专题07有理数的除法（3个知识点5种题型1个易错点1种中考考法）（教师版）_初中数学_七年级数学上册（人教版）_常见题型通关讲解练-V3

专题 07 有理数的除法（3 个知识点 5 种题型 1 个易 错点 1 种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.有理数除法法则（重点） 知识点2.有理数的乘除混合运算（重点） 知识点3.有理数的加减乘除混合运算（重点） 【方法二】 实例探索法 题型1.有理数的加减乘除混合运算的实际应用 题型2.与有理数相关的新定义运算 题型3.有理数混合运算的材料阅读题 题型4.有理数乘除法的创新应用 题型5.综合利用绝对值、相反数和有理数除法进行化简求值 【方法三】差异对比法 易错点.有理数除法运算中误用分配律 【方法四】 仿真实战法 考法.有理数的除法 【方法五】 成果评定法 【学习目标】 1. 了解有理数除法的意义，理解有理数除法与乘法的互逆关系。 2. 掌握有理数的除法法则，能运用法则熟练地进行有理数除法运算以及四则混合运算。 3. 通过利用有理数除法法则进行运算的过程，体会转化的数学思想。【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.有理数除法法则（重点） 1 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） b （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把 绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除 混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 【例1】计算 (1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－)； (3)(－0.75)÷(0.25)． 解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5； (2)12÷(－)＝－(12÷)＝－48； (3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3. 【变式】计算： (1)(－18)÷(－)； (2)16÷(－)÷(－)． 解：(1)(－18)÷(－)＝(－18)×(－)＝18×＝27； (2)16÷(－)÷(－)＝16×(－)×(－)＝16××＝. 知识点2.有理数的乘除混合运算（重点） 【例2】计算： (1)－2.5÷×(－)； (2)(－)÷(－)×(－1)．解：(1)原式＝－××(－)＝××＝1； (2)原式＝(－)×(－)×(－)＝－(××)＝－4. 【变式1】（2023秋·全国·七年级专题练习）计算： ． 【答案】 ． 【详解】解： ． 【变式2】（2023秋·全国·七年级专题练习） ． 【答案】 【详解】原式 知识点3.有理数的加减乘除混合运算（重点） 【例3】计算： ． 解法1：原式 ① ② ③ 解法2：原式 ① ② ③ (1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填写序号即可）(2)请给出正确解答． 【答案】(1)①；③ (2)解答过程见详解 (1)解：解法1，步骤①中“先算加减后算乘除”不符合有理数混合运算法则，故步骤①错误； 解法2， ，步骤③不符合有理数加法法则，故步骤③错误． 故答案为：①；③． (2)解：原式 【方法二】实例探索法 题型1.有理数的加减乘除混合运算的实际应用 1．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）某水果店以每箱200元的价格从 水果批发市场购进20箱樱桃．若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为 负数，称重的记录如下表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 箱数 1 4 3 4 5 3 (1)这20箱樱桃质量相差最大是多少千克？ (2)这20箱樱桃的总质量是多少千克？ (3)水果店购进这批樱桃需要付运费100元，要把这些樱桃全部以零售的形式卖掉，并按照全部销售后获得 利润为成本的 作为销售目标制定零售价，若第一天水果店以该零售价售出了总质量的 ，第二天因 害怕剩余的樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃按原零售价的七折售完，请计算该水果店在销售这批樱桃的 过程中共盈利或亏损多少元？（提示：成本＝总进价＋运费） 【答案】(1)这20箱樱桃质量相差最大是1．3千克 (2)这20箱樱桃的总质量是205千克 (3)该水果店销售这批樱桃共盈利1312元 【详解】（1）解： （千克）答：这20箱樱桃质量相差最大是1.3千克． （2） （千克） 这20箱樱桃的总质量是205千克． （3） （元） （元） （元） 答：该水果店销售这批樱桃共盈利1312元． 2．（2022秋·江苏盐城·七年级统考期中）为常态化开展社会人群核酸检测工作，我市在人群密集、流动量 大的区域布局了健康小屋（便民核酸采样点）．某采样点计划每天完成 人次的核酸采样，实际每天采 样的数量相比有出入，下表是十月份某一周该采样点的实际采样人次（超过为正，不足为负，单位：人 次） 星 一 二 三 四 五 六 七 期 增 减 (1)根据记录可知该采样点前三天共完成了多少人次的核酸采样？ (2)采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了多少人次？ (3)该采样点采用十人混检的方式收集核酸样本（将 个人的样本采集后放到同一根采样管中进行检测）， 该采样点在这周至少需要多少根采样管？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （人次） 答：该采样点前三天共完成了 人次的核酸采样； （2）解： （人次） 答：采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了 人次；（3）解： （人次） （根） 答：该采样点在这周至少需要 根采样管 题型2.与有理数相关的新定义运算 3．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）对于有理数a、b，定义运算“ ”如下： ， 试比较大小 (填“＞”“＜”或“＝”)． 【答案】＜ 试题解析： = ， ， ＜ . 4．（2022秋·安徽·七年级校考阶段练习） 是新规定的一种运算法则： ，例如 ． (1)求 的值； (2)求 的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2）， 即 ． 题型3.有理数混合运算的材料阅读题 5．阅读下题的计算方法：  1  2 3 7 计算：      24 3 4 8 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 2 3 7  1  2 3 7 解：       (24)16182119 3 4 8  24 3 4 8 1 所以原式 19  1   1 2 9 3 根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：       20  4 5 10 2 1 【答案】 ． 25  1 2 9 3  1  【详解】解：       4 5 10 2  20  1 2 9 3     (20)  4 5 10 2 581830 25， 1 所以，原式 ． 25 6．阅读下题的计算方法： 1  2 3 7 计算：      24 3 4 8 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 2 3 7  1  2 3 7 解：       (24)16182119 3 4 8  24 3 4 8 1 所以原式 19  1   1 2 9 3 根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：       20  4 5 10 2 1 【答案】 ． 25 【分析】根据阅读材料先计算所求式子的倒数，从而得出原式的结果．  1 2 9 3  1  【详解】解：       4 5 10 2  20  1 2 9 3     (20)  4 5 10 2 581830 25， 1 所以，原式 ． 25 【点睛】本题是阅读材料问题，考查了有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，掌握运算顺序，正确 判定符号计算是关键． 题型4.有理数乘除法的创新应用 7．（2022秋·江苏南京·七年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图A在数轴上所对应的数为 ． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运 动，当点A运动到 所在的点处时，求A，B两点间距离． (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原来的速度沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相 距4个单位长度． 【答案】(1)点B所对应的数是4；(2)A，B两点间的距离是14个单位长度； (3)经过5秒或9秒A、B两点相距4个单位长度． 【详解】（1）解： ， 故点B所对应的数是4； （2）解： （秒）， （个单位长度）， 故A，B两点间的距离是14个单位长度； （3）解：①运动后的B点在A右边4个单位长度， （秒）； ②运动后的B点在A左边4个单位长度， （秒）， 故经过5秒或9秒A、B两点相距4个单位长度． 8．（2022秋·安徽淮北·七年级校考期中）如图， 7 2 5 1 (1)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是_______ (2)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是 ， (3)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24，你选取 的数为______________，算式为___________________ 【答案】(1)35 (2) (3) ，2，5，1； （答案不唯一） 【详解】（1）解：从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是 ， 故答案为：35； （2）从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是 ； 故答案为： ； （3）选取： ，2，5，1； 算式为： （答案不唯一）题型5.综合利用绝对值、相反数和有理数除法进行化简求值 9．（2022秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）已知对于非零有理数 ，当 时， ，当 时， 请根据上面的知识解答下面的问题： (1)已知 ， ， 是非零有理数，满足 ，求 的值． (2)已知 ， ， 是非零有理数，满足 且 ，求 的值． 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）①当 都是正数，即 时，则： ； ②当 有一个为正数，另两个为负数时，设 ，则： ， 的值为 或 ． （2）∵ ， ∴ ， ∴ ， 当a、b、c同为正数时， ， ，不满足条件； 当a、b、c为两正一负时， 满足条件，不妨设 ， ∴ ； 当a、b、c为两负一正时， ,不满足条件；当a、b、c同为负数时， 不满足条件， 综上， 的值为： ． 10．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且 ，又b，c互为相反数． (1)求a，b，c的值． (2)若有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为6个单位/秒，乙的速度为4 个单位/秒，当两只蚂蚁在数轴上点m处相遇时，求点M表示的数． (3)若将（2）的条件改为同向而行，其余条件都不变，求点M表示的数． 【答案】(1)a，b，c的值分别为 ， ， (2)点M表示的数为 (3)点M表示的数为70 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， b，c互为相反数， ， ， a，b，c的值分别为 ， ， ； （2）解： （秒）， ， 因此点M表示的数为 ； （3）解： 甲、乙同向而行，甲的速度大于乙的速度， 甲、乙沿数轴正方向移动． （秒）， ， 因此点M表示的数为70．11．（2023秋·全国·七年级专题练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知 ， 是有理数，当 时，则 _______；当 时，则 _______． (2)已知 ， ， 是有理数， ， ，求 的值． (3)已知 ， ， 是有理数，当 时，求 的值． 【答案】(1) ， (2) (3) 或 或 或 【详解】（1）解：当 时，则 ， 当 ，则 ， 故答案为： ， ． （2）已知 是有理数， ， 所以 ，且 中两正一负， 所以 ． （3）由题意得： 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或 三个都为负数． ①当 都是正数，即 时， 则： ， ②当 有一个为正数，另两个为负数时，设 ， 则： ， ③当 有两个为正数，一个为负数时， 设 ， 则： ，④当 三个数都为负数时， 则： ， 综上所述： 的值为 或 或 或 12．（2023秋·全国·七年级专题练习）（1）若 ， ；若 ， ； （2）若 ，则 ＝ ； （3）若 ，则 ． 【答案】（1）1， ；（2）1；（3）1或 ． 【详解】解：（1）∵ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：1， ； （2）∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：1； （3）∵ ，∴a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况， 当a、b、c中有一个负数、两个正数时， ， 当a、b、c中有三个负数时， ， 故答案为：1或 ． 13．（2023秋·全国·七年级专题练习）如果a，b，c是非零有理数，求式子 的所有可 能的值． 【答案】 或 【详解】解：根据题意， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ；当 时， ； 综上所述，式子 的所有可能的值为 或 ． 14．（2022秋·湖北武汉·七年级统考期中）（1）根据 是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问 题． ① 取何值时， 的值最小，最小值是多少？ ② 取何值时， 的值最大，最大值是多少？ （2）已知若 ，则 ，即 ，若 ，则 ，即 ，如果 、 、 是有理 数，且 ， 时，求 的值． 【答案】（1）①当 时，有最小值，最小值是 ；②当 时，有最大值，最大值是5；（2）−1 【详解】解：（1） 是非负数， 其最小值是0． 取最小值， 取最小值0， ，解得 ， 的值最小为 ； 答：当 时，有最小值，最小值是 ； 取最大值， 取最小值， ，解得 ， 的最大值是5． 答：当 时，有最大值，最大值是5； （2） ， ， ， ， ，且三个数中有一个数为负，其他两个数为正，当 ， ， 时， 原式 ； 当 ， ， 时， 原式 ； 当 ， ， 时， 原式 ． 综上：代数式的值为-1． 15．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期中）若 ， 互为相反数， ， 互为倒数， 的绝对值为5． (1)直接写出 ， ， 的值； (2)求 的值． 【答案】(1) ， ， (2)26 【详解】（1）解： ， 互为相反数， ， 互为倒数， 的绝对值为5， ， ， ； （2）由（1）得： ． 16．（2022秋·浙江金华·七年级期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简 时，可以这样分类：当 时， ；当 时， ；当 时， ，请用这种方法解决下列问题． (1)当 时，分别求 的值； (2)已知 是有理数，当 时，试求 的值；(3)已知 是有理数，当 时，试求 的值． 【答案】(1)１， (2) (3)0或 【详解】（1）解：当 时， ， 当 时， ； （2）解：由 知，分两种情况： 当 时， ； 或 时， ， 故当 时， 的值为 ； （3）解：由 知，分两种情况： 当a、b、c中有一个小于0，其它两个大于0时， ； 当a、b、c三个都小于0时， ， 综上，当 时， 的值为0或 ． 17．（2022秋·河南商丘·七年级校考阶段练习）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示， （1）用“>”或“<”填空： _________0，ac_________0，abc_________0， ____________0 ． （2）求代数式 的值． 【答案】（1） <；<；>；>；（2）1．【详解】由数轴可知： ， （1） ， ， ， 故答案为＜，＜，＞，＞； （2） ； 故答案为 ． 【方法三】差异对比法 易错点.有理数除法运算中误用分配律 18．（2023秋·江苏·七年级专题练习）观察下列解题过程． 计算： ． 解：原式＝ ＝ ＝ ＝2 你认为以上解题是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程． 【详解】答：不正确，正确的解答如下， 解： ． 【点睛】本题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是关键．6 19．小军在计算(42 )6时，使用运算律解题过程如下： 7 6 6 1 1 6 1 1 6 解：(42 )6(42 ) 42   7 6 ． 7 7 6 6 7 6 7 7 他的解题过程是否正确？如果不正确，请你帮他改正． 1 【答案】小军的计算是错误的，正确的结果是7 ．解题过程见解析. 7 【详解】解：（1）小军的计算是错误的，正确的解题过程如下:  6  6 1  1 6 1  1 1 42 642  42   7 7 ．  7  7 6  6 7 6  7 7 5 20．学习了有理数的运算后，薛老师给同学们出了这样一道题目：计算：71 8 ，看谁算得又对又快 16 . 两名同学给出的解法如下： 1151 9208 1 小强：原式 8 575 16 16 2  15 15 1 小莉：原式71 8718 8575  16 16 2 （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法最好？理由是什么？对你有何启发？ （2）此题还有其他解法吗？如果有，用另外的方法把它解出来？ 【答案】（1）小莉解法较好，小莉能巧妙的利用了分析的思想，把带分数拆成一个整数与一个真分数的 和，再应用分配律，大大的简化了计算过程；（2）还有其它的解法，见解析． 【详解】解：（1）小莉解法较好，小莉能巧妙的利用了分析的思想，把带分数拆成一个整数与一个真分 数的和，再应用分配律，大大的简化了计算过程． 15  1  1 1 1 （2）还有其它的解法，71 872 8728 8576 575 ． 16  16 16 2 2 21．（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：计算 ． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为． 故原式 ． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算： 【答案】(1)解法一 (2) 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）解：解法二： ； 解法三：原式的倒数为： ， 所以原式 ． 【方法四】 仿真实战法 考法.有理数的除法 22．（2020•山西）计算（﹣6）÷（﹣ ）的结果是（ ） A．﹣18 B．2 C．18 D．﹣2【解答】解：（﹣6）÷（﹣ ）＝（﹣6）×（﹣3）＝18． 故选：C． 23．（2022•玉林）计算：2÷（﹣2）＝ ． 【解答】解：2÷（﹣2） ＝﹣（2÷2） ＝﹣1． 【方法五】 成果评定法 一、单选题 1．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）与 结果相同的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的除法进行计算即可求解． 【详解】解： ， A. ，故该选项不符合题意； B. ，故该选项不符合题意； C. ，故该选项符合题意； D. ，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键．2．（2022秋·河北廊坊·七年级校联考期中）计算 的结果为（ ） A． B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】根据乘除混合运算的规则进行计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算．解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． 3．（2022秋·河北廊坊·七年级校联考期中）等式 中，“ ”表示的数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据 除以任何一个不等于 的数都得 ，可知 ． 【详解】根据题意，得 ． 得 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的除法的运算性质，牢记有理数的除法的运算性质（ 除以任何一个不等于 的数都得 ）是解题的关键． 4．（2022秋·湖南岳阳·七年级校考期中）计算 ，结果正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握乘除运算法则是解题的关键．5．（2022秋·河南许昌·七年级校考阶段练习）a，b，c的大小关系如图所示，则 的值是 （ ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据点在数轴上的位置可知， ，然后根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：根据数轴可知， ， ∴ ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义和有理数的除法运算，解题的关键是根 据数轴得出 ． 6．（2023秋·全国·七年级专题练习）与 互为倒数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将每个式子计算出结果，再根据倒数的概念，逐一判断即可． 【详解】解： ， ， 的倒数为 ，故A不符合题意； ， 的倒数为 ，故B符合题意； ， 的倒数为 ，故C不符合题意； ， 的倒数为 ，故D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，倒数的概念，熟练计算出每一个式子的结果是解题的关键．7．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知a，b，c，d都是负数，且 ， 则 的值（ ） A．负数 B．0 C．正数 D．负数或0 【答案】C 【分析】先根据绝对值的非负性可得 ，从而可得 ， ， ， ，再根据有理数的乘除法法则即可得． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 都是负数， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值、有理数的乘除法法则，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 8．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）设a、b、c为不为0的有理数，则 ，化简的 结果有（ ）种不同的取值． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由绝对值的性质可知 ， ， ，分情况讨论求出结果即可． 【详解】解：∵a，b，c为不为0的有理数， ∴它们的绝对值可能是自己本身，也可能是自己的相反数，∴ ， ， ， ∴ ， ， ， ， 一共有4种结果． 故选：B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，有理数的除法，有理数的加减，解题的关键是掌握绝对值的性质． 9．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）下列等式或不等式中：① ；② ；③ ；④ ，表示a、b异号的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据有理数的加法、乘法、绝对值运算、除法逐个判断即可得． 【详解】①当 时， ，但 同号； ② ，则 异号； ③当 时， ，但 同号； ④因为 ， 所以分以下四种情况： 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ，当 时， ， 则只有当 异号时， ； 综上，表示 异号的个数有2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法、乘法、绝对值运算、除法，较难的是题④，正确分四种情况讨论是解 题关键． 10．（2022秋·山西忻州·七年级校考期中）a是不为2的有理数，我们把 称为a的“哈利数”．如：3 的“哈利数”是 ＝﹣2，﹣2的“哈利数”是 ，已知a＝3，a 是a 的“哈利数”，a 是a 1 2 1 3 2 的“哈利数”，a 是a 的“哈利数”，…，依此类推，则a ＝（ ） 4 3 2019 A．3 B．﹣2 C． D． 【答案】C 【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案． 【详解】∵a＝3， 1 ∴a＝ ＝﹣2， 2 a＝ ， 3 a＝ ， 4 a＝ ， 5 ∴该数列每4个数为1周期循环， ∵2019÷4＝504…3， ∴a ＝a＝ ． 2019 3 故选：C．【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问 题是解题的关键． 二、填空题 11．（2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考开学考试）设 为非零有理数， 的最 大值是 ，最小值是 ，则 ． 【答案】 【分析】当 均大于 时，代数式有最大值，当 均小于 时，代数式有最小值，然后代入计 算即可． 【详解】解：∵当 均大于 时，代数式 有最大值， ∴ ， ∵当 均小于 时，代数式 有最小值， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查的是求代数式的值、绝对值、有理数的除法，求得 的值是解题的关键． 12．（2023秋·新疆和田·七年级和田市第三中学校考期末）已知 ．且 ，则 的值等于 ． 【答案】 / 【分析】利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可求出 的值． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ 或 ，则 ． 故答案为： ． 【点睛】此题考查了有理数的乘除法，绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）若规定“ ”是一种数学运算符号，且 ，．．．，则 的值为 ． 【答案】 【分析】根据定义新运算的运算法则，有理数的乘除运算法则即可求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查定义新运算，理解新运算的运算法则，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 14．（2021秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）计算： 的结果为 ． 【答案】6 【详解】解：原式 ； 故答案为：6． 【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，题目较简单，注意运算顺序． 15．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）计算 【答案】 【分析】直接根据有理数乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ．【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 16．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知三个有理数 、 、 ，其积是负数，则 ． 【答案】 或 【分析】根据题意可知，有两种情况：① 、 、 均为负数；② 、 、 中有一个负数，根据绝对值的 意义化简求值，即可得到答案 【详解】解：由题意可知， ，则有两种情况： ① 、 、 均为负数，则 ② 、 、 中有一个负数，则 ， 故答案为： 或 【点睛】本题考查了有理数的乘法，绝对值的意义，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 17．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考开学考试）已知有理数 ， ， 在数轴上的位置 如图所示，则 0（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【分析】先根据数轴判断出a、b、c的取值范围，再判断出 与0的关系，最后判断 与0的关系． 【详解】解：由数轴可以看出： ； ∴ ， ∴ ． 故答案为：＜． 【点睛】由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充， 相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 18．（2023秋·江苏·七年级专题练习）若有理数a，b满足 ，则 的值为 ． 【答案】0或2或【分析】分情况讨论a与b的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：设 ， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 则 的值为0或2或-2． 故答案为∶0或2或 ． 【点睛】此题考查了有理数的除法，乘法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算： ． 【答案】 【详解】 = ，得 _______ 根据 除数=被除数 商=（-16） （-15）= . 20．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）对于有理数a、b，定义运算“ ”如下： ，试比较大小 (填“＞”“＜”或“＝”)． 【答案】＜ 【详解】试题分析：定义新运算题目，关键是理解未知符号 和已知符号的等价性 试题解析： = ， ， ＜ . 点睛：定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使 用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定 义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式 进行计算.三、解答题 21．（2023秋·浙江·七年级专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘除混合运算法则即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 22．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中） 【答案】 【分析】将代分数变形为 ，变除法为乘法，利用乘法分配律求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查有理数的乘除运算，解题的关键是运用乘法运算律进行简便计算． 23．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算： ．【答案】2． 【分析】将除法变成乘法后，再计算即可，注意符号变化． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． 24．（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）计算： 圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．如果被污染的数字是 ，请计算 ． 下面是圆圆同学计算一道题的过程： ． 圆圆同学这样算正确吗？如果正确，请解释理由；如果不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】不正确，过程见解析 【分析】根据有理数的运算法则和运算顺序，进行求解即可。 【详解】解：不正确， ．【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握相关运算法则和运算顺序，正确的计算，是解题的关键． 25．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）用常规方法计算 时比较麻烦，小东想了一个办 法：先将该式的被除数和除数交换位置，先算出 后，再利用倒数意义求出算式 你认为小东的方法正确吗？若正确，请用这种方法计算 ．若不 正确，请说明理由． 【答案】正确， 【分析】依据题目中所给的方法进行计算即可得到答案． 【详解】解：正确， ， 与 互为倒数， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法，倒数的定义，利用先求倒数的方法求解是解题的关键． 26．（2022秋·甘肃陇南·七年级校考期中）如果对于任何有理数 定义运算“ ”如下： ，如 ，求 的值． 【答案】 【分析】按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可． 【详解】解：． 【点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键． 27．（2023秋·全国·七年级专题练习）若x是不等于1的实数，我们把 称为x的差倒数，如2的差倒数 是 ，-1的差倒数为 ，现已知 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差 倒数，…，依此类推． （1）分别求出 ， ， 的值； （2）计算 的值； （3）计算 的值． 【答案】（1） ， ， ；（2）－1；（3）－1 【分析】本题是阅读理解题，（1）根据阅读理解差倒数的含义，利用公式直接计算可以得到答案；（2） 利用第（1）的结果进行计算即可得到答案；（3）利用第（1）的结果发现这一列数是循环的，且是3个数 循环，所以每这样的3个数的积相等，只要分析好2019个数中有几组这样的3个数就可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，得： ， ， ； （2） ； （3）由（1）知，该数列循环周期为3， 所以 ， 则 ．【点睛】首先，理解好阅读文段中给出的定义很关键，然后，根据具体情境抽象出规律是解决这一类题的 核心钥匙． 28．（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 ，所以当 时， ；当 时， ，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： （1）已知 ， 是有理数,当 时，求 的值； （2）已知 ， ， 是有理数，当 ，求 的值； （3）已知 ， ， 是有理数， ， ，求 的值. 【答案】（1）0或±2；（2）±1或±3；（3）-1. 【分析】（1）分3种情况讨论即可求解； （2）分4种情况讨论即可求解； （3）根据已知得到b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，进一步计算即可求解． 【详解】解：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时， ①a＜0，b＜0， ②a＞0，b＞0， ③a、b异号， 故 = 2或0； ± （2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，①a＜0，b＜0，c＜0， ②a＞0，b＞0，c＞0， ③a、b、c两负一正， ④a、b、c两正一负， 故 = 1或 3； ± ± （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc＜0， 则b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负， 则 =-1-1+1=-1 故答案为±2或0；±1或±3；-1． 【点睛】此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．