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专题 2.12 有理数的运算（精选精练）（全章专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·河南驻马店·模拟预测）国家统计局2024年6月5日公布，2024年，我国经济迎来了开门红．
一季度 （国内生产总值）达29.6万亿元，同比增长 ．29.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）下列与 相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江·三模）小明口袋里原有9元钱，买饮料花去3元，求口袋里剩余的钱数．所列算式正确的
是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东肇庆·一模） （ ）
A．7 B． C．3 D．
5．（23-24七年级上·山西临汾·期中）小康在计算 时，由于粗心将墨水滴在了算式上，*是
被墨水污染的地方，小康查了一下答案是12，那么*代表的数是（ ）
A． B． C．10 D．30
6．（23-24六年级下·山东滨州·期末）如果 ，那么在数轴上对数 、 、 位置的确定，正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列计算正确的是（ ）
A． B．C． D．
8．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）某同学设计了一个算式： ，若要使得该算式
值最大，你应在“□”里填入（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）书店有定价10元/本的某阅读书售卖，书店有两种促销方案，方案
一：每买5本，赠送一本；方案二：一次性购买超过5本，每本打八五折出售；某班级需在此书店购进
32本此阅读书，至少要花（ ）元．
A．268 B．269 C．270 D．272
10．（22-23七年级下·浙江温州·期中）为了求 的值，可令
，则 ，因此 ，所以
，仿照以上推理计算出 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25七年级上·全国·随堂练习） 的相反数是 ．
12．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）用四舍五入法对0.0572取近似数，精确到千分位结果是
．
13．（2023·云南·模拟预测）在学校组织的一次冬季运动会中，李老师把一位参赛学生的跳远成绩
记作 ，如果另一位参赛学生的跳远成绩是 ，应记作 ．
14．（2023七年级上·全国·专题练习） ．
15．（2024七年级·全国·竞赛）规定：对任意有理数对 ，进行“ ”运算后得到一个有理数：
，记作 ，例如 ．则 ．16．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知 ，则 ．
17．（23-24七年级上·广东佛山·期末）利用如图所示的图形，可求 的值是 ；
18．（2024·山东临沂·二模）观察下列等式： ， ， ， ， ， ，
…根据其中的规律可得 的结果的个位数字是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）简便运算：
(1) ； (2) ．
20．（8分）（23-24七年级上·福建福州·期末）计算
∶
(1) ； (2) ．
21．（10分）（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
(1) ． (2)
22．（10分）（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各式：(1) (2)
(3) (4)
23．（10分）（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）登山队攀登一座山峰，每登高100米气温下降
，某队员在这座山上海拔为500米的地方测得气温是 ．
（1）求该队员在这座山上海拔为1500米的地方，测得的气温是多少摄氏度？
（2）若该队员在山上某一位置测得气温为 ，则他所在位置的海拔为多少米？
24．（12分）（23-24七年级上·福建泉州·期中）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点
之间的距离是 ，例如 表示2和 在数轴上对应的两点之间的距离．
（1）已知点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，且 ．
① ， ．
②P是数轴上任意一点，且点P表示的数是x，求 的最小值．
（2）某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小哲的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，
在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为
点P．如图，小哲家在O处，自习室A在小哲家西边60米处，B在小哲家东边180米处，C在小哲家东
边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小?最小值为多少?参考答案：
1．C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了
多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正整数；当原数的绝对值
时， 是负整数．
【详解】解：29.6万亿 ，
故选：C
2．B
【分析】根据有理数的加法交换律即可解答，注意：交换加数时，加数前面的符号不能改变.
【详解】解： ；
故选：B.
【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握加法交换律是解题的关键.
3．B
【分析】本题主要考查有理数的减法，根据题意列出算式即可
【详解】解：根据题意得，
故选：B
4．C
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘方的定义及计算方法是求解的关键．这里先计算出乘方，
根据负数的偶数次方为正、奇数次方为负，去括号求解即可.
【详解】解： ，
故选：C．
5．D
【分析】根据除法与乘法互为逆运算，只需要计算出 的结果即可．
【详解】解：．
∴*代表的数是30．
故选D．
【点睛】本题主要考查了有理数的除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了用字母表示数及数轴，找到各数及乘积的范围是关键，根据字母在数轴上的位置判
断乘积的大小后逐项判断即可．
【详解】解：A． ，所以 要小于 中的任何一个数，则 ，故选项错误，不符
合题意；
B． ，所以 要小于 中的任何一个数，则 成立，故选项正确，符合题意；
C． ，所以 大于a，且小于b，则 不成立，故选项错误，不符合题意；
D． ，所以 大于a，且小于b，则 不成立，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合法则是解题的关键．
根据有理数乘除混合法则逐项计算并判定即可．
【详解】解：A、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、 ，计算正确，故此选项符合题意；
D、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则成为解题的关键．分别将 代入计算，然后比较即可解答．
【详解】解：当填入“ ”时， ；
当填入“ ”时， ；
当填入“ ”时， ；
当填入“ ”时， ；
显然A选项结果最大．
故选：A．
9．A
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据促销的方案，
表示出购买的价格，从而可比较出结果．
【详解】解：方法一∶用方案一购买5个5本，共送5本，则到手的书有 本，再买2本，则
其花费为： （元），
方法二∶用方案二购买32本，则其花费为： （元），
方法三∶用方案一购买4个5本，共送4本，则到手的书有 本，再用方案二购买
本，则其花费为：
∵ ，
∴至少要花268元
故选：A．
10．D
【分析】设 ，可得 ，再利用两式相减即可得到答
案．
【详解】解：设 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ；
故选D
【点睛】本题考查的是乘方运算的含义，理解阅读部分的含义是解本题的关键．11．
【分析】本题考查了有理数的乘方和相反数，由有理数的乘方法则计算 ，再根据相反数的定义
即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 的相反数是 ，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了近似数：对万分位数字四舍五入即可．
【详解】解：用四舍五入法对0.0572取近似数，精确到千分位为 ，
故答案为： ．
13．+0.1
【分析】本题主要考查了正负数的意义，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题
意作答，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
【详解】∵参赛学生的跳远成绩 记作 ，
∴这次比赛以 为标准线的，
∵另一位参赛学生的跳远成绩是 ，
故答案为： ．
14．3
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序是解题的关键．先算乘方，再
算乘除，后算加减，即可解答．
【详解】解：
．
故答案为：3．
15．76
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题中运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故答案为：76．
16． 或
【分析】本题考查了绝对值化简求值，有理数的乘法运算，由 得到 异号，进而分两种情况进
行求解即可得到结果，掌握去绝对值符号运算是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 异号，
当 ， 时，
原式 ，
，
；
当 ， 时，
原式 ，
，
；
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
17．
【分析】本题考查了含乘方的混合运算，将 转化为求空白图形的面积和即可得解．
【详解】解：令正方形的边长为1，由图可得，
，
故答案为： ．
18．1
【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键．先根据已知等式发现个位数字是以 为一循环，再根据 即可得．
【详解】因为 ， ， ， ， ， ，…，
所以个位数字是以 为一循环，且 ，
又因为 ， ，
所以 的结果的个位数字是1，
故答案为：1．
19．(1)100
(2)
【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算．
20．(1)1
(2)0
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的顺序以及运算法则是解题的关
键．
（1）利用有理数乘法分配律简便运算即可；
（2）先计算乘方，再将除法转化为乘法，计算乘法，最后计算减法即可．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
21．(1)
(2)6
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算乘除，后计算加减，有括号的先计算括号内的，
据此解答即可．本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
（2）本题考查了有理数的混合运算，先计算乘除，再加减即可，熟知计算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式 ，
．
22．(1)
(2)
(3)(4)
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
23．(1)测得的气温是1摄氏度(2)3700米
【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用；
（1）先求出海拔高度增加1000米，气温下降的度数，再用原来的气温减去下降的气温即可得出答案；
（2）先求出气温下降的度数，进而求出海拔上升的高度，再加上500即可得到答案．
【详解】（1）解：
，
答：测得的气温是1摄氏度；
（2）解：
米，
答：他所在位置的海拔为3700米．
24．(1)① ， ；② 的最小值为
(2)小浩把复印店开设在自己家和自习室B之间，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，最小值为240
米
【分析】（1）本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，根据几个非负数的和为0时，这几个非
负数都为0可求出a，b，再由 的几何意义可求其最小值；
（2）本题考查了数轴上两点间的距离，判断出点P在 之间时， 取最小值为 ；点P在
之间时， 取最小值为 ，即可得到 的最小值是 ．
【详解】（1）解：①因为 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，故答案为： ， ；
②因为 的意义是点P到数轴上表示 和4的点的距离之和，
所以点P在 和4之间时， 取最小值，
即 的最小值为 ．
（2）解：由题意得： （米）， （米），
由（2）可知：当点P在 之间时， 取最小值为 ；当点P在 之间时， 取最小值
为 ，
所以当点P在 之间时， 的值最小，最小值为 （米），
即小浩把复印店开设在自己家和自习室B之间，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，最小值为240
米．
