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长沙市第一中学 2025-2026 学年高一上学期 1 月期末考试
数学试题
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D. 1
2. 函数 的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点 是第四象限的点，则角 的终边位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 函数 在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
5. 若对定义域内的任意 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数 ，则“ ”是“ 为偶函数” （的 ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 若 ， ，并且 均为锐角，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数 恰有 个零点，则正数 的取值范围是（ ）
.
A B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数 ，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知曲线 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 把曲线 向左平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线
B. 把曲线 向左平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）得到曲线
C. 把曲线 上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度得到曲线
D. 把曲线 上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度得到曲线
11. 已知函数 有两个零点 ， ，函数 有两个零点 ， ，则（ ）
A. B.C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数 单的调递增区间是__________．
13. 化简 的值为______．
14. 已 知 函 数 ， 若 方 程 有 4 个 根 ， ， ， ， 且
的
，则实数 取值范围是____， 的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ，
（1）求集合 ；
的
（2）若 ， ，求实数m 取值范围．
16. 近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深
挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计
划在如图所示的扇形区域 内修建矩形水池 ，矩形一边 在 上，点 在圆弧 上，
点 在边 上，且 ， 米，设 .（1）若 ，求 的长；
（2）若矩形 的面积为 ，当 为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值.
17. 某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优
质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接
渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的
一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克的销售价格 （单位:元/千克）
关于第 天 的函数关系近似满足 .日销售量 （单位:千克）关于第
天的部分数据如下表所示:
9 14 18 22 29
54 59 63 59 52
（1）给出以下四种函数模型:① ；② ；③ ；④
.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描
述日销售量 关于第 天的变化关系，并求出该函数的解析式:
（2）设该工艺品的日销售收入为函数 （单位:元）:求函数 的最小值.
18. 已知函数 是偶函数．
（1）求实数 的值；
（2）若 对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围；（3）若函数 在 上存在 ，使得 成立，求实数 的
取值范围．
19. 设 ，其中 ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求不等式 的解集；
（3）若对任意 ， ，恒有 ，求实数 的取值范围.
