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专题 16.6 整式的乘法与因式分解十八大必考点
【人教版】
【考点1 幂的基本运算】.......................................................................................................................................1
【考点2 幂的逆运算】...........................................................................................................................................2
【考点3 利用幂的运算进行比较大小】...............................................................................................................2
【考点4 幂的混合运算】.......................................................................................................................................3
【考点5 利用幂的运算进行简便计算】...............................................................................................................3
【考点6 幂的运算中的新定义问题】...................................................................................................................4
【考点7 整式的乘法】...........................................................................................................................................5
【考点8 整式乘法的应用】...................................................................................................................................6
【考点9 利用乘法公式求值】...............................................................................................................................7
【考点10 乘法公式的几何背景】...........................................................................................................................8
【考点11 整式乘除的计算与化简】.....................................................................................................................10
【考点12 整式混合运算的应用】.........................................................................................................................11
【考点13 因式分解的概念】.................................................................................................................................12
【考点14 因式分解（提公因式与公式法综合）】..............................................................................................13
【考点15 因式分解（十字相乘法）】.................................................................................................................13
【考点16 因式分解（分组分解法）】.................................................................................................................15
【考点17 利用因式分解求值】.............................................................................................................................15
【考点18 因式分解的应用】.................................................................................................................................16
【考点1 幂的基本运算】
【例1】（2022·湖南娄底·七年级期末）如果a2n-1an+5=a16，那么n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1-1】（2022·广东·德庆县德庆中学七年级期末）解答下列问题：
（1）已知3m=5，3n=2，求33m+2n+1的值；
（2）若3x+4 y-3=0，求27x ⋅81y的值．
【变式1-2】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知3x=4,3y=6,3z=12，则x、y、z三者之间关系正确的是
（ ）
A．xy=2z B．x+y=2z C．x+2y=2z D．x+2y=zab
【变式1-3】（2022·黑龙江·大庆市第十九中学七年级期末）已知5a=2b=10，那么 的值为________.
a+b
【考点2 幂的逆运算】
【例2】（2022·四川·渠县流江初级实验中学七年级期末）如果3a＝5，3b＝10，那么9a-b的值为(
)
1 1 1
A． B． C． D．不能确定
2 4 8
【变式2-1】（2022·安徽·合肥新华实验中学七年级期末）如果2m=5，2n=3，求：
(1)2m+2n的值；
(2)8m的值．
【变式2-2】（2022·北京昌平·七年级期末）将幂的运算逆向思维可以得到am+n=am ⋅an，am-n=am÷an，
， ，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为
amn=(am
)
n ambm=(ab) m
简，化难为易，使问题巧妙获解．
1
(1)52021×( ) 2021= ______ ；
5
(2)若3×9m×27m=311，求m的值；
【变式2-3】（2022·四川省渠县中学七年级期末）（1）已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代
数式：
①求：22m+3n的值．
②求：22m-6n的值．
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
【考点3 利用幂的运算进行比较大小】
【例3】（2022·福建省罗源第二中学八年级期末）若a＝3555，b＝4444 ，c＝5333，比较a、b、c的大小
（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【变式3-1】（2022·江苏·江阴市华士实验中学七年级期末）阅读下列材料:
若a3=2,b5=3，则a，b的大小关系是a_____ b (填“<”或“>”).
解:因为
a15=(a3) 5 =25=32,b15=(b5) 3 =33=27,32>27
，所以
a15>b15
，
所以a>b.
解答下列问题:
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)已知x5=2,y7=3，试比较x与y的大小．
【变式3-2】（2022·内蒙古·赤峰市松山区大庙中学八年级期末）阅读探究题：．
【阅读材料】
比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，
如：25>23，55>45
在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325，
解： ，∵ ，∴
2710=(33) 10 =330 30>25 330>325
[类比解答]比较254，1253的大小．
[拓展拔高]比较3555，4444，5333的大小．
【变式3-3】（2022·河北石家庄·七年级期末）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两
个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有
ab>cb，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：520______420，961______2741；（填“>”、“<”或“=”）
(2)比较233与322的大小；
(3)比较312×510与310×512的大小．
【考点4 幂的混合运算】
【例4】（2022·福建漳州·七年级期末） 计算
(1)
(m-n) 2 ⋅(n-m) 3 ⋅(n-m) 4
(2)
(b2n
)
3 (b3
)
4n÷(b5
)
n+1
(3)
(a2
)
3-a3 ⋅a3+(2a3
)
2
(4)
(-4am+1 ) 3÷[2(2am ) 2 ⋅a]
【变式4-1】（2022·陕西西安·七年级期末）计算：
(2x3 ⋅x5) 2 +(-x) 2 ⋅(-x2) 3 ⋅(x2) 4
．
【变式4-2】（2022·重庆市第十一中学校七年级期末）计算：
(1) ；
x⋅x2 ⋅x3+(x2
)
3-2(x3
)
2(2) ．
(-4am+1 ) 3+[2(2am ) 2 ⋅a]
【变式4-3】（2022·黑龙江·巴彦县第一中学八年级期末）计算：（1）
x2 ⋅x4+(x3) 2 -5x6
（2） (-2a) 6-(-3a3) 2 +[-(2a) 2] 3
【考点5 利用幂的运算进行简便计算】
【例5】（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期末）计算0.25100× ( - 1) 101 ×8101=_________．
2
【变式5-1】（2022·湖南怀化·七年级期末）计算（﹣0.25）2022×42021的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．0.25 D．44020
2 5
【变式5-2】（2022·上海杨浦·七年级期末）用简便方法计算：-35×(- ) ×(-5) 6
3
【变式5-3】（2022·福建·泉州市第九中学八年级期末）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，
指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，根据上述材料，回
答下列问题．
(1)比较大小：520_________420 （填写>、<或=）．
(2)比较233与322的大小（写出比较的具体过程）．
(3)计算42021×0.252020-82021×0.1252020．
【考点6 幂的运算中的新定义问题】
【例6】（2022·山东省青岛第五十一中学七年级期末）阅读材料：
定义：如果10a=n，那么称a为n的劳格数，记为a=d(n)，
例如：102=100，那么称2是100的劳格数，记为2=d(100)．
填空：根据劳格数的定义，在算式a=d(1000)中，______相当于定义中的n，所以d(1000)=______；
直接写出 ______；
d(10-8)=
探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程
若a、b、m、n均为正数，且10a=p，10b=q，
根据劳格数的定义：d(p)=a，d(q)=______，
∵10a ⋅10b=pq
∴10a+b=pq，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n，
∴d(pq)=______，即d(pq)=d(p)+d(q)，
请你把数学研究小组探究过程补全(m)
拓展：根据上面的推理，你认为：d = ______．
n
【变式6-1】（2022·北京·清华附中八年级期末）定义一种新运算(a，b)，若ac=b，则(a，b)=c，例
(2，8)=3，(3，81)=4．若(3，5)+(3，7)=(3，x)，则x的值为______．
【变式6-2】（2022·江苏连云港·七年级期末）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021
的值，采用以下方法：
设S=1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021①
则2S=2+22+⋅⋅⋅+22021+22022②
②-①得，2S-S=S=22022-1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）2+22+⋅⋅⋅+220=______；
1 1 1
（2）求1+ + +⋅⋅⋅++ = ______；
2 22 250
（3）求 的和；（请写出计算过程）
(-2)+(-2) 2+⋅⋅⋅+(-2) 100
（4）求a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan的和（其中a≠0且a≠1）．（请写出计算过程）
【变式6-3】（2022·山东德州·八年级期末）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an；如2×2×2
＝23＝8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log 8（即log 8＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞
2 2
0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，
记为log 81（即log 81＝4）．
3 3
（1）计算下列各对数的值：log 4＝ ；log 16＝ ；log 64＝ ；
2 2 2
（2）你能得到log 4、log 16、log 64之间满足怎样的关系式： ；
2 2 2
（3）由（2）的结果，请你归纳出logaM、logaN、logaMN之间满足的关系式： ；
（4）根据幂的运算以及对数的含义验证（3）的结论．
【考点7 整式的乘法】
【例7】（2022·福建·大同中学八年级期末）计算(2x+3 y-4)(2x+ay+b)得到的多项式不含x、y的一次
项，其中a，b是常数，则a-b的值为（ ）
A．1 B．-1 C．-7 D．7
【变式7-1】（2022·江西景德镇·七年级期末）小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结
果为x2+3x-18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“-a”，算的结果为x2-x-12．
(1)求出a、b的值；
(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，【变式7-2】（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项
和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式
(a+b) n (n=1，2，3，4，⋯)
的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．
1 1
(a+b) 1=a+b
1 2 1
(a+b) 2=a2+2ab+b2
1 3 3 1
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
1 4 6 4 1
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…… ……
2 2022
请依据上述规律，写出(x- ) 展开式中含x2020项的系数是（ ）
x
A．2022 B．-4044 C．-2020 D．4042
【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）设a ,a ,a ,⋯a ,a 都是正数，
1 2 3 2021 2022
， ，试比较M、N的大
M=(a +a +…+a )(a +a +…+⋯a ) N=(a +a +a )(a +a +⋯a )
1 2 2021 2 3 2022 1 2 2022 2 3 2021
小．
【考点8 整式乘法的应用】
【例8】（2022·浙江宁波·七年级期末）如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为
b、a的长方形纸片一张，其中a”号填空）．
【考点10 乘法公式的几何背景】
【例10】（2022·四川·金堂县淮口中学校七年级期末）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一
个等式，如图1，是用长为x，宽为y(xy)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴
影部分（小正方形）的面积，可得到 、 、xy三者之间的等量关系式：__________；如图2
(x- y) 2 (x+ y) 2
所示的大正方体是若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以
得到一个等式：__________．
利用上面所得的结论解答：
5
（1）已知xy，x+y=3，5xy= ，求x-y的值；
4
（2）已知 ，求a3+b3值．备注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)．
|a+b-4|+(ab-2) 2=0
【变式10-1】（2022·河南南阳·八年级期末）探究活动：
(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_____（写成两数平方差的形式）；
(2)如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是_____（写成多项式乘法的形式）；
(3)比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式_____．
(4)知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：计算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）；
(5)若4x2-9 y2＝10，4x+6y＝4，求2x﹣3y的值．
【变式10-2】（2022·福建·明溪县教师进修学校七年级期末）阅读理解：
若x满足 ，试求 的值，
(210-x)(x-200)=-204 (210-x) 2+(x-200) 2
解：设(210-x)=a，(x-200)=b，则ab=-204，且a＋b＝(210－x)＋(x－200)＝10，
∵ ，
(a+b) 2=a2+2ab+b2
∴ ，即 的值为 ．
a2+b2=(a+b) 2-2ab=102-2×(-204)=508 (210-x) 2+(x-200) 2 508
解决问题
(1)若x满足 ，则 ；
(2022-x)(x-2010)=22 (2022-x) 2+(x-2010) 2=
(2)若(2022－x)2＋(x－2002)2＝2020，求(2022-x)(x-2002)的值；
(3)如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x ，分别
以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，
则图中阴影部分的面积和为多少？
【变式10-3】（2022·湖南·常德市第二中学七年级期末）（1）①如图1，已知正方形ABCD的边长为a，
正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是______（写成平方差
的形式）；②将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是______
（写成多项式相乘的形式）；
（2）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式______．
（3）利用所得公式计算： ( 1)( 1 )( 1 )( 1 ) 1
2 1+ 1+ 1+ 1+ +
2 22 24 28 214
【考点11 整式乘除的计算与化简】
【例11】（2022·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随
后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
× ( - 1 xy ) =3x2y-x y2+ 1 xy
，所捂多项式是________．
2 2
(3xyz) 3
【变式11-1】（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期末）若定义 表示 ， 表
-3adcb
示 ，则运算 ÷ 的结果为（ ）
A．-72n B．72n C．mn D．-mn
【变式11-2】（2022·山东淄博·期末）王老师给学生出了一道题：
1
求(2x+ y)(2x- y)+2(2x- y) 2+(2x y2-16x2y)÷(-2x)的值，其中x= ，y=-1．
2
同学们看了题目后发表不同的看法．
小明说：“条件y=-1是多余的．”小亮说：“不给y=-1这个条件，就不能求出结果，所以不多余．”
(1)你认为他俩谁说的有道理？为什么？
(2)若本题的结果等于M，试求M的值．
【变式11-3】（2022·重庆市万州第二高级中学八年级期末）已知a、b、c为实数，且多项式x3＋ax2＋bx＋
c能被多项式x2＋3x－4整除，
（1）求4a＋c的值；
（2）若a、b、c为整数，且c≥a＞1，试确定a、b、c的值．
【考点12 整式混合运算的应用】
【例12】（2022·北京·八年级期末）随着某种产品的原料涨价，因而厂家决定对产品进行提价，设该产品
原价为1元，现在有两种提价方案：
方案1：第一次提价x%，第二次提价y%；
x%+ y%
方案2：第一次、二次提价均为 ．
2
其中x，y是不相等的正数，请判断在分别实施这两种方案后哪种方案最终价格更高？并用乘法公式证明．
【变式12-1】（2022·重庆·八年级期末）近年来，重庆成为了众多游客前来旅游的网红城市．某商场根据
游客的喜好，推出A、B两种土特产礼盒，A种礼盒内有3袋磁器口麻花，3包火锅底料；B种礼盒里有2
袋磁器口麻花，3包火锅底料，2袋合川桃片．两种礼盒每盒成本价分别为盒内所有土特产的成本价之和．
已知每袋合川桃片的成本价是每包火锅底料成本价的一半，A种礼盒每盒的售价为108元，利润率为20%．
今年10月1日卖出A、B两种礼盒共计80盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本时把磁器口麻花和火锅
底料的成本价看反了，导致当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的成本少了280元，则当日卖出礼盒的实
际总成本为 __元．
【变式12-2】（2022·重庆南开中学七年级期末）春天是耕种的最佳时节，我校两个劳动实践小组在试验田
里种植了黄瓜、番茄、辣椒三种蔬菜，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2．第一小组
种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，第二小组在余下的实验田里继续种植这三种蔬菜，将余下试
1 3
验田面积的 种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的 ，且第二小组种植三种蔬菜
6 8
1
的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的 ，则最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为
3
__________．
【变式12-3】（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础，花卉为特色的综合性公园．备受重庆人民的喜爱；每到春季，
上山赏花的人络绎不绝；一植物园附近的市民嗅到了商机，开办了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包
装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、
C花卉10支包装成“如沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“惜懂少女”礼
盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒；包装费忽略不计，且每支B花卉的
成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；
该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵
懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售；销售完毕后
统计发现，三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总
利润的比值为 ___．
【考点13 因式分解的概念】
【例13】（2022·江苏徐州·七年级期末）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．ab+ac+d=a(a+b)+d B．a2-1=(a+1)(a-1)
C． D．
(a+b)(a-b)=a2-b2 a2-4a+5=(a-2) 2+1
【变式13-1】（2022·山东·海川中学八年级期末）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是
（ ）
1
A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．a2﹣a+ D．a2+2ab﹣b2
2
【变式13-2】（2022·云南省个旧市第二中学八年级期末）下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．a3－3a2＋2a B．a2－2ab＋b2－1 C．－a2＋b2 D．－a2－b2
【变式13-3】（2022·上海·七年级期末）下列各式中，正确分解因式的个数为（ ）
①
x3+2xy+x=x(x2+2y)
②
x2+2xy+4 y2=(x+2y) 2
③
-2x2+8 y2=-(2x+4 y)(x-2y)
④
a3-abc+a2b-a2c=a(a-c)(a+b)
⑤(m-n)(2x-5 y-7z)+(m-n)(3 y-10x+3z)=-(m-n)(8x+2y+4z)
A．1 B．2 C．3 D．4【考点14 因式分解（提公因式与公式法综合）】
【例14】（2022·福建省泉州实验中学八年级期末）因式分解：
(1)4a2-16a+16；
(2)a2(x- y)+16(y-x)．
1 3
【变式14-1】（2022·广东·佛山市顺德养正学校八年级期末）已知a+b= ,ab=- ，先因式分解，再求值：
2 8
a3b+2a2b2+ab3．
【变式14-2】（2022·甘肃·临泽县第三中学八年级期末）分解因式．
(1)a3b-2a2b2+ab3
(2)x2(x-4)+10x(x-4)+25(x-4)
【变式14-3】（2022·浙江·宁波大学青藤书院七年级期末）因式分解：
(1)mx2﹣m y2；
(2)2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．
【考点15 因式分解（十字相乘法）】
【例15】（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期末）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如：将式子x2＋3x＋2因式分解．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；
(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________
(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；
【变式15-1】（2022·上海闵行·七年级期末）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式x2+(a+b)x+ab
可用十字相乘法方法得出x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，用上述方法将下列各式因式分解：
(1)x2+5xy-6 y2=__________．
(2)x2-(4a+2)x+3a2+6a=__________．
(3)x2-b(5x-a-6b)-a2=__________．
(4) __________．
(2018x) 2-2017×2019x-1=【变式15-2】（2022·浙江杭州·七年级期末）分解因式：(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+13=________．
【变式15-3】（2022·贵州铜仁·七年级期末）
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式呢？我们已经知道：
．反过来，就得到：
(a x+c )(a x+c )=a a x2+a c x+a c x+c c =a a x2+(a c +a c )x+c c
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
．我们发现，二次三项式 的二次项
a a x2+(a c +a c )x+c c =(a x+c )(a x+c ) ax2+bx+c(a≠0)
1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2
的系数a分解成a a ，常数项c分解成c c ，并且把a ，a ，c ，c ，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘
1 2 1 2 1 2 1 2
再相加，就得到a c +a c ，如果a c +a c 的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c
1 2 2 1 1 2 2 1
就可以分解为 ，其中 ， 位于图的上一行， ， 位于下一行．像这种借助画十字交
(a x+c )(a x+c ) a c a c
1 1 2 2 1 1 2 2
叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，
把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2×(-3)；然后把1，1，2，-3按图2所示的摆放，按对角线
交叉相乘再相加的方法，得到1×(-3)+1×2=-1，恰好等于一次项的系数-1，于是x2-x-6就可以分解
为(x+2)(x-3)．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：
x2+x-6=__________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① 2x2+5x-7=__________；
② 6x2-7xy+2y2=__________．
(3)【探究与拓展】
对于形如ax2+bxy+c y2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如
图4．将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果
mq+np=b，pk+pj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原
式=(mx+py+ j)(nx+qy+k)，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式3x2+5xy-2y2+x+9 y-4=__________；
② 若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18 y2-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．【考点16 因式分解（分组分解法）】
【例16】（2022·上海市娄山中学九年级期末）分解因式：x2- y2+4 y-4=__________．
【变式16-1】（2022·上海·七年级期末）因式分解：9-4x2+4xy- y2
【变式16-2】（2022·湖南常德·七年级期末）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．
【变式16-3】（2022·福建省福州延安中学八年级期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公
式继续分解的方法是分组分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝
（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a-7b，求整式M的最小值．
【考点17 利用因式分解求值】
【例17】（2022·湖南永州·七年级期末）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的
方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3+2x2-x-2因式分解的结果为(x-1)(x+1)(x+2)．当
x=18时，x-1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．
(1)根据上述方法，当x=28，y=11时，对于多项式x3-x y2分解因式后可以形成数字密码：____________．
(2)将关于x的多项式(m-n)x3- ( m+ 1 n ) x分解因式后，利用题目中所示的方法，当x=18时可以得到数
2
字密码182016，求m，n的值．
【变式17-1】（2022·湖南·武冈市教育科学研究所七年级期末）已知mn=1，m-n=2，则m2n-mn2的值
是（ ）
A．-1 B．3 C．2 D．-2
【变式17-2】（2022·浙江·七年级期末）已知a-b=3，b-c=-4，则代数式a2-ac-b(a-c)的值是
________．
【变式17-3】（2022·河南周口·八年级期末）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多
项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
【考点18 因式分解的应用】
【例18】（2022·湖南永州·七年级期末）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3+2x2-x-2因式分解的结果为(x-1)(x+1)(x+2)．当
x=18时，x-1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．
(1)根据上述方法，当x=28，y=11时，对于多项式x3-x y2分解因式后可以形成数字密码：____________．
(2)将关于x的多项式(m-n)x3- ( m+ 1 n ) x分解因式后，利用题目中所示的方法，当x=18时可以得到数
2
字密码182016，求m，n的值．
【变式18-1】（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团七年级期末）先阅读下列材料，然后解决后面的问题．
材料：一个三位数abc（百位数为a，十位数为b，个位数为c），若a+c=b，则称这个三位数abc为“协和
k
数”，同时规定c= （k≠0），k称为“协和系数”，如264，因为它的百位上数字2与个位数字4之和等
a
于十位上的数字6，所有264是“协和数”，则“协和数”k=2×4=8．
(1)判断132，123，321这三个数中， 是“协和数”．
(2)对于“协和数”abc，求证：“协和数”abc能被11整除．
(3)已知有两个十位数相同的“协和数”a bb ，a bb （a ＞a ），且k -k =1，若y=k +k ，用含b的
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
式子表示y．
【变式18-2】（2022·广东·广州六中八年级期末）对任意一个数m，如果m等于两个正整数的平方和，那
么称这个数m为“平方和数”，若m=a2+b2（a、b为正整数），记A(m)=ab．例如：29=22+52，29就
是一个“平方和数”，则A(29)=2×5=10．
(1)判断45是否是“平方和数”，若是，请计算A(45)的值；若不是，请说明理由；
k-9
(2)若k是一个不超过50的“平方和数”，且A(k)= ，求k的值；
2
(3)对任意一个数m，如果m等于两个整数的平方和，那么称这个数m为“广义平方和数”，若m和n都是
“广义平方和数”，请说明它们的乘积mn也是“广义平方和数”．
【变式18-3】（2022·福建省永春第一中学八年级期末）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图
1．
(1)利用多项式与多项式相乘的法则，计算：(a+2b)(a+b)= ；(2)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取 张B型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方
形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
(3)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量
关系为 ；
(4)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定
不变，MN的长度可以变化，且MN≠0．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S ，S ，若
1 2
，则 与 有什么关系？请说明理由．
S -S =3b2 a b
1 2
