技巧01选择题解法与技巧（练）解析版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习考点精讲练（新教材·新高考）

第二篇 解题技巧篇 技巧01 选择题解法与技巧（练） 1．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）函数 的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出函数为偶函数，排除C，有特殊点的函数值排除BD，选出正确答案. 【详解】 定义域为R，且 ， 所以 为偶函数，排除C； 令 ，得 ，排除B； 因为 ，排除D，A符合要求，. 故选：A. 2．（2022·云南昆明·高三昆明一中校考开学考试）2021年5月15日7时18分，我国首个自主研发的火星探测 器“天问一号”，在经历了296天的太空之旅，总距离约 亿公里的飞行后，天问一号火星探测器所携带的 祝融号火星车及其着陆组合体，成功降落在火星北半球的乌托邦平原南部，实现了中国航天史无前例的突破. 已知地球自转的线速度约为火星自转线速度的两倍，地球自转一周为24小时，而火星自转一周约为25小时.地 球与火星均视为球体，则火星的表面积约为地球表面积的（ ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】令地球、火星半径分别为 ，结合题设有 ，应用球体表面积公式即可得火星的表面积相对 地球表面积的数量关系. 【详解】令地球、火星半径分别为 ，则 ，故 ， 所以火星的表面积约为地球表面积 . 故选：A 3．（2023·江苏南通·统考一模）已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数， ，若 ，则 （ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设 ，满足题意，即可求解. 【详解】因为 为偶函数，所以 ， 则 关于 对称， 设 ， ，关于 对称， . ，即 满足条件， . 故选:A. 4．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数 讨论单调性和最值可比较得 ，再构造函数 可比较得 . 【详解】设 ， 令 解得 ，令 解得 ， 所以 在 单调递减， 单调递增， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等， 所以 ，所以 ，即 . 设 ， 所以 ， 即当 时， ， 所以 ， 综上所述， ， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用导数与最值之间的关系证明不等式 和当 时， ，根据不等式赋值即可比较大小.5．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）若椭圆 的左焦点 关于 对称的点 在 椭圆 上，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ，由题意求出 ，代入椭圆 的方程得， ，化简即可得出答案. 【详解】设 ，设 ，则由题意可得： ， 解得： ，则 ，代入椭圆 的方程得， . 又 ，可得 ，所以 ， 所以离心率为 . 故选：C. 6．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）康托尔三分集是一种重要的自相似分形集.具体操作如下：将闭区间 均分为三段，去掉中间的区间段 ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 分别均分为 三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作， ，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不 断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称 为康托尔三分集，记为 .若使留下的各区间长度之和不超过 ，则至少需要操作（ ）次（参考数据： ） A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C 【分析】根据条件得到规律：第 次操作去掉的线段长度之和为 ，然后利用等比数列的求和公式可 得留下的各区间长度之和，然后解不等式可得答案. 【详解】第一次操作去掉的线段长度为 ， 第二次操作去掉的线段长度之和为 ， 第三次操作去掉的线段长度之和为 ， …… 第 次操作去掉的线段长度之和为 ， 所以留下的各区间长度之和为 ， 所以 ， 即 ； 故选：C. 7．（2023秋·河北保定·高三统考期末）已知三棱锥 的所有棱长均为2，以BD为直径的球面与 的交线为L，则交线L的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别取 的中点 ，由题意分析知，以BD为直径的球面与 的交线为 外接圆周 长的 ，求出 的外接圆半径，求解即可.【详解】取BD的中点为 ，所以 为球心，过 作 平面 于点 ， 即 为 的中心，延长 交所以 交 于点 ，则 为 的中点， 所以 ， ， 取 的中点 ，连接 ， ，则 平面 ， 因为 平面 ，即 ，且 ， ， 所以 为以BD为直径的球面上一点， 分别取 的中点 ，连接 ， 且 ，所以 也为以BD为直径的球面上一点， 则 为等边三角形， 的外接圆即为四边形 的外接圆， 为外接圆的半径，所以 ， 所以以BD为直径的球面与 的交线L长为 外接圆周长的 ， 所以 . 故选：A. 8.（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙：是递增数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说明 成立， 则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】 由题，当数列为 时，满足 ， 但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则 成立， 所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 9．（2021·全国·统考高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（ ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即可 得到答案． 【详解】由题， ，则 ，所以 （当且仅当 时，等号成立）． 故选：C． 10．（2022·全国·统考高考真题）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由 的取值范围得到 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得 ，因为 ，所以 ， 要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示： 则 ，解得 ，即 ． 故选：C． 11．（2023·全国·模拟预测）赵州桥是世界上现存年代最久远，跨度最大，保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥． 赵州桥的设计应用到平摆线：当一个圆沿着一条直线作无滑动的滚动时，圆周上的定点 的轨迹为平摆线．赵 州桥的拱可以近似看作平摆线，设拱与水面交于 ， 两点（ 在 的左侧）， ，若拱左半部分 的一点 到水面的距离为 ，则线段 长度的近似值为（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题中的图形特征和数据特征，计算长度的近似值. 【详解】设圆的半径为 ，由题意可知， 与圆的周长相等，则有 ， ， 到水面的距离为 ，可看作圆近似滚动 个圆周，如图所示， ， ， 为垂足，则 ， ， ， 故选：B 12．（2023秋·浙江杭州·高三期末）已知非零向量 的夹角的余弦值为 ，且 ，则 （ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A【分析】结合向量数量积运算及向量垂直的表示，可得关于 的齐次方程，即可进一步求得 的值. 【详解】 由 得 . ∴ ，令 ，∴ ，解得 或 （舍去）. 故选：A. 13．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检 验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全 部进行单管检验．记10合一混管检验次数为 ，当 时，10名人员均为阴性的概率为（ ） A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.2 【答案】C 【分析】依据题意写出随机变量 的的分布列，利用期望的公式即可求解. 【详解】设10人全部为阴性的概率为 ，混有阳性的概率为 ， 若全部为阴性，需要检测1次，若混有阳性，需要检测11次， 则随机变量 的分布列 ，解得 ， 故选：C. 14．（2022·浙江·统考高考真题）已知 ，若对任意 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】将问题转换为 ，再结合画图求解． 【详解】由题意有：对任意的 ，有 恒成立． 设 ， ， 即 的图像恒在 的上方（可重合），如下图所示： 由图可知， ， ，或 ， ， 故选：D． 15．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）在 中， ， ，直线DE与直线BC交于点 F．设 ， ，则 ＝（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可得 ，再由 三点共线，利用共线定理求解即可. 【详解】如下图所示：由题可知， ， 由共线定理可知，存在实数 满足 ， 又因为 ，所以 ， 因此 ， 又 与 共线， 所以 ，解得 ， 则 . 故选：C. 16．（2023·陕西榆林·统考一模）已知 ，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】构造函数 ，根据导数得出其单调性，则结合已知得出 ， 即 ，即可得出 . 【详解】构造函数 ， 则 ， 故 在 上单调递增. 因为 ， 所以 ， 故 . 故选：D. 1 0a  17.（2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)）已知数列 {a } 满足： 1 2， n a a ln2a  n1 n n ．则下列说法正确的是（ ） 1 1 0a  a 1 A． 2019 2 B．2 2019 3 3 1a  a 2 C． 2019 2 D．2 2019 【答案】B 【解析】 f(x) xln(2x)(0 x2) 考察函数 ， 1 1x f '(x)1  0 0,1 由 2x 2x 可得 f(x)在 单调递增， f '(x)0 f(x) 1,2 由 可得 在 单调递减f(x) f 11 a 1 {a } 且 ，可得 n ，数列 n 为单调递增数列， 如图所示： 1 1 f(0)ln2ln 4 ln e  a  f(a ) f(0) 且 2， 2 1 2， 1 0a  a a  a  1 图象可得 1 2 2 3  n  ， 1 a 1 所以2 2019 ，故选B. 18．（2022秋·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考开学考试）设非零向量 ， 的夹角为 ，定义运算 .下列叙述错误的是（ ） A．若 ，则 B． （ 为任意非零向量） C．设在 中， ， ，则 D．若 ，则 【答案】B 【分析】根据新定义逐一判断A、C、D选项，举反例说明B选项即可. 【详解】对于A，因为 ，所以 ，所以 或 ，所以 ，故A正确； 对于B，设 分别是 与 ， 与 ， 与 的夹角， 则 ， ， 不妨取 ，此时 ， ， 此时 不成立，故B错误； 对于C，在 中， ， ，则 ，所以 ，故C正 确； 对于D，因为 ，所以当 时， ，当且仅当 时取等 号， 所以 ，故D正确； 故选：B. 19．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）已知EF是圆 的一条弦，且 ， P是EF的中点，当弦EF在圆C上运动时，直线 上存在两点A，B，使得 恒成立，则线 段AB长度的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件先确定出点 的轨迹方程，然后将问题转化为“以 为直径的圆要包括圆 ”，由此利用圆心 到直线 的距离结合点 的轨迹所表示圆的半径可求解出 的最 小值.【详解】由题可知： ，圆心 ，半径 ， 又 ， 是 的中点，所以 ， 所以点 的轨迹方程 ，圆心为点 ，半径为 ， 若直线 上存在两点 ，使得 恒成立， 则以 为直径的圆要包括圆 ， 点 到直线 的距离为 ， 所以 长度的最小值为 ， 故选：B． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于点 轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度 可求点 轨迹方程，其次“ 恒成立”转化为“以 为直径的圆包括 的轨迹”，结合圆心到直线 的距离加上半径可分析 的最小值. 20．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，下列说法中错误的是（ ） A．函数 的图象关于点 对称B．函数 的图象关于直线 对称 C．函数 在 上单调递增 D．函数 的图象向右平移 个单位可得函数 的图象 【答案】D 【分析】计算 ， ， 得到 ，再根据三角函数的对称性和单调性，平移法 则依次判断每个选项得到答案. 【详解】 ， ，即 ， ，故 ， 函数周期T，有 ，即 ，解得 ，而 ， 则 ，即 ，因此 ， 故 . 对于A选项，令 ， ，解得 ， ，对称中心为 ， ，当 时， 对称中心为 ，故A正确； 对于B选项，根据 ， ，解得 ， ，当 时， ，故B正确； 对于C选项，由 ，得 的单调递增区间为 ， ，又， ，故C正确； 对于D选项，函数 图象上所有的点向右平移 个单位，得到函数 ，故D错误. 故选：D. 21．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）下图是函数 的部分图象，则它的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，判断 的奇偶性即可排除；对于B，由 在 处无意义排除即可；对于CD，先判断 的奇偶性，再利用导数求得 的零点，分析 的图像特征，特别地，选项D还可以求特殊值 ， 从而结合图像即可得解. 【详解】观察题意，易知函数 是奇函数，其定义域为 ， 对于A，易得 的定义域为 ，关于原点对称， 又 ， 所以 在 上是偶函数，故A错误； 对于B，当 时， ，则 在 处无意义，故B错误； 对于D，易得 的定义域为 ，关于原点对称，又 ， 所以 在 上是奇函数， 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增，又 ，故 在 上有唯一零点 ， 令 ，即 ，即 或 ， 对于 ，得 ；对于 ，得 ； 所以 在 右侧的第一个零点为 ，第二个零点为 ， 取 ，则 ，远远小于 ， 而图像中 在 上的最小值大于 ，矛盾， 此外，由于 在 上单调递增，且可以取得无穷大， 所以 的图像呈波浪形状，且幅度向两端逐渐增大，起伏非常大，故D错误； 对于C，易得 的定义域为 ，关于原点对称， 因为 又 ， 所以 在 上是奇函数， 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增，又 ，故 在 上有唯一零点 ， 令 ，即 ，即 或 ，对于 ，得 ；对于 ，得 ； 所以 在 右侧的第一个零点为 ，第二个零点为 ， 因为 ，则 ，故 ， 又 ，所以 ，即 ， 显然 在 和 上满足 ，满足图像， 此外 在 上单调递增， ， 所以 的图像呈波浪形状，且幅度向两端逐渐增大，但起伏不大， 综上，该选项的解析式基本满足题意，又排除了ABD，故C正确. 故选：C. 22．（2021秋·北京海淀·高二校考期末）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 被称为“四 叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论： ①曲线 关于直线 对称； ②曲线 上任意一点到原点的距离都不超过1； ③存在一个以原点为中心､边长为 的正方形，使曲线 在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A 【分析】对于①，用 替换方程中的 ，方程形式不变，即可求解，对于②，设点 是曲线上任 意一点，则 ，则点 到原点的距离为 ，再结合基本不等式的公式，即可求解，对于 ③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1，所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方 形的内切圆，即可求得正方形的边长最短为2，即可求解. 【详解】解：对于①，用 替换方程中的 ，方程形式不变， 所以曲线 关于直线 对称，故①正确， 对于②，设点 是曲线上任意一点，则 ， 则点 到原点的距离为 ， 由 ，解得 ，当且仅当 时取等号，故②正确， 对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1， 所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，故③错误. 故选：A 23．（2023春·河南濮阳·高三统考开学考试）以抛物线 的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分 别交于A，B两点，过B且平行于x轴的直线交C于点P，过A且平行于x轴的直线交l于点Q，且 ， 则△PBF的周长为（ ） A．16 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】因 ，则 ，准线为 .由 ，可得 坐标，直线AF方程，进而可得B，P坐 标，后由两点间距离公式及抛物线定义可得答案. 【详解】因 ，则 ，准线为 .由 ，如图，设 ，则 ，得 ，则 . 得直线AF方程： ， 代入 ，得 ， 将 代入 ，可得 . 则周长 ， 则 .故 . 故选：B 24．（2023春·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知双曲线 的下、上焦 点分别为 ，点 在 的下支上，过点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 .若 恒成立， 则 的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点 作渐近线的垂线，垂足为 ，则 ，再根据双曲线的定义得，进而转化为 恒成立，再根据齐次式求解即可. 【详解】解：如图，过点 作渐近线的垂线，垂足为 ’设 ，则点 到渐近线 的距离 . 由双曲线的定义可得 ，故 ， 所以 ，即 的最小值为 ，， 因为 恒成立， 所以 恒成立，即 恒成立， 所以， ，即 ，即 ， 所以， ，即 ，解得 . 故选：A. 25．（2023春·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义： 椭圆 中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为 “好弦”． 则椭圆 中所有 “好弦” 的长度之和为（ ） A．162 B．166 C．312 D．364 【答案】B 【分析】根据题意分类讨论结合韦达定理求弦长的取值范围，进而判断“好弦” 的长度的取值可能，注意椭 圆对称性的应用. 【详解】由已知可得 ， 所以 ， 即椭圆 的右焦点坐标为 ，对于过右焦点的弦 ，则有： 当弦 与 轴重合时，则弦长 ， 当弦 不与 轴重合时，设 ， 联立方程 ，消去x得： ， 则 ， 故 ， ∵ ，则 ，可得 ，即 ， ∴ ， 综上所述： ，故弦长为整数有 ， 由椭圆的对称性可得：“好弦” 的长度和为 ． 故选 ：B． 26．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，利用导数研究函数单调性，求出最值解决恒成立问题. 【详解】函数 ， ①当 ，即 时，满足 ； ②当 ，即 时，若 ，则有 ， 令 ，则有 ， 若 ，易知 在 上单调递增，不一定都满足 ，∴ ，即 ， ，由 ，解得 ，由 ，解得 ，所以， 在 上单调递增，在 上单调递减，由 ，则有 ，解得 ， 所以 时，满足 ； ③当 ，即 时，若 ，则有 ，即 ， 易知 ，当且仅当 时取等号，当 时， 所以 ， 即 ，所以不满足 恒成立； 综上，若 ， 的取值范围是 . 故选：A27．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）若函数f（x）的定义域为R，且f（2x＋1）为偶函数，f （x－1）的图象关于点（3，3）成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ） ① 的一个周期为2 ② ③ ④直线 是 图象的一条对称轴 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意，根据函数的奇偶性，可得 ， ，且 ，根据函 数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根 据函数的对称性，可得 ， ，可判③的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判 ④的正误. 【详解】因为 偶函数，所以 ，则 ，即函数 关于直线 成轴对称， 因为函数 的图象是由函数 的图象向左平移 个单位，所以函数 关于点 成中心对称，则 ，且 ， 对于①， ， ，则函数 的周期 ，故①错误； 对于②， ，故②正确； 对于③， ，则 ， ，则 ， 由 ，则，故③正确； 对于④， ，而函数 不是偶函数，所以 不恒成立，故④ 错误. 故选：B. 28．（2023春·河南濮阳·高三统考开学考试）分别过椭圆 的左、右焦点 、 作平行 直线 、 ，直线 、 在 轴上方分别与 交于 、 两点，若 与 之间的距离为 ，且 （ 表示面积， 为坐标原点），则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点 作 于点 ，从而得到 ，设 ，则 ，在 、 中利用余弦定理求出 、 ，由 可得 ，即可得解. 【详解】解：由题意知直线 、 的斜率一定存在， 设 、 ，过点 作 于点 ， 由题意知 ， ，所以 ，设 ，则 ， 在 中，由余弦定理得 ， 即 ，解得 ， 同理在 中利用余弦定理可得 ， 因为 ，所以 ， 即 ，即 ，所以 . 故选：A 29．（2023·湖南·模拟预测）已知三棱锥 ， 为 中点， ，侧面 底面 ，则过点 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接 ， ， ，设三棱锥 外接球的球心为 ，设过点 的平面为 ，则当 时， 此时所得截面的面积最小，当点 在以 为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即 可得解. 【详解】连接 ， ，由 ， 可知： 和 是等边三角形， 设三棱锥 外接球的球心为 ， 所以球心 到平面 和平面 的射影是 和 的中心 ， ， 是等边三角形， 为 中点， 所以 ，又因为侧面 底面 ，侧面 底面 ，所以 底面 ，而 底面 ，因此 ，所以 是矩形, 和 是边长为 的等边三角形， 所以两个三角形的高 ， 在矩形 中， ，连接 ， 所以 ， 设过点 的平面为 ，当 时， 此时所得截面的面积最小，该截面为圆形， ， 因此圆 的半径为： ，所以此时面积为 ， 当点 在以 为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为： ， 所以截面的面积范围为 . 故选：A．