文档内容
押新高考 2 题
平 面 向 量
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅰ卷第3题
2023年新高考Ⅱ卷第13题
2022年新高考Ⅰ卷第3题
高考中平面向量均是以小题的形式进行考查，难度较易或一
2022年新高考Ⅱ卷第4题 般，纵观近几年的新高考试题，分别考查了平面向量的基本
平面向量 定理，平面向量的坐标运算，平面向量数量积与夹角公式，
2021年新高考Ⅰ卷第10题 可以预测2024年新高考命题方向将继续围绕平面向量数量
积运算、坐标运算等展开命题．
2021年新高考Ⅱ卷第15题
2020年新高考Ⅰ卷第7题
2020年新高考Ⅱ卷第3题
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第3题）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出 ， ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令 ，结合数量积的运算
律运算求解.
【详解】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 .
法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .
故答案为： .
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第3题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第4题）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解： , ,即 ,解得 ,
故选：C
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第10题）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以
，同理
，故 不一定相等，错误；C：由题意得： ，
，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第15题）已知向量 ， ， ，
_______．
【答案】
【分析】由已知可得 ，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得 ，
因此， .
故答案为： .
向量的运算
（1）两点间的向量坐标公式：
， ， 终点坐标 始点坐标
（2）向量的加减法
， ，
（3）向量的数乘运算
，则：
（4）向量的模，则 的模
（5）相反向量
已知 ，则 ；已知
（6）单位向量
（7）向量的数量积
（8）向量的夹角
（9）向量的投影
（10）向量的平行关系
（11）向量的垂直关系
（12）向量模的运算1．（2024·江苏扬州·二模）已知单位向量 的夹角为 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律结合已知条件直接求解即可.
【详解】因为单位向量 的夹角为 ，
所以
，
故选：A
2．（2024·湖北·一模）若 ， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】
利用向量加法和数量积的坐标表示直接计算求解即可.
【详解】
由题意可知 ，
所以 ，
故选：B
3．（2024·湖北·二模）已知正方形 的边长为2，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】以 为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可得结果.
【详解】以点 为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：由 可得 为 的中点，所以 ，
易知 ，可得 ，
所以 .
故选：B
4．（2024·山东济南·一模）已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量共线的充要条件即可得解.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，解得 .
故选：A.
5．（2024·山东潍坊·一模）已知平面向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.
【详解】平面向量 ， ，由 ，得 ，所以 .
故选：A
6．（2024·河北·模拟预测）平面向量 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】依题意， 在 方向上的投影向量为 .
故选：D
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ，向量 在向量 上的投影向量 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.
【详解】解：因为向量 ，
所以向量 在向量 上的投影向量 ，
故选：C
8．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.
【详解】设 与 的夹角为 ，则 在 上的投影向量为 .
故选：B.
9．（2024·河北沧州·模拟预测）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】
由题意和平面数量积的定义可得 ，结合 计算即可求解.
【详解】由题意可得 ， ，
所以 ．
故选：A
10．（2024·福建龙岩·一模）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量坐标运算和向量数量积的坐标运算即可得 ，则得到其夹角.
【详解】 ，
因为 ，所以两向量垂直，则 ，
故选：C.
11．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系 中，点 在直线 上.若向量 ，则
在 上的投影向量为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定直线的方向向量，结合数量积的运算判断出 为直线 的法向量，结合投
影向量的含义即可求得答案.
【详解】由题意设直线 的方向向量为 ，则 ，
而 ，则 ，即 为直线 的法向量，
又O到直线 的距离为 ，
故 在 上的投影向量为 ，
故选：C
12．（2024·湖南·模拟预测）已知 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】 ，
故选：C．
13．（2024·浙江·模拟预测）已知向量 是平面上两个不共线的单位向量，且
，则（ ）A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】C
【分析】由平面向量共线定理求解即可.
【详解】对于A，因为 ，若 三点共线，
设 ，则 ，无解，所以 三点不共线，故A错误；
对于B，若 三点共线，
设 ，则 ，无解，所以 三点不共线，故B错误；
对于C，因为 ，
因为 有公共点 ，所以 三点共线，故C正确.
对于D，因为 ，
，设 ，
则 ，无解，所以 三点不共线，故D错误；
故选：C.
14．（2024·江苏·一模）已知平面向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加减运算以及数量积的运算律求出 ，继而利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意知平面向量 满足 ，
故 ，所以 ，所以 ，所以 ，
则 ， ，故 ，
故选：B.
15．（2024·广东佛山·模拟预测）在 中， ，若 ，线段 与
交于点 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据中线性质得出 ，再由平面向量线性运算即可求得结果.
【详解】如下图所示：
由 可得 分别为 的中点，
由中线性质可得 ，
又 ，所以 ，
因此 .
故选：B
16．（2024·湖北武汉·二模）在平面直角坐标系中 为原点， ， ，则向量 在向量 上的
投影向量为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由投影向量的定义及数量积、模长的坐标表示求向量 在向量 上的投影向量.
【详解】由题设 ，
向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：B
17．（2024·浙江·一模）已知平面向量 满足： 与 的夹角为 ，若
，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】先计算平面向量 的数量积，再利用 ，列式解得即可.
【详解】由题意，得 ，
由 ，得 ，即 ，
∴ ，解得 .
故选：D
18．（2024·广东湛江·一模）已知向量 ， 均为单位向量， ，若向量 与向量 的夹角
为 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量的夹角和模长公式求解即可.
【详解】因为向量 ， 均为单位向量， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
，
所以 .
故选：D.
19．（2024·广东佛山·二模）已知 与 为两个不共线的单位向量，则（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直，向量的模以及向量夹角公式判断即可.
【详解】选项A：若 ，则 ，即 ，
与 与 为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A说法错误；
选项B：设 与 的夹角为 ，则 ， ，
所以 ，故选项B 说法错误；
选项C：若 ，则 ，所以 ， ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 ，故选项C说法错误；
选项D：因为 ， ，
所以 ，化简得 ，
设 与 的夹角为 ，则 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，故选项D说法正确；
故选：D
20．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平行四边形 中， 为线段 的中点， ， ，
，则 （ ）
A．20 B．22 C．24 D．25
【答案】B
【分析】用基底表示出目标向量，利用数量积运算可得答案.
【详解】由题意可得 ， ，
所以因为 ， ， ，所以 ，
所以 .
故选：B
