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专题 04 有理数中规律和新定义综合应用（六大题型）
【题型01 数列型规律】
【题型02 裂差型规律】
【题型03 新定义型规律】
【题型04含 型规律】
【题型05 定义两个数的运算】
【题型06 定义多个数的运算】
【题型01 数列型规律】
【典例1】如图，第1个图形中小黑点的个数为5，第2个图形中小黑点的个数为9，第3个图形中小黑点
的个数为13，…，按照这样的规律，第100个图形中小黑点的个数是（ ）
A．598 B．302 C．499 D．401
【答案】D
【分析】本题考查图形变化的规律，有理数的混合运算，能发现每个图形中小黑点的个数除去中间一个后，
其余的小黑点个数是4的倍数进行解题即可．
【详解】解：由题知：
第1个图形中小黑点的个数为：1+1×4=5，
第2个图形中小黑点的个数为：1+2×4=9，
第3个图形中小黑点的个数为：1+3×4=13，
…
则第100个图形中小黑点的个数为：1+100×4=401，故选：D．
【变式1-1】下列图形都是由同样大小的五角星按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个五角
星，第②个图形中一共有7个五角星，第③个图形中一共有10个五角星，第④个图形中一共有13个五角星，
……，按此规律排列下去，第2023个图形中五角星的个数为（ ）
A．6069 B．609 C．6070 D．7069
【答案】C
【分析】根据图形的变化即可写出规律式，进而求解．
【详解】解：观察图形的变化可知：
第①个图形中一共有4个五角星，即4=3×1+1；
第②个图形中一共有7个五角星，即7=3×2+1；
第③个图形中一共有10个五角星，即10=3×3+1；
第④个图形中一共有13个五角星，即13=3×4+1；
……，按此规律排列下去，
第n个图形中一共有五角星个数为3n+1，
第2023个图形中五角星的个数为3×2023+1=6070，
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的变化类，以及有理数的加法和乘法运算，解决本题的关键是观察图形的变化寻
找规律．
【变式1-2】下图是由一些小三角形和小正方形组成的美丽图案，由图形组成规律可知第⑨个图形中小三
角形和小正方形共有（ ）个．
A．91 B．99 C．101 D．121
【答案】C【分析】本题考查了图形的规律探究，解题的关键是找出图形变化的规律；通过图形之间的变化，由特殊
规律推出一般性的规律，即可得解；
【详解】第1个图形小三角形和小正方形共有2+1×3=5（个），
第2个图形小三角形和小正方形共有2+2×4=10（个），
第3个图形小三角形和小正方形共有2+3×5=17（个），
第4个图形小三角形和小正方形共有2+4×6=26（个），
．．．，
第n个图形小三角形和小正方形共有 （个），
2+n×(n+2)=n2+2n+2
当n=9时，n2+2n+2=92+2×9+2=101（个），
故选：C．
【题型02 裂差型规律】
【典例2】小涵同学在做有理数的计算时发现：
1 1 ( 1)； 1 1 (1 1)； 1 1 (1 1)； 1 1 (1 1)；
= × 1− = × − = × − = × −
1×3 2 3 3×5 2 3 5 5×7 2 5 7 7×9 2 7 9
1 1 1 1 1
请根据小涵发现的规律，计算 + + + +⋅⋅⋅ 的值（ ）
3 15 35 63 9999
50 100 200 5000
A． B． C． D．
101 101 101 5001
【答案】A
【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，根据题目中的式子的特点，先拆项，然后计算即可．
1 1 1 1 1
【详解】解： + + + +⋅⋅⋅
3 15 35 63 9999
1 1 1 1
+ + +⋯+
1×3 3×5 5×7 99×101
1 ( 1 1 1 1 1 1 1 )
= × 1− + − + − +⋯+ −
2 3 3 5 5 7 99 101
1 ( 1 )
= × 1−
2 101
1 100
= ×
2 10150
= ．
101
故选：A．
1 1 1 1
【变式2-1】计算： + + +⋅⋅⋅+ ．
2×4 4×6 6×8 2022×2024
1011
【答案】
4048
【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
1 1 1 1
【详解】解： + + +⋅⋅⋅+
2×4 4×6 6×8 2022×2024
1 (1 1 1 1 1 1 1 1 )
= × − + − + − +⋅⋅⋅+ −
2 2 4 4 6 6 8 2022 2024
1 (1 1 )
= × −
2 2 2024
1 1011
= ×
2 2024
1011
= ．
4048
1 1 1 1
【变式2-2】1 +2 +3 +⋯⋯+20
2 6 12 420
20
【答案】210
21
【分析】本题考查有理数加法运算，掌握分数的裂项与拆分进行简运算是解题的关键．
先把带分数化为整数与真分数的和的形式，再根据加法运算律求解；
1 1 1 1
【详解】解：原式=1+ +2+ +3+ +⋅⋅⋅+20+
2 6 12 420
(1 1 1 1 )
=(1+2+3+⋅⋅⋅+20)+ + + +⋅⋅⋅+
2 6 12 420
( 1 1 1 1 1 1 1 )
=210+ 1− + − + − +⋅⋅⋅+ −
2 2 3 3 4 20 21
1
=210+1−
2120
=210 ．
21
【题型03 新定义型规律】
【典例3】符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f (1)=2，f (2)=4，f (3)=6…；
（2） (1) ， (1) ， (1) …．
f =2 f =3 f =4
2 3 4
利用以上规律计算 ( 1 )等于（ ）
f (2023)−f
2023
1 1
A．2022 B．2023 C． D．
2023 2022
【答案】B
【分析】由所给算式可知： ， (1) ，据此求解即可．
f (n)=2n f =n
n
【详解】解：由题意得： ， ( 1 ) ，
f (2023)=2×2023=4046 f =2023
2023
∴ ( 1 ) ，
f (2023)−f =4046−2023=2023
2023
故选：B．
1 1 1
【变式3-1】符号“f”表示一种运算，运算规律如下：f (1)=1− ，f (2)=1− ，f (3)=1− ，
2 3 4
1
f (4)=1− ，…，则f (1)⋅f (2)⋅f (3)⋅⋅⋅⋅⋅f (100)=（ ）
5
50 1 100 1
A． B． C． D．
101 100 101 101
【答案】D
n
【分析】根据题意得到规律f (n)= ，从而得到f (1)⋅f (2)⋅f (3)⋅⋅⋅⋅⋅f (100)
n+1
1 2 3 4 100
= × × × ×⋯× ，即可求解．
2 3 4 5 1011 1 1
【详解】解：根据题意得：f (1)=1− = = ，
2 2 1+1
1 2 2
f (2)=1− = = ，
3 3 2+1
1 3 3
f (3)=1− = = ，
4 4 3+1
1 4 4
f (4)=1− = = ，
5 5 4+1
……，
n
由此发现，f (n)= ，
n+1
∴f (1)⋅f (2)⋅f (3)⋅⋅⋅⋅⋅f (100)
1 2 3 4 100
= × × × ×⋯×
2 3 4 5 101
1
= ．
101
故选：D
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
1 1
【变式3-2】定义：a 是不为 1 的有理数 我们把 称为a 的差倒数，如：2 的差倒数是 =−1，
1−a 1−2
1 1 1
1 的差倒数是 = ，已知a =− , a 是 a 的差倒数，a 是a 的差倒数，……，依此类推，则
1−(−1) 2 1 3 2 1 3 2
a =（ ）
2017
3 1 1
A． B．− C．4 D．
4 3 2
【答案】B
【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2017除以
3，根据余数的情况确定出与a 相同的数即可得解．
2017
1
【详解】解：∵a =− ，
1 3
1 3
a = =
∴ 2 ( 1) 4，
1− −
3
1
a = =4
3 3 ，
1−
41 1
a = =− ，
4 1−4 3
…
∴每3个数为一周期循环，
∵2017÷3=672……1，
1
∴a =a =− ，故B正确．
2017 1 3
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中
的规律，并应用发现的规律解决问题．
【变式3-3】定义一种正整数n的“T”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，用n连续除
以2，直到结果为奇数停止，并且运算重复进行．例如，当＝18时，运算过程如下：
若n＝21，则第2021次“T”运算的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据题意，可以写出前几次输出的结果，然后即可发现数字的变化规律，从而可以得到2021次
“T”运算的结果．
【详解】解：由题意可得，
当n＝21时，
第1次输出的结果为64，
第2次输出的结果为1，
第3次输出的结果为4，
第4次输出的结果为1，
第5次输出的结果为4，
…，
∴从第2次开始，这列数以1，4不断循环出现，
∵（2021﹣1）÷2＝2020÷2＝1010，
∴2021次“T”运算的结果4，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，数字的变化规律，解答本题的关键是总结出得到的数据存在的规律．【题型04含 型规律】
【典例4】观察下列算式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,⋯根据上述算式中的规律，你
认为32024的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【答案】A
【分析】本题考查数字类规律探索，找出末位数字变化规律，即可求解．
【详解】解：由已知算式可知，末位数字每隔4个数循环一次，并且数字依次为3，9，7，1，
∵ 2024÷4=506，没有余数，
∴ 32024的末位数字是1，
故选A．
【变式4-1】观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的
规律可得70+71+72+⋯+72023的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【答案】A
【分析】由已知可得尾数1，7，9，3的规律是4个数一循环，则70+71+72+⋯+72023的结果的个位数字
与70+71+72+73的个位数字相同，即可求解．
【详解】解：∵70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，
∴尾数1，7，9，3的规律是4个数一循环，
∵1+7+9+3=20，
∴70+71+72+73的个位数字是0，
又∵2024÷4=506，
∴70+71+72+⋯+72023的结果的个位数字与70+71+72+73的个位数字相同，
∴70+71+72+⋯+72023的结果的个位数字是0．
故选：A．
【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．
【变式4-2】分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的．如图是分形的一种，第1个图案有2个三角形；
第2个图案有4个三角形；第3个图案有8个二角形；第4个图案有16个三角形；……，下列数据中是按
此规律分形得到的三角形的个数是（ ）A．126 B．513 C．980 D．1024
【答案】D
【分析】根据前面图案中三角形的个数，找出规律，即可求解．
【详解】解：第1个图案有2个三角形，即21个；
第2个图案有4个三角形，即22个；
第3个图案有8个二角形，即23个；
第4个图案有16个三角形，即24个；
则第n个图案有2n个三角形，
只有D选项，当2n=1024时，n=10符合题意，其余选项n都不符合题意，
故选：D
【点睛】此题考查了图形类规律的探索问题，解题的关键是根据前面的图案，找出相关规律，即可求解．
【变式4-3】观察下面两行数：
第一行数：1、−4、9、−16、25、−36…
第二行数：0、−5、8、−17、24、−37…
根据第一行数的排列规律，以及这两行数字之间的关系，确定第二行第10个数是（ ）
A．−82 B．99 C．−101 D．80
【答案】C
【分析】第一行数第10个数是−100，第二行数第10个数是比第一行数第10个数少1，即可得答案．
【详解】解：由题意得：第一行数第10个数是−100，第二行数第10个数是比第一行数第10个数少1，
所以第二行数第10个数是−101，
故选：C．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是根据数列得出规律，第一行的第n个数是n2，偶数为
负，奇数为正，第二行数比第一行数对应的数少1．
【题型05 定义两个数的运算】
【典例5】定义新运算“⨂”，规定：x⨂y=xy−y．如：2⨂3=2×3−3=3，则(−3)⨂(−2)的值是
（ ）A．8 B．−3 C．4 D．−4
【答案】A
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是明确有理数的混合运算的计算方法．
根据题目中的新定义运算公式可以求出所求式子的值．
【详解】解：∵x⨂y=xy−y，
∴(−3)⨂(−2)
=(−3)×(−2)−(−2)
=6+2
=8．
故选A．
【变式5-1】定义新运算：a⊕b=ab+b，例如：3⊕2=3×2+2=8，则(−3)⊕4=（ ）
A．−8 B．−10 C．−16 D．−24
【答案】A
【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义的运算法则，列出算式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：(−3)⊕4=(−3)×4+4=−12+4=−8；
故选A．
1 1 1 1 5
【变式5-2】定义一种新运算*，其规则为a∗b= + ，如：2∗3= + = ，那么4∗(−3)的值是
a b 2 3 6
．
1
【答案】−
12
【分析】本题主要考查了有理数的加法运算、新定义运算等知识点，将新定义运用转化成有理数加法成为
解题的关键．
用新运算法则将原式化成有理数加法，然后进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：
1 1 1 ( 1) 1 ．
4∗(−3)= + = + − =−
4 −3 4 3 12
1
故答案为：− ．
12
【变式5-3】定义一种新运算，对于任意有理数a和b，规定aΔb=−a+b，如：
2Δ(−1)=−2+(−1)=−3，则−3Δ4的值为 ．【答案】7
【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确理解新运算法则，根据新运算法则求解即可．
【详解】解：∵ aΔb=−a+b，
∴ −3Δ4=−(−3)+4=7，
故答案为：7．
【题型06 定义多个数的运算】
【典例6】若定义新运算：a∗b=−2a×3b，请利用此定义计算(1∗2)∗(−3)的值为（ ）
A．116 B．−116 C．216 D．−216
【答案】D
【详解】本题主要考查了有理数的混合运算，利用新运算的规定列式运算即可．理解新定义的规定并熟练
运用是解题的关键．
解：(1∗2)∗(−3)
=(−2×1×3×2)∗(−3)
=(−12)∗(−3)
=−2×(−12)×3×(−3)
=−216．
故选：D．
【变式6-1】定义新运算“*”为：
a∗b=
{a−b(a≥b))，则当
x=3
时，计算
2∗x﹣4∗x
的结果为
3b(a
