文档内容
专题 17 角（7 个知识点 7 种题型 4 个易错点 3 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.角的概念及表示方法
知识点2角度制及换算
知识点3.角的比较
知识点4.角的和、差、倍、分运算（重点）
知识点5.角的平分线（重点）
知识点6.余角和补角（重点）
知识点7.方位角
【方法二】 实例探索法
题型1.角的个数的探究
题型2.运用角的知识解决钟表的夹角问题
题型3.角平分线的应用
题型4.互余以及互补的角的计算
题型5.角的相关运算
题型6.利用方位角确定物体的位置
题型7.竞赛题中的“角的有关计算”
【方法三】差异对比法
易错点1.错误使用角的表示方法
易错点2.对角的平分线的概念理解有误
易错点3.因考虑图形位置不全面，而导致漏解
易错点4.易弄错度、分、秒间的进制
【方法四】 仿真实战法
考法1.角度计算
考法2.余角和补角
考法3.角的平分线【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 理解角的概念。掌握角的表示方法。
2. 会比较角的大小，认识角的常用度量单位，并能进行简单的换算，会计算角的和与差。
3. 理解角的平分线的概念，会用符号语言表示。
4. 了解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能应用这些性质解决相关问题。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.角的概念及表示方法
1.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射
线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
2.角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的
一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：要点：
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
【例1】（2023上·七年级课时练习）根据给出的图回答下列问题：
(1) 表示成 ，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？
(3)以 为顶点的角有几个？请表示出来．
(4) 与 是同一个角吗？请说明理由．
(5)图中共有几个小于平角的角？
【答案】(1)不正确，可表示为
(2)
(3)3个，见解析
(4)见解析
(5)11个
【分析】（1）、（2）根据角的表示方法求解即可；（3）、（4）、（5）根据角的定义和表
示方法回答即可．
【详解】（1）不正确，因为以 为顶点的角不止一个，所以这样的表示方法不正确，可表示
为 ；
（2）图中 可以用一个字母表示；
（3）以A为顶点的角有3个，分别是 、 、 ；
（4）因为这两个角的顶点不同，所以不是同一个角．
（5）图中小于平角的角有： ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，共有11个小于平角的角．
【点睛】本题考查的是角的定义和角的表示方法，掌握角的定义和角的表示方法是解题的关键．知识点2角度制及换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度
制.
①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐
级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.
【例2】（2023上·陕西西安·七年级高新一中校考期中） 用度、分、秒表示正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】考查了度分秒的换算，根据1度等于60分，1分等于60秒， 由大单位转换成
小单位乘以60，按此转化即可．分秒化为度时用除法，而度化为分秒时用乘法．
【详解】解： ．
故选：A．
知识点3.角的比较
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
【例3】（2022上·广东茂名·七年级统考期末）如图，用“＞”或“＜”填空：
（1）在图①中， ；
（2）在图②中， ．
【答案】
【分析】（1）由角的和差即可比较大小；
（2）由图可知 是锐角， 是直角，即可求解．
【详解】解：（1） ，
，
故答案为： ；
（2）由图可知 是锐角， 是直角，，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角的大小比较，解题关键是灵活运用角的大小比较方法．
【变式】（2023上·全国·七年级课堂例题）比较 与 的大小时，把它们的顶点
和边 重合，把 和 放在 的同一侧，如图所示，则
．
【答案】>
【分析】如果两个角的顶点重合，且有一边重合，两角的另一边均落在重合边的同旁：如果这
两边也重合，说明两角相等；如果两边不重合，另一条边在里面的小，在外面的大；由此方法
直接填空即可．
【详解】解：比较 与 的大小时，把它们的顶点 和边 重合，把 和
放在 的同一侧，则 ，
故答案为：>．
【点睛】此题考查利用重合的方法比较两个角的大小，注意两个重合：顶点和一边；一个同侧：
两个角的另一条边在重合边的同侧．
知识点4.角的和、差、倍、分运算（重点）
角的和与差仍是一个角，只不过是这个角的度数等于另外两个角度数的和或差
【例4】（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）如图， 平分 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了角的和差关系和角平分线的定义．解题的关键是找准角与角之间的位
置和数量关系，用和差的形式表示出来．【详解】解： 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【变式】两角差是36°，且它们的度数比是3∶2，则这两角的和是多少？
解法一：设这两角度数分别为(3x)°和(2x)°，则根据题意列方程为：_______________,
解方程,得：x=____________, ∴3x+2x=______________.
解法二：设这两个角的度数和为x°，则这两个角分别为_______和_______，根据题意列方程为：
_______________________________,
解方程得：x =______________,∴这两角的和是____________°.
【答案】3x－2x=36 x=36 180 x° x° x－ x=36 x=180 180
【详解】试题分析：两角差是36°，且它们的度数比是3：2，根据对角设法的不同求解，主要
是根据题意列出方程即可，最后得出的结果都是一样的．
试题解析：（1）设这两角度数分别为（3x）°和（2x）°，
则根据题意列方程为：
（3x）°-（2x）°=36°，
解得：x=36°，
∴3x+2x=180°；
（2）设这两个角的度数和为x°，
则这两个角分别为（ x）°和（ x）°，
根据题意列方程为：（ x）°-（ x）°=36°，
解得：x=180°．
知识点5.角的平分线（重点）
角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：
如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2= ∠AOB，或
∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.【例5】（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图， ， ， 平分
， 平分 ．
(1)求 的度数．
(2)若 ， ，用含 、 的代数式表示 的度数为______ ．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）先求得 的度数，然后由角平分线的定义可知 ，
，最后根据 求解即可；
（2）先求得 α ，由角平分线的定义可知 α ， ，最
后根据 求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
由角平分线的性质可知： ， ．
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
由角平分线的性质可知： ， ．∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，求得 和 的大小，然后
再依据 求解是解题的关键．
知识点6.余角和补角（重点）
余角补角
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
要点：
①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).
②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” .
【例6】（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）如果一个角的补角是 ，则这个角的余角
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求一个角的补角与余角．设这个角为 度，先根据补角的度数求得这个角，
再求得这个角的余角即可．
【详解】解：设这个角为 度，则 ，
解得 ，
则这个角的余角是 ，
故选：B．
知识点7.方位角
方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点：
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定
其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南
方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
【例7】（2023上·山西太原·七年级开学考试）如图，把一个直径8米的圆平均分成四个扇形，
再把每个扇形的弧三等分．点A在点O的 偏 °方向 米处．【答案】 北 东 4
【分析】如图，根据圆的基本性质求出 和 的长度，再根据方位角的概念得出答案．
【详解】解：如图，连接 ，
由题意得： ，
因为圆的直径是8米，
所以 米，
所以点A在点O的北偏东 方向4米处．
故答案为：北，东，30，4．
【点睛】本题主要考查了方位角，熟知方位角的表示方法是解题的关键．【方法二】实例探索法
题型1.角的个数的探究
1.（2023下·全国·七年级课堂例题）图中角的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】根据角的定义可进行求解．
【详解】解：图中属于角的有： ；共6个；
故选D．
【点睛】本题主要考查角的定义，熟练掌握角的定义是解题的关键．
题型2.运用角的知识解决钟表的夹角问题
2.（2023上·全国·七年级专题练习）从 分到 分，时钟的分针转过的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查钟面角，根据钟面角的定义求出钟面上每个“大格”和“小格”所对应的圆心角的度数
即可．
【详解】解：钟面上每两个数字之间所对应的圆心角为 ，每一个“小格”所对应的圆心角为
，
从 分到 分，分钟转过 个“小格”，
所以从 分到 分，分针转过的角度是 ，
故选：B．
题型3.角平分线的应用3．（2022上·辽宁大连·七年级统考期末）如图， 平分 ， ， ，
，求 的度数．
【答案】
【分析】由余角的定义可求得 ，再由角平分线的定义可得 ，即可求 的度数．
【详解】解： ， ，
，
平分 ，
，
，
．
【点睛】本题主要考查余角，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
题型4.互余以及互补的角的计算
4．（2023上·河北保定·七年级统考期中）一个角的补角为 ，那么这个角的余角是 ．
【答案】
【分析】本题考查补角，余角的概念，根据补角为 ，可求得这个角的度数，进而求出这个角的余角．
【详解】解：一个角的补角为 ，则这个角为 ，
∴这个角的余角是 ，
故答案为： ．
题型5.角的相关运算
5．（2023上·陕西西安·七年级高新一中校考期中）将一副直角三角板 和 的一个顶点B重合在一
起，按如图所示方式摆放，其中 ， ，三角板 在 内可任意转动(1)以点B为顶点的所有锐角有________个；
(2)求以点B为顶点的所有锐角的度数和．
【答案】(1)3
(2)
【分析】此题考查了直角三角板中角度的性质，锐角的概念，
（1）根据锐角的概念求解即可；
（2）根据 即可求解．
【详解】（1）∵ ， ，三角板 在 内可任意转动，
∴ ，
∴以点B为顶点的所有锐角有 ， ， ，共3个；
解题的关键是熟练掌握直角三角板中角度的性质，锐角的概念．小于 的角是锐角．
（2）∵ ，
∴ ．
题型6.利用方位角确定物体的位置
6．（2022上·福建厦门·七年级统考期末）如图，点 分别表示手绘地图中厦门鼓浪屿风景区内郑成功
纪念馆、郑成功水操台遗址、日光岩三个景点．经测量 ，郑成功水操台遗址在日光岩的北偏
东 方向，则郑成功纪念馆在日光岩的（ ）
A．北偏东 方向B．北偏西 方向 C．北偏西 方向 D．北偏东 方向
【答案】C
【分析】根据角度之间的和差关系，计算 的度数，即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴郑成功纪念馆在日光岩的北偏西 方向，故选：C．
【点睛】本题主要考查了方位角，解题的关键是根据图形得出角度之间的和差关系．
题型7.竞赛题中的“角的有关计算”
7．·将一副直角三角板如图1摆放在直线 上（直角三角板 和直角三角板 ， ，
， ， ），保持三角板 不动，将三角板 绕点 以每秒 的
速度顺时针旋转直至 边第一次重合在直线 上，旋转时间记为 秒．
(1)当 ___________秒时， 平分 ；
(2)①如图2，旋转三角板 ，使得 、 同时在直线 的异侧，则 与 数量关系为
___________；
②如图3，继续旋转三角板 ，使得 、 同时在直线 的右侧，猜想 与 有怎样
的数量关系？并说明理由．
(3)若在三角板 开始旋转的同时，另一个三角板 也绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，当 旋
转至直线 上时同时停止．请直接写出在旋转过程中， 与 的数量关系．
【答案】(1)
(2)① ，② ，理由见详解
(3)
【分析】（1）根据 ， 平分 ，可得 ，结合运动特
点可得： ，解方程即可求解；（2）①分别表示出 ， ，即有
，问题得解；②分别表示出 ，
，即有 ，问题得解；
（3）分类讨论，第一种情况： 、 同时在直线 的异侧，根据运动的特点： ，
，根据 ， ，可得
，即有 ；第二种情况： 、 同时在直线
的右侧，同理可求出 ，问题得解．
【详解】（1）∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵根据运动特点可知： ，
∴ ，
解得： （秒），
故答案为： ；
（2）① ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② ，理由如下：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3） ，理由如下：
分类讨论，
第一种情况： 、 同时在直线 的异侧，如图，
根据运动的特点： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
第二种情况： 、 同时在直线 的右侧，如图，
根据运动的特点： ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ；
综上： ．
【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度
数是解题的关键．
【方法三】差异对比法
易错点1.错误使用角的表示方法
1．（2022上·七年级单元测试）写出图中符合下列条件的角．
(1)能用一个大写字母表示的角；
(2)以点 为顶点的角；
(3)图中所有小于平角的角（可用简便方法表示）．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】（1）根据角的表示方法进行求解即可；
（2）根据角的表示方法进行求解即可；
（3）根据角的表示方法进行求解即可．
【详解】（1）解：能用一个大写字母表示的角为
（2）解：由题意得，以点 为顶点的角有 ；
（3）解：由题意得，图中所有小于平角的角有 ， ．
【点睛】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键．
易错点2.对角的平分线的概念理解有误
2．（2022上·湖南郴州·七年级校考开学考试）已知 ， 是 的角平分线，．
【答案】 /30度
【分析】根据角平分线的定义解答即可．
【详解】如图：
， 是 的平分线，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，理解各角之间的数量关系是解题的关键．
易错点3.因考虑图形位置不全面，而导致漏解
3．（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）已知 ，从 的顶点O作射线 ，
若 ，那么 的度数为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查角的和差计算．分射线 在 的上方和下方，两种情况，进行讨论求解即可．正确的
画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
当射线 在 的上方：如图：
则： ；
当射线 在 的下方时，如图：则： ；
综上： ， ．
故答案为： 或 ．
易错点4.易弄错度、分、秒间的进制
4．（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）下列有关角度的运算：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角度的加减乘除的运算法则进行判断即可．
【详解】解：① ，故①错误；
② ，故②错误；
③ ，故③正确；
④ ，故④错误；
∴正确的个数有 个；
故选 ．
【点睛】本题考查了角度的运算，熟记角度的运算法则是解题的关键．
【方法四】 仿真实战法
考法1.角度计算
1．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）将含有 角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若 ，
则 度数（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据条件可得 ，再根据 即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵ ，
，
∵ ，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
考法2.余角和补角
2．（2022·甘肃武威·统考中考真题）若 ，则 的余角的大小是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【答案】A
【分析】用90°减去40°即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 的余角= ，
故选A
【点睛】本题考查了求一个角的余角，掌握和为90° 的两角互为余角是解题的关键．
考法3.角的平分线
3．如图，直线 相交于点 射线 平分 若 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分线平分角即可求解．
【详解】解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又∵OM是∠BOD的角平分线，
∴∠DOM= ∠BOD=21°，
∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题
的关键．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023上·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期中）若 ，则 的补角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了补角的意义，如果两个角的和等于 ，那么这两个角互为补角，根据补角的定义求
解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的补角为 ．
故选C．
2．（2022上·云南红河·七年级统考期末）学校操场上，你站在李老师北偏东 的方向，那么李老师站在你的（ ）
A．北偏西 B．北偏西
C．南偏西 D．南偏西
【答案】C
【分析】根据方位角的定义，进行计算即可解答．
【详解】解： 你站在李老师的北偏东 ，
李老师站在你的南偏西 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
3．（2023上·全国·七年级专题练习）把 用度、分、秒表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查度、分、秒的换算．运用度、分、秒的换算方法运算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
5．（2022上·河北石家庄·七年级校考期中）如果一个角的补角是 ，那么这个角的余角的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据补角的定义得出这个角为 ，进而根据余角的定义，即可求解．
【详解】解：∵一个角的补角是 ，
∴这个角为
∴这个角的余角的度数为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了余角与补角的相关计算，熟练掌握余角与补角的定义是解题的关键．
6．（2022上·云南红河·七年级统考期末）一个角的补角比这个角的余角的3倍少 ，这个角的度数是
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】互余的两个角和为 ，互补的两个角和为 ，再建立方程求解．
【详解】解：设这个角为 度数，则 ，
解得 ；
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，补角的定义，余角的定义，根据题意建立方程是解题的关键．
7．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）如图， ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了求一个角的余角，几何图形中的角度问题，依题意得出 ，根据
，即可求解．
【详解】解：∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
8．（2023上·河北沧州·七年级校考期中）已知 ， 与 互为补角， 与 互为补角，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了补角的定义，同角的补角相等，解题的关键是掌握“相加等于180度的两个角互补”，
以及同角的补角相等．
【详解】解：∵ 与 互为补角， 与 互为补角，
∴ ，
∴ ，
故选：C．9．（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）下列说法中：（1）x是单项式；（2）多项式
的次数是4；（3） 的常数项是1；（4）由两条射线组成的图形叫做角，正确的
个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查单项式，多项式，角．根据单项式：“数字与字母的乘积，单个数字和字母也是单项
式”，多项式的次数：“最高项的次数”，常数项：“不含字母的项”，有公共端点的两条射线组成角，
逐一进行判断即可．
【详解】解：x是单项式；故（1）正确；
多项式 的次数是4；故（2）正确；
的常数项是 ；故（3）错误；
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；故（4）错误；
故选C．
10．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）若 与 互余， 与 互补，则 与 的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 与 互余， 与 互补可得 ， ，由 得：
，由此即可得到答案．
【详解】解： 与 互余， 与 互补，
， ，
由 得： ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是要记住互为余角的两个角的和为 ，互为补角的两
个角的和为 ．
二、填空题
11．（2022上·辽宁盘锦·七年级统考期末）已知 的余角为 ，则 ．
【答案】【分析】根据余角定义求解即可．
【详解】解：∵ 的余角为 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查余角定义，熟知和为 的两个角互余是解答的关键．
12．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）已知 与 互余，若 ，则 的度数为
【答案】
【分析】本题考查了互余的定义，互余的两角之和为 ，据此作答即可．
【详解】∵ 与 互余，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图， ， ，
，那么 等于 ．
【答案】150
【分析】本题主要考查了角的和差关系，根据题意解题即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14．（2023上·辽宁沈阳·七年级校考期中）亲爱的同学，按正常做题速度，北京时间上午 ，你应该做到此题了， 这个时刻钟表上的时针和分针的夹角度数是 （要求：夹角度数小于 ）．
【答案】
【分析】本题主要考查时钟的时针和分针的夹角，表盘平均分成12等份，每份为 ，且分钟每走动 时
针走动 ，结合起点相同和走动偏离角即可解得答案．
【详解】解：上午 时针和分针在8和2的位置，夹角为 ，但时针偏离到9的度数为
，夹角度数为 ,故时刻钟表上的时针和分针的夹角度数 ．
故答案为： ．
15．（2023上·河北石家庄·七年级统考期中）把 用度、分、秒表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了度分秒的换算，根据 ， 进行换算即可得到答案．
【详解】解：
，
把 用度、分、秒表示为 ，
故答案为： ．
16．（2023上·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图，直线 ， 交于点 ．射线 平分 ，若
，则 等于 ．
【答案】 /156度
【分析】根据对顶角相等得到 ，利用角平分线的性质求出 的度数，再根据邻
补角求出 ，利用角的和，即可解答．
【详解】解：根据对顶角相等，得： ，
射线 平分 ，，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查对顶角和邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是熟记对顶角和邻补角的定义．
17．（2023上·江西抚州·七年级校联考期中）定义：从 的顶点出发，在角的内部引一条射线 ，
把 分成 的两部分，射线 叫做 的三等分线．若在 中，射线 是 的三
等分线，射线 是 的三等分线，设 ，则 用含x的代数式表示为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论．
【详解】如图，
∵射线 是 的三等分线，
∴ 把 分成 的两部分，
∴ 或 ，
∵射线 是 的三等分线，
∴ 把 分成 的两部分，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 或 ，当 时， 或 ，
当 时， 或 ，
故答案为： 或 或 ．
三、解答题
19．（2023上·河北承德·七年级统考期中）如图， ， 平分 ，且 ，求
度数．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质和求一个角的余角，题目较为简单，先利用角平分线的定义求出 ，
再求其余角 即可，运用数形结合思想是解题的关键．
【详解】∵ 平分 ，且
∴ ，
∵ ，
∴ ，
20．（2023上·甘肃武威·六年级校联考期中）下面是某市 路公共汽车的行驶路线图．
(1) 路公共汽车从汽车站出发，先向( )行( )千米到达东关站后，再向( )偏( ) 方向行驶( )千米到
达公园．
(2)由中心广场先向东偏( )( )行驶( )千米到达医院，再向( )偏( )( )的方向行驶( )千米到达体育馆．
【答案】(1)东； ；东；北；
(2)南； ；北；东；【分析】本题考查依据方向和距离判定物体的位置的方法
（1）根据地图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”即可写出答案．
（2）根据地图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”即可写出答案．
【详解】（1）解： 路公共汽车从汽车站出发，先向东行 千米到达东关站后，再向东偏北 方向行驶
千米到达公园．
故答案为：东； ；东；北；
（2）解：由中心广场先向东偏南 行驶 千米到达医院，再向北偏东 的方向行驶 千米到达体育
馆．
故答案为：南； ；北；东；
21．（2023上·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校联考期中）请补全下面的解题过程
已知：如图，点A，O，B在同一条直线上， 平分 ， ．
求证： 是 的平分线．
证明：因为 是 的平分线，
所以 ．
因为 ．
所以 ，
②°．
因为 ，
所以 ．
所以 是 的平分线．
【答案】① ② ③ ④
【分析】此题考查角平分线的定义，等角的余角相等的性质，根据角平分线的定义以及等角的余角相等逐
步推理证明 ，即可得到结论．
【详解】证明：因为 是 的平分线，
所以 ．
因为 ．所以 ，
．
因为 ，
所以 ，
所以 是 的平分线．
故答案为：① ② ③ ④ ．
22．（2023上·河北石家庄·七年级石家庄市第四十中学校考期中）综合与实践
【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，
【操作发现】如图①， 且两个角重合．
（1）将 绕着顶点O顺时针旋转 如图②，此时OB平分 ； 的余角有 个，分别是： ．
【实践探究】
（2）将 绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若 ，射线OE在 内部，且
请探究：
① 的补角是哪几个角？ ．
②求 的度数．
【答案】（1） ，2， 和 ；（2）① ， ， ；②
【分析】本题考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的运算、余角和补角的定义：
（1）根据旋转的性质得 ，进而可得角平分线的答案，根据 ，
，进而可求解；
（2）①根据旋转的性质及角度之间的计算找出与 相加等于 的角即可；②利用角度之间的计算
即可求解；
熟练掌握角度之间的计算，理解平角、余角和补角的定义是解题的关键．
【详解】解：（1）由旋转的性质得： ，
，
，，
平分 ，
， ，
的余角有2个（本身除外），分别是 和 ，
故答案为： ；2； 和 ；
（2）① ， ，
，
，
的补角是 ，
，
，
的补角是 ，
，
的补角是 ，
综上所述， 的补角分别是 、 、 ，
故答案为： 、 、 ．
②∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
23．（2023上·河北承德·七年级统考期中）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF
重合， ，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度 ，
(如图2)，在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方，当OB平分由OA，OC，OD其中任意两边组成的
角时，求 的值．【答案】 的值为 或 或
【分析】本题考查角平分线及角度加减，分①当 在 左边且平分 时，②当 在 右边且平
分 时，③当 在 右边且平分 时，三类讨论 位置，根据平角定义列式即可得到答案，
解题的关键是分类讨论 位置．
【详解】解：①当 在 左边且平分 时，
∵ ， ，
∴ ；
②当 在 右边且平分 时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
③当 在 右边且平分 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述 的值为 或 或 ．
24．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）已知 ，过顶点O作射线 ，且 平分 ，
平分 ．
(1)如图，若 在 内．①当 平分 时， 的度数为
②当 时，求 的度数．
(2)嘉嘉说∶“若 在 内旋转，因为 和 的度数不能确定，所以 的度数不能计
算．”琪琪说∶“你说的不对， 的度数能算到，且 的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的
说法正确，并说明理由
(3)若射线 从 出发绕点O顺时针旋转（旋转角小于 ），请直接写出 的度数．
【答案】(1)① ；②
(2)琪琪的说法正确， 的度数不变为 ，理由见解析
(3) 或
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差运算，以及数形结合的数学思想，分类讨论是解
（3）的关键．
（1）①根据角平分线的定义先求 的度数，再求 的度数即可；
②先求 ，再求 ，然后根据角平分线的定义即可；
（2）由角平分线的定义得 ， ，然后根据 求解
即可；
（3）设旋转角为 ，分两种情况解答：①当 时；②当 时， 在 的下方，分
别根据角平分线的概念求解即可．
【详解】（1）①∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
故答案为： ；
②∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ 平分 ，∴ ；
（2）琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由如下：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴
；
（3）设旋转角为 ，
①当 时，如图，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ；
②当 时， 在 的下方，如图，∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ .
25．（2023上·河北石家庄·七年级统考期中）如图1，已知线段 ， ，线段 在线段
上运动（点 不与点 重合），点 、 分别是 、 的中点．
(1)若 ，则 __________ ．
(2)当线段 在线段 上运动时，试判断线段 的长度是否会发生变化？如果不变，请求出线段 的
长度；如果变化，请说明理由．
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知 在 内部转动， 、 分别平分
和 ．类比以上发现的线段的规律，若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)22
(2)不变，22厘米
(3)105度
【分析】本题考查了角的计算，两点间的距离，熟练掌握角的计算以及两点间的距离的计算方法进行求解
是解本题的关键．（1）先计算出 ，再由点 、 分别是 、 的中点，得出 ，
，最后由 代入数值进行计算即可；
（2）根据线段中点的性质可得 ， ，再由
进行计算即可得到答案；
（3）由角平分线的定义可得 ， ，根据
推出 ，代入计算即可得到答案．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
点 、 分别是 、 的中点，
， ，
，
故答案为：22；
（2）解：线段 的长度不会发生变化；
理由如下：
∵点 、 分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：∵ 、 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴
．26．（2023上·江西抚州·七年级校联考期中）如图，O是直线 上一点，OD平分 ， ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，则 ______（用含 的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了有关角的计算；
（1）求出 ，根据 平分 得出 ，求出 ，根据
求出即可；
（2）求出 ，根据 平分 得出 ，求出 ，根据
求出即可．
【详解】（1） 是直线 上一点，
，
，
，
平分 ，
，
， ，
；
（2） 是直线 上一点，
，
，
，
平分 ，，
， ，
．
