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§8.13 圆锥曲线中探索性与综合性问题
题型一 探索性问题
例1 (2023·南通模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，且过点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴
上是否存在定点M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明
理由．
解 (1)依题意结合c2＝a2＋b2，
解得a＝1，b＝，c＝2.
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件．
由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0)．
设Q(x，y)(x≥1)为双曲线C右支上一点．
0 0 0
当x＝2时，
0
因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，
所以∠QMF＝45°，
于是|MF|＝|QF|＝3，
所以t＝－1.即M(－1,0)．
当x≠2时，tan∠QFM＝－k ＝－，
0 QF
tan∠QMF＝k ＝.
QM
因为∠QFM＝2∠QMF，
所以－＝.
将y＝3x－3代入并整理得
－2x＋(4＋2t)x－4t＝－2x－2tx ＋t2＋3，
0 0
所以
解得t＝－1.即M(－1,0)．
综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0)．
思维升华 存在性问题的解题策略
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存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不
存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
跟踪训练1 (2022·淄博模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点M(2，m)在抛物线
C上，且|MF|＝2.
(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；
(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为－2，试
判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说
明理由．
解 (1)由题意得，
因为点M(2，m)在抛物线上，所以22＝2pm，
由抛物线的定义，得m＋＝2，
则解得
所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)由(1)得M(2,1)，
设点A，B，
则k ＝，k ＝，
MA MB
所以k k ＝×＝－2，
MA MB
得xx＋2(x＋x)＋36＝0；
1 2 1 2
设直线AB方程为y＝kx＋b，
由得x2－4kx－4b＝0，
所以x＋x＝4k，xx＝－4b，
1 2 1 2
所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，
所以直线AB的方程为y＝kx＋2k＋9，
即直线AB恒过抛物线内部的定点N(－2,9)，
又圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好经过点N(－2,9)，
当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，
此时k＝－＝，
所以直线AB的方程为y＝x＋10.
题型二 圆锥曲线的综合问题
例2 (2023·福州模拟)如图，O为坐标原点，抛物线C ：y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆C ：＋
1 2
＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C 的右顶点，椭圆C 的长轴长为|AB|＝8，离心率e＝.
2 2
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(1)求抛物线C 和椭圆C 的方程；
1 2
(2)过A点作直线l交C 于C，D两点，射线OC，OD分别交C 于E，F两点，记△OEF和
1 2
△OCD的面积分别为S 和S ，问是否存在直线l，使得S∶S ＝3∶13？若存在，求出直线l
1 2 1 2
的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意知，a＝4，＝，
所以c＝2，所以b＝＝2，p＝4.
所以抛物线C 的方程为y2＝8x，
1
椭圆C 的方程为＋＝1.
2
(2)由题设知直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝my＋4.
则联立
得y2－8my－32＝0.
设C(x，y)，D(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝8m，yy＝－32.
1 2 1 2
所以＝
＝＝＝，
因为直线OC的斜率为＝＝，
所以直线OC的方程为y＝x.
由得y2＝1，
则y＝1，
同理可得y＝1，
所以y·y＝1，
所以y·y＝，
要使S∶S＝3∶13，
1 2
只需＝2，
解得m＝±1，
所以存在直线l：x±y－4＝0符合条件．
思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键
是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径 r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的
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弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有PA·PB＝0.
跟踪训练2 如图，过抛物线E：y2＝2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于点A，B，|AB|的最
小值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点C，D(O为原点)．
(1)求抛物线E的方程；
(2)圆M过点C，D，交x轴于点G(t,0)，H(m,0)，证明：若t为定值时，m也为定值．并求t
＝－8时，△ABH面积S的最小值．
解 (1)当直线AB的斜率不存在时，此时A，B，∴|AB|＝2p，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k，联立抛物线方程得k2x2－(k2p＋2p)x＋
＝0，Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2>0，设A(x ，y)，B(x ，y)，x ＋x ＝＝＋p，此时|AB|＝x ＋x ＋p
1 1 2 2 1 2 1 2
＝＋2p>2p，显然当直线AB的斜率不存在时，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，∴抛物
线E：y2＝4x.
(2)设A(x ，y)，B(x ，y)，C(－4，y)，D(－4，y)，则直线OA的方程：y＝x，直线OB的
1 1 2 2 3 4
方程：y＝x，
由(1)知，xx＝，
1 2
∴yy＝－2p＝－4，
1 2
∴y＝，y＝＝＝4y，
3 4 1
设圆心M(x，y)，则y＝＝2y－.
0 0 0 1
若G(t,0)(t为定值)，H(m,0)，则x＝.
0
由|MD|＝|MG|，得(x＋4)2＋(y－y)2＝(x－t)2＋y，
0 0 4 0
∴4t＋4m＋80＝－tm，
由于t≠－4，∴m＝也为定值．
∴H也为定点．
若t＝－8，则m＝12，S＝|FH||y－y|＝|y－y|＝≥×4＝22，
1 2 1 2
当且仅当y＝±2时取到最小值．
1
故△ABH的面积的最小值为22.
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课时精练
1．(2023·德州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦
点，坐标原点为O，且△EOF的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，
求直线l的方程，若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意可知
解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设满足条件的直线l存在，
由E(0，－2)，F(，0)，
得k ＝，
EF
因为点F为△EAB的垂心，
所以AB⊥EF，
所以k ＝－，
AB
设直线l的方程为y＝－x＋t，
代入＋＝1，
得7x2－6tx＋6(t2－4)＝0，
Δ＝(－6t)2－4×7×6(t2－4)
＝－96t2＋672>0，
即－0，
所以直线l的方程为y＝－x＋.
2．(2022·苏州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为.设点M(m,0)(m≠0，
m≠±a)是x轴上的定点，直线l：x＝，设过点M的直线与椭圆相交于A，B两点，A，B在
直线l上的射影分别为A′，B′.
(1)求椭圆C的方程；
(2)判断|AA′|·|BB′|是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
解 (1)由题意可知b＝1，＝，
又a2－b2＝c2，
∴a＝2，b＝1，c＝.
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)当直线AB的斜率为0时，A，B分别为椭圆的左、右顶点，A′，B′均为，
则|AA′|·|BB′|＝·＝＝＝，
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x＝ky＋m，
联立方程组
消去y得(4＋k2)x2－8mx＋4m2－4k2＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，则Δ>0时，x＋x＝，xx＝，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴|AA′|·|BB′|＝·
＝
＝＝.
综上，|AA′|·|BB′|为定值.
3．(2023·唐山模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线交抛
物线于M，N两点，|MN|＝8.
(1)求抛物线E的方程；
(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直
线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由．
解 (1)设过点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－，代入y2＝2px(p>0)，
得x2－3px＋＝0，若M(x，y)，N(x，y)，则x＋x＝3p，
1 1 2 2 1 2
所以|MN|＝x＋x＋p＝4p＝8，则p＝2，
1 2
即抛物线E的方程为y2＝4x.
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(2)设A(x，y)，则过A作抛物线E的切线为y－y＝k(x－x)，即x＝＋x，
0 0 0 0 0
代入y2＝4x，整理得ky2－4y＋4y－ky＝0，
0
因为此直线与抛物线相切，所以Δ＝4(4－4ky＋k2y)＝0，即(ky－2)2＝0，解得k＝，
0 0
所以过A的切线为y－y＝(x－x)，
0 0
令y＝0得x＝－x，即B(－x,0)，所以|BF|＝|AF|＝|AC|，
0 0
又AC∥BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，
所以四边形ACBF为菱形．
4.如图，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，
FA为半径的圆F交l于B，D两点，准线l与y轴交于点S.
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；
(2)若直线y＝kx＋b与抛物线C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，若点S关于直线PQ的对称点
为T，求|FT|的取值范围．
解 (1)由∠BFD＝90°知，|FS|＝|BS|＝|DS|＝p，
设A(x ，y )，
A A
则y ＋＝|FA|＝|FD|＝p，
A
S ＝·|BD|·＝×2p×p＝4，
△ABD
解得p＝2(负值舍去)．F(0,1)，
所以圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
(2)由题意得，直线PQ的斜率一定存在，
其中S，
设S关于直线PQ的对称点为T(m，n)，
则解得
联立y＝kx＋b与x2＝2py，得x2－2pkx－2pb＝0，Δ＝4p2k2＋8pb>0，
设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝2pk，xx＝－2pb，
1 2 1 2
则yy＝(kx＋b)(kx＋b)＝k2xx＋kb(x＋x)＋b2，
1 2 1 2 1 2 1 2
则xx＋yy＝(1＋k2)xx＋kb(x＋x)＋b2
1 2 1 2 1 2 1 2
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＝－2pb(1＋k2)＋2pk2b＋b2＝－2pb＋b2＝0，
解得b＝0(此时O与P或Q重合，舍去)或b＝2p，
所以|FT|＝
＝p∈(p,4p]．
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