文档内容
专题 03 等腰三角形（六大类型）
【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】
【题型2根据等腰三角形的性质求角度】
【题型3判断等腰三角形的个数】
【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】
【题型5等腰三角形的判定】
【题型6等腰三角形的判定与性质】
【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】
1.（陆川县期末）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，则该三角形的周长是（
）
A．18cm B．19cm C．23cm D．19cm或23cm
【答案】D
【解答】解：当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为9cm时，
∵5+5＞9，9﹣5＜5，
∴能够成三角形，
∴三角形的周长＝5+5+9＝19cm；
当等腰三角形的腰长为9cm，底边长为5cm时，
∵9+5＞9，9﹣5＜5，
∴能够成三角形，
∴三角形的周长＝9+9+5＝23cm；
∴该三角形的周长是19cm或23cm．
故选：D．
2.（秋•惠安县期末）若等腰△ABC的周长为20，AB＝8，则该等腰三角形的腰
长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．8或6【答案】D
【解答】解：（1）当AB＝8为底边时，BC为腰，
由等腰三角形的性质，得BC＝ （20﹣AB）＝6；
（2）当AB＝8为腰时，
①若BC为腰，则BC＝AB＝8；
②若BC为底，则BC＝20﹣2AB＝4，
综上，该等腰三角形的腰长为8或6，
故选：D．
3.（海口）等腰三角形ABC的周长为20cm，AB＝8cm，则该等腰三角形的腰长为
（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．8cm或6cm
【答案】D
【解答】解：（1）当AB＝8cm为底边时，BC为腰，
由等腰三角形的性质，得BC＝ （20﹣AB）＝6cm；
（2）当AB＝8cm为腰时，
①若BC为腰，则BC＝AB＝8cm；
②若BC为底，则BC＝20﹣2AB＝4cm，
故选：D．
4．（2023•吉林模拟）在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为16cm，则AB边的
取值范围是（ ）
A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm
C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm
【答案】C
【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为16cm，
∴设AB＝AC＝xcm，则BC＝（16﹣2x）cm，
∴ ，
解得4cm＜x＜8cm．
故选：C．【题型2根据等腰三角形的性质求角度】
5．（2022 秋•晋州市期末）等腰三角形的顶角为 40°，则底角的度数为
（ ）
A．25° B．60° C．70° D．140°
【答案】C
【解答】解：∵等腰三角形的顶角为40°，
∴底角的度数为： ，
故选：C．
6．（2022秋•白云区校级期末）等腰三角形的一个内角等于 70°，则它的底角
是（ ）
A．70° B．55° C．60° D．70°或55°
【答案】D
【解答】解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，底角＝70°．
故选：D．
7．（2022秋•东昌府区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
36°，则该等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．50° B．27° C．64°或27° D．63°或27°
【答案】D
【解答】解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．
①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，
底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；
②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，
此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．
故选：D．
8．（2022秋•启东市校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD
＝CE，∠FDE＝65°，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．70° C．65° D．50°
【答案】D
【解答】解：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，
∴∠B＝∠FDE＝65°，
∴∠C＝∠B＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：D．
9．（2023•蜀山区校级一模）已知等腰△ABC，∠A的相邻外角是130°，则这
个三角形的顶角为（ ）
A．65°或80° B．80° C．50°或80° D．50°
【答案】C【解答】解：∵∠A的相邻外角是130°，
∴∠A＝180°﹣130°＝50°，
①∠A是顶角时，顶角为50°，
②∠A是底角时，顶角为180°﹣50°×2＝80°，
所以，这个三角形的顶角为50°或80°．
故选：C．
10．（2022秋•龙江县校级期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，P、Q
分别为AC、AB上的点，且AP＝PQ＝QB＝BC，则∠PCQ的度数为（ ）
A．30 B．36 C．45 D．37.5
【答案】A
【解答】解：在AC上取点D，使QD＝PQ，连接QD、BD，
设∠A＝x，则∠QDP＝∠QPD＝2x，∠BQD＝3x，
∵DQ＝QB，
∴∠QBD＝90°﹣1.5x，∠BDC＝90°﹣0.5x，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣0.5x，
∴BD＝BC，
∴BD＝BQ＝QD，
∴△BDQ为等边三角形，
∴∠QBD＝90°﹣1.5x＝60°，
故x＝20°，
∴∠ABC＝80°，
∴∠QCB＝50°，
∴∠PCQ＝80°﹣50°＝30°．
故选：A．11．（2023•思明区校级二模）如图，AB∥CD，DE＝EC，∠B＝35°，则
∠BED＝（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝35°，
∴∠C＝∠B＝35°，
又∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠C＝35°，
∴∠BED＝2∠C＝70°．
故选：A．
12．（2023•城关区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交
AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC＝（ ）
A．36° B．54° C．72° D．108°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．
故选：C．13．（2023春•舞钢市期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝BD＝
CD，则∠BAC的度数是（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【答案】A
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AD＝BD＝CD，
∴ ， ，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝45°+45°＝90°，
故A正确．
故选：A．
14.（祥云县期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分
别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
【答案】C
【解答】解：∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，
∴AE＝BE，
∵AD＝3，
∴AB＝6，
∴AE+EC＝AC＝AB＝6，
∵BC＝5，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝6+5＝11；
故选：C．
15．（2023春•碑林区校级月考）如图，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平
分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为（ ）
A．120° B．30° C．60° D．80°
【答案】D
【解答】解：根据题意，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝40°，
又AB的垂直平分线交BC于点D，
∴DA＝DB
∴∠BAD＝∠B＝40°，
在△BAD中，∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°，
∴∠ADC＝80°．
故选：D．
16．（2022秋•庐阳区校级期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则
∠CDE的度数是（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】C
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：C．
17．（2022秋•嵊州市期末）如图，在等腰三角形 ABC中，顶角∠A＝36°，点
D是腰AB上一点，作DE⊥AB交BC的延长线于点E，则∠BED的度数为（
）
A．16° B．18° C．20° D．24°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝ （180°﹣∠A）＝72°，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠BED＝90°﹣∠B＝18°，
故选：B．
18．（2023春•蕉城区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为
圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ADB＝（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣∠A）＝75°，
由题意得：BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝75°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝105°，
故选：B．
【题型3判断等腰三角形的个数】
19.（肥城市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，
DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°∴△ABC是等腰三角形，
∠ABC＝∠ACB＝ ＝72°，
BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC＝36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED＝∠ADE＝72°，∠EDB＝∠CBC＝36°，
∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°，AD＝AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，△ABD是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°，ED＝BE，△BED是等腰三角形，
在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，△BDC是等腰三角形，
所以共有5个等腰三角形．
故选：D．
20.（宜宾期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，则图中等腰三角形共有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵AD＝AE，∠DAE＝36°，
∴∠ADE＝∠AED＝72°，
∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EAC，
∴∠BAD＝∠EAC＝36°，
∴∠BAE＝∠DAC＝72°，
∴∠BAE＝∠BEA＝∠CDA＝∠CAD，∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC，
∴△ABD，△AEC，△BAE，△ADC，△ABC，△ADE都是等腰三角形，
故选：D．
21．（2023春•茂名期中）如图，BM是△ABC的角平分线，AB＝AC，∠A＝
36°，则图中有（ ）等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝36°，∴ ，
∵BM是△ABC的角平分线，
∴∠ABM＝∠CBM＝36°，
∴∠A＝∠ABM，
∴△ABM是等腰三角形，
∵∠CBM＝36°，∠C＝72°，
∴∠BMC＝72°，
∴△BMC是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ABC、△ABM、△BMC，共3个等腰三角形．
故答案为：C．
22．（2022秋•千山区期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平
分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC＝∠ABC＝72°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°
∴△CAD为等腰三角形，
∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，
∴△BAD为等腰三角形，
∴则图中等腰三角形的个数是3个．
故选：C．
23．（2022秋•灌南县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E
是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：AB＝AC，∠ABC＝36°，
∴∠BAC＝108°，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，
∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个，
故选：C．
24．（2022 秋•惠阳区校级期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝
108°，点D在AC的垂直平分线DF上，AE平分∠BAD，则图中等腰三角形
的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵点D在AC的垂直平分线DF上，
∴AD＝CD，
∴△ADC是等腰三角形；
∴∠DAC＝∠C＝36°，
∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝36°，
∴∠BAE＝∠B，
∴AE＝BE，
∴△AEB是等腰三角形；
∵∠AED＝∠BAE+∠B＝72°，∠ADE＝∠DAC+∠C＝72°，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∴△ADE是等腰三角形；
∵∠BAD＝∠ADE＝72°，
∴BA＝BD，
∴△ABD是等腰三角形；
∵∠CAE＝∠AED＝72°，
∴CA＝CE，
∴△CAE是等腰三角形，
综上所述，等腰三角形有△ABC，△ADC，△AEB，△ADE，△ABD，
△CAE共6个，
故选：D．
【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】
25.（蒙阴县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为
原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐
标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【解答】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线 AC有二点M ，M ，交BC有一点
1 2M ，（此时AB＝AM）；
3
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线 BC有二点M ，M ，交AC有一点
5 4
M （此时BM＝BA）．
6
③AB的垂直平分线交AC一点M （MA＝MB），交直线BC于点M ；
7 8
∴符合条件的点有8个．
故选：C．
27.（西工区校级期中）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A的坐标为（4，
﹣3），点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点 P的个数
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：如图所示：
点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个，
故选：C．28.（河东区期末）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为 1的正方形，
A、B两点在格点上，位置如图，点 C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，
则点C的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解答】解：①以AB为底边，符合点C的有5个； ②以AB为腰，符合点
C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选：C．
29．（2022秋•德州期末）如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（0，
2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，
符合条件的C点有 4 个．【答案】4．
【解答】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有
2个交点，故此时符合条件的点由2个；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点；这两个交点中有一
个是与A重合的，应舍掉，故只有1个；
线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点；
∴符合条件的C点有：2+1+1＝4（个），
故答案为：4．
【题型5等腰三角形的判定】
30．（2023春•宣汉县校级期末）由下列长度的三条线段，能构成等腰三角形
的是（ ）
A．1cm，1cm，2cm B．3cm，4cm，5cm
C．5cm，5cm，11cm D．4cm，8cm，8cm
【答案】D
【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、1+1＝2，不能组成三角形；
B、3+4＞5，能够组成三角形，但不是等腰三角形；
C、5+5＜11，不能组成三角形；
D、4+8＞8，能组成三角形，且是等腰三角形．
故选：D．
31．（2023 春•安源区期末）在△ABC 中，∠A 和∠B 的度数如下，能判定
△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝70°，∠B＝50°
C．∠A＝40°，∠B＝70° D．∠A＝60°，∠B＝80°【答案】C
【解答】解：A、∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，不能判定△ABC是等腰三角形，
故本选项不符合题意；
B、∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，不能判定△ABC是等腰三角形，故本选项不
符合题意；
C、∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°＝∠B，能判定△ABC是等腰三角形，故本选
项符合题意；
D、∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°，不能判定△ABC是等腰三角形，故本选项
不符合题意；
故选：C．
32．（2023春•蒲城县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE∥AD交
BA的延长线于点E，求证：△ACE是等腰三角形．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC，
又∵CE∥AD，
∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，
∴∠E＝∠ACE，
∴AE＝AC，
∴△ACE是等腰三角形．
33．（2023春•洋县期中）如图，已知∠B＝∠C，AB∥DE，DE交BC于点E．
求证：△DEC是等腰三角形．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠DEC＝∠B，
∵∠B＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∴△DEC是等腰三角形．
34．（2023春•子洲县校级期末）如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分
∠ACD，且CE∥AB，求证：△ABC为等腰三角形．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵CE平分∠ACD，
∴ ，
∵CE∥AB，
∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠DCE，
∴∠B＝∠A，
∴BC＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
35．（2023春•东源县期末）已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC
垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形．【答案】见解析．
【解答】证明：∵D是AB中点，
∴AD＝BD，
在Rt△ACD和Rt△BCD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BCD，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，即△ABC是等腰三角形．
36．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC交
AC于点F，求证：△FEC是等腰三角形．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠FCE＝∠BCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE，
∴∠FCE＝∠FEC，
∴FE＝FC，
∴△FEC是等腰三角形．
37．（2023 春•佛山期中）已知：在△ABC 中，D 为 AC 的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE＝DF．求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴∠A＝∠C，
∴BA＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
【题型6等腰三角形的判定与性质】
38．（2023•莲都区一模）如图，△ABC中，CD是角平分线，DE∥BC，交AC
于点E．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠AED＝64°，求∠DCB的度数．
【答案】（1）见解析过程；
（2）32°．
【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，
∵BC∥DE，
∴∠CDE＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴DE＝CE．
（2）∵DE∥BC，∠DEA＝64°，
∴∠ACB＝∠AED＝64°，
∵CD平分∠ACB，
∴ ．
答：∠DCB的度数是32°．
39．（2023春•招远市期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交 BC于点
D，过点D作DE∥AB交AC于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若∠C＝100°，∠B＝40°，求∠AED的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）∠AED＝140°．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE．
（2）解：∵∠C＝100°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝40°，
∵DE∥AB，
∴∠AED+∠BAC＝180°，∴∠AED＝140°．
40．（2023 春•修水县期末）在△ABC 中，BD 和 CD 分别平分∠ABC 和
∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．
（1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由；
（2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长．
【答案】（1）△AEF是等腰三角形，理由见解析；
（2）12．
【解答】解：（1）△AEF是等腰三角形，
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）∵△ABC的周长为18，BC＝6，
∴AB+AC＝18﹣6＝12，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
同理DF＝CF，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC
＝12．
41．（2023春•牡丹区校级月考）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过 AC的中点 F作线段 GE交∠DAC 的平分线于 E，交 BC于
G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AE＝8，GC＝2BG，求BC长．
【答案】（1）答案见解析；
（2）12．
【解答】（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵F是AC的中点，
∴AF＝CF，
在△AFE和△CFG中，
，
∴△AFE≌△CFG）（ASA），
∴GC＝AE＝8，
∵GC＝2BG，
∴BG＝4，
∴BC＝BG+GC＝12．
42．（2023•武汉一模）如图，BE 是△ABC 的角平分线，点 D 在 AB 上，且DE∥BC．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若∠A＝60°，∠C＝50°，求∠BED的大小．
【答案】（1）证明见解析；
（2）35°．
【解答】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DB＝DE．
（2）解：∵∠A＝60°，∠C＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴∠BED＝∠EBC＝35°．
43．（2022秋•鄞州区校级期末）（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB
的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
①求证：OE＝BE；
②若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，
连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE；
②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；
（2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∴∠FAP＝∠PAC，
∴∠FAC＝2∠PAC，
∵∠FAC+∠BAC＝180°，
∴2∠PAC+∠BAC＝180°．
44．（2022秋•苍溪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若△BCD的周长是13，BC＝5，求AC的长．
【答案】（1）见解答；
（2）AC＝8．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝ （180°﹣∠A）＝72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，
∴∠CDB＝∠B＝72°，
∴CD＝CB，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵△BCD的周长是13，
∴BC+BD+CD＝13，
∵AD＝CD，
∴BC+BD+AD＝13，
∴BC+AB＝13，
∵BC＝5，
∴AB＝13﹣5＝8，
∴AC＝AB＝8，
45.（长垣市期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E、F 分别在 AB、
BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝ （180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
