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特训 11 空间向量与立体几何动态问题（四大题型）
探索性问题：
(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，
把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．
最值或取值范围问题：
在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是：
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求
解．
(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函
数的最值．
目录：
01 ：立体几何中的探索性问题
02：
空间位置关系的判定
03： 轨迹问题
04： 最值、取值范围问题
01 ：立体几何中的探索性问题
例1 如图，在三棱柱 中，四边形 为正方形，四边形 为菱形，且 ，
平面 平面 ，点 为棱 的中点.(1)求证： ；
(2)棱 （除两端点外）上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ，若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由.
方法归纳： (1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或
方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．
02 ：空间位置关系的判定
例2 （多选）如图几何体是由正方形 沿直线 旋转 得到的，已知点 是圆弧 的中点，点
是圆弧 上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．存在点 ，使得 平面
B．不存在点 ，使得平面 平面
C．存在点 ，使得直线 与平面 的所成角的余弦值为
D．不存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为
方法归纳： 解决空间位置关系的动点问题
(1)应用“位置关系定理”转化．
(2)建立“坐标系”计算．
03 ：轨迹问题例3 (1)如图，在棱长为1的正方体 中，P为棱 的中点，Q为正方形 内一动点
（含边界），则下列说法中正确的是 ．
①若 平面 ，则动点Q的轨迹是一条线段
②存在Q点，使得 平面
③当且仅当Q点落在棱 上某点处时，三棱锥 的体积最大
④若 ，那么Q点的轨迹长度为
方法归纳： 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法
(1)几何法：根据平面的性质进行判定．
(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算．
(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．
04 ：最值、范围问题
例4 如图，在直三棱柱 中，△ 为边长为2的正三角形， 为 中点，点 在
棱 上，且 .(1)当 时，求证 平面 ；
(2)设 为底面 的中心，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时 的值.
方法归纳： 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解．
(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的
最值．
例5 三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直， ，点Q为平面ABC内的动点，且满足
，记直线PQ与直线AB的所成角为 ，则 的取值范围为 .
（1）先分别求解出两条异面直线的一个方向向量；
（2）计算出两个方向向量夹角的余弦值；
（3）根据方向向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成角的余弦值求解出结果.
一、单选题
1．（2023·辽宁·模拟预测）已知空间向量 两两夹角均为 ，且 .若向量 满足
，则 的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2024·安徽马鞍山·三模）已知点 ， ， ， ， ， 都在同一个球面上， 为正方形，若直
线 经过球心，且 平面 ．则异面直线 ， 所成的角最小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·浙江嘉兴·二模）将边长为1的正方形 沿对角线 翻折，使得二面角 的平面
角的大小为 ，若点 , 分别是线段 和 上的动点，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
4．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，已知矩形 的对角线交于点 ，将 沿
翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）如图，已知矩形 ABCD 中，E 为线段 CD 上一动点（不含端点），记
，现将 沿直线AE翻折到 的位置，记直线CP与直线AE所成的角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川遂宁·三模）如图，正方体 的棱长为2，线段 上有两个动点 （ 在
的左边），且 ．下列说法不正确的是（ ）A．当 运动时，二面角 的最小值为
B．当 运动时，三棱锥体积 不变
C．当 运动时，存在点 使得
D．当 运动时，二面角 为定值
7．（2023·全国·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，P为棱 的中点，Q为正方
形 内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ）
A．若 平面 ，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得 平面
C．当且仅当Q点落在棱 上某点处时，三棱锥 的体积最大
D．若 ，那么Q点的轨迹长度为
8．（2023·陕西咸阳·模拟预测）如图，点 是棱长为2的正方体 的表面上一个动点，则以
下不正确的是（ ）A．当 在平面 上运动时，四棱锥 的体积不变
B．当 在线段 上运动时， 与 所成角的取值范围是
C．使直线 与平面 所成的角为 的点 的轨迹长度为
D．若 是 的中点，当 在底面 上运动，且满足 平面 时， 长度的最小值是
二、多选题
9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）在正三棱柱 中， ，点P满足 ，
其中 ，则（ ）
A．当 时， 最小值为
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，平面 平面
D．若 ，则P的轨迹长度为
10．（2024·浙江·三模）已知正方体 的棱长为1，点 满足 ，其中 ，
，则（ ）
A．当 时，则 的最小值为
B．过点 在平面 内一定可以作无数条直线与 垂直
C．若 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为双曲线D．当 ， 时，正方体经过点 、 、 的截面面积的取值范围为
11．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方体 棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边
界上的动点，点M是棱 上的动点（包括点 ），已知 ，P为MN中点，则下列结论正确的
是（ ）
A．无论M，N在何位置， 为异面直线 B．若M是棱 中点，则点P的轨迹长度为
C．M，N存在唯一的位置，使 平面 D．AP与平面 所成角的正弦最大值为
三、填空题
12．（2024·浙江金华·三模）四棱锥 的底面 为正方形， 平面 ，且 ，
．四棱锥 的各个顶点均在球O的表面上， ， ，则直线l与平面 所成夹角
的范围为 ．
13．（2024·北京通州·二模）如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转
90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧 的中点，点H是圆弧 上的动点， ，给出下列四个
结论：
①不存在点H，使得平面 平面CEG；
②存在点H，使得 平面CEG；
③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于 ；
④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为 ．
其中所有正确结论的序号是 ．14．（2023·江西宜春·一模）如图，多面体 中，面 为正方形， 平面 ，
且 为棱 的中点， 为棱 上的动点，有下列结论：
①当 为 的中点时， 平面 ；
②存在点 ，使得 ；
③直线 与 所成角的余弦值的最小值为 ；
④三棱锥 的外接球的表面积为 .
其中正确的结论序号为 .（填写所有正确结论的序号）
四、解答题
15．（2024·江西新余·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ，
，且 ， .
(1)若 为 的中点，证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，线段 上的点 满足 ，且平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求实数 的值.
16．（2023·山东潍坊·三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， 为
底面圆 的内接正三角形，且边长为 ，点 在母线 上，且 ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面
(3)若点 为线段 上的动点．当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点 到平面
的距离．
17．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形 中， ，将 沿
折起，使点D到达点P位置，且 ，连接 得三棱锥 ，如图2．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点M，使平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，若存在，求出 的值，
若不存在，请说明理由．
18．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图所示，四棱台 ，底面 为一个菱形，且. 底面与顶面的对角线交点分别为 ， . ， ， 与底面夹
角余弦值为 .
(1)证明： 平面 ；
(2)现将顶面绕 旋转 角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与 的夹角正弦值为
，此时求 的值( )；
(3)求旋转后 与 的夹角余弦值.
19．（2024·山东济南·一模）在空间直角坐标系 中，任何一个平面的方程都能表示成
，其中 ， ，且 为该平面的法向量.已知集合
， ，
.
(1)设集合 ，记 中所有点构成的图形的面积为 ， 中所有点构成的图形的
面积为 ，求 和 的值；(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为 ， 中所有点构成的几何体的体积为 ，求 和 的值：
(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.
①求W的体积 的值；
②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.
