文档内容
专题 2.4 整式的加减全章八类必考点
【人教版2024】
【考点1 单项式、多项式相关概念】......................................................................................................................1
【考点2 整式的加减计算】......................................................................................................................................2
【考点3 整式的加减（不含某项）】......................................................................................................................3
【考点4 整式的加减（新定义）】..........................................................................................................................3
【考点5 整式的加减在图形中的应用】..................................................................................................................6
【考点6 整式的化简求值】......................................................................................................................................8
【考点7 规律探究（数式规律）】..........................................................................................................................9
【考点8 规律探究（图形规律）】........................................................................................................................11
【考点1 单项式、多项式相关概念】
2 1 1 x+3
1．（2024 秋•杨浦区校级月考）在代数式 2x2y，﹣5b2， ，0，5x2− y2， (m+n) 2， ，
3x 6 π 3
y2+6y+9中，整式的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2 1 1 3x2+5
2．（2024•碑林区校级开学）代数式﹣0.3x，0，2m2n3﹣5m4， x2y3， ab2，− ，﹣2a2b2c，
5 3 2 2
中单项式有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
1 1 x2+2x+1 2
3．（2023秋•泗水县期中）下列式子：①abx；②x2﹣2xy+ ；③ ；④ ；⑤− x+y；⑥
y a x−2 3
5 x+1
；⑦ ．其中是多项式的有（ ）
π 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3πx2y2
4．（2023秋•金牛区校级期中）单项式− 的系数是 ，次数是 ．
2
1 n 2023
5．（2023秋•万州区期末）如果单项式− xm+2y与2x4yn+3的和是单项式，那么( ) = ．
2 m
6．（2023秋•海南期末）已知（m﹣1）a|m+1|b3是关于a、b的五次单项式，则m＝ ．7．（2023秋•仪陇县校级期中）若多项式5x5﹣3x3+（m﹣4）xm是关于x的五次二项式，则m＝ ．
【考点2 整式的加减计算】
1．（2023秋•成武县期末）已知两个整式的差是c2d2﹣a2b2，其中一个整式是a2b2+c2d2﹣2abcd，则另一个
整式是 ．
2．（2024春•南岗区校级月考）设A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A+B的次数是（ ）
A．7 B．4 C．3 D．4或3
3．（2024春•萨尔图区校级期末）若A，B，C都是关于x的三次多项式，则A﹣B+C是关于x的（ ）
A．三次多项式
B．六次多项式
C．不高于三次的多项式
D．不高于三次的多项式或单项式
4．（2023秋•海阳市期末）A和B都是三次多项式，则A+B一定是（ ）
A．三次多项式
B．次数不高于3的整式
C．次数不高于3的多项式
D．次数不低于3的整式
5．（2024秋•浦东新区校级月考）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面：
1 1 3 1
(−x2+5xy− y2 )−(− x2+4xy− y2 )=− x2 +y2，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的
2 2 2 2
一项应是（ ）
A．+xy B．﹣xy C．+9xy D．﹣7xy
6．（2023秋•德州期末）小文在做多项式减法运算时，将减去 2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5，求得
的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+1 B．3a2+4a﹣9 C．a2+a﹣4 D．﹣3a2﹣5a+6
7．（2023秋•呈贡区期末）已知M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a﹣1，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N
C．M＝N D．以上都有可能
【考点3 整式的加减（不含某项）】
1．（2023秋•阿图什市校级期末）已知A＝3x3+2x2﹣5x+7m+2，B＝2x2+mx﹣3，若多项式A+B不含一次
项，则多项式A+B的常数项是（ ）
A．16 B．24 C．34 D．352．（2023秋•江岸区期末）若关于x、y的多项式（4x2﹣ax+5y﹣3）﹣2（﹣bx2﹣4x+y﹣3）的值与字母x
的取值无关，则b+a的值是（ ）
A．10 B．﹣6 C．﹣10 D．6
3．（2023秋•霸州市期中）已知无论x，y取什么值，多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定
值12，则m＝ ，n＝ ．
4．（2023秋•锦江区校级期末）已知关于x的整式A、B，其中A＝4x2+（m﹣1）x+1，B＝nx2﹣2x+1．
（1）求A﹣2B；
（2）若A﹣2B中不含x二次项和一次项，求m+n的值．
5．（2023秋•竹溪县期末）小明在准备化简代数式3（4x2+6xy）﹣■（x2+3xy﹣2）时一不小心将墨水滴在
了作业本上，使得（x2+3xy﹣2）前面的系数看不清了，于是小明就打电话询问李老师，李老师为了测
试小明对知识的掌握程度，于是对小明说：“该题标准答案的结果不含有 y．”请你通过李老师的话
语，帮小明解决如下问题：
（1）■的值为 ；
（2）求出该题的标准答案．
1 1 1
6．（2024秋•杨浦区校级月考）已知：A=2x2+ax− y+ ，B＝x﹣4y+2﹣2bx2，A− B的值与字母x
3 5 2
取值无关，求2a﹣5b的值．
7．（2023秋•秦都区期中）无论x、y为何值，关于x、y的多项式2x2+my﹣12与多项式nx2﹣3y+6的差均
是一个定值，求m+n﹣mn的值．
【考点4 整式的加减（新定义）】
1．（2024秋•渝中区校级月考）有两个依次排列的代数式：x2，x2﹣4x+4，用第二个代数式减去第一个代
数式得到a ＝2，将a ＝2加8得到a ，将第2个代数式与a 相加得到第3个代数式，将a 加8得到
1 1 2 2 2
a ，将第3个代数式与a 相加得到第四个代数式，……依此类推．则以下结论：
3 3
①a ＝﹣4x+44；
6
②当第2024个代数式的值为36时，x＝4042或4054；
③ （n为正整数）．其中正确的个数是（ ）
a +a +a +⋯+a =−4nx+4n2
1 2 3 n
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2023秋•彭水县期末）对多项式a﹣b﹣c﹣d任意加一个或者两个小括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（a﹣b）﹣（c﹣d）＝a﹣b﹣c+d，a﹣b﹣（c﹣d）＝a﹣b
﹣c+d…，则下列说法中正确的有（ ）个．
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③只添加一个小括号，共有3种不同的结果；
④所有的“加算操作”共有4种不同的结果．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023秋•铜梁区校级期末）有依次排列的3个整式：x，x+6，x﹣3，对任意相邻的两个整式，都用右
边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串．例如：x，6，
x+6，﹣9，x﹣3，我们称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以
此类推．通过实际操作，得出以下结论：
①整式串2为：x，6﹣x，6，x，x+6，﹣x﹣15，﹣9，x+6，x﹣3；
②整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和大3；
③整式串5共65个整式；
④整式串2026的所有整式的和为3x﹣6075；
上述四个结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023秋•铜梁区期末）在式子a×b+x+y中，a，b，x，y互不相等且都为正数，把任意两个字母交换位
置，然后化简运算，称为一次“交换操作”；例如一次“a，y交换操作”：y×b+x+a＝by+a+x（注意：
“a，y交换操作”与“y，a交换操作”算相同的“交换操作”）．下列说法：①存在“交换操作”，
使其运算结果与原式运算结果相等；②所有的“交换操作”一共有6种不同的运算结果；③若b＝1，
则有4次“交换操作”的运算结果相等；其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2023秋•海淀区校级期末）小琪在一本数学书中看到了这样一个探究活动；对依次排列的两个整式
m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活
动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．2n﹣m B．m C．n﹣m D．m+n
6．（2023秋•渝中区期末）对一列整式进行如下操作：依次用左边的整式减去与之相邻的右边的整式，所
得之差写在这两个整式之间，产生一列新的整式，完成以上步骤称为一次操作．如整式列：x，2x﹣1经
过第一次操作后得到整式列（1）：x，1﹣x，2x﹣1；将整式列（1）按上述方式再做一次操作，可以得
到整式列（2）：x，2x﹣1，1﹣x，2﹣3x，2x﹣1；…；以此类推，可以得到无数个整式列．以下结
论：
①整式列（3）的各项之和为2；
②整式列（5）一共有33项；
③若x＝﹣1，则整式列（2023）各项之和4042．
其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2023秋•北碚区校级期末）已知两个整式A＝a+b，B＝a﹣b，用整式A与整式B求和后得到整式N ＝
1
2a，称为第一次操作；将第一次操作的结果N 加上2A+B，结果记为N ，称为第二次操作；将第二次操
1 2
作的结果N 加上3A+2B，结果记为N ，称为第三次操作；将第三次操作的结果N 加上4A+3B，结果记
2 3 3
为N ，称为第四次操作，…，以此类推．以下四个说法正确的个数是（ ）
4
①当a＝b时，则第5次操作的结果N ＝30a；
5
②当b＝﹣30a时，则有N ＝N ；
10 30
③N +N +N +N +N +N ＝97a+15b；
1 2 3 4 5 6
④当a＝2，b＝2023时，N ＞m2+2023m﹣2023．
m
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点5 整式的加减在图形中的应用】
1．（2023秋•泗洪县期末）图1是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方
式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即
两个长方形）的面积分别表示为S ，S ，若S＝S ﹣S ，且S为定值，则a，b满足的关系是（ ）
1 2 1 2A．a＝2b B．a＝3b C．a＝4b D．a＝5b
2．（2023秋•高阳县期末）三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形ABCD中，将图中的两个空白
小长方形分别记为S ，S ，各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是（ ）
1 2
A．a+2b＝m
B．小长方形S 的周长为a+m﹣b
1
C．S 与S 的周长和恰好等于长方形ABCD的周长
1 2
D．只需知道a和m的值，即可求出S 与S 的周长和
1 2
3．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，如
要求出阴影部分周长的差，只需知道a，b，c，d中的一个量即可，则要知道的那个量是（ ）
A．a B．b C．c D．d
4．（2023秋•宁波期末）如图，一个长方形被分成了4个小长方形，其中②和③大小、形状相同，若要
求出①和④两个长方形的周长之和，只要知道下列哪条线段的长度即可（ ）
A．线段AD B．线段AB C．线段ME D．线段MF
5．（2023秋•嘉兴期末）将（1）和（2）两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中．图
（1）中阴影部分的周长和为m，图（2）中阴影部分的周长和为n，且AM＝ND．若AD＝17，m﹣n＝
9，则正方形①的边长为 ．6．（2023秋•思明区校级期末）将两边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长
方形ABCD中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖
的部分用阴影表示，设图1上中阴影部分的周长为C ，图2中阴影部分的周长为C ，则C ﹣C 的值为
1 2 1 2
．
7．（2023秋•郾城区期中）如图，在一个长方形中放入三个正方形，从大到小正方形的边长分别为a，b，
c，则右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分周长差为 ．
【考点6 整式的化简求值】
1．（2023秋•夏邑县期末）先化简，再求值．
1 1
5x2−[2xy−3( xy+2)+4x2 ]，其中x、y满足（x+2）2+|y− |＝0．
3 2
2．（2023秋•贵阳期末）已知代数式A＝6x2+3xy+2y，B＝3x2﹣2xy+5x．
（1）求A﹣2B；
3
（2）当x=− ，y＝﹣6时，求A﹣2B的值；
4（3）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．
3．（2023秋•雨湖区期末）（1）数学赵老师布置了一道数学题：已知x＝2023，求整式2（x2﹣5x+1）﹣
（﹣x+2x2﹣1）+9x的值，小涵观察后提出：“已知x＝2023是多余的．”你认为小涵的说法对吗？请
说明理由．
（2）已知整式A＝2x2﹣3kx+x+1，整式A与整式B之差是3x2﹣2kx+x．
①求整式B；
②若k是常数，且A+2B的值与x无关，求k的值．
3 1
4．（2023秋•梁山县期末）已知A= nx2−2x−1，B=3x2− mx+4．
2 3
（1）当2A﹣3B的值与x的取值无关，求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，求多项式（2m2﹣3mn+3n2）﹣（m2﹣mn+2n2）的值．
5．（2023秋•金牛区期末）已知m＝xy+2x﹣3y+1，n＝3xy﹣x+2y+4．
（1）当x＝﹣1时，且x、y在数轴上的位置如图所示，化简|m﹣3|+4|n+3|；
（2）若3m﹣2n的值与y的取值无关，求x的值．
6．（2023秋•松阳县期末）已知A＝5x2+3kx﹣2，B＝﹣2x2+2kx+3．
（1）当k＝﹣3，x＝2时，求A的值；
（2）若3x2+kx＝4，求2A﹣B的值；
（3）若2A﹣B＝12x2+k，且k是整数时，求整数x的值．
7．（2023秋•百色期末）数学老师在上课时出了这样一道题：“先化简，再求值：2x5﹣（3x3y﹣2x2y）
+（3x3y﹣2x2y﹣2x5）+2023，其中x＝2024，y＝﹣2023．”同学们思考时小桐说：本题中x＝2024，y＝
﹣2023是多余的条件；小强马上反对说：这不可能，多项式中含有 x和y，不给出x，y的值怎么能求出
多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由．【考点7 规律探究（数式规律）】
1 1
1．（2024秋•凉州区校级月考）已知a＞0，S = ，S =−S −1，S = ，S =−S −1⋯．（即当
1 a 2 1 3 S 4 3
2
1
n为大于1的奇数时，S
n
=
S
；当n为大于1的偶数时，S
n
＝﹣S
n﹣1
﹣1）按此规律，当a＝2时，S
2024
n−1
＝ ．
2．（2024秋•中原区校级月考）观察一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…，将这列数排成如图所
示形式．记a
i，j
，对应的数为第i行（最上为第1行）第j列（最左为第1列）的数，如a
2，3
＝4，那
么，a
9，9
对应的数为 ．
4 8 16 32 64
3．（2024春•和平区校级期末）给出依次排列的一列数：﹣1， ，− ， ，− ， ，…，按照此
5 10 17 26 37
规律，第n个数为 ．
4．（2023秋•东莞市校级期中）观察下列三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64…①
﹣3，3，﹣9，15，﹣33，63…②
1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32…③
（1）第①行的第n个数是 ？
（2）第①行某列的数是m，则第②行该列的数是 ，第③行该列的数是 ；
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
1 1 1 1 1 1 1 1
5．（2024秋•广信区校级月考）观察下列等式 =1− ， = − ， = − ，将以上三个
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
等式两边分别相加得： + + =1− + − + − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
1 1 1 1
（1）猜想并写出： = − ； = ；
4×5 4 5 n(n+1)
（2）直接写出下列各式的计算结果：1 1 1 1
① + + +⋯+ = ；
1×2 2×3 3×4 2023×2024
1 1 1 1
② + + +⋯+ = ；
1×2 2×3 3×4 n(n+1)
1 1 1 1
（3）探究并计算： + + +⋯⋯+ ．
2×4 4×6 6×8 2022×2024
6．（2024秋•新吴区校级月考）仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题：
例：求1+2+22+23+24+⋯+22017的值．
解：令S＝1+2+22+23+24+⋯+22017，则2S＝2+22+23+24+25⋯+22018．
所以2S﹣S＝22018﹣1，即S＝22018﹣1．
所以1+2+22+23+24+⋯+22017＝22018﹣1．
仿照以上推理过程，计算下列式子的值：
（1）1+5+5+53+54+⋯+5100；
（2）1﹣3+32﹣33+34﹣35+⋯+32022．
7．（2023秋•威远县校级期中）请阅读以下材料完成以下题目．
【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式：
1
第①式：1×2= (1×2×3−0×1×2)；
3
1
第②式：2×3= (2×3×4−1×2×3)；
3
1
第③式：3×4= (3×4×5−2×3×4)；
3
1
将这三个等式的两边相加，可以得到：1×2+2×3+3×4= ×3×4×5=20；
3
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+3×4+⋯+20×21＝ ；
（2）1×2+2×3+3×4+⋯+n（n+1）＝ （用含n的式子表示）；
【阅读材料二】观察下列几个等式：
1
第①式：12= ×1×2×3=1；
6
1
第②式：12+22= ×2×3×5=5；
61
第③式：12+22+32= ×3×4×7=14；
6
1
第④式：12+22+32+42= ×4×5×9=30；
6
请你思考后解答下列问题：
（1）12+22+32+…+202＝ ；
（2）12+22+32+…+n2＝ （用含n的式子表示）；
（3）计算：212+222+232+…+392+402；
【拓展应用】：
2 1
直接写出下式的结果： [(12+22+32+⋯+1002 )− (1×2+2×3+3×4+⋯+100×101)]=
33 2
．
【考点8 规律探究（图形规律）】
1．（2024秋•黄陂区月考）古希腊著名的必达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形
数”，把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现任何一个大于 1的“正方形
数”可以写成两个相邻的“三角形数”，即：（1）4＝1+3；（2）9＝3+6；（3）16＝6+10，…按这一
规律，请写出第6个图形中的一条等式 ．
2．（2024秋•迎泽区校级月考）如图所示：观察下列每一组图形中点的总个数，则第（n+2）个图中共有
个点．
3．（2023秋•金寨县期末）如图是一组有规律的图煤，第 1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7
个基础形组成，……，第2024个图案中的基础图形个数为 ．4．（2023秋•咸宁期末）某餐厅中，一张桌子可以坐6人，如果把多张桌子摆在一起，可以有以下两种摆
放方式．
（1）当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐 人，第二种摆放方式能坐 人，
（2）当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐 人，第二种摆放方式能坐 人，
（3）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐（即桌子要摆在一起），但餐厅只有25张这样的餐桌，
若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？
5．（2024秋•禅城区校级月考）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列
相关问题．
材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，
部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ，空白部分的面积之和为： + + + + + =1− ．
24 64 2 22 23 24 25 26 26
材料二：欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：
令S＝1+2+4+8+16+…+230①
等式两边同时乘以2，得2S＝2+4+8+16+32+⋯+231②
由②式减去①式，得S＝231﹣1，
∴1+2+4+8+16+⋯+230＝231﹣1．
解决问题：
（1）图1部分③的面积为 ．
1 1 1 1 1
（2）如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得 + + + +⋯+ 的值
2 22 23 24 22024为 ．
（3）利用材料二提供的方法，请你求出1+5+52+53+54+⋯+520的值．
1 1 1 1
（4）通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题： + + +⋯+ 的值为 ．
4 42 43 4100
6．（2024秋•宜都市校级月考）综合与实践．
观察与思考：
规律发现：请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中小圆圈的个数为 ；
1×2 2×3
（2）第1个图案中小星星的个数可表示为 ，第2个图案中的小星星的个数可表示为 ，第3个
2 2
3×4
图案中小星星的个数可表示为 ，⋯，第n个图案中小星星的个数可表示为 ；
2
规律应用：
（3）结合图案中小星星的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的偶数之和2+4+6+⋯+2n等于
第n个图案中小圆圈的个数的4倍．
7．（2024秋•姑苏区校级月考）图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有
一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形n(n+1)
状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n= .
2
如果图①﹣④中各有11层．
（1）图①中共有 个圆圈；
（2）我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边
圆圈的数是 ．
（3）我们自上而下，按图④的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，求图④所有圆圈
中各数的绝对值之和．
