文档内容
专题 04 有理数的加法（2 个知识点 6 种题型 2 个易
错点 2 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.有理数的加法法则（重点）
知识点2.有理数加法的运算律（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.利用数轴信息进行有理数的加法运算
题型2.有理数与相反数、绝对值的综合考查
题型3.有理数的加法在实际生活中的应用
题型4.幻方计算题
题型5.有理数加法运算的规律探究
题型6.新定义运算
【方法三】差异对比法
易错点1.异号两数相加易出现符号错误
易错点2.拆分带分数时出现符号错误
【方法四】 仿真实战法
考法1.有理数的加法
考法2.有理数加法的运算律
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 掌握有理数加法的运算法则，能熟练进行有理数的加法运算，体会分类和归纳的思想方法。
2. 理解并灵活运用有理数的加法运算律简化运算。3. 在利用有理数的加法解决实际问题的过程中，提高分析问题和解决问题的能力。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.有理数的加法法则（重点）
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数
的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有 0．从而确定用那一条
法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
【例1】计算：
(1)(－0.9)＋(－0.87)； (2)(＋4)＋(－3)；
(3)(－5.25)＋5； (4)(－89)＋0.
【变式】计算：
1 2
2 3
(1)(+20)+(+12)； (2) ； (3)(+2)+(-11)；
(4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0．
知识点2.有理数加法的运算律（难点）
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．【例2】计算：
(1)31＋(－28)＋28＋69； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)；
(3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)．
【变式】）阅读下面文字：
对于( )＋( )＋17 ＋( )，
可以按如下方法计算：
原式＝[(-5)+( )]＋[(－9)＋( )]＋( )＋[(-3)+( )]
＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[( )＋( )＋ ＋( )]
＝0＋( )
＝－1 .
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：(－2018 )＋(－2017 )＋(－1 )＋4036.
【方法二】实例探索法
题型1.利用数轴信息进行有理数的加法运算1．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则 ___0．（填“＞”、“＜”或“＝”）
2．（2021秋•姜堰区月考）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的
整数的和是 ﹣ 4 ．
3．（2022秋·广东肇庆·七年级校考期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，完成以下问题：
(1)将点B向右移动六个单位长度到点D，在数轴上表示出点D．
(2)在数轴上找到点E，使点E到A、C两点的距离相等，并在数轴上标出点E表示的数．
题型2.有理数与相反数、绝对值的综合考查
4．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）已知a是最大的负整数的相反数， ，且．式子 的值为__________．
题型3.有理数的加法在实际生活中的应用
5.股民默克上星期五以收盘价67元买进某公司股票1000股，下表为本周内每日该股票的涨跌情况：
星 期 一 二 三 四 五
每股涨跌/元 4 4.5 －1 －2.5 －6
(1)星期三收盘时，每股多少元？
(2)本周内每股最高价多少元？最低价多少元？
6.2022年11月20日18：00（北京时间），卡塔尔世界杯开幕式在豪尔市的海湾球场举行．小明为 方便
各国球迷准时观看比赛，列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时
数）．
纽
城市 东京 豪尔市
约
时差/时
假设现在北京时间是2020年11月22日上午9：00．
(1)现在纽约的时间是几点？东京时间是几点？
(2)如果小明在北京坐11月19日上午10：00的航班飞行约9小时到达豪尔市，那么达到豪尔市的时间是几
点？
7.某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为
正方向，当天的行驶记录如下．(单位：km)
＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.
(1)B地在A地何方，相距多少千米？
(2)若汽车行驶1km耗油aL，求该天耗油多少L?8.小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段
路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm）
(1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？
(2)小虫离开O点最远时是多少？
(3)在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？
9.某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走路线（单
位：千米）为：+10，－3，+4，+2，－8，+13，－2，+12，+8，+5.
（1）问收工时距A地多远？
（2）若每千米路程耗油0.2升，问从A地出发到收工时共耗油多少升？
10.（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救
灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
14， ，+8， ，13， ，+10， ，
(1)B地在A地的哪边？距A地多少千米？
(2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？
(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱原油量为29升，求途中还需补充多少升油？题型4.幻方计算题
11．（2022秋·江西抚州·七年级统考期中）在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m这9个数中，m代表
一个数，你认为m是多少时，能够使这9个数分别填入图中的9个空格内，使每行的3个数、每列3个数、
斜对角3个数个数相加均为零．
(1)我认为m＝_______．
(2)按要求将这9个数填入如图的空格内．
12．（2022秋·辽宁抚顺·七年级校考阶段练习）如图是3×3的三阶幻方，将2、4、6、8、10、12、14、
16、18这九个数分别填入下列两个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．
(1)方格正中间位置的数是_______．
(2)将两个幻方补充完整．13．（2022秋·山西临汾·七年级统考期中）阅读下面材料，并完成相应任务．幻方
相传大禹治水时，洛水中出现了一只神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，
就是三阶幻方．其每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，这个和叫做幻和，正中间的那个数叫做
中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻
方，其幻和为15，中心数为5．
(1)请在图2的空格中填上合适的数，使其构成一个三阶幻方；
(2)请将 ，3，5，7，9这八个数分别填入图3的空格中，使其构成一个三阶幻方．
14．（2023秋·全国·七年级专题练习）在如图所示的星形图案中，十个“圆圈”中的数字分别是1，2，
3，4，5，6，8，9，10，12，并且每条“直线”上的四个数字之和都相等．请将图中的数字补全．15．（2022秋·江苏镇江·七年级校联考阶段练习）（1）如图1，请你在圆圈内填上恰当的不同有理数，使
每条线上的3个数和为0．
（2）如果将中心处的0改为 ，使每条线上的 个数之和为 呢？请在图2中试一试．
16．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上
有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服．后人称之为“洛书”（如
图1所示），即现在的三阶幻方．(1)请将1～9这九个数按照“洛书”表达的意思填在三行三列的数表中（图2），使每行、每列、每条对角
线上的三个数之和都相等．
(2)将 ， ，0，1，2，3，4，5，6填入到图3的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等．
(3)图4是一个不完整的幻方，请将你认为正确的7个整数填入表格中，使得每行、每列、斜对角的三个数
之和相等．
(4)请将1-16剩余数字填入到图5的表格中，使得每行、每列、斜对角的四个数之和相等，构成四阶幻方．
题型5.有理数加法运算的规律探究
17.探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．
下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式； ； ；
； ．
(1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，
归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ．
(2)计算： ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
(3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可）
18．（2022秋·山西临汾·七年级统考阶段练习）有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个
较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和都相等．图1是这种特殊三角形幻方，阴影部
分的三角形三个顶点处的数之和为 ，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15．
(1)根据图1，计算图中9个数的和，并写出这个和与每个三角形三个顶点处数的和之间的关系；
(2)图2也是这种特殊的三角形幻方，请在各个圈内填入恰当的数字．
19．（2022秋·江苏无锡·七年级校联考阶段练习）阅读下列材料： ，即当 时，
．用这个结论可以解决下面问题：
(1)已知a，b是有理数，当 时，求 的值；
(2)已知a，b，c是有理数，当 时，求 的值；(3)已知a，b，c是有理数， ， ，求 的值．
20．（2023秋·七年级单元测试）认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距
离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|
5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．
（1）一般地，点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和
如何表示？（用含绝对值的式子表示）．
（2）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，求出这些点表示的数的和．
（3）在数轴上找到一点a，使|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，求出a的值及该式的最小值．
题型6.新定义运算
21.设 表示不超过 的最大整数，计算： ______．
22．（2022秋·江苏苏州·七年级阶段练习）有一种能得到数a符号的运算 ，当 时， ；
当 时， ；当 时， ．例如， ．
(1)计算： ______________；(2)如图，数轴上点A，B表示的数分别为 ，3，点P在数轴上移动，点P表示的数为x，求
的值．
【方法三】差异对比法
易错点1.异号两数相加易出现符号错误
23．（2022秋•宁津县校级月考）计算：
（1）15+（﹣22）；
（2）（﹣0.9）+1.5；
（3） ．
易错点2.拆分带分数时出现符号错误
24．（2022秋•灌云县月考）阅读下题的计算方法：
计算：﹣5 +（﹣9 ）+17 +（﹣3 ）．
解：原式＝[（﹣5）+（﹣ ）]+[（﹣9）+（﹣ ）]+（17+ ）+[（﹣3）+（﹣ ）]
＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣ ）+（﹣ ）+ +（﹣ ）]＝0+（﹣ ）
＝﹣ ．
上面这种解算方法叫做折项法，请按此方法计算：（﹣55 ）+（﹣44 ）+100 +（﹣1 ）．
【方法四】 仿真实战法
考法1.有理数的加法
25．（2020•天津）计算30+（﹣20）的结果等于（ ）
A．10 B．﹣10 C．50 D．﹣50
26．（2022•镇江）计算：3+（﹣2）＝ ．
考法2.有理数加法的运算律
27．（2018•铜仁市）计算 + + + + +……+ 的值为（ ）
A． B． C． D．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2022秋·江西九江·七年级统考期中）下列四种说法：①所有的有理数都能用数轴上的点表示；②符号
不同的两个数互为相反数；③两数相加，和一定大于任何一个加数；④有理数分为正数和负数，其中正确
的有（ ）个．
A． B． C． D．
2．（2022秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）计算 时运算律用得恰当的是
（ ）A． B．
C． D．
3．（2022秋·湖南衡阳·七年级阶段练习）数a，b在数轴上的位置如图所示，则 是（ ）
A．正数 B．零 C．负数 D．都有可能
4．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）梦想从学习开始，事业从实践起步，近来，每天登录“学习强
国” ，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．小刚的爸爸上周“学习强国”周积分
与学习天数的有关数据如下表：
学习天数/天 1 2 3 4 5 6 7
周积分/分 55 110 160 200 254 300 350
则上周小刚的爸爸的周积分增长最少的是（ ）
A．第3天 B．第6天 C．第7天 D．第4天
5．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）计算： 的结果是( )
A．1010 B．1011 C．-1010 D．-1011
6．（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期中）绝对值小于4的所有的整数的和是（ ）
A．10 B．0 C．6 D．
7．（2022秋·甘肃定西·七年级校考阶段练习）绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（
）
A．6 B．7 C．8 D．5
8．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）若两个非零的有理数a，b，满足 ，则数
a、b在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．9．（2023秋·辽宁锦州·七年级统考期末）我国是最早进行负数运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著
作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹《小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色
为负），如图 表示的是 的计算过程，则图 表示的计算过程是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）在一条东西向的笔直马路上，小亮从点 出发，沿箭头所指方
向行走，两次行走的效果3用算式表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023秋·浙江·七年级专题练习）计算 ．
12．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，将数轴上 与8两点间的线段六等分，五个等分点所对应的
数依次为 ， ， ， ， ，则 0（填“>”、“=”或“<”）．
13．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则
0．（填“>”“=”或“<”）14．（2022秋·湖北十堰·七年级十堰市实验中学校考阶段练习）绝对值大于2且小于7的所有负整数的和
是 ．
15．（2022秋·四川遂宁·七年级射洪中学校考阶段练习）如图，两个椭圆分别表示正数集合和整数集合，
给出下列8个有理数： ， ， ， ，0，5， ， ，则A圈内应填的数字的和为 ．
16．（2023春·宁夏中卫·七年级统考开学考试）中宁县 年3月 日，早晨气温 ，下午两点上升了
，那么下午两点的气温是 ．
17．（2022秋·吉林长春·七年级校考阶段练习）若有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则
0．（填“＞”、“＜”或“＝”）
18．（2022秋·甘肃定西·七年级校联考阶段练习）定义一种新运算： ，如： ，则
．
19．（2023秋·江苏·七年级专题练习）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹
盖住部分的整数的和是 ．
20．（2023秋·全国·七年级专题练习）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种
特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数
之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为 ，该图
中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．（1）若 ，则A处的数值为 ；
（2）①用含m的代数式表示 ；
②x的值为
三、解答题
21．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）计算：
22．（2022秋·全国·七年级期末）
23．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算：24．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
25．（2023秋·福建泉州·七年级校联考阶段练习）下面是某同学计算 的过程，请你在
最后一步填上计算结果，并在运算步骤后的空的括号内填写运算依据．
解：原式 （有理数减法的运算法则）
（ ）
（ ）
（ ）
（异号两数相加运算法则）．26．（2023秋·江苏·七年级专题练习）将11，12，13，14，15，16，17，18，19这9个数分别填入如图的
9个空格中，使得每行、每列和每条对角线的三个数的和相等．
27．（2022秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期中）某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定往东为正，往西
为负．某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为： ， ， ， ， ， ， ， ，
， ．
(1)问收工时距A地多远？在哪个方向？
(2)若每千米路程耗油m升，问从A地出发到收工共耗油多少升？
28．（2022秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知点A， 在数轴上分别表示有理数 ， ，A， 两点
之间的距离表示为 ．
（1）当A， 两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1， ；（2）当A， 两点都不在原点时，
①如图2，点A， 都在原点的右边， ；
②如图3，点A， 都在原点的左边， ；
③如图4，点A， 在原点的两边， ．
综上，数轴上A， 两点的距离 ．
利用上述结论，回答以下三个问题：
(1)用绝对值表示 和 的两点之间的距离是________，若该距离为4，则 ________；
(2) 的最小值是________，当取最小值时满足的整数 共有________个，其总和为________；
(3)若未知数 ， 满足 ，则代数式 的最大值是________，最小值是
________．
