文档内容
第4讲 范围、最值问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】范围、最值问题............................................................................................................3
【专题精练】.................................................................................................................................5
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范围、最值问题，定点、定直线、定值
问题及探索性问题.
2.以解答题的形式压轴出现，难度较大．
真题自测
一、解答题
1．（2024·上海·高考真题）已知双曲线 左右顶点分别为 ，过点 的直线
交双曲线 于 两点.
(1)若离心率 时，求 的值．
(2)若 为等腰三角形时，且点 在第一象限，求点 的坐标．
(3)连接 并延长，交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围．
2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆 的离心率 ．左顶点为 ，下顶点为 是
线段 的中点，其中 ．
(1)求椭圆方程．
(2)过点 的动直线与椭圆有两个交点 ．在 轴上是否存在点 使得 ．若存在求出这
个 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
3．（2023·全国·高考真题）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点
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学科网（北京）股份有限公司在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．
考点突破
【考点一】范围、最值问题
一、单选题
1．（2023·河南周口·模拟预测）已知椭圆 的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的
两点．则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题）设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
3．（2024·贵州贵阳·三模）双曲线 的左、右焦点分别为点 ，斜率为正的渐
近线为 ，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，交双曲线于点 ，设点 是双曲线 上任意一点，若
，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．双曲线 的离心率为
B．双曲线 的共轭双曲线方程为
C．当点 位于双曲线 右支时，
D．点 到两渐近线的距离之积为
4．（23-24高三上·山东德州·期末）双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲
线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分
该点与两焦点连线的夹角．已知 分别为双曲线 的左，右焦点，过 右支上一点
作双曲线的切线交 轴于点 ，交 轴于点 ，则（ ）
A．平面上点 的最小值为
B．直线 的方程为
C．过点 作 ，垂足为 ，则 （ 为坐标原点）
D．四边形 面积的最小值为4
三、填空题
5．（2022高三·全国·专题练习）抛物线 上的点到直线 的最短距离是 ．
6．（22-23高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，点 在抛物线上，且满足
，设弦 的中点M到y轴的距离为d，则 的最小值为 ．
四、解答题
7．（2024·吉林长春·模拟预测）已知椭圆 的两焦点 ，且椭圆 过
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(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设椭圆 的左､右顶点分别为 ，直线 交椭圆 于 两点（ 与 均不重合），记直线
的斜率为 ，直线 的斜率为 ，且 ，设 ， 的面积分别为 ，求 的
取值范围
8．（21-22高二上·上海长宁·期末）已知双曲线C经过点 ，它的两条渐近线分别为 和
.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为 ､ ，过左焦点 作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求 周
长的取值范围.
9．（2022·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系 中，一动圆经过点 且与直线 相切，设该
动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点．
(1)求曲线K的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若 且直线OP与直线 交于Q点．求
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学科网（北京）股份有限公司的值；
(3)若点D、E在y轴上， 的内切圆的方程为 ，求 面积的最小值．
规律方法：
求解范围、最值问题的常见方法
(1)利用判别式来构造不等关系．
(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系．
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式．
(4)利用基本不等式．
专题精练
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知直线 与椭圆 交于 两点， 是椭圆上
异于 的一点．若椭圆 的离心率的取值范围是 ，则直线 ， 斜率之积的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24 高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点 P 是椭圆 上的动点，则点 P 到直线
的距离最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
3．（22-23高三上·河北石家庄·期末）已知双曲线 ： 的左右焦点分别是 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司左右顶点分别是 ， ，离心率为2，点P在 上，若直线 ， 的斜率之和为 ， 的面积
为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
4．（2022高三·全国·专题练习）已知点 是双曲线 上的动点， ， 为该双曲线的左右焦点，
为坐标原点，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（22-23高二下·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于
两点， ，线段 的中点为 ，过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，则 的最
小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知抛物线C： ，点M在C上，直线l：
与x轴、y轴分别交于A，B两点，若 面积的最小值为 ，则 （ ）
A．44 B．4 C．4或44 D．1或4
7．（22-23高二上·北京延庆·期末）已知点P在抛物线 上，且 ，则 的最小值为（ ）．
A．2 B． C．3 D．4
8．（2023·山东日照·一模）已知椭圆 ： 的左、右焦点为 ， ，点 为椭圆
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学科网（北京）股份有限公司内一点，点 在双曲线 ： 上，若椭圆上存在一点 ，使得 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）过椭圆 的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点， ， 是椭圆的左、
右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A． 周长的最小值为18
B．四边形 可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是 ，则直线PB斜率的取值范围是
D． 的最小值为-1
10．（22-23高二上·山东济宁·期末）已知 为双曲线 的右焦点，直线 与该双曲线相
交于 两点（其中 在第一象限），连接 ，下列说法中正确的是（ ）
A． 的取值范围是
B．若 ，则
C．若 ，则点 的纵坐标为
D．若双曲线的右支上存在点 ，满足 三点共线，则 的取值范围是
11．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知抛物线 上的两个不同的点 关于直线
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学科网（北京）股份有限公司对称，直线 与 轴交于点 ，下列说法正确的是（ ）
A． 的焦点坐标为 B． 是定值
C． 是定值 D．
三、填空题
12．（21-22高二上·江苏镇江·期中）若点O和点F分别为椭圆 的中心和左焦点，点P为椭圆上
任意一点，则 · 的取值范围为 .
13．（21-22高二上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆 ，双曲线 与椭圆 共焦点，且与椭圆 在四
个象限的交点分别为 ，则四边形 面积的最大值是 .
14．（2023·江苏南通·模拟预测）已知点 是抛物线 上的动点，则 的最小
值为 .
四、解答题
15．（22-23高三上·天津南开·期末）已知椭圆C： 的离心率为 ，四个顶点所围成
菱形的面积为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)若A、B两点在椭圆C上，坐标原点为O，且满足 ，
（i）求 的取值范围；
（ii）求 的面积.
16．（2024·浙江金华·模拟预测）在直角坐标系 中，圆Γ的圆心P在y轴上（ 不与 重合），且与双
曲线 的右支交于A，B两点．已知 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求Ω的离心率；
(2)若Ω的右焦点为 ，且圆Γ过点F，求 的取值范围．
17．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，
在椭圆 上仅存在 个点 ，使得 为直角三角形，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 是椭圆 上一动点，且点 在 轴的左侧，过点 作 的两条切线，切点分别为 、 .求
的取值范围.
18．（2024·湖北·一模）已知双曲线 经过椭圆 的左、右焦点 ，设 的
离心率分别为 ，且 ．
(1)求 的方程；
(2)设 为 上一点，且在第一象限内，若直线 与 交于 两点，直线 与 交于 两点，设
的中点分别为 ，记直线 的斜率为 ，当 取最小值时，求点 的坐标．
19．（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知抛物线 ， 为E上位于第一象限的
一点，点P到E的准线的距离为5．
(1)求E的标准方程；
(2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线 与 斜率乘积为 ．
（i）证明：直线 过定点；
（ii）求 的最小值．
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