文档内容
第 04 讲 实数（7 个知识点+7 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周
率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如 4＝4.0， ＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如 ＝
1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有 的数，如分数 是无理数，因为 是无理数．
无理数常见的三π种类型 π
（1）开不尽的方根，如 等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有 的绝大部分数，如2 ．
注意：判断π一个数是否为无理数，π 不能只看形式，要看化简结果．如 是有理数，而不
是无理数．
知识点2．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
知识点3．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数 a的绝对值就是在数轴上这
个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝
对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定
是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与
b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
知识点4．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数
轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数 a
的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左
边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
知识点5．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于 0，负实数都小于0，正实数大于一切
负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比
左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
知识点6．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
知识点7．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、
乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算
乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根
式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从
左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
知识复习
一．无理数（共6小题）
1．（2023秋•高邮市期末）下列各数 ， ， ， ， 中，无理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023春•顺平县期末）在 ，3.14159， ， ， ，0.6，0， ， 中是无
理数的个数有 个．
3．（2023春•滨城区期中）我们在七年级上册学习了有理数，这学期类比有理数学习了无
理数，进而把数系扩大到了实数，请回忆七下第六章实数，叙述实数的学习路径（思路）
及研究中用到的数学思想和方法．
4．（2023秋•槐荫区期中）在下列实数中：① ，② ，③ ，④ ，⑤
（两个1之间依次多1个 ，属于无理数的是 ．（直接填写序号）
5．（2023 春•上杭县期中）新定义：若无理数 的被开方数 为正整数）满足
（其中 为正整数），则称无理数 的“青一区间”为 ；同理规
定无理数 的“青一区间”为 ．例如：因为 ，所以 的“青一区
间”为 ， 的“青一区间”为 ，请回答下列问题：
（1） 的“青一区间”为 ； 的“青一区间”为 ；
（2）若无理数 为正整数）的“青一区间”为 ， 的“青一区间”为 ，
求 的值．
（3）实数 ， ，满足关系式： ，求 的“青一区间”．
6．（2023春•路北区期中）如图，是一个数值转换器，原理如图所示．
（1）当输入的 值为16时，求输出的 值；
（2）是否存在输入的 值后，始终输不出 值？如果存在，请直接写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由．
（3）输入一个两位数 ，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则 ．
二．实数（共7小题）
7．（2023秋•海陵区校级期末）下列各数中，是有理数的是
A． B． C． D．
8．（2023春•播州区期中）在 ， ， ， （相邻两个1之间的0的个
数逐次增加 中，有理数是
A．
B．
C．
D． （相邻两个1之间的0的个数逐次增加
9．（2023春•夏邑县期中）有一个数值转换器，流程如图所示．当输入 的值为125时，
输出 的值是 ．
10．（2023春•邹城市期中）在实数：3.14159， ， ， ， ， ，有理数的
个数是 ．
11．（2023秋•射阳县期末）将下列各数对应的序号填在相应的集合里．
① ，②0，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦正数集合：
整数集合：
负分数集合：
无理数集合：
12．（2023春•定南县期中）把下列各数分别填入相应的集合中．
， ， ，3.14， ，0， ， ．
（1）有理数集合： ；
（2）无理数集合： ；
（3）正实数集合： ．
13．（2023秋•顺德区校级月考）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）
① ；② ；③ ； ④ 0.54：⑤ ；⑥ ；⑦ 0；⑧ ；⑨ ；⑩
（相邻两个2之间0的个数逐次加一）
有理数集合： ．
无理数集合： ．
正实数集合： ．
负实数集合： ．
三．实数的性质（共5小题）
14．（2023秋•高邮市期末）下列各组数中，互为相反数的一组是
A． 与 B． 与 C．3与 D． 与3
15．（2023春•蒸湘区校级期末）下列说法中，正确的是A． ， ， 都是无理数
B．绝对值最小的实数是0
C．实数分为正实数和负实数两类
D．无理数包括正无理数、负无理数和零
16．（2023秋•哈尔滨期末）实数 的相反数是 ．
17．（2023春•长垣市期末）已知 的立方根是 ， 的算术平方根是2， 是
的相反数．
（1）求 ， ， 的值；
（2）求 的平方根．
18．（2023春•永吉县期中）若 和 是正实数 的两个平方根．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3） 的相反数是 ．
四．实数与数轴（共4小题）
19．（2023秋•邯郸期末）如图，面积为3的正方形 的顶点 在数轴上，且表示的
数为 ，以点 为圆心， 长为半径画圆，交数轴于点 ．则点 所表示的数为
A． B． C． D．
20．（2022秋•澧县期末）如图：
（1）已知点 、 表示两个实数 、 ，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标
示出来；（2） 为原点，求出 、 两点间的距离．
（3）求出 、 两点间的距离．
21．（2023秋•新乡期末）如图，若数轴上点 表示的数为无理数，则该无理数可能是
A．2.3 B． C． D．
22．（2023秋•沭阳县期末）在长方形纸片上有一条数轴，小康裁剪了10个单位长度
到 的一条线段，如图，其中 点表示的数为 ， 点表示的数为5，小康先将纸片左右
对折，再将对折后的纸片沿数轴上的 点左右折叠使得点 与点 重合，点 表示的数是
．
五．实数大小比较（共5小题）
23．（2023 秋•广平县期末） 、 、 为三整数，若 ， ，
，则下列有关于 、 、 的大小关系正确的是
A． B． C． D．
24．（2024•沙坪坝区校级开学）在1.5， ， ，0这四个数中，最小的数是
A．1.5 B． C．0 D．
25．（2024•沙坪坝区校级开学）在2， ，1， 这四个数中，最大的数是
A．1 B． C．2 D．
26．（2023秋•都昌县期末）比较两数的大小： 3．（填“ ”或“ ”27．（2023秋•利川市期中）如果有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，根据图回答
下列问题：
（1）比较大小： 0； 0； 0；
（2）化简 ．
六．估算无理数的大小（共7小题）
28．（2023秋•漳州期末）整数 满足 ，则 ．
29．（2023秋•松阳县期末）已知整数 满足 ，则 的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
30．（2023秋•广平县期末） 的整数部分是 ； 的小数部分是 ．
31．（2024•碑林区校级一模）写出一个绝对值小于 的负整数是 （写出符合条件
的一个即可）
32．（2023秋•雨湖区期末）若 ， 是两个连续自然数，且满足 ，则 的算
术平方根为
A． B． C．20 D．
33．（2023秋•新乡期末）已知 ， ， 均为实数，且 的立方根是4，正数 的平
方根分别是 与 ， 是 的整数部分．
（1）求正数 的值；
（2）求 的值．
34．（2023秋•漳州期末）小李同学探索 的近似值的过程如下：
面积为137的正方形的边长是 且 ，设 ，其中 ，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积 ，
又 ，
．
当 时，可忽略 ，得 ，得到 ，
即 ．
（1）写出 的整数部分的值；
（2）仿照上述方法，探究 的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
七．实数的运算（共6小题）
35．（2023秋•蓝山县期末） ．
36．（2024•渝中区校级开学）根据如图所示的计算程序，若开始输入 的值为 ，则
输出 的值为A． B．1 C．3 D．
37．（2023秋•淅川县期末）（1）计算： ；
（2）解方程： ．
38．（2024•渝中区校级开学）计算：
（1） ；
（2） ．
39．（2023 春•凤山县期中）对于任意不相等的两个实数 ， ，定义一种算法
，例如： ， ．
40．（2024•渝中区校级开学）计算：
（1） ；
（2） ．
强化训练
一、单选题
1．（2023下·河南许昌·七年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．无理数都是无限小数 B．无理数都是带根号的数
C．无理数的和还是无理数 D．实数包括有理数、无理数和0
2．（2023下·北京顺义·七年级统考期中）一罐饮料净重 克，罐上注有“蛋白质含量”
，其中蛋白质的含量为（ ）
A． 克 B．大于 克 C．不小于 克 D．不大于 克3．（2023下·山西临汾·七年级统考期中）下列说法：① 的平方根是 ；②负数没有
立方根；③ 的相反数是 ；④负数没有平方根；⑤立方根是本身的数有 、 、
．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2023下·四川泸州·七年级校联考期末）下列语句中，是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．有理数和无理数统称实数
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行D．同旁内角相等，两直线平行
5．（2023下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）若 表示实数x的整数部分， 表示
实数x的小数部分，如 ， ， ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·青海西宁·七年级校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·云南昭通·七年级统考阶段练习）我们知道 是无理数，而无理数是无限不
循环小数，因此 的小数部分不可能全部写出来，但因为 ，即 ，
所以可以用 来表示 的小数部分．如果 的小数部分是a， 的整数部分是b，
那么 的值是（ ）
A． B． C． D．4
8．（2023下·河南信阳·七年级统考期中）下列关于 说法错误的是（ ）
A． 是无理数 B．数轴上可以找到表示 的点
C． 相反数是 D．9．（2023下·贵州黔西·七年级校考期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x
的值为81时，输出的y值是（ ）
A． B．3 C．9 D．
10．（2023下·北京海淀·七年级校考阶段练习）根据表中的信息判断，下列语句中正确的
是（ ）
x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
22 228.0 231.0 234.0 237.1 240.2 243.3 246.4 249.6 252.8 25
5 1 4 9 6 5 6 9 4 1 6
A．
B．235的算术平方根比15.3大
C．只有2个正整数 满足
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出 将比256增大3.19
二、填空题
11．（2023下·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）若 的整数部分是 ，小数部
分是 ．
12．（2023下·北京海淀·七年级校考阶段练习）在数轴上离原点距离是 的点表示的数是
；离 距离是 的点表示的数是 ．
13．（2023下·湖北孝感·七年级校考期中）(1)在数轴上离原点距离是 的点表示的数是
；
(2)若 ，则 的值是 ；
(3) 的相反数是 ．14．（2021下·全国·七年级专题练习）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错
的填写“错误”，并说明理由．
(1)无理数都是开方开不尽的数．( )
(2)无理数都是无限小数．( )
(3)无限小数都是无理数．( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( )
(5)不带根号的数都是有理数．( )
(6)带根号的数都是无理数．( )
(7)有理数都是有限小数．( )
(8)实数包括有限小数和无限小数．( )
15．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新
的运算如下： ，例如： ．那么
16．（2023下·湖北省直辖县级单位·七年级校考期中）如图是一个数值转换器，当输入
的值为289时，则输出 的值是 ．
17．（2023下·上海·七年级校考期中） 的小数部分是 ．
18．（2023下·广东中山·七年级统考期中）比较大小： ．
三、解答题
19．（2023下·七年级课时练习）比较 与 的大小．
20．（2023下·七年级课时练习）把下列各数及其相反数在数轴上表示出来，并用“＜”连
接起来．
， ， ， ．21．（2023·浙江·七年级假期作业）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填
写“错误”，并说明理由．
(1)无理数都是开方开不尽的数．（ ）
(2)无理数都是无限小数．（ ）
(3)无限小数都是无理数．（ ）
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（ ）
(5)不带根号的数都是有理数．（ ）
(6)带根号的数都是无理数．（ ）
(7)有理数都是有限小数．（
(8)实数包括有限小数和无限小数．（ ）
22．（2023下·四川泸州·七年级校联考期末）计算：23．（2023下·云南保山·七年级校考期中）把下列各数分别填入相应的集合里．
0， ， ， ， ， ， ， ， （每2个4之间依次多
一个3）
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
分数集合：{ …}．
24．（2023下·安徽合肥·七年级校考期中）现有一组有规律的数： ， ， ， ，
， ，其中 ， ， ， ， 这六个数按此规律重复出现．
(1)第 个数是______ ，第 个数是______ ．
(2)从第 个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为 ，那么共有多少个数的平方
相加？
25．（2023下·福建莆田·七年级期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现
有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两
种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？26．（2023下·重庆江津·七年级期中）（1）已知实数a，b，c满足
，求 的值；
（2）已知 的小数部分是a， 的小数部分是b，求
