 a2+b2﹣6a+10b+38有最小值为4．
（3）4a2﹣4ab+2b2﹣8a﹣4b+30
＝（2a﹣b）2﹣4（2a﹣b）+4+b2﹣8b+16+10
＝（2a﹣b﹣2）2+（b﹣4）2+10，
（2a﹣b﹣2）2≥0 （b﹣4）2≥0，
∴当 2a﹣b﹣2＝0，b﹣4＝0时，多项式4a2﹣4ab+2b2﹣8a﹣4b+30有最小值．
即当a＝3，b＝4时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值10．
2．（2024秋•杨浦区校级月考）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等
运算，其算法如下：对于多项式x2﹣2x﹣3，令x＝3时，x2﹣2x﹣3＝0，则x2﹣2x﹣3必有一个因式是x
﹣3，且x2﹣2x﹣3可以分解为（x﹣3）（x+1），对于多项式x3﹣2x2﹣4x+8，令x＝2时，x3﹣2x2﹣
4x+8＝0，则x3﹣2x2﹣4x+8必有一个因式是x﹣2，且x3﹣2x2﹣4x+8可以分解为（x+2）（x﹣2）2．
（1）分解因式：x3﹣2x2﹣4x+3（当x＝3时，原式为0）（方法任意）；
（2）已知多项式4x3+9x2+mx+n既能被x+3整除，又能被x﹣1整除，求m、n的值（方法任意）．
【分析】（1）根据当x＝3时，x3﹣2x2﹣4x+3＝0，得多项式x3﹣2x2﹣4x+3必有一个因式x﹣3，设x3﹣
2x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x2+ax﹣1），然后比较同类项的系数a＝1，进而可得出答案；
（2）根据多项式 4x3+9x2+mx+n 既能被 x+3 整除，又能被 x﹣1 整除，得当＝﹣3 或 x＝1 时，
4x3+9x2+mx+n＝0，将x＝﹣3代入整理得﹣3m+n＝27①，将x＝1代入整理得m+n＝﹣13②，再由
①②解出m，n的值即可．
【解答】解：（1）∵当x＝3时，x3﹣2x2﹣4x+3＝33﹣2×32﹣4×+3＝0，∴多项式x3﹣2x2﹣4x+3必有一个因式x﹣3，
∴设x3﹣2x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x2+ax﹣1），
∴x3﹣2x2﹣4x+3＝x3+（a﹣3）x2﹣（3a+1）x+3，
比较同类项的系数得：a﹣3＝﹣2，﹣（3a+1）＝﹣4，
由a﹣3＝﹣2，解得：a＝1，
由﹣（3a+1）＝﹣4，解得：a＝1，
∴x3﹣2x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x2+x﹣1）；
（2）∵多项式4x3+9x2+mx+n既能被x+3整除，又能被x﹣1整除，
∴多项式4x3+9x2+mx+n必有因式x+3和x﹣1，
∴当＝﹣3或x＝1时，4x3+9x2+mx+n＝0，
∴当x＝﹣3时，4×（﹣3）3+9×（﹣3）2﹣3m+n＝0，
整理得：﹣3m+n＝27①，
当x＝1时，4×13+9×12+m+n＝0，
整理得：m+n＝﹣13②，
①﹣②，得：﹣4m＝﹣40，
∴m＝﹣10，
将m＝﹣10代入②，得：n＝﹣3．
∴m＝﹣10，n＝﹣3．
3．（2024春•碑林区校级期中）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如
图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式：（a+b+c）2＝ a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c ；
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝20，则a2+b2+c2＝ 60
；
（3）小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a、b的长方形
纸片拼出一个长方形，直接写出m的所有可能取值 5 或 7 ；
（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等
式： x 3 ﹣ x ＝ x （ x + 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【分析】（1）利用等面积法确定恒等式；
（2）利用（1）中结论求解；
（3）利用所拼成的长方形或正方形的面积从因式分解的角度进行解答；
（4）利用体积关系求关于x的恒等式．
【解答】解：（1）∵边长为（a+b+c）的正方形的面积为：（a+b+c）2
分部分来看的面积为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
两部分面积相等．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵（a+b+c）2
＝（a+b+c）（a+b+c）
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），
∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝20，
∴102＝a2+b2+c2+2×20，
∴a2+b2+c2＝100﹣40＝60，
故答案为：60；
（3）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：
2a2+3b2+mab
从因式分解的角度看，可分解为（2a+b）（a+3b）或（2a+3b）（a+b）
∴（2a+b）（a+3b）＝2a2+3b2+7ab或（2a+3b）（a+b）＝2a2+3b2+5ab
∴m＝5或7．
故答案为：5或7；
（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，
∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．
故答案为：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．
4．（2024春•建邺区校级期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题
进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为a的小正方形，长为b、宽为a的长方形以及边长为b的大正方形．
利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图 2可以解释整式乘法：
（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，也可以解释因式分解：2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．
（1）若用4个B类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y，观察
图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号） ①③④⑤ ．
x2−y2 x2+ y2
①a+b＝x；②（x﹣y）2＝2a2；③ab= ；④b2＝a2+xy；⑤a2+b2= ．
4 2
（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为 3a2+5ab+2b2，在虚框中画
出图形，并根据所画图形，将多项式3a2+5ab+2b2分解因式为 （ 3 a + 2 b ）（ a + b ） ．
（3）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为4a2+mab+5b2，则m的值
为 9 或 2 1 或 1 2 ．（直接写出结果）
【分析】（1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系x＝b+a、y＝b﹣a，结合面积加减计算逐
个判断即可；
（2）根据整式得到两个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答；
（3）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可解答．
【解答】解：（1）由图形可得，x＝b+a、y＝b﹣a，故①正确，
∴（x﹣y）2＝（b+a﹣b+a）2＝4a2，即②错误；
x2−y2
由图形可得，4ab＝x2﹣y2，即ab= ，即③正确；
4
∵x＝b+a、y＝b﹣a，
∴xy＝b2﹣a2，即b2＝xy+a2，即④正确；
x2+ y2
∵x2+y2＝（a+b）2+（b﹣a）2＝2a2+2b2，a2+b2= ，即故⑤正确．
2
故答案为：①③④⑤．
（2）由题意可得，图形如图所示，∴3a2+5ab+2b2＝（3a+2b）（a+b）．
故答案为：（3a+2b）（a+b）．
（3）解：由题意可得，
①当4a2+mab+5b2＝（4a+5b）（a+b）＝4a2+9ab+5b2，m＝9，
②当4a2+mab+5b2＝（4a+b）（a+5b）＝4a2+21ab+5b2，m＝21，
③当4a2+mab+5b2＝（2a+b）（2a+5b）＝4a2+12ab+5b2，m＝12．
故答案为：9或21或12．
5．（2024春•济南期中）综合与实践：
数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利
用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
探索整式乘法的一些法则和公式．
（1）探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可
得一个多项式的分解因式 a 2 ﹣ b 2 ＝（ a + b ）（ a ﹣ b ） ．
（2）探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为b（b＜a）的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为 a 3 ﹣
b 3 ；
（3）将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4，图5所示，∵BC＝a，AB＝a﹣b，
CF＝b，∴长方形①的体积为ab（a﹣b）．类似地，长方体②的体积为 b 2 （ a ﹣ b ） ，长方体③
的体积为 a 2 （ a ﹣ b ） ；（结果不需要化简）
（4）用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为 a 3 ﹣
b 3 ＝（ a ﹣ b ）（ a 2 + b 2 + ab ） ．
（5）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a﹣b＝6，ab＝2，求a3﹣b3的值．
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面
积等于长为a+b、宽为a﹣b的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得a3﹣b3＝ab（a﹣b）+b2（a﹣b）+a2（a﹣b），再将等号右边利用提
取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出a2+b2＝40，再根据（4）的结论即可得．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，
图2中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
∵拼图前后图形的面积不变，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴可得一个多项式的分解因式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
（2）由题意，得到的几何体的体积为a3﹣b3，
故答案为：a3﹣b3．
（3）∵EN＝b，DE＝b，DM＝a﹣b，
∴长方体②的体积为b2（a﹣b），
∵GH＝a，FG＝a﹣b，HR＝a，
∴长方体③的体积为a2（a﹣b），
故答案为：b2（a﹣b），a2（a﹣b）．
（4）由（2）和（3）得：a3﹣b3＝ab（a﹣b）+b2（a﹣b）+a2（a﹣b），
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．
（5）∵a﹣b＝6，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，即36＝a2+b2﹣4，
∴a2+b2＝40，
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+b2+ab）＝6×（40+2）＝252．
6．（2024春•沈河区期末）【阅读材料】
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．对于四项多项式的分组分解法有
两种分法：一是“3+1”分组，二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可
以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3+1”分组；若无法构成，则采用“2+2”分组．
例如：am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；
x2+2x+1﹣4＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四
项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
【应用知识】
（1）因式分解：mp﹣mq﹣np+nq＝ （ p ﹣ q ）（ m ﹣ n ） ；64﹣a2﹣6ab﹣9b2＝ （ 8+ a + 3 b ）（ 8 ﹣ a
﹣ 3 b ） ．
【拓展应用】
对于四项以上的多项式，我们可以适当地将某一项拆成两项，再进行分组，从而因式分解来解决问题．
此题可以通过将常数项拆成两数的和来实现分组，请你试一试．
（2）已知a，b，c为等腰△ABC的三边长，且满足a2+b2＝6a+12b﹣45．求△ABC的周长．
（3）已知a2+b2＝8，m2+n2＝253，求（am+bn）2+（an﹣bm）2的值．
【分析】（1）第一个先分组，再提公因式即可．第二个先分组，再运用完全平方公式，最后用平方差
公式即可．
（2）由a2+b2＝6a+12b﹣45，得a2﹣6a+9+b2﹣12b+36＝0，再运用完全平方公式得（a﹣3）2+（b﹣6）
2＝0，a＝3，b＝6．再分类讨论即可．
（3）先运用完全平方公式，再分组，最后提公因式即可．
【解答】解：（1）mp﹣mq﹣np+nq
＝m（p﹣q）﹣n（p﹣q）
＝（p﹣q）（m﹣n）．
64﹣a2﹣6ab﹣9b2
＝64﹣（a2+6ab+9b2）＝82﹣（a+3b）2
＝（8+a+3b）（8﹣a﹣3b）．
（2）a2+b2＝6a+12b﹣45，
a2﹣6a+9+b2﹣12b+36＝0，
（a﹣3）2+（b﹣6）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣6＝0，
∴a＝3，b＝6．
∵a，b，c为等腰△ABC的三边长，
∴c＝3或c＝6，
当c＝3时，3+3＝6，不能构成三角形，舍去．
当c＝6时，3+6＞6，能构成三角形，
∴△ABC的周长为3+6+6＝15．
（3）（am+bn）2+（an﹣bm）2
＝a2m2+2abmn+b2n2+a2n2﹣2abmn+b2m2
＝a2m2+b2n2+a2n2+b2m2
＝a2（m2+n2）+b2（m2+n2）
＝（m2+n2）（a2+b2）
＝253×8
＝2024．
7．（2024秋•杨浦区期中）阅读材料，完成下列问题．
材料：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b，
a=−1
{
)
{2a+1=−1
) b=
1
1
比较系数得： a+2b=0 ，解得： 2 ，∴m = ；
2
b=m 1
m=
2
解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式）；
1 1 1 1
由于上式为恒等式，为方便计算了取x=− ，2×(− ) 3−(− ) 2+m=0，故m= ．
2 2 2 2
（1）已知多项式x4﹣mx3+2nx﹣16有两个因式分别是（x﹣1）和（x﹣2），求m和n的值；（2）已知多项式x3+kx2+3除以x+2所得的余数，比该多项式除以x+3所得的余数少1，求k的值．
【分析】（1）先设x4﹣mx3+2nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2），然后令x＝1，x＝2，从而列出关于m，n
的方程，解方程即可；
（2）先令x3+kx2+3＝（x+2）（x2+ax+b）+m，x3+kx2+3＝（x+3）（x2+cx+d）+n，再令x＝﹣2，x＝﹣
3，求出m，n，再根据已知条件中m，n的关系，列出关于k的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设x4﹣mx3+2nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2），
令x＝1，则1﹣m+2n﹣16＝0，
令x＝2，则16﹣8m+4n﹣16＝0，
{m−2n=−15)
即 ，
4m−2n=0
{m=5)
解得： ；
n=10
（2）令x3+kx2+3＝（x+2）（x2+ax+b）+m，
x3+kx2+3＝（x+3）（x2+cx+d）+n，
再令x＝﹣2，则﹣8+4k+3＝m；
令x＝﹣3，则﹣27+9k+3＝n；
∵多项式x3+kx2+3除以x+2所得的余数，比该多项式除以x+3所得的余数少1，
∴n﹣m＝1，
∴（9k﹣24）﹣（4k﹣5）＝1，
9k﹣24﹣4k+5＝1，
5k＝20，
k＝4．
