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专题 2.11 有理数的运算（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】有理数的加法
1、加法法则：
(1)同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
(2)异号两数相加，绝对值相等时何为0，绝对值不等时，取绝对值大的加数的符号，并用
较大的绝对值减去较小的绝对值；
(3)一个数同0相加，仍得这个数。
2、运算律：交换律：a+b=b+a 结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
【知识点二】有理数的减法
减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
特别注意：将减法转化成加法时，注意两变：一是减号变加号，二是减数变为其相反数。
【知识点三】有理数的乘法
1、有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相
乘，积仍为0。
特别注意：（1）如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1；（2）※乘法的交换律、结合
律、分配律在有理数运算中同样适用。
2、有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号；②求出各因数的绝对值的积；乘积为1的两
个有理数互为倒数。
特别注意：①零没有倒数；②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。带分数要先
化成假分数；③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
【知识点四】有理数的除法
有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
②0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。
n个a
【知识点五】有理数的乘方 指数
aaaa an
底数
幂特别注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5= ；②当底数是负数或分数时，要先
用括号将底数括上，再在右上角写指数。
乘方的运算性质：
①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
③任何数的偶数次幂都是非负数；
④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；
⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；
⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
【知识点六】有理数混合运算法则：
法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。②如果有括号,先算括号里面的。
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】有理数的加减运算
【例1】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）计算：
(1) (2)
【答案】(1)2 (2)
【分析】本题主要考查了有理数加减运算、有理数加减运算中的简便运算、化简绝对值等知识，熟练掌
握相关运算法则和运算律是解题关键．
（1）根据有理数加减运算法则求解即可；
（2）根据加法运算律将原式整理为 ，然后求解即可．
（1）解：原式
；（2）解：原式
．
【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知有理数 在数轴上的对应点如图，请化简
，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的运算，数轴与绝对值，先根据数轴判断出 、 、 、的符号，再
根据绝对值的性质去掉绝对值符号后进行计算即可求解，由是解题的关键．
解：由数轴可得， ， ，
∴ ， ， ，
∴原式
，
，
故选： ．
【变式2】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）计算：
．
【答案】
【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，绝对值的化简等知识，原式利用绝对值的意义进行化简化
简，再进行加减计算即可得到结果．
解：．
故答案为：
【题型2】有理数的乘除运算
【例2】（23-24七年级上·湖南株洲·阶段练习）计算：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先利用有理数的乘法分配律和乘法法则计算，再利用有理数的加减法法则计算即可；
（2）利用有理数的乘除混合运算顺序和运算法则计算即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘法运算律和运算法则是解题的关键．
【变式1】计算： （ ）
A．1 B．36 C． D．6
【答案】B
【分析】先把除法运算转化成乘法运算，再根据有理数的乘法法则运算求解即可．
解：．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，熟悉掌握有理数的乘除运算法则运算是解题的关键．
注意符号的处理．
【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）已知a是有理数， 表示不超过a的最大整数，如
等，那么 ．
【答案】
【分析】根据 的意义得出 ， ， ，然后代入计算即可．
解：由题意得： ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了新定义，有理数的乘除运算，正确理解 的意义是解题的关键．
【题型3】有理数的加减乘除混合运算
【例3】（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握乘法运算律，是解题的关键．
（1）根据有理数乘法运算律进行计算即可；
（2）根据有理数乘法运算律进行计算即可．
（1）解：；
（2）解：
．
【变式1】（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）下列四个选项中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，根据运算法则计算判断即可．
解：A. ，错误，不符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. ，正确，符合题意；
D. ，错误，不符合题意；
故选C．
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）点 ， ， 在数轴上的位置如图，点 表示的数是 ，点
表示的数是3，点 是 的中点，则点 表示的数是 ．【答案】
【分析】本题考查了数轴上点的坐标特征．由已知条件，根据中点坐标公式计算得到中点 表示的数为：
．
解： 点 表示的数是 ，点 表示的数是3，
线段 的中点 表示的数为： ，
故答案为： ．
【题型4】有理数的乘方及应用
【例4】（22-23七年级上·宁夏吴忠·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个
分裂成2个．根据此规律可得：
(1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成_______个细胞；
(2)这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成_______个细胞．
【答案】(1)16 (2)
【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案；
（2）经过n小时即 个30分钟，根据题意，得到规律，即可得到答案．
解：（1）经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成 个细胞，
∴经过2小时后，可分裂成16个细胞；
故答案为：16；
（2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即 个细胞；
第2个30分钟分裂成4个，即 个；
…
依此类推，第n个30分钟分裂为 个细胞；
经过n小时即 个30分钟分裂为 个细胞；故答案为： ．
【点拨】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键．
【变式1】（23-24七年级上·福建漳州·期中）观察下列算式： ， ， ， ， ，
， ， ，…，根据上述算式中的规律，你认为 的末位数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘方，先根据已知条件，发现 的末位数字按照 ， ， ， 循环，用
即可得出答案，根据题意找出规律是解题的关键．
解：∵ ， ， ， ， ， ， ， ，…，
∴ ，
∴ 的末位数字是 ，
故选： ．
【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）如果 ， 那么 ．
【答案】4
【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有
理数乘方的定义，已知等式中的 相当于 的5次方，由此可以求出x的值为 ．已知等式中的8相
当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出 的值．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
因此 ．
故答案为：4．【题型5】含乘方的加减乘除混合运算
【例5】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
(1) ； (2) ；
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
（1）本题考查有理数混合运算，先运用乘法分配律简便计算，同时运算除法，然后进行加减即可解题．
（2）熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺
序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键．
（1）解：
；
（2）解：
．
【变式1】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，某公园有一长方形广场，长为 米，宽为 米，
在其两角修建半径均为 米的扇形花坛，在广场中心修建一个直径为 米的圆形喷泉水池，则该广场的
空地面积为（ 取3）（ ）．A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列出算式并准确解答是解题的关键，求出长方形的面积，
扇形花坛的面积，圆形喷泉水池的面积，即可求出广场空地的面积．
解：该广场的空地面积为：
，
故选：B．
【变式2】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）计算：
．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，按照先乘方，再乘除，最后算加减的顺序计算即可．
解：
故答案为： ．
【题型6】用简便方法进行有理数运算
【例6】（2023七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算：(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）把 改写成 ，把 改写成 ，然后把除法转化为乘法，再按乘法分配律计
算即可；
（2）先算乘方，然后把一、四项结合，二、三项结合，逆用乘法分配律计算．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法的分配律 是解答本题的关键．
【变式1】（23-24七年级上·广东深圳·期中） 再加上（ ）后，结果
就是 ．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据简便算法求出 的值，再用1减去该值即得出答案．
解：．
，
故 再加上 后，结果就是 ．
故选C．
【点拨】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则，并利用简便算法计算是解题关键．
【变式2】（2022七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算
；
【答案】
【分析】根据有理数简便运算凑整优先的原则，逐步化简计算即可．
解：原式=
【点拨】本题考查了有理数混合运算中的简便运算，选择合适的简便方法是解题的关键．
【题型7】有理数加减混合运算的应用【例7】（24-25七年级上·全国·随堂练习）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产
200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产
为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
(1)根据记录可知前三天共生产_______辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆；
(3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；
少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
【答案】(1)599 (2)26 (3)84675
【分析】本题考查了正数和负数，有理数混合运算的应用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据表格中的数据可以解答本题；
（2）根据表格中的数据可知周六生产的最多，周五生产的最少，从而可以解答本题；
（3）根据题意和表格中的数据可以解答本题．
（1）解： （辆），
故答案为：599；
（2） （辆），
故答案为：26；
（3） ，
（元）．
答：该厂工人这一周的工资总额是84675元．
【变式1】如图， 方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么m的值为（ ）
A．13 B．10 C．9 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查有理数的加减法，由第一行可得每一行的和为39，继而可求出 左边及 下面的数，
即能得出 的值．求出 下面的空格里面的数是关键．解：由题意，得每一行（列或对角线）的和为 ，
∴方格中心位置的空格里面的数为 ，
下面的空格里面的数为 ，
∴ 的值为 ，
故选：C．
【变式2】（23-24七年级上·浙江·期末）某市一天早晨的气温是 中午比早晨上升了 傍晚又比中
午下降 ，则这天傍晚的气温是 ．
【答案】
解：本题主要考查了有理数的加减混合运算，先根据题意，列出算式，再把算式写成省略加号和的形式，
进行简便计算即可，解题的关键是理解题意，列出算式．
解：：由题意得： ，
，
，
，
∴这天傍晚的气温是 ，
故答案为： ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川巴中·中考真题）实数 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题主要考查利用数轴比较大小．实数 ， 在数轴上对应点的位置可知， ，
，由此即可求解．
解：由题意得， ， ，则 ，
∴ ， ， ，
观察四个选项，选项D符合题意．
故选：D．
【例2】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0， ， ，1，2
这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正
方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可）
【答案】0
【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．
解：由题意，填写如下：
，满足题意；
故答案为：0．
2、拓展延伸
【例1】（2024七年级·全国·竞赛）某人从 地去 地，以每分钟 米的速度行进，他先前进 米，再后
退 米，又前进 米，再后退 米……
(1) 小时后他离 地多远？
(2)若 、 两地相距 米，他可能到达 地吗？如果能，需要多长时间？如不能，请说明理由．
【答案】(1) 小时后，这个人离 地 米． (2)能到达 地，需要 分钟．
【分析】本题考查了有理数加法的应用，读懂题意，找出规律，准确进行计算是解答本题的关键．（1）根据题意， 小时共行 （米）， ，当 时， ，
由此得到答案．
（2）由 ，得到他走的总路程是 ，再由路程、速度、时间的关
系，求出答案．
（1）解：根据题意得：
小时共行 （米），
又 ，
当 时， ，
（米），
答： 小时后，这个人离 地 米．
（2）
，
他走的总路程是：
，
，
，
（米）
（分钟），
答：能到达 地，需要 分钟．
【例2】（23-24七年级上·广东汕头·期末）【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于
这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过
查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把 记作，读作“ 的4次商”．
【概念归纳】一般地，我们把 个 （ ）相除记作 ，读作“ 的 次商”
(1)【概念理解】直接写出结果： _______________．
(2)关于除方，下列说法正确的是：________（填序号）
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数 ， ；③ ；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数
(3)【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：
．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：
____________________； __________．
(4)计算： ．
【答案】(1) (2)①④ (3) ， (4)
【分析】本题考查了新定义下的实数运算、有理数的混合运算：
（1）根据所给的例子进行计算即可；
（2）结合除方的定义进行分析即可；
（3）根据除方的运算方式进行求解即可；
（4）结合除方的运算方式运算即可；
解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）解：由题意得 ，
故答案为： ；
（2）解：①任何非零数的2次商都等于这两个数相除，所以结果为1，该说法正确，②对于任何正整数 ，当n为奇数时， ，当n为偶数时， ，所以原说法错误，
③ ， ，则 ，原说法错误，
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确，
故答案为：①④；
（3）解：由题意可得：
= ，
= ，
故答案为： ， ；
（4）解：
=
=
=
=
=
=．
