文档内容
专题 01 正数和负数与有理数（4 个知识点 6 种
题型 3 个易错点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：正数和负数的概念（重点）
知识点2：用正数和负数表示具有相反意义的量（重点）
知识点3：有理数的相关概念（重点）
知识点4：有理数的分类（重点、难点）
【方法二】 实例探索法
题型1：正数、负数在实际生活中的应用
题型2：图表信息题
题型3：有理数的相关概念
题型4：有理数的分类
题型5：探索数字型规律题
题型6：多个框中数的关系
【方法三】 差异对比法
易错点1：对具有相反意义的量理解错误
易错点2：对有理数的有关概念理解不清，意义分类错误
易错点3：易误认为所有小数都可以化成分数
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1.借助生活中的实例体会引入负数的必要性，并能用正、负数表示生活中具有相反意义的量。
2.会判断一个数是正数是负数3.理解有理数的意义，并能对有理数进行分类。
4.能用正、负数解决有关实际问题，增强应用意识。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：正数和负数的概念（重点）
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”
号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数
【例1】（2022秋·贵州贵阳·七年级校考阶段练习）在 ， ， ，0，4.5， 中，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：在 ， ， ，0，4.5， 中，负数有 ， ， 共三个，
【变式1】下面各数哪些是正数，哪些是负数？
．
【答案】正数：5，0.56， ， ；负数： ．
【详解】解：正数：5，0.56， ， ；负数： ．
【变式2】任意写出 个正数和 个负数，并分别把它们填入相应的集合里．
【答案】5个正数：1、2、3、4、5；5个负数：-1、-2、-3、-4、-5；
知识点2：用正数和负数表示具有相反意义的量（重点）
用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是
它们的意义相反，二是它们都是数量．
【例2】（2022秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果
盈利 元，记作“ 元”，那么亏损 元，记作（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】C
【详解】∵盈利 元，记作“ 元”，
∴亏损 元，记作“ 元”．
【变式】如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30± 表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合
格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（ ）
A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm
【答案】B
【详解】解：由零件标注Φ 可知，零件的直径范围最大30+0.03mm，最小30-0.02mm，
∴最大可以是30+0.03=30.03（mm）．
知识点3：有理数的相关概念（重点）整数包括正整数、0和整数；分数包括正分数和负分数。
有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
【例3】下列说法中正确的是（ ）
A．0不是有理数 B．有理数不是整数就是分数
C．在有理数中有最小的数 D．若a是有理数，则 一定是负数
【答案】B
【详解】解：A、0是有理数，错误；
B、有理数不是整数就是分数，正确；
C、在有理数中没有最小的数，错误；
D、a是有理数，则 不一定是负数，如a=0时，-a=0，故错误；
【变式1】（2022秋·广东河源·七年级校考期末）下列结论正确的是（ ）
A．有理数包括正数和负数
B．有理数包括整数和分数
C． 是最小的整数
D．两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数也相等
【答案】B
【详解】∵有理数包括正有理数，零和负有理数，
∴A错误，不符合题意；
∵有理数包括整数和分数，
∴B正确，符合题意；
∵没有最小的整数，
∴C错误，不符合题意；
∵两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数相等或互为相反数，
∴D错误，不符合题意；
【变式2】（2022秋·河北保定·七年级统考期中）下面关于0的说法，正确的是（ ）
A．0既不是正数也不是负数 B．0既不是整数也不是分数
C．0不是有理数 D．0的倒数是0
【答案】A
【详解】A．0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，符合题意；
B．0是整数，不是分数，故此选项错误，不符合题意；
C．0是有理数，故此选项错误，不符合题意；D．0不存在倒数，故此选项错误，不符合题意．
知识点4：有理数的分类（重点、难点）
有理数的分类：
按意义分： ；按符号分： ．
注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；
（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．
（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循
环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有
理数．
【例4】（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合内：2， ， ，
， ， ，
(1)正数集合：{ …}；
(2)负数集合：{ …}；
(3)整数集合：{ …}；
(4)分数集合：{ …}；
【详解】（1）解：正数有：2， ， ，
（2）解：负数有： ， ， ；
（3）解：整数有：2， ；
（4）解：分数有： ， ；
【变式】（2022秋·贵州贵阳·七年级校考阶段练习）把下列的数填入相应的集合中：7， ， ，
，0， ， ，
正分数集合：（ ）；
非负整数集合：（ ）；负分数集合：（ ）．
【答案】 ， ， ；7，0， ；
【详解】解：正分数集合：（ ， ， ）；
非负整数集合：（7，0， ）；
负分数集合：（ ）．
【方法二】实例探索法
题型1：正数、负数在实际生活中的应用
1．（2022秋·山东济南·七年级校考期末）检查商店出售的袋装白糖，白糖每袋按规定重500g，一袋白糖重
499g，就记作 g，如果一袋白糖重502g，应记作______．
【答案】 g
【详解】解：根据题意可得：超出标准质量记为 ，所以低于标准质量记为： ，
因此，502克高于标准质量2克记为 克．
2．（2023秋·湖北十堰·七年级统考期末）如图是丹江口市2022年12月16日气象预报截图，预报显示当
天最高气温5℃，最低气温 ℃，这一天我市的温差是______℃．
【答案】6
【详解】∵当天最高气温5℃，最低气温 ℃，
∴这一天我市的温差是 （℃），
3.若以45分钟为1个单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正．例如9 : 15记
为 ，10 : 45记为1等，依次类推，上午7 : 45应记为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】∵ 10 时以前记为负， 10 时以后记为正，且以 45 分钟为1个单位时间单位；
∴上午7:45 与 10 时相隔 135 分，即3个单位；应记为−3．故选B．
4．（2021秋·七年级课时练习）某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如下：
美国 德国 英国 中国 日本 意大利
这一年，上述六国中哪些国家的服务出口额增长了？哪些国家的服务出口额减少了？哪国增长率最高？哪
国增长率最低？
【答案】中国、意大利的服务出口额增长了，美国、德国、英国、日本的服务出口额减少了，意大利的增
长率最高，日本的增长率最低．
【详解】解：服务出口额增长的国家：中国，意大利；
国家的服务出口额减少的国家：美国、德国、英国、日本；
增长率最高的是意大利；
增长率最低的是日本．
题型2：图表信息题
5．（2021秋•朝阳期中）今年的“十•一”黄金周是7天的长假，徐州市吕梁风景区在7天假期中每天旅
游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化 +1.1 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.4 ﹣0.2 +0.4 ﹣0.5
单位：万人
若9月30日的游客人数为0.1万人，问：
（1）10月4日的旅客人数为 万人；
（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 万人？
（3）如果每万人带来的经济收入为50万元，则黄金周七天的旅游总收入为多少万元？
【解答】解：（1）根据题意列得：0.1+（+1.1﹣0.6+0.2﹣0.4）＝0.4；
故答案是：0.4；
（2）10月1日有游客：0.1+1.1＝1.2 （万），
10月2日有游客：1.2﹣0.6＝0.6（万），
10月3日有游客：0.6+0.2＝0.8（万），
10月4日有游客：0.8﹣0.4＝0.4 （万），
10月5日有游客：0.4﹣0.2＝0.2 （万），10月6日有游客：0.2+0.4＝0.6 （万），
10月7日有游客：0.6﹣0.5＝0.1 （万）；
7天中旅客最多的是1日为1.2万人，最少的是7日为0.1万人，
则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多1.2﹣0.1＝1.1（万人）；
故答案为：1.1；
（3）黄金周七天游客：1.2+0.6+0.8+0.4+0.2+0.6+0.1＝3.9（万人），
3.9×50＝195（万元），
答：黄金周七天的旅游总收入约为195万元．
6．（2021秋•庐阳区校级月考）“十一”黄金周期间，某超市家电部大力促销，收银情况如下表，下表为
当天与前一天的营业额的涨跌情况（上涨为正，下跌为负，单位：万元）．已知9月30日的营业额为
26万元：
10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
+4 +3 +2 0 ﹣1 ﹣3 ﹣5
（1）家电部黄金周内哪天收入最高，为多少万元？哪天收入最低，为多少万元？
（2）家电部黄金周内平均每天的营业额是多少万元？（精确到0.01万元）
【解答】解：（1）∵9月30日的营业额为26万元，
∴10月1日的营业额为26+4＝30万元，
10月2日营业额为30+3＝33万元，
10月3日营业额为33+2＝35万元，
10月4日营业额为35+0＝35万元，
10月5日营业额为35﹣1＝34万元，
10月6日营业额为34﹣3＝31万元，
10月7日营业额为31﹣5＝26万元，
∴10月7日最低，营业额为26万元；10月3日、4日为最高，营业额为35万元；
（2）（30+33+35+35+34+31+26）÷7＝32.00（万元），
∴家电部黄金周内平均每天的营业额是32.00万元．
题型3：有理数的相关概念
7.下列说法中正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数组成了全体有理数
B．在有理数中，零的意义仅表示没有
C．所有的小数都是有理数D．0既不是正数也不是负数
【答案】D
【解析】有理数按正负可分为：正有理数、零、负有理数； 有理数按意义可分为：整数和分数；无限不
循
环小数是无理数．
8．（2023春·重庆沙坪坝开学考试）下列各数不是有理数的是（ ）
A．1.21 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、1.21是有理数，故此选项不符合题意；
B、 是有理数，故此选项不符合题意；
C、 不是有理数，故此选项符合题意；
D、 是有理数，故此选项不符合题意，
9．（2022秋·陕西西安·七年级校考期中）下列各数：5， ，103003， ，0， ， ，其中有理
数的个数是（ ）个．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】解：5， ， ， ，0， ，是有理数，共6个，
是无理数，
10．（2023秋·广西河池·七年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数
B．零上4摄氏度可以写成 ，也可以写成
C．若盈利100元记作 元，则 元表示亏损20元
D．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示
【答案】D
【详解】解：A．0既不是正数，也不是负数，故选项正确，不符合题意；
B．零上4摄氏度可以写成 ，也可以写成 ，故选项正确，不符合题意；
C．若盈利100元记作 元，则 元表示亏损20元，故选项正确，不符合题意；
D．规定向正北走用正数表示，向正南走才用负数表示，故选项错误，符合题意．
11．（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考阶段练习）下列语句正确的是（ ）①一个数前面加上“ ”号，这个数就是负数；
②如果 是正数，那么 一定是负数；
③一个有理数不是正的就是负的；
④ 表示没有温度；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【详解】解：①一个正数前面加上“ ”号，这个数就是负数，说法错误；
②如果 是正数，那么 一定是负数，说法正确；
③0是有理数，但是0既不是正数也不是负数，说法错误；
④ 表示有温度，说法错误；
12．（2022秋·天津北辰·七年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．1是最小的正数
B．﹣1是最大的负数
C．绝对值等于本身的数是0
D．0既不是正数也不是负数
【答案】D
【详解】解：A、0是正数和负数的分界点，大于0的数都是正数，故1不是最小的正数，本选项不符合题
意；
B、0是正数和负数的分界点，小于0的数都是负数，故﹣1不是最大的负数，本选项不符合题意；
C、0和正数的绝对值都等于本身，故本选项不符合题意；
D、0既不是正数，也不是负数，故本选项符合题意．
13．（2023春·上海专题练习）在数 中，负分数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：在数 中，负分数有 ，共有3个，
14．（2022秋·广西南宁·七年级校考阶段练习）在 ， ， ， ， （相邻两个1
之间依次增加1个0）中，有理数有______个．
【答案】3【详解】解：在 ， ， ， ， （相邻两个1之间依次增加1个0）中，有理数
有 ， ， ，共3个．
题型4：有理数的分类
15.请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里：
正整数 负整数
正分数 负分数
【答案】正整数： ， ；负整数： ， ；正分数： ， ， ；负分数： ， ， ．
【详解】解：如下所示：
题型5：探索数字型规律题
16.观察下列数列，填上空缺的数．
（1）1， ，2， ，3，______，______，______；
（2）1， ，3， ，5，______，______，______．【答案】（1）-3，4，-4；（2）-6，7，-8．
【解析】（1）从举出的数可以看出，两数之间互为相反数即可；
（2）数字是1、2、3、4、5、6、7、8，偶数前面是负号，奇数前面是正号．
17．将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（
）
A．9 B．10 C．11 D．12
【解答】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3＝10，
故选：B．
18．小明下五子棋的时候，用棋子按一定的规律摆了如下三个图形，请你猜测一下，若小明继续摆下去，
第10个图形需要几颗棋子（ ）
A．40 B．45 C．41 D．36
【解答】解：∵第1个图形中棋子的个数是4+1＝5，
第2个图形中棋子的个数是4×2+1＝9，
第3个图形中棋子的个数是4×3+1＝13，
…，
∴第n个图形中棋子的个数是4n+1．
当n＝10时，4n+1＝4×10+1＝41．
故选：C．
19．小红在课下用叠的五角星排成如下的形状若按照这种排法，则前10个图形中五角星的总个数为（ ）
A．145 B．155 C．165 D．175
【解答】解：第1个图形有3×1＝3个五角星，
第2个图形有3×2＝6个五角星，
第3个图形有3×3＝9个五角星，
第4个图形有3×4＝12个五角星，
…
∴第n个图形有3n个五角星，
∴前10个图形中五角星的总个数为3+6+9+⋯+24+27+30＝165，
故选：C．
题型6：多个框中数的关系
20．（2022秋·七年级课时练习）如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内： ，﹣7，+2.8，﹣900，
﹣3 ，99.9，0，4．
【详解】解：根据负数的定义，负数有 、﹣7、﹣900、﹣3 ；
根据整数的定义，整数有﹣7、﹣900、0、4．
根据正数的定义，正数有+2.8、99.9、4．
∴既是负数又是整数的有﹣7、﹣900；既是整数又是正数的有4．21．（2022·全国·七年级专题练习）将下列各数填在相应的圆圈里：
+6，﹣8，75，﹣0.4，0，23%， ，﹣2006，﹣1.8，－ ．
【详解】解：如下图，
【方法三】差异对比法
易错点1：对具有相反意义的量理解错误
22.下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（ ）
A 购进50kg苹果与卖出-50kg苹果
B高出海平面786m与低于海平面230m
C向东走-9m和向西走10m
D 飞机上升100m与飞机前进100m
【答案】B
【易错总结】向东走-9米实际意义是向西走9米。“-”本身就是意义相反的意思
易错点2：对有理数的有关概念理解不清，意义分类错误
23.把下列各数分别填到相应的横线上：， ，0，2， ， ．
正数：____________________________；
负数：____________________________；
非负数：____________________________；
非正有理数数：____________________________．
【答案】正数：2， ；
负数： ， ， ；
非负数：0，2， ；
非正有理数： ， ，0， ．
【易错总结】零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．零和负有理数统称为非正有理数。
24．（2022秋·全国·七年级期末）把下列各数分别填入相应的集合里．
1，－0.20， ，325，－789，0，－23.13，0.618，－2004．
非正数集合：{ …}；
非负数集合：{ }；
非正整数集合：{ …}；
非负整数集合：{ }；
非正有理数集合：{ …}；
非负有理数集合：{ }．
【详解】解：非正数集合：{-0.20，-789，0，-23.13，-2004 …}；
非负数集合：{1， ，325，0， 0.618，…}；
非正整数集合：{－0.20， ，－789，0，－23.13，0.618，－2004…}；
非负整数集合：{1，－0.20， ，325， 0，－23.13，0.618，…}；
非正有理数集合：{-0.20，-789，0，-23.13，-2004 …}；
非负有理数集合：{1， ，325，0， 0.618，…}．
易错点3：易误认为所有小数都可以化成分数25.在 ， ， ， ， （相邻两个1之间依次增加1个0）中，有理数有______个．
【答案】3
【详解】解：在 ， ， ， ， （相邻两个1之间依次增加1个0）中，有理数
有 ， ， ，共3个．
【易错总结】 ， 是无线不循环小数，不能化为分数，所以不是有理数。
【方法四】成功评定法
一、单选题
1．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）如果气温升高 时气温变化记作 ，那么气温下降 时气
温变化记作（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如果气温升高 时气温变化记作 ，那么气温下降 时气温变化记作 ，
2．（2023春·黑龙江绥化·七年级统考期末）规定10吨记为0吨，11吨记为 吨，则下列说法错误的是
( )
A．9吨记为 吨 B．12吨记为 吨
C．6吨记为 吨 D． 吨表示重量为13吨
【答案】A
【详解】解：A、9吨记为 吨，说法错误，符合题意；
B、12吨记为 吨，说法正确，不符合题意；
C、6吨记为 吨，说法正确，不符合题意；
D、 吨表示重量为13吨，说法正确，不符合题意；
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期末）如果“盈利 ”记作 ，那么 表示（ ）
A．盈利 B．亏损 C．少赚 D．亏损
【答案】B
【详解】解：∵“盈利 ”记作 ，
∴ 表示亏损 ．
4．（2022秋·七年级课时练习）下列说法错误的是（ ）．
A．0既不是正数，也不是负数B．零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃
C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示
【答案】C
【详解】∵0既不是正数，也不是负数，
∴A正确，不符合题意；
∵零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃，
∴B正确，不符合题意；
∵正方向可以自主确定，
∴向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示，是错误的，
∴C不正确，符合题意；
5．（2022秋·广西钦州·七年级校考期中）一个物体做左右方向的运动，规定向右运动3米记作 米，那
么向左运动4米记作（ ）
A． 米 B．4米 C． 米 D． 米
【答案】A
【详解】∵规定向右运动3米记作 米，
∴向左运动4米记作 米；
6．下面说法正确的是( )
A．1是最小的自然数； B．正分数、0、负分数统称分数
C．绝对值最小的数是0； D．任何有理数都有倒数
【答案】C
【详解】最小的自然是为0，A错误；
0是整数，B错误；
任何一个数的绝对值都是非负的，故绝对值最小为0，C正确；
0无倒数，D错误
7．（2022秋·七年级课时练习）下列说法不正确的是（ ）
A． 既不是正数，也不是负数 B． 的绝对值是
C．立方根等于本身的数是 D．一个有理数不是整数就是分数
【答案】C
【详解】解：A、0既不是正数，也不是负数，故本选项说法正确，不符合题意；
B、0的绝对值是0，故本选项说法正确，不符合题意；
C、立方根等于它本身的数是1，-1，0，故本选项符合题意；D、有理数包括整数和分数，故本选项说法正确，不符合题意；
8．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列结论正确的是（ ）
A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数
C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数
【答案】D
【详解】A、 既不是正数，也不是负数，则此项错误；
B、 不是正数，则此项错误；
C、整数包括负整数、 和正整数，且没有最小的整数，则此项错误；
D、 既不是正数也不是负数，则此项正确；
9．（2022秋·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就
是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包
括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、
负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：整数分为正整数，0和负整数，
∴一个整数不是正数就是负数错误，
故（1）不符合题意；
没有最小的整数，
故（2）不符合题意；
负数中没有最大的数，
故（3）符合题意；
自然数包括0，
∴自然数一定是正整数错误，
故（4）不符合题意；
有理数包括正有理数，零和负有理数，
故（5）符合题意，
整数包括正整数，0和负整数，
故（6）不符合题意；
零食整数但不是正数，
故（7）符合题意；整数和分数统称为有理数，
故（8）不符合题意；
非负有理数是指正有理数和0，
故（9）符合题意，
综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个，
10．（2022秋·河北保定·七年级校考期中）一跳蚤在一直线上从 点开始，第 次向右跳 个单位，紧接着
第2次向左跳 个单位，第 次向右跳 个单位，第 次向左跳 个单位，……，依此规律跳下去，当它跳
第 次落下时，落点处离点 的距离是（ ）个单位.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设向右为正，向左为负．则
1+（-2）+3+（-4）+．+（-100）=[1+（-2）]+[3+（-4）]+．+[99+（-100）]=-50．
∴落点处离O点的距离是50个单位．
二、填空题
11．（2022秋·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）“牛牛”饮料公司的一种饮料包装上有“ ”字
样，其中 表示标准容量是 L， 表示最多不超过 ，那么 表示 ．
【答案】最少不少于
【详解】解： 表示标准容量是 L， 表示最多不超过 ，那么 表示最少不少于
12．一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负，向右为正．向右运动 记作 ，则向左运动 ，
记作 ．
【答案】
【详解】解： 规定向右运动 记作 ，
向左运动记作负数，
向左运动 记作 ．
13．（2022秋·山东济南·七年级统考期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，
意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数，如果向东走5米记为 米，那么向西走3米
记为 米；
【答案】
【详解】∵向东走5米记为 米，
∴向西走3米可记为 米，
14．（2022秋·全国·七年级专题练习）桌子上放有6枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的4枚，至少翻转次能使所有硬币都反面朝上．
【答案】3
【详解】解：用“ ”表示正面朝上，用“ ”表示正面朝下，
开始时 ，
第一次 ，
第二次 ，
第三次 ，
至少翻转3次能使所有硬币都反面朝上，
15．（2022秋·七年级课时练习）（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过 次翻转可使
这5只杯子的杯口全部朝下，则 的最小值为 ．
（2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过 次翻转可使这11只杯子的杯口全部朝下，则
的最小值为 ．
【答案】 3 5
【详解】（1）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下，
刚开始时：正、正、正、正、正，
第一次翻转结束后：负、负、负、正、正，
第二次翻转结束后：负、正、正、负、正，
第三次翻转结束后：负、负、负、负、负，
则m的最小值为3；
（2）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下，
刚开始时：正、正、正、正、正、正、正、正、正、正、正，
第一次翻转结束后：负、负、负、正、正、正、正、正、正、正、正，
第二次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、正、正、正、正、正，
第三次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、负、负、负、正、正，
第四次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、负、正、正、负、正，
第五次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、负、负、负、负、负，
则n的最小值为5；
16．（2022秋·七年级课时练习）（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的3个
数分别
是 ， ， ；
（2）有一列数： ， ， ， ，…．那么接下来的第7个数是 ．【答案】 -9, 10, -11;
【详解】(1) 这一列数可以看作是先将正整数从小到大逐个排列起来再从第二个数开始每隔一个数在原数
前面添加负号而得到的. 根据这一规律，接下来的3个数分别为：-9，10，-11.
(2) 对这一列数的分子与分母的规律分别进行讨论.
①这一列数的分子可以看作是将正整数从小到大逐个排列起来而得到的.
②观察这列数的分母可以看出， ， ， ， ，…
因此，这列数的分母可以看作是该分数的分子与其自身之积再加上1而得到的.
根据上述规律，第7个数的分子应为7，第7个数的分母应为 ，即第7个数应为 .
17．观察下面各数列，研究它们各自的变化规律，并接着填出后面的两个数．
（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ；
（2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16， ， ；
（3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0， ， .
【答案】 1, -1; 18, -20; -1, 0.
【详解】(1) 在该数列中，1与-1交替出现，故后面的两个数分别为1，-1.
(2) 该数列可以看作是先将正整数中的偶数从小到大逐个排列起来再从第二个数开始每隔一个数在原数前
面添加负号而得到的. 根据这一规律，后面的两个数分别为：18，-20.
(3) 该数列可以看作是以1，0，-1，0为一个基本单元并不断重复而得到的. 根据这一规律，后面的两个数
分别为：-1，0.
18．把下列各数分别填在相应的横线上：
1，-0.20， ，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…．
正数有： ；
分数有： ；
负数有： ；
正整数有： ；
非正数有： ；
负整数有： ；
非负数有： ；
负分数有： ；
非负整数有： ．(正数) 1， ，325，0.618，π，0.1010010001…；
(分数) -0.20， ，-23.13，0.618；
(负数) -0.20，-789，-23.13，-2014；
(正整数) 1，325；
(非正数) -0.20，-789，0，-23.13，-2014；
(负整数) -789，-2014；
(非负数) 1， ，325，0，0.618，π，0.1010010001…；
(负分数) -0.20，-23.13；
(非负整数) 1，325，0.
三、解答题
19．（2023秋·河南周口·七年级统考期末）把下列各数填入它所属的集合内：
．
(1)分数集合{_______…}；
(2)自然数集合{______…}；
(3)非正整数集合{_______…}；
(4)非负有理数集合{______…}．
【详解】（1）解：分数集合： ；
（2）自然数集合： ；
（3）非正整数集合： ；
（4）非负有理数集合：
20．（2021秋·全国·七年级专题练习）把下列各数填在相应的括号内：
+5，+ ，0.31，0，-1.3， ，62.6，-8.3， ，7，100
（1）正整数：（ ）（2）分数：（ ）
（3）非负数：（ ）
【详解】解：（1）正整数：（ +5， 7，100）
（2）分数：（ + ，0.31， -1.3， ，62.6，-8.3， ）
（3）非负数：（+5，+ ，0.31，0， ，62.6， 7，100）
21．（2022秋·河南新乡·七年级统考期中）把下列各数填在相应的集合内：﹣3，4，﹣2， ，﹣0.58，
0， ，0.618， ，3.14．
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}；
非正整数集合：{ …}．
【详解】解： 整数集合：{﹣3，4，﹣2，0…}；
分数集合：{ ，﹣0.58， ，0.618， ，3.14…}；
负有理数集合：{﹣3，﹣2， ，﹣0.58， …}；
非正整数集合：{﹣3，﹣2，0…}．
22．（2022秋·全国·七年级专题练习）体育课上全班男生进行了百米测试，达标成绩为14秒，下面是第一
小组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于14秒，“﹣”表示成绩小于14秒．
-1.2 +0.7 0 -1 -0.3 +0.2 +0.3 +0.5
（1）求这个小组男生百米测试的达标率是多少？
（2）求这个小组8名男生的平均成绩是多少？
【答案】（1）这个小组男生百米测试的达标率是62.5%；（2）这个小组8名男生的平均成绩是13.9秒．
（2）计算数据的总和，再除以8即可解题．
【详解】解：（1）达标人数为5,达标率为 ×100%＝62.5%．
答：这个小组男生百米测试的达标率是62.5%；
（2） ＝﹣0.1（秒），14﹣0.1＝13.9（秒）．
答：这个小组8名男生的平均成绩是13.9秒．
23．（2022秋·广东茂名·七年级校联考阶段练习）一辆清雪车在一条东西方向的道路上进行清雪工作，清
雪车早晨从A处出发，清雪结束时停留在B处．规定向东为正，当天行驶记录如下：（单位：千米）
﹣15，+8，﹣7，+18，+6，﹣12.4，+6，﹣5.1．
（1）B处在A处何方？距A处多少千米？
（2）一辆清雪车每行驶1千米可清雪20立方米，求这辆清雪车这一天的清雪量．
【答案】（1）B处在A处的西方，距A处1.5千米；（2）这辆清雪车这一天的清雪量为1550立方米．
【详解】解：（1）∵-15+8-7+18+6-12.4+6-5.1=-1.5（千米）.
答：B处在A处的西方，距A处1.5千米；
（2）15+8+7+18+6+12.4+6+5.1=77.5（千米），
77.5×20=1550立方米.
答：这辆清雪车这一天的清雪量为1550立方米．
24．（2022秋·河南安阳·七年级统考阶段练习）每年的4月7日是世界卫生日——
（翻译为中文也叫世界健康日），旨在引起世界对卫生、健康工作的关注，提高人们对卫生、健康领域的
素质和认识、强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性．为了迎接世界健康日的来临，小明决定以跑步
的方式践行“健康人人参与”，小明从家出发，沿着家门口的东西方向道路开始跑步（家到路的距离忽略
不计），如果规定向东跑步为正，向西跑步为负，小明七次跑步记录如下（单位：m）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
-400 +700 -900 +800 +600 -500 -200
(1)求跑步结束时小明距离家多远？
(2)在第几次记录时小明距离家最远？
(3)若每千米消耗60千卡的热量，则小明跑步共消耗多少千卡热量?
【答案】(1)
(2)第五次
(3)246千卡
【详解】（1） ．
答：跑步结束时小明距离家100米．
（2）第一次记录时距离家： （米）；第二次记录时距离家： （米）；
第三次记录时距离家： （米）；
第四次记录时距离家：
（米）；
第五次记录时距离家：
（米）；
第六次记录时距离家：
（米）；
第七次记录时距离家：
（米）．
第五次记录时小明距离家最远．
（3） ．
（千卡）．
答：小明跑步共消耗246千卡热量．
25．（2022秋·全国·七年级专题练习）某检修小组甲队乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向东为正，某天
从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣
5，+6；另一小组乙队也从A地出发，在南北方向检修，约定向北为正，行走记录为：﹣17，+9，﹣
2，+8，+6，+9，﹣5，﹣1，+4，﹣7，﹣8．
（1）分别计算收工时，两组在A地的哪一边，距A地多远？
（2）若每千米汽车耗油量为0.06升，求出发到收工甲队耗油多少升？
【答案】（1）甲队在A地的正东方向39米，乙队在A地的正南方向4米；（2）3.9升．
【详解】解：（1）甲队离A地为：+15-2+5-1+10-3-2+12+4-5+6=39，即甲队在A地的正东方向，距离A地
39千米；
乙队离A地为：-17+9-2+8+6+9-5-1+4-7-8=-4，即乙队在A地的正南方向，距离A地4千米；
（2）队走总路程为：15+2+5+1+10+3+2+12+4+5+6=65千米
所以甲队出发到收工共耗油：65×0.06=3.9升．
答：从出发到收工甲队耗油3.9升．
26．（2022秋·河北邯郸·七年级统考期中）将下列各数填入相应的圈内：
， ， ， ， ， ， ， ．【详解】解：如图
