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专题 04 有理数中规律和新定义综合应用（六大题型）
【题型01 数列型规律】
【题型02 裂差型规律】
【题型03 新定义型规律】
【题型04含 型规律】
【题型05 定义两个数的运算】
【题型06 定义多个数的运算】
【题型01 数列型规律】
【典例1】如图，第1个图形中小黑点的个数为5，第2个图形中小黑点的个数为9，第3个图形中小黑点
的个数为13，…，按照这样的规律，第100个图形中小黑点的个数是（ ）
A．598 B．302 C．499 D．401
【变式1-1】下列图形都是由同样大小的五角星按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个五角
星，第②个图形中一共有7个五角星，第③个图形中一共有10个五角星，第④个图形中一共有13个五角星，
……，按此规律排列下去，第2023个图形中五角星的个数为（ ）
A．6069 B．609 C．6070 D．7069【变式1-2】下图是由一些小三角形和小正方形组成的美丽图案，由图形组成规律可知第⑨个图形中小三
角形和小正方形共有（ ）个．
A．91 B．99 C．101 D．121
【题型02 裂差型规律】
【典例2】小涵同学在做有理数的计算时发现：
1 1 ( 1)； 1 1 (1 1)； 1 1 (1 1)； 1 1 (1 1)；
= × 1− = × − = × − = × −
1×3 2 3 3×5 2 3 5 5×7 2 5 7 7×9 2 7 9
1 1 1 1 1
请根据小涵发现的规律，计算 + + + +⋅⋅⋅ 的值（ ）
3 15 35 63 9999
50 100 200 5000
A． B． C． D．
101 101 101 5001
1 1 1 1
【变式2-1】计算： + + +⋅⋅⋅+ ．
2×4 4×6 6×8 2022×2024
1 1 1 1
【变式2-2】1 +2 +3 +⋯⋯+20
2 6 12 420
【题型03 新定义型规律】
【典例3】符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f (1)=2，f (2)=4，f (3)=6…；
（2） (1) ， (1) ， (1) …．
f =2 f =3 f =4
2 3 4利用以上规律计算 ( 1 )等于（ ）
f (2023)−f
2023
1 1
A．2022 B．2023 C． D．
2023 2022
1 1 1
【变式3-1】符号“f”表示一种运算，运算规律如下：f (1)=1− ，f (2)=1− ，f (3)=1− ，
2 3 4
1
f (4)=1− ，…，则f (1)⋅f (2)⋅f (3)⋅⋅⋅⋅⋅f (100)=（ ）
5
50 1 100 1
A． B． C． D．
101 100 101 101
1 1
【变式3-2】定义：a 是不为 1 的有理数 我们把 称为a 的差倒数，如：2 的差倒数是 =−1，
1−a 1−2
1 1 1
1 的差倒数是 = ，已知a =− , a 是 a 的差倒数，a 是a 的差倒数，……，依此类推，则
1−(−1) 2 1 3 2 1 3 2
a =（ ）
2017
3 1 1
A． B．− C．4 D．
4 3 2
【变式3-3】定义一种正整数n的“T”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，用n连续除
以2，直到结果为奇数停止，并且运算重复进行．例如，当＝18时，运算过程如下：
若n＝21，则第2021次“T”运算的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型04含 型规律】
【典例4】观察下列算式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,⋯根据上述算式中的规律，你
认为32024的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【变式4-1】观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的
规律可得70+71+72+⋯+72023的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【变式4-2】分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的．如图是分形的一种，第1个图案有2个三角形；第2个图案有4个三角形；第3个图案有8个二角形；第4个图案有16个三角形；……，下列数据中是按
此规律分形得到的三角形的个数是（ ）
A．126 B．513 C．980 D．1024
【变式4-3】观察下面两行数：
第一行数：1、−4、9、−16、25、−36…
第二行数：0、−5、8、−17、24、−37…
根据第一行数的排列规律，以及这两行数字之间的关系，确定第二行第10个数是（ ）
A．−82 B．99 C．−101 D．80
【题型05 定义两个数的运算】
【典例5】定义新运算“⨂”，规定：x⨂y=xy−y．如：2⨂3=2×3−3=3，则(−3)⨂(−2)的值是
（ ）
A．8 B．−3 C．4 D．−4
【变式5-1】定义新运算：a⊕b=ab+b，例如：3⊕2=3×2+2=8，则(−3)⊕4=（ ）
A．−8 B．−10 C．−16 D．−24
1 1 1 1 5
【变式5-2】定义一种新运算*，其规则为a∗b= + ，如：2∗3= + = ，那么4∗(−3)的值是
a b 2 3 6
．
【变式5-3】定义一种新运算，对于任意有理数a和b，规定aΔb=−a+b，如：
2Δ(−1)=−2+(−1)=−3，则−3Δ4的值为 ．
【题型06 定义多个数的运算】
【典例6】若定义新运算：a∗b=−2a×3b，请利用此定义计算(1∗2)∗(−3)的值为（ ）
A．116 B．−116 C．216 D．−216
【变式6-1】定义新运算“*”为：
a∗b=
{a−b(a≥b))，则当
x=3
时，计算
2∗x﹣4∗x
的结果为
3b(a
