文档内容
专题 11 从算式到方程（4 个知识点 5 种题型 4 个易错点 2 个中考考
点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.一元一次方程的概念（重点）
知识点2..解方程与方程的解（重点）
知识点3..根据实际问题列一元一次方程（重点）
知识点4..等式的性质（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.确定一元一次方程中字母的值
题型2.方程的解的应用
题型3.列一元一次方程解决实际问题
题型4.利用方程的思想方法探究数表的规律
题型5.等式性质的应用
【方法三】差异对比法
易错点1.对关键词语理解错误导致列错方程
易错点2.对一元一次方程的概念理解不透彻
易错点3.用等式的性质变形时忘记等式两边同除以某数时忽略该数不为0
易错点4.解方程时因两边未同时变形而出错
【方法四】 仿真实战法
考法1.方程的解
考法2.列一元一次方程
【方法五】 成果评定法【学习目标】
1. 了解方程和等式的概念；理解方程的解和解方程的意义，并会体验方程的解。
2. 了解一元一次方程的概念；掌握等式的性质，并能利用性质探究一元一次方程的解法。
3. 通过对实际他中数量关系的分析，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，逐步形成数学的应
用意识。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.一元一次方程的概念（重点）
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
细节剖析：
判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含有一个未知数，未知数的次数为 1 ；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．【例1】．（22·23下·鹤壁·期中）若 是方程 的解，则代数式 的值为（ ）
A．4 B．7 C．9 D．12
【变式1】．以下方程属于一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．下列说法：① 为任意有理数， 总是正数；②方程 是一元一次方程；③代数式
、 、 都是整式；④若 ，则 ．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
知识点2..解方程与方程的解（重点）
【例2】．（23·24上·福州·期中）观察下表，写出关于x的方程 的解是 ．
【变式1】．．（23·24上·厦门·期中）已知 是方程 的解，则a的值为 ．
【变式2】．（23·24上·珠海·期中）若方程 是关于x的一元一次方程，则a的值为
；
知识点 3..根据实际问题列一元一次方程（重点）
【例3】．．（23·24上·江苏·专题练习）已知关于x的方程 是一元一次方程，则m的值为
（ ）
A． B．1 C． 或1 D．0
【变式1】．（22·23下·厦门·阶段练习）下列给出的方程中，是一元一次方程的是（ ）
① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ；
A．②③ B．②③④ C．②④ D．②⑤【变式2】（23·24上·滨海新·期中）已知：
(1)求 的值(结果用化简后含 a、b的式子表示)；
(2)在(1) 的条件下， 若 是方程 的解，求a的值；
(3)若 的值与a的取值无关， 求b的值．
【变式3】．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）已知 是关于y的一元一次方程．
(1)求a，b的值；
(2)若 是方程 的解，求 的值．
知识点4..等式的性质（重点）
【例4】．（23·24上·铁岭·期中）若 是关于 的方程 的解，则 的值为 ．
【变式1】．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）关于 的方程 是一元一次方程，则
．
【变式2】．（23·24上·惠州·阶段练习）若 是方程 的解，则代数式 的值为
．
【方法二】实例探索法
题型1.确定一元一次方程中字母的值
1．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）关于x的方程 是一元一次方程，则有理数a的值为
．
2．（23·24上·长沙·开学考试）已知 是关于 的方程 的解，则式子 的值为
．
题型2.方程的解的应用
3．（23·24上·房山·期中）已知 是关于 的方程 的解，求代数式 的值．题型3.列一元一次方程解决实际问题
4．（23·24上·全国·课堂例题）在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多 ，乙班植树的棵数比甲
班的一半多10棵．设乙班植树 棵．
(1)列两个不同的含 的式子来表示甲班植树的棵数；
(2)根据题意列出含未知数 的方程；
(3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵．
5．（23·24上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
题型4.利用方程的思想方法探究数表的规律
6．（1）已知代数式 ， .若 的值与 的取值无关，求 的值.
（2）已知关于 的方程 的解是关于 的方程 的解的三分之一.求 的值.
7．已知代数式A＝3ax5+bx3﹣2cx+4，B＝ax4+2bx2﹣c，E＝3ax3+4bx2﹣cx+3，其中a，b，c为常数，当x＝1
时，A＝5，x＝﹣1时，B＝4．
（1）求3a+b﹣2c的值；
（2）关于y的方程2（a﹣c）y＝（k﹣4b）y+20的解为2，求k的值．
（3）当x＝﹣1时，求式子 的值．
题型5.等式性质的应用
8.已知2a＝3b，则（ ）
A．2a+2＝3b+3 B．a＝ b C． D．2a2＝3b29. 如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，图①②所示的两个天平处于平衡状态，要使第3个
天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置 个球．
A．5 B．6 C．7 D．8
【方法三】差异对比法
易错点1.对关键词语理解错误导致列错方程
10．已知： ，
(1)求
(2)若无论 取任何数值， 的值都是一个定值，求 的值
(3)若关于 的方程 无解， 有无数解，求 的值
易错点2.对一元一次方程的概念理解不透彻
11．知识背景：已知a，b为有理数，规定 ， ，例如： ，
．
知识应用：
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的最值；
知识迁移：
(3)若有理数a，b，c满足 ，且关于x的方程 有无数解，，求 的值．
易错点3.用等式的性质变形时忘记等式两边同除以某数时忽略该数不为0
12．（22·23上·苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美
好方程”．例如：方程 和 为“美好方程”．
(1)请判断方程 与方程 是否互为“美好方程”；
(2)若关于x的方程 与方程 是“美好方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元一次方程 和 是“美好方程”，求关于y的一次方程
的解．
易错点4.解方程时因两边未同时变形而出错
13．（23·24上·全国·课堂例题）由下表可知方程 的解是 ．
的值 1 2 3 4
的
1 3 5 7
值
的值 3 4 5 6
14．（23·24上·福州·开学考试）若 是关于x的方程 的解，则代数式 的值是 ．
【方法四】 仿真实战法
考法1.方程的解
15. 如果方程 是关于 的一元一次方程，那么 ．
16．若 是关于 的方程 的解，则 的值是
．
考法2.列一元一次方程
17．（22·23下·泉州·期中）若 是关于 的方程 的解，则 的值等于（ ）A．20 B．15 C．4 D．3
18．（23·24上·江苏·专题练习）下列方程中，解为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（23·24上·沙坪坝·开学考试）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23·24上·和田·期末）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23·24上·岳阳·开学考试）下面说法正确的有（ ）个
①一条射线长8厘米．
② 既是等式，又是方程．
③5的倍数一定是合数．
④圆柱有无数条高，圆锥只有一条高．
⑤公园植树101棵，成活100棵，成活率 ．
⑥求“长方体、正方体、圆柱”这几个立体图形的体积时，都可以用“底面积 高”来计算．
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（22·23下·长春·期中）下列方程中，是一元一次方程的为（ ）
A． B． C． D．
5．（22·23下·长春·期末）下列方程中，解为 的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23·24上·和田·期末）下列方程中，解为 的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．（23·24上·全国·专题练习）下列各式中，属于方程的是（ ）
A． B． C． D．8．（23·24上·济宁·期末）下列方程中为一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
9．（23·24上·临沂·期末）下列结论正确的是（ ）
A． 是方程 的解 B．单项式 的系数是
C． 和 不是同类项 D． 是三次三项式
二．填空题
10．（22·23上·佛山·阶段练习）已知关于x的方程 的解为 ，则代数式 的值为
．
11．（22·23下·浦东新·期中）如果方程 是一元一次方程，则 ．
12．（23·24上·茂名·期末）若 是方程 的解，则 ．
13．（23·24上·楚雄·期末）若方程 是关于 的一元一次方程，则 .
14．（23·24上·昆明·期末）若关于 的方程 的解为 ，则 ．
15．（22·23上·泰州·阶段练习）若 是关于 的方程 的解，则 的值为 ．
16．（22·23上·广州·期中）根据“x的3倍与5的和比x的 多2”可列出方程来 ．
17．（22·23上·绵阳·期中）已知方程 是关于x的一元一次方程，则 ．
18．一列方程及方程的解如下排列：
的解是x＝2
的解是x＝3
的解是x＝4……
根据观察所得到的规律，请你写出一个解是x＝2022的方程 ．
19．（22·23上·全国·课前预习）使方程左、右两边的值 的未知数的值，叫做方程的解．20．（22·23上·全国·课前预习）只含有 个未知数，且方程中的代数式都是 ，未知数的指数都是
，这样的方程叫做一元一次方程．
三．解答题
21．已知关于 的方程 是一元一次方程.求：
（1） 的值及方程的解.
（2） 的值.
22．已知A＝2x2+mx﹣m，B＝3x2﹣mx+m．
（1）求A﹣B；
（2）如果3A﹣2B+C＝0，那么C的表达式是什么？
（3）在（2）的条件下，若x＝4是方程C＝20x+5m的解，求m的值．
23．小张去水果市场购买苹果和桔子，他看中了 A 、B 两家的苹果和桔子，这两家的苹果和桔子的品质
都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克桔子多 12 元，买 2 千克苹果与买 5 千克桔子的费用相
等．
（1）根据题意列出方程；
（2）在 x=6，x=7，x=8 中，哪一个是（1）中所列方程的解；
（3）经洽谈，A 家优惠方案是：每购买 10 千克苹果，送 1 千克桔子；B 家优惠方案是：若购买苹果超
过 5 千克，则购买桔子打八折，设每千克桔子 x 元， 假设小张购买 30 千克苹果和 a 千克桔子（a＞
5）．
①请用含 a 的式子分别表示出小张在 A、B 两家购买苹果和桔子所花的费用；
②若 a=16，你认为在哪家购买比较合算？
24．已知关于x的方程 =x+ 与方程 的解互为倒数，求m的值．
25．已知：关于x的方程4x－k=2与2(2+x)=k的解相同，求k的值及相同的解．
26．若关于x的方程|2x－2013|+m=0无解，|3x－2014|+n=0只有一个解，|4x－2015|+k=0有两个解．请用
“<”将m、n、k由小到大排列．
27．若以x为未知数的方程x－2a+4=0和3x+6=－2x－3a的解的乘积为0，则a的值是多少？
