文档内容
专题 03 绝对值（3 个知识点 11 种题型 2 个易
错点 2 种中考考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：绝对值的概念
知识点2：绝对值的性质
知识点3：比较有理数大小
【方法二】 实例探索法
题型1：绝对值的化简
题型2：已知一个数的绝对值，求这个数
题型3：利用绝对值确定整数
题型4：比较有理数大小
题型5：利用数轴比较数与数绝对值的大小
题型6：利用绝对值解决实际问题
题型7：利用绝对值的非负性求值
题型8：绝对值与有理数的大小的综合应用
题型9：数轴上两点间距离与两点的关系
题型10：利用绝对值求最值
题型11：绝对值方程
【方法三】 差异对比法
易错点1：忽略了0的绝对值
易错点2：误认为小于某正数的所有整数只有非负数
【方法四】 仿真实战法
考法1：求一个数的绝对值
考法2：比较有理数的大小【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1.能利用数轴正确理解绝对值的概念及其几何意义。
2.会求一个有理数的绝对值，会根据绝对值求相应的数。
3.理解互为相反数的两个数的绝对值相等
4.了解绝对值的简单应用，能用绝对值解决简单的实际问题
5.会利用数轴、法则等方法比较有理数大小
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：绝对值的概念
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点分析：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是
0．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对
值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
【例1】（2022秋·湖南衡阳·七年级统考期末） 的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式】求下列各数的绝对值．
，-0.3，0，
知识点2：绝对值的性质
1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
2.求法
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
【例2】（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是（ ）
A．0 B．正数 C．非正数 D．非负数
知识点3：比较有理数大小
1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示
则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号 同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
正数与0：正数大于0
－数为0
负数与0：负数小于0
要点分析：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）
判定两数的大小．
1 2
【例3】用“＞”连接下列个数：2.6，―4.5，10 ，0，―23
【方法二】实例探索法
题型1：绝对值的化简
1．（2023春·天津南开·七年级天津大学附属中学校考开学考试）若 ，那么 _____．
2．（2021秋•富裕县期末）已知：数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|b﹣a|+|b﹣c|＝
．
3.化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．
4．（2021秋•龙泉市期末）若实数a，b满足|a|＝2，|4﹣b|＝1﹣a，则a+b＝ ．
5.计算（1） （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)|
6.(1)|a-4|(a≥4)；(2)|5-b|(b＞5)．
题型2：已知一个数的绝对值，求这个数7.已知一个数的绝对值是4，那么这个数是（ ）
A．4 B． C． D．8
8.如果一个数的绝对值等于，则这个数是__________．
9.如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．
题型3：利用绝对值确定整数
10．（2022秋·广东惠州·七年级统考期中）满足 的整数 共有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11.求绝对值不大于3的所有整数．
12．（2022秋·安徽合肥·七年级校联考阶段练习）（1）如果 ，求 ，并观察数轴上表示 的点与
表示 的点的距离为______；
（2）在（1）的启发下求适合条件 的所有整数 的值______．
13．（2022秋·安徽合肥·七年级统考阶段练习）（1）如果 ，求 ，并观察数轴上表示 的点与表
示1的点的距离．
（2）在（1）的启发下求适合条件 的所有整数 的值．
题型4：比较有理数大小14.比较下列各对数的大小：
1 ( 1) 1
−|−2| − − − −|− |
①－1与－0.01； ② 与0； ③－0.3与 3； ④ 9 与 10 。
15.比较下列各对数的大小：
(1)3和－5；
(2)－3和－5；
(3)－2.5和－|－2.25|；
(4)－和－.
题型5：利用数轴比较数与数绝对值的大小
16.已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示．比较a、b、－a、－b的大小，正确的是( )
A．a＜b＜－a＜－b B．b＜－a＜－b＜a
C．－a＜a＜b＜－b D．－b＜a＜－a＜b
17.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，，－1，4，0.
18.在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数．
5， ，|﹣4|，﹣（﹣1），﹣（+3）题型6：利用绝对值解决实际问题
19.第53届世乒赛于2015年4月26日至5月3日在苏州举办，此次比赛中用球的质量有严格的规定，下表
是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数).
一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球
－0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15
(1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明．
(2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓
球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由．
20.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质
量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判
员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
21.某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食
用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：
+0.0018 -0.0023 +0.0025
-0.0015 +0.0012 +0.0010
请用绝对值知识说明：
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？22.一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程
记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，
如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
题型7：利用绝对值的非负性求值
23.若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值．
24.已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．
题型8：绝对值与有理数的大小的综合应用
25．（2022秋·湖南邵阳·七年级湖南省隆回县第二中学校考期中）已知有理数a、b、c满足：a+c＜0，ac＞
0，|b|＝b，
（1）比较大小：a______0；b_____；c_____0；
（2）先去绝对值，再化简：|a﹣2b+c|﹣ +2|b﹣2c|的值．题型9：数轴上两点间距离与两点的关系
26.探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系：
(1)观察数轴，填空：
点A与点B的距离是 ；点C与点B的距离是 ；
点E与点F的距离是 ；点D与点G的距离是 ．
我们发现：在数轴上，如果点M对应的数为m，点N对应的数为n，那么点M与点N之间的距离 可表
示为 （用m、n表示）．
(2)利用你发现的规律，解决下列问题：数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则x＝ ．
(3)利用你发现的规律，逆向思维解决下列问题：
① ，则x＝ ．
② ，则x＝ ．
题型10：利用绝对值求最值
27．（2023秋·贵州铜仁·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：
的几何意义是数轴上表示数 的点与表示数-2的点的距离， 的几何意义是数轴上表示数 的点与表示
数3的点的距离．当 取得最小值时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
28．（2021秋•南昌期中）若a，b满足|a|＜|b|≤4，且a，b为整数．
（1）直接写出a，b的最大值；
（2）当a，b为何值时，|a|+b有最小值？此时，最小值是多少？
29.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示 和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表
示数 和数 的两点之间的距离等于 ．如果表示数 和 的两点之间的距离是3，那么 _____；
(2)若数轴上表示数 的点位于 与2之间，求 的值；
(3)当 取何值时， 的值最小，最小值是多少？请说明理由．
30.【阅读】若点 ， 在数轴上分别表示有理数 ， ， ， 两点之间的距离表示为 ，则
，即 表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)点 ， 表示的数分别为 ，2，则 _______， 在数轴上可以理解为______；
(2)若 ，则 _________，若 ，则 ________；
【应用】
(3)如图，数轴上表示点 的点位于 和2之间，求 的值；
(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数 ， 是否有最小值？如果有，求出最小值，并
写出此时x的值；如果没有，说明理由．
题型11：绝对值方程
31．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）满足 的x的值是（ ）．A．0 B． C． D．
【方法三】差异对比法
易错点1：忽略了0的绝对值
32．对于任意有理数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 是正数 B． 是负数 C． 是负数 D． 不是正数
33.如果 ，那么a一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．零和负数 D．零和正数
易错点2：误认为小于某正数的所有整数只有非负数
34．绝对值小于4的整数有（ ）．
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【方法四】 仿真实战法
考法1：求一个数的绝对值
35．（2023•随州）﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
35．（2023•浙江）计算：|﹣2023|＝ ．
37．（2023•临沂）在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b|，②a＞0，
③b＜0，④c＜0，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考法2：比较有理数的大小
38．（2023•金华）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是﹣20℃，﹣10℃，
0℃，2℃，其中最低气温是（ ）
A．﹣20℃ B．﹣10℃ C．0℃ D．2℃
39．（2023•枣庄）下列各数中比1大的数是（ ）
A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣3
40．（2023•宁波）在﹣2，﹣1，0， 这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 π C．0 D．
π41．（2023•台湾）已知a＝﹣1， ，c＝﹣1 ，下列关于a、b、c三数的大小关系，何者正确（
）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【方法五】成功评定法
一、单选题
1．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考期中）绝对值不大于3的非负整数有（ ）个
A．1 B．3 C．4 D．7
2．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）如图，有理数a，b，c在数轴上的位置，结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）式子 的值可能是（ ）
A． B． C． D．1
4．（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，
不足标准质量的克数记作负数，从轻重的角度看，最接近标准的工件是（ ）
A．6 B．4 C． D．
5．（2022秋·云南昆明·七年级统考期中）下列说法正确的有（ ）个
①如果地面向上15米记作 米，那么地面向下6米记作 米；
②一个有理数不是正数就是负数； ③任何一个有理数的绝对值都不可能小于零；
④ 一定在原点左边； ⑤在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数越小．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022秋·江苏镇江·七年级镇江市丹徒区高资中学校联考阶段练习）如图，数轴上的A、B、C三点所
表示的数分别为a，b，c，点A与点C到点B的距离相等，如果 ，那么该数轴的原点O的位置
应该在（ ）
A．点A的左边 B．点A与点B之间 C．点B与点C之间 D．点C的右边7．（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）式子 取最小值时，x等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
8．（2022秋·江苏盐城·七年级校联考期中）若a为有理数，则 表示的数是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数
9．（2021秋·河南驻马店·七年级校考期末）如果 ，下列 的取值不能使这个式子成立的是
（ ）
A． B．0 C．1 D． 取任何负数
10．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）如图， ， ， ， 分别是数轴上四个整数所对应的点，
其中有一个点是原点，并且 ，数 对应的点到点 ， 的距离相等，数 对应的点到点 ，
的距离相等，若 ，则原点是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
二、填空题
11．（2022秋·山西临汾·七年级统考期中）若 与 互为相反数，则 的值为
12．（2022秋·江苏南京·七年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）绝对值不大于 的所有整数分别是
．
13．化简： ， ．
14．（2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）我们知道， 表示 在数轴上对应的点到原点的距离， 我们
可以把看作 ．所以， 就表示 与 在数轴上对应的两点之间的距离．若 ，则
．
15．（2022秋·河北廊坊·七年级统考期末） 表示 与 之差的绝对值，实际上也可理解为 与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示 与 两点之间的距离是 ，
（2）数轴上表示 与 的两点之间的距离可以表示为 ．
16．（2022秋·江苏镇江·七年级统考期中）比较大小： （选填“>”、“<”或
“＝”）．
17．（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）比较两数大小： ．
18．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，且 ，化简
．
三、解答题
19．（2022秋·江西景德镇·七年级统考期中）在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来．
① ；② ；③ ；④ ；⑤
20．（2022秋·江苏南京·七年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）根据数学研究对象本质属性的共同点
和差异点，将事物分类，然后对划分的每一类进行研究的方法叫做“分类讨论”方法．
(1)在探究 的大小关系的过程中，我们根据 ， 的符号和绝对值的大小进行分类归纳．下列 ， 的
取值中：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ；⑤ ， ；⑥ ， ；⑦ ， ；⑧ ， ；⑨ ， ．可以代表大小关系不同种类
的取值组合是 _________ ．
A．①②③④⑦⑧⑨ B．①②③④⑤⑥⑦
C．②③④⑤⑥⑦⑨ D．①②③④⑥⑦⑧
(2)通过以上比较，请你归纳出当 ， 为有理数时， 与 的大小关系．
(3)根据（2）中得出的结论，当 时， 的取值范围是 _________ ；整数 ， ， ，
满足 ， ，则 _________ ．
21．（2021秋·广东江门·七年级统考阶段练习）数轴上表示数 的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记
作 ．数轴上表示数 的点到表示数 的点的距离记作 ，如 表示数轴上表示数1的点到表示数3
的点的距离， 表示数轴上表示数1的点到表示数 的点的距离， 表示数轴上表示数
的点到表示数2的点的距离．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)若 ，则 _________，若 ，则 _________；
(2)若 ，则 能取到的最小值是_________；最大值是_________；
(3)若 ，则 能取到的最大值是_________；
(4)关于 的式子 的取值范围是_________．
22．（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）已知 ， ， 在数轴上的位置如图所示，
所对应的点分别为 ， ， ．
(1)填空： ， 之间的距离为______， ， 之间的距离为______．(2)化简： ．
23．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）已知数轴上表示 的点到原点的距离为10，表示 的点
在原点的左侧，求 的值．
24．（2022秋·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期中）如图，已知数轴上有 、 两点（点 在 点
的左侧），且两点距离为 个单位长度，动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右匀速
运动，设运动时间为 （ ）秒．
(1)图中如果点 、 表示的数是互为相反数，那么点 表示的数是________；
(2)当 秒时，点 与点 之间的距离是_________个长度单位；
(3)当点 为原点时，点 表示的数是_________；（用含t的代数式表示）
(4)求当 为何值时，点 到点 的距离是点 到点 的距离的 倍．
25．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午
后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形
的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：①当 ， 时，A，B之间的距离 ；
②当 ， 时，A，B之间的距离 ；
③当 ， 时，A，B之间的距离 ；
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为 ；
【问题解决】
（3）应用：
数轴上，表示 和3的两点A和B之间的距离是5，试求 的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若 ，则 ．
②若 ，则 ．
③若 ， 满足 ，则代数式 的最大值是 ，最小值是 ．
26．（2022秋·广东深圳·七年级深圳市光明区公明中学校考期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)探究：
①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示 和5的两点之间的距离是 ．
(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(3)应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为： ，那么a＝ ．
②若数轴上表示数a的点位于 与2之间，求 的值．③当a何值时， 的值最小，最小值是多少？请说明理由．
