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第二章 有理数的运算易错训练
01 易错总结
目录
易错题型一 有理数加减法中的拆项法计算............................................................................................................1
易错题型二 有理数乘除法中的倒数法计算............................................................................................................4
易错题型三 有理数中乘除混合运算易错................................................................................................................7
易错题型四 含乘方的有理数混合运算....................................................................................................................9
易错题型五 有理数的混合运算中的新定义型问题..............................................................................................11
易错题型六 有理数运算中的错题复原问题..........................................................................................................14
02 易错题型
易错题型一 有理数加减法中的拆项法计算
例题：（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字：
对于 可以如下计算：
原式
______
______
______．
上面这种方法叫拆项法．
(1)请补全以上计算过程；
(2)类比上面的方法计算： ．
【答案】(1)(2) ，过程见详解。
【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则．
（1）根据有理数的加法法则计算；
（2）参照（1）的解题思路解题即可．
【详解】（1）解： 可以如下计算：
原式 ，
故答案为：
（2）解：
巩固训练1.（24-25七年级上·全国·假期作业）折项法计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加法运算，首先将带分数拆分，再按照有理数加法交换律和结合律进行简便
计算即可．
【详解】解：原式
．
2.（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练
掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
3.（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算 的方法，再用这种方法计算个小题．
【解析】
原式
，
上面这种解题方法叫做拆项法．
(1)计算： ；
(2)计算 ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计
算即可得；
（ ）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得；
本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
；（2）解：
，
．
易错题型二 有理数乘除法中的倒数法计算
例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题．
计算： ．
解：方法一：原式 ．
方法二：原式的倒数为：
故原式 ．
用适当的方法计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
求出原式的倒数，即可确定出原式的值．
【详解】解：∵
，
∴原式 ．
巩固训练1．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读材料：
计算： ．
分析：利用通分计算 的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算．
解：原式的倒数
．
故原式 ．
请你根据对材料的理解，选择合适的方法计算： ．
【答案】 ．
【分析】仿照阅读材料中的方法求出原式的值即可．
【详解】解：原式的倒数是：
，
故原式 ．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（23-24六年级上·山东威海·期中）【阅读材料】
计算： ．分析：利用倒数的意义，可以先求原式的倒数，再得出计算的结果．
解：由于 ，
所以 ．
【问题解决】
根据上述方法，计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律，准确计算．
【详解】解：∵
，
∴ ．
3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下列材料：计算 ．
解法一：原式 ．
解法二：原式 ．
解法三：原式的倒数为．
故原式 ．
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的．
(2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：
【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误；
(2)过程见解析， ．
【分析】本题考查了有理数的除法乘法分配律；
（1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案；
（2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，
即可得出答案．
【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误；
（2）解法一：原式的倒数为：
，
；
所以原式 ；
解法二：原式
．易错题型三 有理数中乘除混合运算易错
例题：（2024·辽宁鞍山·一模）计算： ．
【答案】
【分析】
本题考查有理数的乘除混合运算，除法变乘法，进行计算即可．
【详解】解：原式 ；
故答案为： ．
巩固训练
1.（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将除法转化为乘法，根据多个有理数的乘法法则计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
2.（23-24六年级下·上海·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把带分数化为假分数，再把除法化为乘法，然后计算，即
可作答．
【详解】解：．
3.（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：
易错题型四 含乘方的有理数混合运算
例题：（23-24七年级上·广东湛江·期中）计算： ．
【答案】6
【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘除，再加减即可，熟知计算法则是解题的关键。
【详解】解：原式 ，
．
巩固训练
1.（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算： ；
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，正确计算即可，熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，
再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”
是解题的关键．【详解】解：
．
2.（23-24六年级下·全国·假期作业）计算：
(1) ． (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据有理数的混合运算顺序，首先计算乘方，然后计算乘法和除法，最后从左向右依次计算即可；
（2）根据有理数的混合运算顺序，首先计算乘方，然后计算乘法和除法，最后从左向右依次计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3.（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题：
(1) (2)(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解
题的关键．
（1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可；
（2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题；
（3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题；
（4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解： ．
易错题型五 有理数的混合运算中的新定义型问题
例题：（23-24七年级上·陕西西安·期中）用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有 ．
例如： ．
(1)求 的值；(2)若继续用“*”定义另一种新运算 ，例如： ．求 ．
【答案】(1)24
(2)20
【分析】本题主要考查了有理数混合运算；
（1）根据题干信息列出算式进行计算即可；
（2）根据题干信息列出算式进行计算即可．
解题的关键是理解题意，熟练掌握有理数混合运算法则．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
巩固训练
1.（23-24七年级上·湖北随州·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定
，如：
(1)计算： 的值；
(2)计算： 的值．
【答案】(1)56
(2)81【分析】此题考查了新定义，有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算顺序和运
算法则．
（1）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可；
（2）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
；
（2）解：根据题意可得：
．
2.（22-23七年级上·江苏镇江·期中）我们定义一种新运算： ，例如： ．
(1)求 ；
(2)求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了新定义运算，含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据已知新运算法则计算，即可得到答案；
（2）根据已知新运算法则计算，即可得到答案．
【详解】（1）解： ；
（2）解：．
3.（23-24七年级上·福建龙岩·期中）若定义一种新的运算“*”，规定： ，如 ．
(1)求 的值；
(2)通过计算说明 与 的值是否相等?
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算、新运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键．
（1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行求解即可；
（2）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行求解，即可解答．
【详解】（1）
；
（2），
∵ ，
∴ ．
易错题型六 有理数运算中的错题复原问题
例题：（2023秋·山东东营·六年级统考期末）课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检
查了多遍也没有找出错误的原因，你能帮他纠错吗？
原题是：计算：
这是小刚的计算过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
． 第四步
观察小刚的计算过程回答下列问题：
(1)小刚在进行计算第一步时运用了______律；
(2)他在计算中出现了错误，你认为他在第______步出错了？
(3)请你给出正确的解答过程．
【答案】(1)乘法分配
(2)二
(3)见解析
【分析】（1）观察运算过程可知第一步运用了乘法分配律；
（2）观察运算过程可知第二步运用了除法分配律，而除法没有分配律，由此即可得到答案；（3）根据有理数四则混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，小刚在进行计算第一步时运用了乘法分配律，
故答案为：乘法分配；
（2）解：由题意得，在第二步的时候，运用了除法的分配律，而除法没有分配律，从而导致运算结果错
误，
故答案为：二；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数四则混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键，注
意除法没有分配律．
巩固训练
1.在计算 时，小明的解法如下：
解：原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
回答：
(1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________；
(2)请在下面给出正确的解答过程．
【答案】(1)一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算
(2)见解析
【分析】（1）观察小明的计算过程可以发现，第一步没有按照运算顺序计算，所以错误；
（2）按照有理数混合运算顺序和法则计算即可．
【详解】（1）解：通过观察小明的计算过程发现，第一步在计算乘除的同级运算时，没有按照从左到右的顺序依次计算导致错误，
故答案为：一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，掌握有理数的混合运算顺序和法则是解题的关键．．
2.阅读下列解题过程：
解：原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
解答问题：
(1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______步，错误
的原因是_______．
(2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出
一条建议．
【答案】(1)二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正
(2) ；建议：有括号先算括号内的（答案不唯一）
【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可作答；
（2）根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）根据有理数的混合运算法则可知：
解答过程有两个错误，第一处是第二步，错误的原因是同级运算应按照从左到右顺序进行；第二处是第三
步，错误的原因是同号相除结果应为正，
故答案为：二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正；（2）
，
建议：有括号先算括号内的（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键．
3.（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）解答下列各题
(1)计算：
(2)认真阅读材料，解决问题：
计算：
分析：利用通分计算 的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算；
解：原式的倒数是：
故原式 ．
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：
【答案】(1)5；
(2)【分析】（1）先计算乘方，去绝对值符号，再结合乘法分配律进行有理数的加减运算即可计算求值；
（2）根据题目中所给方法，将除法转换成乘法再利用乘法分配律进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：原式的倒数是：
，
故原式 ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘方运算，绝对值，乘法分配律，熟练掌握相关运算法则与运算
律是解题关键．
