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专题 8-2 立体几何中的角和距离问题（含探索性问题）
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专题8-2立体几何中的角和距离问题（含探索性问题）....................................................................1
.....................................................................................1
题型一：异面直线所成角（含定值，最值，范围）............................................................................1
题型二：线面角（定值，最值）..........................................................................................................12
题型三：线面角探索性问题..................................................................................................................32
题型四：二面角（定值，最值）..........................................................................................................47
题型五：二面角探索性问题..................................................................................................................68
题型六：点到平面距离问题..................................................................................................................80
................................................................95
题型一：异面直线所成角（含定值，最值，范围）
【典例分析】
例题1．（2022·山东泰安·二模）已知 ， 两点都在以 为直径的球 的球面上，
， ，若球 的体积为 ，则异面直线 与 所成角的余弦
值为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·江苏省横林高级中学高二阶段练习）在正方体 中， 是
棱 的中点， 是底面 内（包括边界）的一个动点，若 平面 ，则异面
直线 与 所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．例题3．（2022·湖北·荆门市东宝中学高二期中）如图，在四棱锥 中，已知
平面 ，且四边形 为直角梯形， ， ，
.
（1）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
（2）点 是线段 上的动点，当直线 与 所成的角最小时，求线段 的长.
【提分秘籍】
设异面直线 和 所成角为 ，其方向向量分别为 ， ；则异面直线所成角向量求法：
①
②
③涉及到异面直线所成角所成范围或最值问题时，根据得到的解析式 ，
可通过配方为二次函数，或者基本不等式，或者求导，求出范围或者最值.
【变式演练】
1．（2022·江苏·高二阶段练习）在长方体 中，为空间内一点， 为底面 内一点，且满足 ，异面直
线 与 所成角为 ，则当线段 的长度取最小值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·河南·高二期中）在三棱锥 中，平面 平面BCD，
， ， 为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，
若异面直线DE与BF所成角的余弦值为 ，则AF的值可能为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（多选）（2022·浙江·余姚中学高二阶段练习）如图，在三棱锥 中，平面
平面 ， 与 均为等腰直角三角形，且 ，
， 是线段 上的动点（不包括端点），若线段 上存在点 ，使得异面直线
与 成 的角，则线段 的长度可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·云南·玉溪市民族中学模拟预测（文））如图，在直三棱柱 中，
D，E，F分别是 的中点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求异面直线 与 所成角的余弦值．5．（2022·天津·二模）如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，
AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1．
(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值；题型二：线面角（定值，最值）
【典例分析】
例题1．（2022·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥 的底面 为正方形，
二面角 为直二面角， ，点 为线段AD的中点.
(1)证明： ；
(2)若 ，点 是线段 上靠近点 的三等分点，求直线 与平面 所成角
的正弦值.
例题2．（2022·湖南·模拟预测）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重
檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，
因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，
其形状与四阿顶相类似．已知底面 为矩形， ， 底面
, ， ， 分别为 ， 的中点．
(1)证明： 且 平面 ．
(2)若二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
例题3．（2022·河北·模拟预测（理））如图1所示，在平行四边形 中，， ，将 沿 折起，使得二面角 的大小为 ，如
图2所示，点 为棱 的中点，点 为棱 上一动点．
(1)证明： ；
(2)若四棱锥 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
例题4．（2022·全国·模拟预测）已知四棱锥 的底面为菱形， ，
， 平面 ． 与底面 所成角为 ，设平面 与平面 交线
为 ．
(1)证明： 平面 ；
(2) 为 上的动点，且点 与点 在平面 同侧，求直线 与平面 所成角的正
弦值的取值范围．
【提分秘籍】设直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则
① ；
② .
③涉及到线面角范围或最值问题时，根据得到的解析式 ，可通过配方
为二次函数，或者基本不等式，或者求导，求出范围或者最值.
【变式演练】
1．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））如图所示，直三棱柱 中
， ，点M为线段 ， 的交点，点P，Q分别为线段 ，AB
的中点，延长 至点D，使得 ，连接CD，QD，CQ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点M在平面ABP内的投影恰好为 的重心， ，求直线MD与平面 所
成角的正弦值．
2．（2022·浙江温州·三模）如图是一个四棱柱被一个平面所截的几何体，底面 是正方形，M是 的中点， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
3．（2022·山东日照·三模）如图，在斜三棱柱 中，侧面 侧面
，M为 上的动点.
(1)当M为 的中点时，证明： ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
4．（2022·江苏江苏·三模）如图，在四棱锥 中， 底面 ，，点 在棱 上， ,点 在棱 上，
.
(1)若 ， 为 的中点，求证： ， ， ， 四点共面；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦的最大值.
题型三：线面角探索性问题
【典例分析】
例题1．（2022·天津·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
底面 是直角梯形，其中 ， ， 为
棱 上的点，且
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)设 为棱 上的点（不与 、 重合），且直线 与平面 所成角的正弦值为
，求 的值.例题2．（2022·天津河东·二模）如图所示，直角梯形 中， ， 垂直
， ，四边形 为矩形， ，平面 平面 ．
(1)求证： ∥平面 ；
(2)求平面 与平面 所成二面角的正弦值；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存
在，求出线段 的长，若不存在，请说明理由．
例题3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））如图所示，四棱锥 ，底面在以为直径的圆 上， 圆 ， 为等边三角形， ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)线段 上是否存在一点 使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，
求出 ；若不存在，请说明理由．
【提分秘籍】
探索性问题，动点的位置一般可以假设 ，再结合向量加，减法，求解；另外如果动
点在坐标轴上，可以直接假设动点坐标;
【变式演练】
1．（2022·天津·一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
，AP⊥平面ABCD， ，点M、N分别为线段
BC和PD的中点．
(1)求证：AN⊥平面PDM；
(2)求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；
(3)在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为
，若存在，求出线身PE的长：若不存在，请说明理由.2．（2022·黑龙江·佳木斯一中模拟预测（理））如图，四棱锥 的底面为菱形，
， ， 底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线
段PC上的一点．
(1)若 ，证明直线AG在平面AEF内；
(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为 ，试确定 的值．3．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））如图，在三棱柱 中，
平面 分别是 的中点.
(1)求证： //平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ？若存
在，则求出 的值；若不存在，请说明理由.
题型四：二面角（定值，最值）
【典例分析】
例题1．（2022·四川·石室中学模拟预测（理））如图，在四棱锥 中，
， ， ， 是棱 的中点，且 平面
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值.例题2．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））在四棱锥 中， ，
， ， ， 平面 ， 与平面 所成角 ，
又 于 ， 于 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
例题3．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知直三棱柱 中，侧面
为正方形. ， ， 分别为 和 上的点，且 ，
， 为棱 上的点， .
(1)证明： ，且 ；
(2)当 为何值时，平面 与平面 所成的二面角的正弦值最小？
例题4．（2022·安徽省舒城中学一模（理））如图所示，三棱锥 中， 平面， ，平面 经过棱 的中点 ，与棱 ， 分别交于点 ， ，且
平面 ， 平面 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，点 是直线 上的动点，求平面 与平面 所成锐二面
角的余弦值的最大值．
【提分秘籍】
（1）如图①， ， 是二面角 的两个面内与棱 垂直的直线，则二面角的大
小 ．
（2）如图②③， ， 分别是二面角 的两个半平面 的法向量，则二面角
的大小 满足：
① ；
②若二面角为锐二面角（取正），则 ；
若二面角为顿二面角（取负），则 ；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定
为锐二面角还是钝二面角.）
③涉及到二面角范围或最值问题时，根据得到的解析式 ，可通过配
方为二次函数，或者基本不等式，或者求导，求出范围或者最值.
【变式演练】
1．（2022·山东青岛·一模）如图①，在梯形 中， ， ，
， 为 的中点，以 为折痕把 折起，连接 ， ，得到如图②的几
何体，在图②的几何体中解答下列两个问题．
(1)证明： ；
(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角 的余弦值．
①四棱锥 的体积为2；
②直线 与 所成角的余弦值为 ．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2022·全国·模拟预测）如图①，平面图形ABCDE中， ，四边形BCDE是等
腰梯形， ， .沿BE将 ABE折起，使平面 平面
BCDE，得到四棱锥 ，连接CE，如图②.△(1)设平面ABC与平面ADE的交线为l，求证： ；
(2)当四棱锥 的体积为 时，求侧面ACD与侧面ABE所成的二面角的平面角.
3．（2022·山东潍坊·模拟预测）如图，正三棱柱ABC−ABC 的所有棱长均为2，D为棱
1 1 1
BB（不包括端点）上一动点，E是AB的中点．
1
(1)若AD⊥AC，求BD的长；
1
(2)当D在棱BB（不包括端点）上运动时，求平面ADC 与平面ABC的夹角的余弦值的取
1 1
值范围．
4．（2022·全国·长郡中学模拟预测）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
题型五：二面角探索性问题
【典例分析】
例题1．（2022·浙江绍兴·一模）在四棱锥 中， ，
， ， .
(1)求证： ；
(2)若平面 平面 ，二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所
成角的正弦值.
例题2．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边长为4的菱形 中，
，点 ， 分别是边 ， 的中点， ， ．
沿 将 翻折到 的位置，连接 ， ， ，得到如图2所示的五棱锥 ．
(1)在翻折过程中是否总有平面 平面 ？证明你的结论；
(2)当四棱锥 体积最大时，求直线 和平面 所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的平面角的
余弦值为 ？若存在，试确定点 的位置；若不存在，请说明理由．
例题3．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）如图，在三棱柱 中，底
面 是边长为2的正三角形，侧面 是菱形，平面 平面 ， ，
分别是棱 ， 的中点， 是棱 上一点，且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若三棱锥 的体积为1，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．【提分秘籍】
探索性问题，动点的位置一般可以假设 ，再结合向量加，减法，求解；另外如果动
点在坐标轴上，可以直接假设动点坐标;
【变式演练】
1．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在四面体 中， 是正三角形， 是
直角三角形， ．
(1)求证： ；
(2)已知点E在棱 上，且 ，设 ，若二面角 的余弦值为 ，
求 ．
2．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图所示，已知长方形 中， 为
的中点将 沿 折起，使得 .(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点 在线段 上，且平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，试确定点
的具体位置.
3．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））如图， 是边长为6的正三角形，
点E，F，N分别在边AB，AC，BC上，且 ， 为BC边的中点，AM交
EF于点 ，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)试探究在线段DM上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.题型六：点到平面距离问题
【典例分析】
例题1．（2022·浙江台州·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ，
与 均为等腰直角三角形， ， ，且平面 平面 .
(1)求证： ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
例题2．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平
面 ， ， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，
， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
例题3．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）在如图所示的几何体中，四边
形 是正方形，四边形 是梯形， ， ，平面 平面
，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的大小；
(3)已知点 在棱 上，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求点 到平面的距离．
【提分秘籍】
点 到平面 的距离
如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点.过点 作平
面 的垂线 ，交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是
在直线 上的投影向量 的长度.
【变式演练】
1．（2022·北京东城·三模）如图，在正三棱柱 中， ， ， 分
别为 ， 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小；
(3)线段 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 到平面 的距离；若
不存在，说明理由.
2．（2022·北京·人大附中模拟预测）如图，三棱柱 中，面 面
， ．过 的平面交线段 于点 （不
与端点重合），交线段 于点 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 到平面 的距离为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
3．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））图1是直角梯形 ， ， ，
， ， ， ，以 为折痕将 折起，使点 到达 的位
置，且 ，如图2．(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点P为线段 上靠近点 的三等分点，求点 到平面 的距离？
1．（2022·青海·湟川中学一模（理））在各棱长均相等的直三棱柱 中，点M
在 上 ，点N在AC上且 ，则异面直线 与NB所成角的正切值
为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南开封·一模（文））如图，在正方体 中，点M，N分别是， 的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）
① ∥平面 ； ②平面 平面 ；
③直线 与 所成的角为 ； ④直线 与平面 所成的角为 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在正三棱锥 中，底面 是边长
为 正三角形， 是 的中点，若直线 和平面 所成的角为 ，则三棱锥外接球
的表面积为 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））如图，在正方体 中，E，F分
别为棱 ， 的中点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南郑州·二模（理））如图，在长方体ABCD－ABC D 中，AD＝AA＝1，AB
1 1 1 1 1
＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD 的距离为（ ）
1A． B． C． D．
6．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）在直三棱柱 中，底面是等腰
直角三角形， ，侧棱 ，D，E分别是 与 的中点，点E在平面
ABD上的射影是 的重心G，则点 到平面ABD的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·四川泸州·一模（文））在棱长为1的正方体 中，点M在对角
线 上（点M与A， 不重合），则下列结论中错误的是（ ）
A．线段 与 的长度始终相等
B．存在点M，使得 ∥平面
C．存在点M，使得直线 与平面 所成角为
D．若N是 上一动点，则 的最小值为
8．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在矩形 中， ，E，F，G，H分别
为边 的中点，将 分别沿直线 翻折形成四棱锥，下列说法正确的是（ ）
A．异面直线 所成角的取值范围是 B．异面直线 所成角的取值范围
是
C．异面直线 所成角的取值范围是 D．异面直线 所成角的取值范
围是
二、多选题
9．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在直三棱柱 中， ，
， 为 的中点，点 是线段 上的点，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．存在点 ，使得直线 与 所成的角是C．当点 是线段 的中点时，三棱锥 外接球的表面积是
D．当点 是线段 的中点时，直线 与平面 所成角的正切值为 ．
10．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，
平面 ，O，P分别是 的中点，M是棱SD上的动点，则下列选
项正确的是（ ）
A．
B．存在点M，使 平面SBC
C．存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°
D．点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
11．（2022·山东烟台·一模）如图，正三棱柱 中，底面ABC是边长为2的等
边三角形， ，D为BC中点，则（ ）
A．直线 平面B．点 到平面 的距离为
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．设P，Q分别在线段 ， 上，且 ，则PQ的最小值为
三、填空题
12．（2022·江苏·华罗庚中学三模）如图，在平行六面体 中，AB＝AD＝
2， ， ，点E是AB中点，则异面直线 与DE所成
角余弦值是______．
四、解答题
13．（2022·青海·湟川中学一模（理））在三棱柱 中， 平面 ，
，点E为AB的中点且 ．
(1)证明： 平面MEC；
(2)P为线段AM上一点，若二面角 的大小为 ，求AP的长．14．（2022·四川南充·一模（文））在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形，
， ， ， ， 是等边三角形．现将
沿AD折起，连接EB，EC得四棱锥 （如图2）且 ．
(1)求证：平面 平面ABCD；
(2)在棱EB上有点F，满足 ，求二面角 的余弦值．
15．（2022·上海虹口·一模）如图，在三棱柱 中，底面ABC是以AC为斜边的
等腰直角三角形，侧面 为菱形，点 在底面上的投影为AC的中点 ，且 ．
(1)求证： ；(2)求点 到侧面 的距离；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得直线DE与侧面 所成角的正弦值为 ？若存
在，请求出 的长；若不存在，请说明理由．
16．（2022·北京市第五中学三模）如图，在三棱柱 中，平面 平面
， 是矩形，已知 ，动点 在棱
上，点 在棱 上，且 .
(1)求证： ;
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值;
(3)在满足（2）的条件下，求点 到平面 的距离.17．（2022·云南云南·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面ABCD是直角梯形，
， ， .
(1)求证： 平面ABCD；
(2)设 ，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为 时，求 的值.
18．（2022·北京西城·二模）如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为4
的菱形， ，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面 与棱 交
于点E.(1)求证： ；
(2)若 ，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB
与平面 所成角的正弦值.条件①：平面 平面 ；条件②： ；
条件③： .
