文档内容
专题 1.5 数轴与相反数（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴；
【知识点二】数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素；
【知识点三】数轴和画法：
1、画一条直线（通常画成水平直线）；
2、在直线上适当位置取一点为原点；
3、通常规定直线上从原点向右方向为正方向，用箭头表示出来；
4、根据需要，选取适当长度为单位长度，原点右边，每一个单位长度取
一个点，依次表示 1，2，3...; 在原点左边用同样方法表示-1，-2，-
3...
【知识点四】有理数与数轴上点的关系：任何一个有理数都可以用数轴上
的一个点来表示，一般地，设 a 为一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原
点的右边，与原点的距离为 a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，
与原点的距离也为a单位长度；
【知识点五】相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，特别的
地，0的相反数是0；
【知识点六】相反数的性质：
（1）a,b互为相反数，则a+b=0;反之，若a+b=0，则a,b互为相反数；
（2）一个有理数有且只有一个相反数；
（3）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数.【知识点六】相反数的几何意义：
一般地，在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点两侧，并且到原
点的距离相等.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】数轴的三要素及数轴上表示有理数；
【例1】（23-24七年级上·广东肇庆·期中）（1）如图，写出数轴上点 ， ， ， 表示的数；
（2）请你自己画出数轴并表示下列有理数： ， ．
【答案】(1) ， ， ， 表示的数分别是： ， ， ， ；(2)见解析．
【分析】（ ）根据数轴可以直接写出点 ， ， 、 表示的数；
（ ）画出数轴，在数轴上描出题目中两个数在数轴上对应的点；
此题主要考查了数轴，点在数轴上位置确定，解题的关键是熟练掌握画数轴以及在数轴上表示数，
用数轴表示数时要注意画数轴有三个基本要素：原点、正方向、单位长度．
解：（1）由数轴可得，点 ， ， ， 表示的数分别是： ， ， ， ；
（2）先画出数轴，表示如下图所示：
【变式1】（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键．据此
对各选项逐一分析判断即可．解：A．数轴上的点应该越向右越大， 与 位置颠倒，故此选项不符合题意；
B．没有原点，故此选项不符合题意；
C．没有正方向，故此选项不符合题意；
D．数轴画法正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【变式2】（2024·福建福州·一模）如图，数轴上的三个点中，表示负数的是点 ．
【答案】M
【分析】本题考查的是数轴，正数和负数，根据数轴的概念和数轴上各点的分布即可得出答案．
解：由数轴可知，取右方向为正方向，可得：在原点左侧的各点为负数，在原点右侧的各点为正数，
∵M点在原点的左侧，N点，P点在原点的右侧，
∴表示负数的是点M，
故答案为：M．
【题型2】数轴与相反数的理解认识；
【例2】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）在数轴上表示下列有理数及其相反数，再用“＜”把
所有表示的数连接起来：
【答案】图见解析，
【分析】本题考查相反数：“只有符号不同的两个数”，用数轴比较有理数的大小，先求出相反数，
在数轴上表示出各数，再根据数轴上的数右边的比左边的大，进行及比较即可．
解： 的相反数为分别为 ，数轴上表示各数如图：
由图可知： ．
【变式1】（2024·甘肃陇南·三模）如图，数轴上点A的相反数是（ ）A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据数轴可知点A表示的数是2，再根据相反数的定义，即可得到答案．
本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
解：由数轴可知，点A表示的数是2，2的相反数是 ，
故选：A．
【变式2】（23-24七年级上·浙江·期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点A与点B互为相反数，
那么点C表示的数是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值等知识点，关键是理解相反数在数轴上表示的意义，即
在数轴上，互为相反数的两个点到原点的距离相等，且在原点的两旁．
根据在数轴上，互为相反数的两个点到原点的距离相等，且在原点的两旁，得出点A表示的数是 ，
点 表示的数是1，进而得出答案．
解： 数轴的单位长度为 ，点A与点B互为相反数，
点A表示的数是 ，点 表示的数是1，
∴点C表示的数是5．
故答案为：5．
【题型3】利用数轴比较有理数的大小；
【例3】（23-24七年级上·四川内江·期中）（1）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
， ， ， ， ．
（2）用“ ”号把各数从小到大连起来：
（3）请找出其中的一对相反数．
【答案】（1）见解析；（2） ；（2） 和 互为相反数
【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，相反数的定义，正确在
数轴上表示出各数是解题的关键．（1）根据有理数与数轴的关系，在数轴上表示出各数即可；
（2）根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可；
（3）根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可．
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）由数轴可知， ；
（3）由题意得， 和 互为相反数．
【变式1】（2024·北京顺义·一模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题
的关键．根据数轴上的点的特征即可判断．
解：A： 点 在 的左边， ，故该选项不符合题意；
B： 点 在 的左边， ，故该选项不符合题意；
C： ， ，又 ， ，故该选项不符合题意；
D： ， ，又 ， ，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式2】（23-24七年级上·河北唐山·期中）数m，n在数轴上的位置如图所示，用“ ”把m，
，n， 连接起来为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握数轴上点越向右越大．解：由数轴可知， ，且 ，
故 ．
故答案为： ．
【题型4】相反数意义及符号简化；
【例4】（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）化简下列各数：
① ； ② ； ③ ； ④ ；
（2）化简过程中发现：化简结果的符号与原式中“ ”的个数有着密切联系，当“ ”的个数是奇
数时，最后结果为_________数；当“ ”的个数是偶数时，最后结果为_________数．
【答案】（1）1，8，-a，a；（2）负，正
【分析】利用相反数的定义以及多重符号法则求解即可．
解：（1）① ；
② ；
③ ；
④ ；
（2）通过（1）中化简过程中发现，化简结果的符号与原式中“ ”的个数有着密切联系，当“
”的个数是奇数时，最后结果为负数；当“ ”的个数是偶数时，最后结果为正数．
故答案为：负，正．
【点拨】本题考查相反数的定义以及多重符号法则，熟练掌握多重符号法则“奇负偶正”是解答的
关键．
【变式1】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．在一个数前面添加一个“ ”号，就变成原数的相反数
B． 与 互为相反数
C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数
D． 的相反数是
【答案】D
【分析】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
解：A．在一个数前面添加一个“ ”号，就变成原数的相反数，说法正确，故本选项不合题意；
B． 与2.2互为相反数，说法正确，故本选项不合题意；
C．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数，说法正确，故本选项不合题意；
D． 的相反数是 ，所以原说法错误，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式2】给出下列各对数： 与 ， 与 ， 与 ， 与 ，
与 中，互为相反数的有
【答案】 与 ， 与
【分析】根据相反数的定义，逐个化简，再分析.
解： =-3与 不是互为相反数，
=- 与 =-2不是互为相反数，
与 互为相反数，
=-3与 =-3不是互为相反数，
与 互为相反数
故答案为 与 ， 与
【点拨】考核知识点：相反数.理解相反数的定义是关键.
【题型5】数轴上距离问题
【例5】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）阅读理解：
数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段 ；线
段 ．问题：
（1）数轴上点M、N代表的数分别为 和3，则线段 _______；
（2）数轴上点E、F代表的数分别为 和 ，则线段 _______；
（3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为 ，求另一个点表示的数．
【答案】(1)7；(2)4；(3)另一个点表示的数为2或
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可；
（2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可；
（3）分两种情况讨论，当另一个点在 右侧或当另一个点在 左侧，再根据数轴上两点间的距离
求解即可．
解：（1）数轴上点M、N代表的数分别为 和3，则线段 ，
故答案为：7；
（2）数轴上点E、F代表的数分别为 和 ，则线段 ，
故答案为：4；
（3）由题可得：①当另一个点在 右侧时， ；
②当另一个点在 左侧时， ，
综上，另一个点表示的数为2或 ．
【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点
A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若 ，则点C表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了数轴，解题的关键是熟知数轴的特点．先利用点A、B表示的数计算出 ，
再计算出 ，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数．
解：∵点A，B表示的数分别是1，3，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵C在B的左侧，
∴点C表示的数是 ．故答案为： ．
【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B
表示的数分别是 ，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线 上且到点B的
距离为6，则C点表示的数是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对
应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数．
解：设 是点 的对应点，由题意可知点 是 和 的中点
当点 在 的右侧， ， 表示的数为 ，
那么C表示的数为： ，
当点 在 的左侧， ， 表示的数为 ，
那么C表示的数为： ，
故选：C．
【题型6】数轴上的动点问题
【例6】（23-24七年级上·全国·课后作业）有理数 ， 在数轴上的位置如图所示．
（1）在数轴上分别用 ， 两点表示 ， ；
（2）若数 与 表示的点相距20个单位长度，则 与 表示的数分别是什么？
（3）在（2）的条件下，若数 表示的点与数 的相反数表示的点相距5个单位长度，则 与 表
示的数是多少？
【答案】(1)见解析；(2) 表示的数是 ， 表示的数是10；(3) 表示的数是5， 表示的数是
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等，据此求出 表示的点到原点的距离为 ，结合数轴即可作答；
（3）结合（1）的图形，可得 ，先求出 表示的点到原点的距离为 ，问题随之得解．
解：（1）如图，
（2）数 与其相反数相距20个单位长度，
则 表示的点到原点的距离为 ，
∴结合数轴， 表示的数是 ，
即 表示的数是 ；
（3）如图，
即有 ，
∵ 表示的点到原点的距离为10，而数 表示的点与数 的相反数表示的点相距5个单位长度，
∴ 表示的点到原点的距离为 ，
∴ 表示的数是5， 表示的数是 ．
【点拨】本题考查的是相反数的定义等知识，熟知以上知识是解答此题的关键．
【变式1】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）一个点在数轴上表示 ，该点在数轴上移动3个单
位长度后所表示的数是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，；利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
解： 在数轴上向左移动3个单位长度后所表示的数是 ；
在数轴上向右移动3个单位长度后所表示的数是 ；
即该点在数轴上移动3个单位长度后所表示的数是 或 ，
故选：C．
【变式2】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的
数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段 和 的大
小关系满足 时，点P表示的数是 ．【答案】26或 / 或 26
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据题意可得该问题可分为两种情
况，即可得到等式，求解即可得到结果，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键．
解：在点P运动过程中， ，即 ，
分两种情况：
①当点P运动到点A右侧时， ，
此时点P表示的数是 ；
②当点P运动到点A左侧时，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
则 ， ，
∴点P表示的数是 ，
综上所述，点P表示的数是26或 ，
故答案为：26或 ．
【题型7】数轴上点的符号判断式子符号
【例6】（20-21七年级上·福建龙岩·阶段练习）点A，B在数轴上的位置如图所示：
（1）点A表示的数 ______，点B表示的数是 ______
（2）在原图中分别标出表示 的点C、表示 的点D；
（3）比较 的大小，井用“ ”连接．
【答案】(1) ， ；(2)见详解；(3)
【分析】（1）直接利用数轴得出各点表示的数；
（2）利用相反数的定义，在数轴表示出 ， 点位置；
（3）利用数轴上点的特征得出答案．
（1）解：点A表示的数是： ，点 表示的数是：3，
故答案为： ， ；
（2）解：如图所示：点 ， 即为所求；（3）解：由（2）中数轴上的点从左到右依次增大，得
．
【点拨】此题主要考查了相反数的定义，数轴上点的特征，正确掌握数轴上点的特征是解题的关键．
【变式1】（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为
原点，且 ， ，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，熟练掌握数轴的特性是
解题的关键； 根据 ，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据 ，求
出B点所表示的数是多少即可．
解： 点表示的数为x，
表示的数是 ，
点和点A表示的数互为相反数，
点所表示的数是 ，
故选： ．
【变式2】（22-23七年级下·广东惠州·阶段练习）点 ， 在数轴上的位置如图，则 ，
【答案】
【分析】根据数轴上点的位置判断出 与 的正负即可．
解：根据数轴上点的位置得： ，且 ，
则 ， ，
故答案为： ； ．
【点拨】本题主要考查了数轴，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考
【例1】（2023湖北黄石）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】根据数轴上右边的数总大于左边的数求解即可．
解：由图可知， ，
故选：C．
【点拨】本题考查利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上右边的数总大于左边的数是解答的关键．
【例2】（2023四川自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023， ，则点B表示的数是
（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴的定义求解即可．
解；∵数轴上点A表示的数是2023， ，
∴ ，
∴点B表示的数是 ，
故选：B．
【点拨】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）李老师善于通过知识迁移，对问题进行拓展探究，
培养同学们用数学的思维思考现实世界的能力．下面李老师在“数轴的实际应用”主题下设计的问
题，请你解答．
（1）知识回顾
如图1，数轴上有一个表示数a的点M，已知点M在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是
5，那么a的值是 ；（2）探究迁移
如图2，有一根木尺 放置在数轴上，它的两端P，Q分别落在A、B两点处．将木尺在数轴上水
平移动，当点P移动到点B时，点Q所对应的数为24；当点Q移动到点A时，点P所对应的数为6
（单位：cm）．利用所学知识求出点A、点B所表示的数及木尺 的长；
（3）拓展应用
一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我
现在这么大，我已经是116岁了！”请你利用（2）的方法，请直接写出小明和爷爷的年龄．
【答案】(1)2；(2)A点表示的数为12，B点表示的数，18， ；(3)小明12岁，爷爷64岁
【分析】本题考查了数轴上的动点，两点间的距离，理解题意，数形结合分析问题是解题关键．
（1）根据右加左减的规律求解即可；
（2）由题意可知，B点到24的距离、 的距离、A点到6的距离相等，由线段图可求 的长；
（3）仿照（2）画出图，可知爷爷和小明的年龄差为： 岁进而可求出小明和爷爷
的年龄．
解：（1）∵点M在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5，
∴ ．
故答案为：2；
（2）由题意可知，B点到24的距离、 的距离、A点到6的距离相等，
∴ ，
∴A点表示的数为 ，B点表示的数为 ；
（3）如图：
爷爷和小明的年龄差为： （岁），
∴爷爷的年龄为 （岁），
小明的年龄为 （岁），
∴小明12岁，爷爷64岁．
【例2】（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
(1)折叠纸面，使表示的点1与-1重合，则-2表示的点与_______表示的点重合；
(2)折叠纸面，使-1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数_______表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示
的数是______、点B表示的数是_______．
(3)已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动2022个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，
求a的值．
【答案】(1)2； (2)①-3；②-3.5，5.5 ；(3)
【分析】（1）由题可知沿原点折叠，即可得到答案．
（2）①由题可知沿1折叠，即可得到答案；②由A、B两点之间的距离，可知A、B两点与1的距
离相等，均为4.5，再利用点平移即可得到答案．
（3）利用点平移表示出A点表示的数，再根据A点表示的数和a互为相反数列方程，解方程即可
得到答案．
（1）解：∵1与-1重合
∴沿原点折叠
∴-2表示的点与2重合
故答案为：2．
（2）解：①∵-1表示的点与3表示的点重合
∴沿1折叠
所以5表示的点与数-3表示的点重合故答案为：5．
②∵A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合
且沿1折叠
∴点A表示的数是-3.5，点B表示的数是5.5
故答案为：-3.5，5.5．
（3）解：∵点A表示的数是a，点A移动2022个单位
∴A表示的数为
∴ 或
解得
∴a的值为 ．
【点拨】本题考查了数轴上点的平移．方法总结：在数轴，上点往左平移，数变小，做减法；点往
右平移，数变大，做加法．
