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六年级数学·下 新课标[人]
第 4 单元 比 例
本单元是由比例的意义和基本性质,正比例和反比例,比例的应用以及自行车里的数学
四部分内容组成。教材的编排体现知识的联系性和知识的综合应用。发展学生综合运用知
识的能力,获得初步的函数观念,为中学的数学学习打下基础。
本单元是在学生已经掌握了比的有关知识:比的意义、求比值、比的基本性质、化简比
等知识的基础上进行的。
在教学中,教师一定要把学生已有知识储备调动好,找到各部分知识的切入点,两者有机
地结合起来。本单元的几个重点概念教师要给予足够的重视,教学时通过观察、比较、概括
的方法帮助学生理解这些概念。
1. 理解比例的意义和基本性质。
2.通过具体情境,认识成正比例、反比例的量,理解正比例、反比例的意义。
3.会运用比例的知识和正反比例的图像解决简单的实际问题。
1.在探索比例基本性质的过程中,进一步发展合情推理能力。
2.能够正确判断成正比例、反比例的量,比较清楚地表达自己的思考过程和结果。
1.会运用比例的基本性质解比例。
2.能找出生活中成正比例、反比例关系量的实例,并进行交流。
在运用比例的知识解决问题的过程中,进一步体验数学与生活的联系,认识数学的价值。初步养成乐于思考、勇于质疑、言必有据等良好品质。
【重点】
1.理解比例的意义和比例的基本性质,掌握解比例的正确方法。
2.能够正确判断成正比例、反比例的量。
3.能用比例的相关知识解决实际问题。
【难点】
能正确判断成正比例、反比例的量。
1.运用实际生活中的例子,帮助学生理解比例的意义,从中获取怎样判断式子是否成比
例,学生在实际例子中体会到比例就在身边,使学生联系生活实际理解比例的意义。
2.结合讲解、演示、学生练习等教学方式帮助学生理解正比例、反比例的意义,通过积
累知识,掌握方法,牢记公式使学生正确判断正比例和反比例,在辨析中得到学习的思路,掌
握学习方法,获得解决问题的学习技巧。
1 比例的意义和基本性质本节教材由比例的意义,比例的基本性质,解比例以及练习八四部分内容组成。
比例的意义这部分是本节重点内容,在这一部分里教材采用了与小学生生活密切相关
的国旗情景图和问题引发学生思考。学生通过研究三面国旗长和宽的比,从求比值和化简比
两个角度发现长和宽的比都相等,可以用等式表示两个比相等的关系,从而概括出比例的意
义。
比例的基本性质是本节重点,是学好比例的重点和关键,教材首先介绍比例的组成,然后
通过一个例题来研究两个外项的积和两个内项的积的关系,引导学生发现比例的基本性质,
由浅入深,降低了难度,使学生有了成功的喜悦。
解比例部分为本节难点,教材首先交代什么叫解比例,学生明确了意义, 教材通过例2
明确了解比例的方法后给出了开放的例3,学生通过合作探究获得成功,增强了学习的信心。
教师要在明确教材的编写意图的基础之上采用有利于学生思维发展的方法引导学生探
索发现新知识,为今后的学习奠定坚实的基础。
1.理解比例的意义,掌握组成比例的关键条件。理解比例的基本性质,知道比例各部分
名称。
2.能正确判断两个比能否组成比例,会根据比例的基本性质组成比例。
3.通过动手、动脑、观察、计算、讨论等方式,使学生自主获取知识,全面参与教学活
动。
【重点】
理解比例的意义,掌握组成比例的关键条件,比例的基本性质。
【难点】
能正确判断两个比能否组成比例。发现并概括出比例的基本性质。
第 课时 比例的意义本节教材是学生学习了比的意义,求比值的基础上进行的,教学中要注重新旧知识的联
系,充分利用学生已有经验,组织学生积极参与教学活动。
比例的意义这部分是本课重点内容,在这一部分里教材采用了与小学生生活密切相关的
国旗情景图和问题引发学生思考。学生通过研究三面国旗长和宽的比,从求比值和化简比两
个角度发现长和宽的比都相等,可以用等式表示两个比相等的关系,从而概括出比例的意义。
1.理解比例的意义,掌握组成比例的关键条件。
2.能正确判断两个比能否组成比例。
3.通过动手、动脑、观察、计算、讨论等方式,使学生自主获取知识,全面参与教学活
动。
【重点】
理解比例的意义,掌握组成比例的关键条件。
【难点】
正确判断两个比能否组成比例。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习比的相关知识。
求比值,完成后,说说求比值的方法,这三个比值是什么关系?
18∶12 27∶18 2.4∶1.6
预设 生1:用比的前项除以比的后项。
生2:这三个比值相等。
……
3 3 3
【参考答案】 18∶12= 27∶18= 2.4∶1.6= 求比值的方法是用比的前项除
2 2 2
以比的后项,这三个比值相等。[设计意图] 比和比值是解决比例意义的关键所在,只有唤醒学生已有经验,才能更好
地让学生投入到学习比例意义活动中来,为实现教学目标做好铺垫。
方法一
谈话导入。
师:同学们,每周一的早上我们学校都要举行庄严的升国旗仪式,那么,你们对国旗都有
哪些了解呢?
预设 生1:我们的国旗是红色的,上面有五颗黄色的五角星。
生2:我们的国旗是长方形的。
师:同学们回答得真好,说出了自己对国旗的了解,可以看出同学们对我们国家的热爱,
老师希望你们一定要好好学习,为我们的五星红旗增光!五星红旗是庄严而美丽的, 并且它
与我们数学也有着密切的联系,这也就是我们今天所要研究的内容——比例。(板书课题:比
例的意义)
[设计意图] 直接语言导入,开门见山,直入主题,更快地进入新知识的学习。
方法二
情景导入,激发学习兴趣。
(出示PPT课件图片 )
师:同学们观察这三张图片,有什么发现?
预设 生:第2张变的比第1 张大了,第3张没有变化。
2.揭示课题。
师:第三张图片没有变化,是因为它是按照1∶1的比例洗出的。这节课我们就要学习
“比例”。(板书课题)。
[设计意图] 通过对三张大小变化的图片的观察,以及教师的描述,使这种变化与比例
建立起某种联系,从而引出比例的教学。
探究学习 比例的意义
(PPT课件出示下图)1.学生自由观察,得出观察数据的结论。
10
预设 生1:我知道天安门广场上的国旗长是5 m,宽是 m。
3
生2:我知道操场上的国旗长是2.4 m,宽是1.6 m。
生3:我知道教室里的国旗长是60 cm,宽是40 cm。
2.研讨国旗长和宽的比值。
师:同学们,现在我们知道各种国旗的长和宽,那么同学们把上图中操场上和教室里的两
面国旗长和宽的比值求出来,并说出两个比值是什么关系, 请小组讨论一下,再汇报讨论结
果。
3
预设 生1: 操场上的国旗长和宽的比值是2.4∶1.6= 。
2
3
生2:教室里的国旗长和宽的比值是60∶40= 。
2
生3:这两个比值是相等的关系。
师:不同场合用到的国旗大小会不一样,但长和宽的比值是一定的。
3.研讨课件上三面国旗的尺寸中,还能组成哪些比值相等的等式。(小组合作)
学生汇报,师板书:
10 10
5∶ =2.4∶1.6 5∶ =60∶40
3 3
10
2.4∶1.6=60∶40 ∶5=1.6∶2.4
3
10
∶5=40∶60 1.6∶2.4=40∶60
3
4.归纳总结。
师:经过我们共同探讨发现,这三面国旗的长和宽的比值都相等,所以每两面国旗的长和
宽的比都可以组成等式,同样这三面国旗的宽和长的比值也都相等,所以每两面国旗的宽和
长的比也都可以组成等式。另外我们发现,每两面国旗的长与长的比、宽与宽的比也可以组
成等式。用这三面国旗的数值我们可以组成许多等式。
5.揭示比例的意义。师:我们发现,在上面的等式里,是表示两个比相等的式子,我们就把表示两个比相等的
式子叫做比例。(板书)
师:我们可以根据比例的意义判断两个比能否组成比例,就是看它们的比值是否相等,若
比值相等则能组成比例,若比值不相等则不能组成比例。(板书组成比例的条件)
[设计意图] 安排探究学习,注重学生的学习经验与学习兴趣,一改以往死记硬背、机
械训练的学习行为。 有效地指导学生掌握基础知识和基本技能。在教学过程中重视让学生
运用已有知识分析、解决新问题,学会看书,学会思维,学会获取新知识、增强了学生的自信
心。
教材第40页“做一做”第1,2题
【参考答案】 1.(1)能组成比例 6∶10=9∶15 (2)不能组成比例 (3)能组成比例
1 1 3 1
∶ =6∶4 (4)能组成比例 0.6∶0.2= ∶ 2.可以组成8个比例 3∶1.5=4∶2
2 3 4 4
3∶4=1.5∶2 1.5∶3=2∶4 4∶3=2∶1.5 2∶1.5=4∶3 2∶4=1.5∶3 1.5∶2=3∶4
4∶2=3∶1.5
师:请看板书回忆一下,在这节课我们学习了哪些内容。
预设 生1:我知道了比例的意义:表示两个比相等的式子叫做比例。
生2:是不是能组成比例要计算两个比的比值,如果比值相等就能组成比例。
师:这节课我们掌握了比例的意义和组成比例的基本条件(两个比的比值必须相等才能
组成比例,否则不能组成比例)。
作业1
教材第43页练习八第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空。
3
(1)比值是 的两个比可以为( ),( ),这两个比组成比例是( )。
5(2)红星小学六(1)班有35人,有7个“三好学生”,六(2)班有40人,有8个“三好学生”。
六(1)班和六(2)班总人数的比是( )∶( ),两个班三好学生的人数的比是( )∶(
),它们组成的比例是( )。
【提升培优】
2.(重点题)判断下面各组中的两个比能否组成比例。
(1)7∶3和21∶9;
1 3
(2)8∶6和 ∶ ;
6 4
【思维创新】
3.(难点题)判断21.98∶π 和12.56∶π是否能组成比例。
【参考答案】
作业1:1.年龄和身高不能组成比例 质量和箱子数量能组成比例,30∶2=120∶8 题中的
路程和时间不能组成比例 总价和衣服数量能组成比例,100∶5=200∶10 2.(1)能组成比
例,组成的比例为
4∶12=5∶15,4∶5=12∶15,12∶4=15∶5,12∶15=4∶5,5∶15=4∶12,15∶12=5∶4,15∶5=1
2∶4,5∶4=15∶12。 (2)不能组成比例。 (3)不能组成比例。 (4)能组成比例,组成的
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
比例有 ∶ = ∶ , ∶ = ∶ , ∶ = ∶ , ∶ = ∶ , ∶ = ∶ , ∶ =
3 6 2 4 3 2 6 4 6 3 4 2 6 4 3 2 2 4 3 6 4 6 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∶ , ∶ = ∶ , ∶ = ∶ 。 3.答案不唯一,如10∶2,15∶3,10∶2=15∶3。
3 4 2 6 3 2 3 4 6
作业2:1.(1)答案不唯一,如:3∶5 9∶15 3∶5=9∶15 (2)35 40 7 8 35∶40=7∶8
2.(1)能。 (2)不能。 3.不能。
比例的意义课的一开始就出示了一组“比”,由这组比,引导学生回忆有关比的知识,如:什么叫做
比,比各部分的名称,什么叫做比值,求比值的方法是什么,为后面学习比例意义做好了知识
上的准备。
在学习比例的意义时,创设情境让学生观察并动手求出国旗长和宽的比、宽和长的比,
看发现了什么?在学生充分感知的基础上,揭示比例的意义。在此同时还要使学生在学习过
程中,理解比值相等是判断两个比能不能组成比例的核心。
1.对比例意义的引导还不够细致。应该让学生参与教学过程,体会成功。
2.课堂调控能力还需要继续提高,对课堂生成性的内容处理不够。
再教这个内容时,我应该在引导学生发现问题时,设计一些便于学生发现问题、有利于
学生形成良好思维习惯的问题。
【做一做·40页】
1 1
1.(1)能组成比例 6∶10=9∶15 (2)不能组成比例 (3)能组成比例 ∶ =6∶4 (4)
2 3
能组成比
3 1
例 0.6∶0.2= ∶ 2.可以组成8个比例 3∶1.5=4∶2 3∶4=1.5∶2 1.5∶3=2∶4
4 4
4∶3=2∶1.5 2∶1.5=4∶3 2∶4=1.5∶3 1.5∶2=3∶4 4∶2=3∶1.5
已知三个数分别为1,2,6,请写出一个数,使之与这三个数可以组成比例,并写出
相应的一个比例。
[名师点拨] 要使一个数能与1,2,6组成比例,就要使这个数与其中一个数的比值和另
1 1
两个数的比值相等,而由1,2,6可以得到1∶2=0.5,1∶6= ,2∶6= ,从而可得到答案。
6 3[解答] 当这个数是3时,组成的比例可以是:1∶2=3∶6;
当这个数是12时,组成的比例可以是:1∶6=2∶12;
1 1
当这个数是 时,组成的比例可以是:2∶6= ∶1。
3 3
【知识拓展】 由1,2,3,6四个数可以组成8个比例,这里就不一一列举了。
黄金分割律
这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现,后来古希腊美学家柏拉图将此称为
黄金分割。这其实是一个数字的比例关系,即把一条线分为两部分,此时长段与短段之比恰
恰等于整条线与长段之比,其数值比为1.618∶1或1∶0.618,也就是说长段的平方等于全
长与短段的乘积。0.618,以严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值。 为
什么人们对这样的比例,会本能地感到美的存在?其实这与人类的演化和人体正常发育密切
相关。据研究,从猿到人的进化过程中,骨骼方面以头骨和腿骨变化最大,躯体外形由于近似
黄金矩形而变化最小,人体结构中有许多比例关系接近0.618,从而使人体美在几十万年的
历史积淀中固定下来的。
第 课时 比例的基本性质
比例的基本性质,教材首先向学生介绍比例的各部分名称及比例的分数形式 ,接下来的
例1主要研究比例两个内项积与两个外项积的相等关系,从而概括出比例的基本性质。最后
通过“做一做”巩固练习,使学生加深对比例的基本性质的理解。
学生已经掌握了比例的意义, 应用比例的意义,判断两个比是否能组成比例的方法和比
的性质等知识的基础,学习本节内容不会有太大的困难。
教学中,教师不要面面俱到,要充分利用学生已有经验,组织学生积极参与教学活动,形
成主动学习的好习惯。
1.知道比例的各部分名称和比例的分数形式;理解比例的基本性质。
2.能根据比例的基本性质判断两个比能否组成比例。【重点】
理解比例的基本性质。
【难点】
正确判断两个比能否组成比例,根据比例的基本性质组成比例。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习比例的相关知识。
1.根据比的性质填空。
(1)2∶7=14∶( )=( )∶14
(2)4∶5=20∶( )=( )∶20
2.根据比例的意义判断下面各组中的两个比是否可以组成比例。
(1)2∶5和8∶15 (2)0.4∶2.5和4∶25
【参考答案】 1.(1)49 4 (2)25 16 2.(1)不能(2)能
[设计意图] 两个题目都和比例的基本性质有关,为新知识的学习找到了切入点。
方法一
1.复习利用比例的意义判断两个比能否组成比例。
师:上一节我们已经认识了比例,知道两个比怎样才能组成比例,下面请同学们判断一下
下面各组的比能否组成比例。
2 12 3
(1)0.4∶ 和1.2∶2 (2) 和
3 2.4 0.5
预设 生1:根据比例的意义,第(1)题,这两个比的比值相等,都是0.6,所以(1)题的两个
比能组成比例。
12 3
生2:我来回答第(2)题,我也利用比例的意义,求出 =5, =6,这两个比的比值不
2.4 0.5
相等,所以第(2)题的两个比不能组成比例。师:这两名同学回答的真好,有理有据,让我们为他们的表现鼓掌!
2.揭示课题。
师:今天这节课,我们将共同来学习用另一种方法来判断两个比能否组成比例,同学们想
知道是什么方法吗?
预设 生:想知道。
师:那就是比例的基本性质(板书课题:比例的基本性质)。
[设计意图] 复习学生已有的知识,唤醒学生已有学习经验,教师的提问吸引了学生的
注意力,也引发学生的好奇心,为学习新知识开了一个好头。
方法二
问答式导入法
1.比例的意义。
师:上节课我们学习了比例,同学们还记得吗?谁愿意来回答一下什么叫做比例?
预设 生:我愿意回答,比例就是表示两个比相等的式子。
2.判断两个比是否能组成比例。
师:如果给你两个比你能判断出它们是否能组成比例吗?说出你是用什么样的方法来判
断的?
预设 生:我能判断,我通过计算,看一看这两个比的比值是不是相等,如果相等,那么这
两个比就能组成比例,如果不相等,就不能组成比例。
师:说得真好!这位同学是用比例的意义来判断的。今天我们要学习的内容是:比例的基
本性质,它是用来快速判断两个比是否能组成比例的好方法。(板书课题)
[设计意图] 这种方法的导入,让学生更快、更集中注意力奔向主题。没有渲染的成分,
简单实用。
一、自学比例各部分名称,知道项、外项、内项。
1.阅读教材第41页,认识比例的项、外项、内项。
2.学生汇报,教师板书。
预设 生:组成比例的四个数,叫做比例的项,两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫
做比例的内项。(板书: 2.4∶1.6=60∶40)
2.4和40是外项;1.6和60是内项。
3.比例的分数形式。2.4 60
师:同学们,上面的比例可以写成分数的形式: = ,2.4和40仍然是外项;1.6和
1.6 40
60仍然是内项。
[设计意图] 这部分内容简单易学,通过学生阅读教材,会很容易掌握,所以我采用了这
种自学汇报的形式进行教学,有意训练学生自学的方法,使之逐渐形成一种自学的能力。
二、学习例1,掌握比例的基本性质。
1.PPT课件出示例1,明确要求。
计算下面比例中两个外项的积和两个内项的积,比较一下,你能发现什么?
3 9
(1)2.4∶1.6=60∶40 (2) =
5 15
2.4×40=96 3×15=
1.6×60=96 5×9=
师:理解题意,你知道了什么?
预设 生:要求我们计算比例中两个外项的积和两个内项的积。比较一下,有什么发现。
2.探究规律。
(1)观察第(1)小题。
师:观察第(1)题,你发现了什么?
预设 生:这个比例的两个外项的积等于两个内项的积,等于96。
(2)计算第(2)小题,你发现了什么?
预设 生:两个外项的积是3×15=45,两个内项的积是5×9=45 。
师:你发现了什么?
预设 生:这个比例中, 两个外项的积等于两个内项的积。
3.学生验证自己的发现。
师:你能举一个例子,验证你的发现吗?
预设 生:8∶3=40∶15两个外项的积是8×15=120;两个内项的积是3×40=120.这个比
例的两个外项的积也等于两个内项的积。
4.总结比例的基本性质。
师:通过对例1的探究和同学们的验证,我们发现了比例的另一个特点,同学们能说一说
吗?
预设 生:我发现,在比例中两个外项的积与两个内项的积相等。
师:是的,我们把在比例里,两个外项的积等于两个内项的积叫做比例的基本性质。(板
书)5.想一想,怎样用字母表示比例的基本性质。
预设 生:a∶b=c∶d a×d=b×c
师:判断两个比能否组成比例,除了用比例的意义之外,还可以用比例的基本性质来判断,
就看两外项之积与两内项之积是否相等,这种方法判断更简单。
[设计意图] 这部分设计流程:观察——探究——发现——总结,无形中训练提高学生
的认识事物的能力,为今后的学习奠定基础。
1.教材41页“做一做”。
2.教材43页第5题。
【参考答案】 1.(1)6×5≠3×8,所以6∶3和8∶5不能组成比例。
1 1 1 1
(2)0.2×50=2.5×4,所以可以组成比例,0.2∶2.5=4∶50。 (3) × = × ,所以可以组
3 4 6 2
1 1 1 1 3 4 3 4
成比例, ∶ = ∶ 。 (4)1.2×5≠ × ,所以1.2∶ 和 ∶5不能组成比例。 2.
3 6 2 4 4 5 4 5
(1)6×12≠9×9,所以6∶9和9∶12不能组成比例。 (2)1.4×40=2×28,所以可以组成比
1 1 1 5 1 1 5 1
例,1.4∶2=28∶40。 (3) × = × ,所以可以组成比例, ∶ = ∶ 。
2 4 5 8 2 5 8 4
(4)7.5×3.1≠1.3×5.7,所以7.5∶1.3和5.7∶3.1不能组成比例。
师:同学们请看板书,说一说在这节课中我们共同学习的知识有哪些。
预设 生1:在这节课中我们第1 个学习的是比例的组成,把组成比例的四个数叫做比例
的项,两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。
生2:第2个学习的是比例的基本性质。在比例里,两个外项的积等于两个内项的积,这
叫做比例的基本性质。
生3:又学习了一种判断两个比能否组成比例的方法,就看两外项之积与两内项之积是否
相等。
作业1
教材第43页练习八第4,6,7 题。作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空。
(1)如果a∶b=8∶9 ,那么a×( )=b×( )。
(2)已知12X=11Y(X,Y均不为0),则X∶Y=( )∶( )。
2.(易错题)判断题。
(1)0.4∶6和4∶10能组成比例。 ( )
(2)a÷b=2,c÷d=2,则a∶b=c∶d。 ( )
(3)在比例中,两个外项的积减去两个内项的积,差是0。 ( )
3.(变式题)选择题。
根据3×12=4×9写出比例正确的是( )。
3 4
A.12∶9=4∶3 B. = C.3∶4=12∶9
12 9
【提升培优】
4.(探究题)在8∶15中,如果前项加上12,要使比值不变,后项要加上多少?如果后项扩大到
原来的4倍,要使比值不变,前项要加上多少?
【思维创新】
2
5.在一个比例中,两个比的比值都是 ,已知左起第二项与第一项之差是6,第三项和第四项
3
之和是65,写出这个比例。
【参考答案】
5 5
作业1:4.(1)0.5∶0.8= 3.75∶6= 能组成比例:3.75∶6=0.5∶0.8 (2)外项:0.8和
8 8
3.75 内项:0.5和6 6.运用比例知识看心跳次数与对应时间的比值是否相等。因为
6 6
54∶45= ,72∶60= ,比值相等,所以小红说得对。 7.能 24∶8=9∶3 24∶9=8∶3
5 5
3∶8=9∶24 3∶9=8∶24 8∶24=3∶9 9∶24=3∶8 8∶3=24∶9 9∶3=24∶8
作业2:1.(1)9 8 (2)11 12 2.(1)✕ (2)√ (3)√ 3.A 4.22.5 24 5.第一项是
12,第二项是18,第三项是26,第四项是39。
比例的基本性质本节教学最大的成功在于教师把主要精力放在积极引导学生探索发现问题之上。利用
复习准备、导入两个环节,为学生探索比例的基本性质搭建了桥梁,新知构建部分,有教师引
导的思路设计,学生通过阅读教材、分析、计算,总结出比例的基本性质,教学自然流畅。随
堂练习,让学生展示自己发现的成果,在获得成功的同时也收获了解决问题的方法。
在例1的教学时教师放手还是有些不够,问的太多,学生自主学习成分略显不足。
再教这个内容时,我应该在引导学生发现问题时,真正让学生自主阅读,自主发现,培养
学生探究发现新知的本领。
【做一做·41页】
(1)6×5≠3×8,所以6∶3和8∶5不能组成比例。 (2)0.2×50=2.5×4,所以可以组成比
1 1 1 1 1 1 1 1
例,0.2∶2.5=4∶50。 (3) × = × ,所以可以组成比例, ∶ = ∶ 。
3 4 6 2 3 6 2 4
3 4 3 4
(4)1.2×5≠ × ,所以1.2∶ 和 ∶5不能组成比例。
4 5 4 5
用3,6,12和24组成不同的比例。[名师点拨] 逆用比例的基本性质,把这四个数改写成最大数和最小数的积等于其余两
个数的积的形式,即3×24=6×12,再根据等式的基本性质来列比例。写比例时,如果用等式
左边的两个数作为比例的外项,那么等式右边的两个数就应该作为比例的内项;如果用等式
左边的两个数作为比例的内项,那么右边的两个数就应作为比例的外项。
[解答] 用3和24作比例的外项:
3∶6=12∶24 24∶6=12∶3
3∶12=6∶24 24∶12=6∶3
用6和12作比例的外项:
6∶3=24∶12 6∶24=3∶12
12∶3=24∶6 12∶24=3∶6
动物中的数学“天才”
蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体,它的一端是平整的六角形开口,另一端是封闭的六角棱
锥形的底,由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角均为109度28分,所有的锐角均
为70度32分,这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米,误差极小。
第 课时 解比例
解比例是义务教育教科书数学六年级下册第四单元第42页例2、例3以及练习八第
8~13题的教学内容。教材首先介绍什么叫解比例,解比例的依据是什么,然后用两个例题教
学如何应用比例的基本性质解比例。
学生对比例的意义、比的基本性质掌握得比较好,对于给出三项的比例,能利用已有知
识求出比例的未知项。如果比例中的未知项换成x,学生会轻松地求出未知项的值。
在教学过程中教师要大胆放手让学生积极探索发现,从中获得成功的喜悦。
1.掌握解比例的方法,会正确地解比例,能根据比例的意义列比例解决实际问题。
2.学会应用比例的意义和基本性质解决实际问题。【重点】
掌握解比例的意义,能够正确解比例。
【难点】
能够正确解比例。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习比例的相关知识。
1.根据比的性质填空。
(1)5∶9=15∶( )=( )∶18
(2)3∶8=24∶( )=( )∶24
2.根据比例的基本性质判断下面哪组中的两个比可以组成比例。
(1)2∶7和4∶15 (2)0.3∶2.5和3∶25
【参考答案】 1.(1)27 10 (2)64 92.(1)不能 (2)能
[设计意图] 比的基本性质与判断两个比是否能组成比例,是解比例的切入点,它的唤
醒,为解比例铺平了道路,降低了学习难度,让学生顺利进入学习,扫除障碍。
方法一
1.根据比例的意义、比例的基本性质填空。
(1)说出下面各组比例的内项和外项。
1
① 5∶ =60∶2 ② 5∶x=60∶2
6
1
预设 生:①外项:5和2,内项: 和60,②外项:5和2,内项:x和60。
6
(2)在下面的( )里填上合适的数。
①3∶4=( )∶8 ②20∶5=8∶( )
预设 生:①3∶4=6∶8,②20∶5=8∶2。2.说出你是怎样思考的。
预设 生1:根据比例的基本性质3×8=24,4×( )=24,( )=24÷4=6,所以3∶4=(
)∶8,( )里填6。
生2:根据比例的意义:20∶5=4,8∶( )=4,( )=8÷4,( )=2,所以20∶5=8∶(
),( )里填2。
3.揭示课题。
师:我们利用比例的意义和比例的基本性质,求出了比例里的未知项的值,这节课我们就
来学习求比例中未知项的问题。(板书课题)
[设计意图] 复习比例的组成和比例的基本性质,进而引出新课。
方法二
师:同学们,今天和老师一起完成一个知识大比拼的游戏,(PPT课件出示)准备好了吗?
15∶3=( )∶( )
2∶3=( )÷( )
0.2=( )∶2=( )÷6
预设 生:准备好了。
师:现在我们开始。
师:今天和老师学习怎样解比例。
【参考答案】 15∶3=(5)∶(1) 2∶3=(2)÷(3) 0.2=(0.4)∶2=(1.2)÷6
[设计意图] 这种方法的导入,让学生更快、更集中注意力奔向主题,没有渲染的成分,
简单实用。
一、自学解比例的意义
1.阅读教材第42页,理解什么叫做解比例。
预设 生:求比例中的未知项叫做解比例。
2.教师板书:求比例中的未知项叫做解比例。
二、学习例2,应用比例的基本性质解比例。
1.出示例2的PPT课件。
法国巴黎的埃菲尔铁塔高度约320 m。北京的世界公园里有一座埃菲尔铁塔的模型,它
的高度与原塔高度的比是1∶10。这座模型高多少米?2.理解题意,弄清模型的高度∶原塔高度=1∶10。
师:同学们,你是怎样理解题目中1∶10的?
预设 生:题目中告诉我们1∶10是埃菲尔铁塔模型的高度与原塔高度的比。
师:你能根据题意写出比例关系式吗?
预设 生:根据题意列比例关系式:
模型的高度∶原塔高度=1∶10。
师:这个关系式用数字该怎样表示?
预设 生:老师,在这个比例中我只知道三个数字,模型的高度的数量我不知道是几呀?
师:这位同学观察得很仔细,哪位同学愿意帮助他解决这个问题?
预设 生:老师我想用字母x代替模型高度的数量,您看可以吗?
师:好的,你的想法非常的好,也很正确!
师:题目中告诉我们原塔高度是多少?
预设 生:320 m。
3.解题,按以下步骤解答。
(1)根据问题设x。
师:在解决这道题时,我们要写出“解”“设”。
预设 生: 解:设这座模型的高度是x m。
(2)依据比例的意义列出比例式。
预设 生:x∶320=1∶10
(3)根据比例的基本性质,把比例式转化为方程,即外项乘积=内项乘积。
预设 生:10x=320×1
(4)解方程。
320×1
预设 生:x=
10
x=32(5)写出答案。
预设 生: 答:这座模型高32 m。(板书解题过程)
4.小结:通过例2的学习你知道怎样应用比例知识解决问题?
预设 生:我知道应用比例解决问题的一般步骤是:(1)根据问题设x,(2)根据比例的意义
列出比例式,(3)根据比例的基本性质把比例式转化为方程,(4)解方程写答案。
5.巩固练习。
中国第一辆月球车“玉兔号”(模型)1∶8珍藏版,车长30 cm,车宽18.2 cm,车高21
cm。你能求出“玉兔号”月球车的实际长、宽、高各是多少吗?
【参考答案】 解:设“玉兔号”月球车的实际长宽、高分别是x cm,y cm,z cm。
30∶x=1∶8 x=240 240 cm=2.4 m
18.2∶y=1∶8 y=145.6 145.6 cm=1.456 m
21∶z=1∶8 z=168 168 cm=1.68 m
[设计意图] 例2采用问答式教学,按解决应用题的思路设问,学生在教师的引导下逐
步达到教学目标的要求。最后的小结提炼了主题的精华,使学生思维得以升华。
三、独立完成例3,体验解比例。
2.4 6
1.出示例3(板书例3)例3.解比例 = 。
1.5 x
解:2.4x=1.5×6
( )×( )
x=
( )
x=( )
2.完成解比例。
3.学生展示解法。
(1.5)×(6)
预设 生:x=
(2.4)
x=(3.75)
4.巩固练习。
解比例。
1 9
(1)9∶6=6∶x; (2) = ;
3 x
1 1 2
(3)x∶25=6∶0.3, (4)x∶ = ∶ 。
7 2 5
5
【参考答案】 (1)x=4 (2)x=27 (3)x=500 (4)x=
281.教材42页“做一做”第1,2题。
2.教材44页练习八第8题。
2
【参考答案 】 1.(教材做一做)1.(1)x=7.5 (2)x= (3)x=0.6 2.15000 mL 2.
3
1
(教材练习八)8.(1)x= (2)x=1.6 (3)x=3 (4)x=36
6
师:同学们请说一说在这节课中我们共同学习的知识有哪些。
预设 生1:在这节课中我们学习了什么叫解比例,我知道求比例中的未知项叫解比例。
生2:我们还学习了用比例解决问题的方法是:根据问题设x,根据比例的意义列出比例
式,根据比例的基本性质把比例式改写成方程的形式,解方程,最后写出答案 。
作业1
教材第44页练习八第10,11,12 题。
作业2
【基础巩固】
1.(易错题)判断题。
(1)在一个比例里,两个外项的积和两个内项的积相等。 ( )
(2)解比例的依据是比例的基本性质。 ( )
(3)如果x∶7=0.4∶4,那么x=0.7。 ( )
1 1
(4)如果甲∶乙= ∶ ,那么甲是乙的1.5倍。 ( )
2 3
2.(基础题)填空题。
( )
(1)8∶20=4∶( )= 。
5
1 1
(2)把 ∶2=x∶0.6改写成2x= ×0.6的依据是( )。
3 3
2 3
(3)男生人数的 相当于女生人数的 ,则男生人数∶女生人数=( )∶8。
3 41
(4)在比例里,两个外项的积是最小的合数,一个内项是 ,另一个内项是( )。
4
3.(重点题)解比例。
x 3 1 1 1
(1) = (2) ∶ = ∶x
8 4 6 4 12
2
(3)5∶9= ∶x(4)x∶0.75=1.4∶1.25
3
4.(探究题)根据题意列出比例,并解比例。
(1)2与x的比等于0.7与3.5的比。
9 2 2
(2) 和 的比等于x和 的比。
10 21 7
2 1 1
(3)比例的两个内项分别是 和 ,两个外项分别是x和 。
3 8 9
【提升培优】
5.(情景题)生活中的数学。
(1)幸福小区1号楼实际高度为45米,它的高度与模型高度的比是600∶1,模型的高度是多
少厘米?
(2)有大、小两个圆,大圆直径是8 cm,大圆周长与小圆周长之比是2∶1,求小圆的直径。
【思维创新】
6.(竞赛题)学校原有足球、篮球一共20个,足球与篮球个数之比是7∶3,后来又买回一些
足球,这时足球与两种球总个数之比是4∶5,求又买回多少个足球。
【参考答案】
3 1 2 3
作业1:10.(1)5∶8=40∶x,x=64。 (2)x∶ = ∶ ,x= 。 (3)x∶2=5∶2.5,x=4。11.
4 5 5 8
(1)设轿车的实际长度是x cm,24.3∶x=1∶20x=486 486 cm=4.86 m (2)设模型车的长度
是y m,y∶11.76=1∶20 y=0.588 0.588 m=58.8 cm 12.解:设将军俑的实际高度是x
cm。19.6∶x=1∶10,解得x=196。
作业2:1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2.(1)10 2 (2)比例的基本性质 (3)9 (4)16
1 6 9 2
3.(1)x=6 (2)x= (3)x= (4)x=0.84 4.(1)2∶x=0.7∶3.5 x=10 (2) ∶ =x∶
8 5 10 21
2 2 1 1 3
x=2.7 (3)x∶ = ∶ x= 5.(1)7.5厘米(2)4 cm 6.10个
7 3 8 9 4解比例
求比例中的未知项叫做解比例。
例2 解:设这座模型的高度是x m。
x∶320=1∶10
320×1
x=
10
x=32
答:这座模型的高度是32 m。
2.4 6
例3 解比例 = 。
1.5 x
解:2.4x=1.5×6
(1.5)×(6)
x=
(2.4)
x=(3.75)
本节教学的复习准备与导入为学习解比例做好了知识储备,学起来自然顺畅, 在教学
例2时,教师设计的问答式教学,使学生在回答的同时,训练了学生思考过程,逐步提高学生
思维能力。
在新知构建部分,教师提问式教学,代替学生的地方有点多,没有放开学生的手脚,要相
信学生,鼓励学生,去发现问题,解决问题。
再教这个内容时,多给学生时间,让学生自己通过阅读教材发现问题,提出问题,教师多
鼓励。
【做一做·42页】2
1.(1)x=7.5 (2)x= (3)x=0.6 2.15000 mL
3
【练习八·43页】
1.年龄和身高不能组成比例 质量和箱子数量能组成比例,30∶2=120∶8 题中的路程和时
间不能组成比例 总价和衣服数量能组成比例,100∶5=200∶10 2.(1)能组成比例,组成的
比例为
4∶12=5∶15,4∶5=12∶15,12∶4=15∶5,12∶15=4∶5,5∶15=4∶12,15∶12=5∶4,15∶5=1
2∶4,5∶4=15∶12。 (2)不能组成比例。 (3)不能组成比例。(4)能组成比例,组成的比
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
例有 ∶ = ∶ , ∶ = ∶ , ∶ = ∶ , ∶ = ∶ , ∶ = ∶ , ∶ = ∶
3 6 2 4 3 2 6 4 6 3 4 2 6 4 3 2 2 4 3 6 4 6 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
, ∶ = ∶ , ∶ = ∶ 。 3.答案不唯一,如10∶2,15∶3,10∶2=15∶3。 4.
3 4 2 6 3 2 3 4 6
5 5
(1)0.5∶0.8= 3.75∶6= 能组成比例:0.5∶0.8=3.75∶6 (2)内项:0.8和3.75 外
8 8
项:0.5和6 5.(1)6×12≠9×9,所以6∶9和9∶12不能组成比例。 (2)1.4×40=2×28,
1 1 1 5 1 1 5 1
所以可以组成比例,1.4∶2=28∶40。 (3) × = × ,所以可以组成比例, ∶ = ∶ 。
2 4 5 8 2 5 8 4
(4)7.5×3.1≠1.3×5.7,所以7.5∶1.3和5.7∶3.1不能组成比例。 6.运用比例知识
6 6
看心跳次数与对应时间的比值是否相等。因为54∶45= ,72∶60= ,比值相等,所以小红说
5 5
得对。 7.能 24∶8=9∶3 24∶9=8∶3 3∶8=9∶24 3∶9=8∶24 8∶24=3∶9
1
9∶24=3∶8 8∶3=24∶9 9∶3=24∶8 8.(1)x= (2)x=1.6 (3)x=3 (4)x=36 9.45
6
dm3
3 1 2 3
10.(1)5∶8=40∶x,x=64。 (2)x∶ = ∶ ,x= 。 (3)x∶2=5∶2.5,x=4。 11.(1)设
4 5 5 8
轿车的实际长度是x cm,24.3∶x=1∶20 x=486 486 cm=4.86 m (2)设模型车的长度是y
m,y∶11.76=1∶20 y=0.588 0.588 m=58.8 cm 12.解:设将军俑的实际高度是x cm。
19.6∶x=1∶10,解得x=196。 13.解:设模型的高度是x cm。35 m=3500
cm,3500∶x=500∶1,x=7。 14.(1)3∶15=8∶40(答案不唯一) (2)2.5∶0.5=2∶0.4(答案不唯一) 15.(1)设足球和篮球的单价分别为x元、y元。6×x=8×y,x∶y=8∶6=4∶3。
(2)6×40=8×y,y=30。 (3)略,答案不唯一。
在一个比例中,两个内项互为倒数,其中一个外项是4,另一个外项是多少?
[名师点拨] 这个问题虽然只给了一个外项是4,没有给出两个内项分别是多少,但是两
个内项互为倒数,即它们的乘积是1,根据比例的基本性质,两个内项的积等于两个外项的积,
可知两个外项的积也是1,从而可以列出方程来求解。
[解答] 设另一个外项是x。
4x=1
1
x=
4
1
答:另一个外项是 。
4
【知识拓展】 如果知道两个外项(或两个内项)的积和一个内项(或外项),那么可以根
据比例的基本性质求出另一个内项(或外项)。
巧量树高
星期天,王老师带领同学们去春游。他们在一棵大树下休息,王老师对同学们说:“我们
身旁的这棵大树很高,用什么办法可以知道它的高度呢?”同学们七嘴八舌地议论起来。
王刚从地上拣起一根树枝,对大家说:“这根树枝大约有1米长,把它立在地上,可以目
测出它的影子大约是0.4米,我再用步测的方法测出大树的影子大约是4米,现在我们就可
以计算出大树的高度了。”请你想一想,该怎样计算?
2 正比例和反比例正比例和反比例这部分内容是在学生对比和掌握比例的意义和性质、解比例等相关内
容充分学习,以及掌握了大量的数量关系的基础上进行的。
教材首先利用生活情境阐述正比例的意义,然后用小实验让学生体验反比例的意义,并
通过大量习题进行巩固。
教学时教师应注重学生的参与,让学生在经历学习的过程中体验知识。
1.使学生进一步理解正比例和反比例的意义,弄清它们的联系和区别,掌握它们的变化
规律,能够正确地判断成正、反比例的关系。
2.进一步提高学生的分析、比较、抽象、概括等能力。
3.使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系,养成积极主动地参与学习活动的习惯。
【重点】
弄清正比例和反比例的意义。
【难点】
找生活中成正、反比例量的实例。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 学生复习比例的相关知识和数量关系。
第 课时 正比例
教材选择了学生熟悉的,容易理解的购物问题来认识成正比例的量。
首先,利用文具店销售一种彩带的数量与总价的关系表,提出3个问题引导学生发现总
价与数量这两种量是相关联的两种量,总价是随着数量的变化而变化的,其变化的规律是总
价与数量的比值是一定的。从而引出成正比例的量和正比例的关系。教学这部分知识时,一
定要让学生在已有知识背景下,经历自主解决问题,认识新知识的过程,让学生理解总价是怎
样随着数量的变化而变化的。接下来是用图像表示上页表中的数据。教材设计了四个层次的内容。
1.使学生经历从具体实例中认识成正比例的量的过程,初步理解正比例的意义,学会根
据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例。
2.初步认识正比例的图像,进一步认识成正比例的量的变化规律。进一步体会数学与日
常生活的密切联系,增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。
【重点】
初步理解正比例的意义,学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例。
【难点】
学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习比例意义和性质。
1.一天,六年级同学去文具店买 2元钱一个的本,刘伟买了2个、张丽买了4个、董强
买了5个,王辉买了7个,他们各花了多少钱?(用下表来完成)
姓名 刘伟 张丽 董强 王辉
数量/本 2 4 5 7
总价/元 (4) (8) (10) (14)
2.提问:
(1)上表中有哪几种量?
(2)说一说这两种量的数值分别是怎样变化的。(购买数量增加,总价也随着增加;购买
数量减少,总价也随着减少)
3.师:上表中像这样一种量变化,另一种量也随着变化,我们就把这两种量叫做相关联的
量。(板书:两种相关联的量)
[设计意图] 相关联的量是学生学习正比例必须明白的一个概念,课前训练有助于学生
进行新旧知识的衔接,降低新课学习的难度。方法一
1.观察思考:
数量/个 1 2 3 4
总价/元 1.5 3 4.5 6
2.回答问题:
(1)表中有哪两种量?它们相关联吗?
预设 生:表中有数量和总价这两种量。它们是相关联的两种量,因为总价是随着数量的
变化而变化的。
(2)你注意到哪些量在变化?与什么有关系?
预设 生:我注意到数量是从1变到4,是逐渐增加的,随着数量的增加总价也发生了变化,
我看总价的变化与数量的变化有关系。
3.揭示课题:这节课我们就来研究这些数量间的一些规律和特征。
[设计意图] 观察思考唤醒学生已有知识和学习经验,为学生主动参与学习增强信心,
便于顺利完成本课教学目标。
方法二
1.说出下列每组数量之间的关系。
(1)单价,数量,总价。
(2)圆柱体积,底面积,高。
预设 生1:单价×数量=总价,总价÷数量=单价。
生2:圆柱体积=底面积×高。
2.引入新课。
这是我们过去学过的一些常见的数量关系。这节课我们进一步来研究这些数量关系中
的一些特征。
[设计意图] 引发学生学习的兴趣,唤起学生已有的知识经验,更好地进行新旧知识的
结合,也有利于引导学生发现数量关系的内在的规律。
一、教学例1,成正比例的量,正比例关系。
(PPT课件出示例1)文具店有一种彩带,销售的数量与总价的关系如下表。
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 …
总 10. 17. 24.
3.5 7 14 21 28 …
价/元 5 5 5
观察上表,回答下面的问题。
(1)表中有哪两种量?
(2)总价是怎样随着数量的变化而变化的?
(3)相应的总价与数量的比分别是多少?比值是多少?
1.探究数量与总价两个量之间的关系。
师:仔细观察这张表格,它为我们提供了哪些数学信息?
预设 生1:给我们提供了文具店销售彩带的数量是1,2,3,4,5,6,7,8米,总价分别
是:3.5, 7,10.5,14,17.5,21,24.5,28元。
师:表中有哪两种量?
预设 生:有数量和总价两种量。
师:总价是怎样随着数量的变化而变化的?
预设 生:总价是随数量的增加而增加的。
师:相应的总价与数量的比分别是多少?比值是多少?
3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5
预设 生: =3.5 =3.5 =3.5 =3.5 =3.5 =3.5
1 2 3 4 5 6 7
28
=3.5 =3.5
8
师:总价与数量的比值表示什么?
总价
预设 生:表示单价,即 =单价。(板书)
数量
分析数量与总价这两个量的比值。提问:表格中数量越多,总价越多;数量越少,总价越
少。现在我们就来探究数量与总价之间有没有什么关系,让学生动手写出几组对应的数量与
总价的比,并求出比值。
2.揭示正比例的意义。从上表我们看到总价与数量是两种相关联的量,总价是随着数量的变化而变化的,而且
总价与数量的比值总是一定的。像这样,两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,
如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫
正比例关系。(板书正比例的意义)
3.用式子表示。
如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值(一定),正比例关系可以表
y
示为: =k(一定)(板书)。
x
4.正比例关系的判断方法。
师:怎样判断两种量是否成正比例关系呢?
预设 生1:先判断这两种量是不是相关联的量,一种量是不是随着另一种量的变化而变
化。
生2:再看这两个量相对应的数的比值是否一定。
5.巩固练习。
下面各题中的两种量成正比例吗?成正比例的打“√”,不成正比例的打“✕”。
(1)每小时织布的米数一定,织布的总米数与时间。( )
(2)人的身高与体重。 ( )
(3)《小学生天地》的单价一定,订阅费用与数量。( )
【参考答案】 (1)√ (2)✕ (3)√
[设计意图] 探究、分析、归纳总结,形成了学生认识新事物的能力,为今后进一步的
学习建立起思维模式,有利于学生的健康发展。
二、教学正比例图象
(PPT课件出示正比例图象)
例1表中的数据还可以用图象(如下图)表示:根据图象回答下面的问题:
(1)从图中你发现了什么?
(2)把数对(10,35)和(12,42)所在的点描出来,并和上面的图象连起来并延长,你还能发
现什么?(3)不计算,根据图象判断,如果买9 m彩带,总价是多少?49元能买多少米彩带?
(4)小明买的彩带的米数是小丽的2倍,他花的钱是小丽的几倍?
1.根据图象回答问题。
(1)从图中你发现了什么?
预设 生1:这个图象是一条直的线。
生2:这个图象是一条逐渐上升的直的线。
(2)把数对(10,35)和(12,42)所在的点描出来,并和上面的图象连起来并延长,你还能发
现什么?
师:描点(10,35)时先在横轴上找到表示10 m的点,沿着这一点所在的直线向上找到与
纵轴表示35元所在的直线的交点,标出此点即可。学生独立描(12,42)并和上面图象连接。
师:连接后你发现了什么?
预设 生:发现图象又在上升。
(3)不计算,根据图象判断,如果买9 m彩带,总价是多少?49元能买多少米彩带?
师:我们用描点的方法解决这个问题。
预设 生1:我在横轴上找到表示9 m的直线并向上找到与图像相交点,再从这一点向左
找到与纵轴相交的一点所表示的总价。
生2:我向上延长图像与表示总价49元的横线相交于一点,从这一交点向下找到表示数
量的米数大约是14 m。
(4)小明买的彩带是小丽的2倍,他花的钱是小丽的几倍?
预设 生:他花的钱是小丽的2倍。我是从图像上找到的。
2.巩固练习。
下表反映的是一种钢管长度与质量的关系,把表中数据填完整。
长度/m 1 2 3 4 5
质量/
5 10
kg
(1)根据表中数据,在下图中描出钢管长度和质量所对应的点,按它们的顺序连结起来。
(2)这种钢管的质量与长度成正比例吗?为什么?
(3)根据图象判断, 5.5 m长的钢管重多少千克?【参考答案】 15 20 25
(2)成正比例,因为正比例的图象是一条直的线。
(3)27.5 kg
教材第46页“做一做”。
【参考答案】 (1)80∶1=160∶2=240∶3=80,比值都是80。 (2)它表示汽车的速度。
(3)成正比例,因为速度一定,也就是路程和时间的比值一定。 (4)图略。行驶120 km大约
需要1.5小时。
同学们,这节课我们共同学习了两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如
果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量叫做成正比例的量,它们的关系叫做正
比例关系。
y
用字母表示为 =k(一定)。
x
还知道了怎样判断两种量是否成正比例关系。如何用正比例图象解决问题。
作业1
教材第49页练习九第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空题。
(1)两种( )的量,一种量变化,另一种量( ),如果这两种量中相对应的
两个数的( )一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做( )。
(2)三角形的高一定,它的面积和底成( )比例。
2.(重点题)看表填空。份数 1 2 3 4 5 6 7
总
0.81.62.43.24.04.85.6
价/元
(1)( )和( )是相关联的量,( )增加,( )也相应增加。
(2)与总价3.2元相对应的份数是( )份,与7份相对应的总价是( )元。
(3)总价与份数这两种量相对应的两个数的比值都是( ),这个比值实质上是( )。
(4)因为( )一定,所以表中( )和( )成正比例关系。
3.(易错题)判断题。
(1)圆的面积和圆的直径成正比例。 ( )
(2)圆的面积和圆的半径的平方成正比例。 ( )
(3)正方形的面积和边长成正比例。 ( )
(4)圆的面积和圆的周长的平方成正比例。 ( )
(5)除数一定,被除数(不为0)和商成正比例(无余数)。 ( )
(6)和一定,加数和另一个加数成正比例。 ( )
【提升培优】
4.(易错题)如果y=2x,那么y和x成正比例吗?(x,y均不为0)
5.(探究题)判断下列各题中的两种量是否成正比例。
(1)苹果的单价一定,购买苹果的总价和质量;
(2)轮船行驶的速度一定,行驶的路程和时间;
(3)总路程一定,已行路程和剩下路程;
(4)正方体的表面积和棱长;
(5)15∶x=3∶y,x和y。
【思维创新】
6.(竞赛题)按要求完成各题。
下图反映的是李刚和王红的睡眠情况。
(1)根据图象判断李刚和王红的睡眠时间和天数是否成正比例。
(2)估计一下,李刚和王红9天各能睡多少小时?
(3)谁每天的睡眠时间长些?【参考答案】
60 65 55 60 65 75
作业1:1.(1) = = = = = ,它们的比值相等。 (2)表示电的单价。
120 130 110 120 130 150
(3)成正比例。因为各月电费与用电量的比值,也就是电的单价一定。 2.(1)成正比例,理
由:因为单价一定,也就是订阅的费用与订阅的数量的比值一定,所以订阅的费用和订阅的数
量成正比例。 (2)不成正比例,理由:正方体的表面积与它的棱长的比值不一定。 (3)不
成正比例,理由:因为二者的比值不一定,所以不成正比例。 (4)成正比例,理由:因为小麦
每公顷产量一定,也就是总产量和公顷数的比值一定,所以小麦的总产量和公顷数成正比例。
(5)不成正比例,理由:虽然已读的页数和未读的页数是两种相关联的量,但总页数一定,是它
们的和一定,所以不成正比例。 3.(1)成正比例。因为汽车每千米的耗油量一定,也就是耗
油量与所行千米数的比值一定,所以成正比例。 (2)汽车耗油量随着所行路程的变化而变
化,所行路程增加,耗油量也随着增加,所行路程减小,耗油量也随着减小,所描各点都在同一
条直线上。 (3)7.5 L
作业2:1.(1)相关联 也随着变化 比值 正比例关系 (2)正 2.(1)份数 总价 份数
总价 (2)4 5.6 (3)0.8 单价 (4)单价 总价 份数3.(1)✕ (2)√ (3)✕ (4)√
(5)√ (6)✕ 4.成正比例 5.(1)成正比例 (2)成正比例(3)不成正比例 (4)不成正比
例 (5)成正比例 6.(1)都成正比例 (2)李刚:90小时,王红:72小时(3)李刚每天睡眠的
时间长些。
正比例在本节课中复习、导入环节内容的设计把新旧知识联系了起来,减轻学生学习的难度,
建立起学好本节的信心。新课教学部分,教师启发式的提问引导让学生自己去发现成正比例
的两种量的特点,从而充分体现学生学习的自主性 , 让每个学生都有回答问题的机会,所以
教学效果是很好的。
正比例教学是小学数学的难点,本课教学与学生生活联系的还欠缺一点。
在做好复习,导入环节的基础上,新课部分多设计一些学生合作内容会更好。
【做一做·46页】
(1)80∶1=160∶2=240∶3=80,比值都是80。 (2)它表示汽车的速度。 (3)成正比例,因
为速度一定,也就是路程和时间的比值一定。 (4)图略。行驶120 km大约需要1.5小时。
三角形的底一定,面积和哪种量成正比例?
1 面积 1
[名师点拨] 由于三角形的面积= ×底×高,而且底一定,可以推出 = ×底(一
2 高 2
定),所以面积和高成正比例。
[解答] 三角形的底一定,面积和高成正比例。
【知识拓展】 判断两种相关联的量是否成正比例,就要看它们的对应值的比值是否一
定。如:正方
形的面积和边长不成正比例;梯形的高一定,面积和上、下底的和成正比例。
分 羊
从前有一个老牧民,临终前留下遗言,要把17只羊分给三个儿子,大儿子分得二分之一,
二儿子分得三分之一,小儿子分得九分之一,并规定不允许把羊杀掉或卖掉。这三个儿子怎
么也分不清楚,只好求助当地一位有名望的老人。老人牵来1只羊,把总共18只羊的二分之
一即9只羊分给了大儿子,把18只羊的三分之一即6只羊分给了二儿子,把18只羊的九分之一即2只羊分给了小儿子,剩下的1只羊是老人自己的羊,这个遗言解决了。人们无不佩
服这位聪明的老人。
第 课时 反比例
反比例是在正比例之后安排的教学内容,教材与正比例的安排相同,通过一个例题的观
察、分析,概括出反比例的意义,以及用字母表示反比例关系,之后是“做一做”用以巩固本
节所学内容。
学生是在掌握了正比例知识的基础上进行学习的,已有了学习经验,学习起来困难不大。
教师从教材的编排和学生已有的学习经验出发,在教学中努力做到大胆放手,设计出有
利于学生形成良好学习习惯的教学方案。
1.理解反比例的意义,掌握成反比例的量的变化规律。
2.找出生活中成反比例的实例。
3.提高观察、分析、比较、概括和学习方法迁移的能力。
【重点】
理解反比例的意义。
【难点】
正确判断两种量是否成反比例,找出成反比例的两种量的变化规律。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习正比例的有关知识;300毫升的水,底面积为10 cm2,15 cm2,20
cm2,30 cm2,60 cm2的量杯。1.什么叫正比例?
2.用字母表示正比例关系。
【参考答案】 1.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中
相对应的两个数的比值一定,这两种量叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
y
2. =k(一定)。
x
方法一
师:同学们,上面我们复习了成正比例的量,我们知道两种相关联的量的数值的比一定的
时候,这两种量是成正比例的量。那么今天我们来共同学习成另外一种关系的两种相关联的
量:成反比例的量。(板书课题)
[设计意图] 简简单单的一句话,把学生的注意力吸引到本节主要内容上来,激起学生
的好奇心,真的还有另外一种关系!我可得好好听一听。这样在学习反比例时学生会始终保
持高度的精神集中,有利于教师教学顺利进行。
方法二
填表回答问题:
底面积 120 90 72 60
高 3 4 5 6
体积
(1)上表中有哪几种量?它们是怎样变化的?
(2)没有变化的是哪种量?
预设 生:(1)上表中有底面积、高和体积三种量。底面积从120变化到60,逐渐缩小,而
高却在逐渐扩大。(2)我发现体积的数量没有变化。
师:这种变化规律与我们上节课学习的成正比例的关系是否一样?
预设 生:不一样,上节课我们看到两种相关联的量的数值的比一定,而这个的比值是不
一定的。
师:同学们观察得很认真,那这种关系就是今天要学习的内容。(板书:反比例)
一、教学例2,探究反比例的意义,理解成反比例的量。1.出示PPT课件回答问题。
杯子的底面积与水的高度的变化情况如下表。
杯子的底面积/
10 15 20 30 60 …
cm2
水的高度/cm 30 20 15 10 5 …
观察上表,回答下面的问题。
(1)表中有哪两种量?
(2)水的高度是怎样随着杯子底面积的大小变化而变化的?
(3)相对应的杯子的底面积与水的高度的乘积分别是多少?
预设 生1:表中有杯子的底面积和水的高度这两种量。
生2:从表中可以看出:水的高度随着杯子的底面积的变大而不断变小,这两种量是相关
联的两种量。
生3:我来回答(3),相对应的杯子的底面积与水的高度的乘积分别
是:10×30=15×20=20×15=30×10=60×5=…=300。
生4:乘积一定。
师:底面积与高的乘积表示的是什么?
预设 生:水的体积。(板书)
2.揭示反比例的意义。
师:积是300,实际就是倒入杯子的水的体积。同学们能用式子表示出它们的关系吗?
预设 生:它们的关系是:底面积×高=体积。
师:同学们,我们用概括正比例意义时的方法来概括一下反比例的意义吧!
预设 生:像这样,两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中
相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。
(板书反比例的意义)
3.用字母表示反比例关系:xy=k(一定)。(板书)
4.巩固练习。
锅炉房烧煤的天数与每天烧煤的吨数如下表:每天烧煤的吨
1 1.5 2 2.5 3
数/吨
烧煤的天数/天 30 20 15 12 10
(1)表中有哪两种量?它们是不是相关联的量?
(2)写出几组这两种量中相对应的两个数的积,并比较大小,说一说这个积表示什么。
(3)烧煤的天数与每天烧煤的吨数成反比例吗?为什么?
【参考答案】 (1)每天烧煤的吨数和烧煤的天数,是相关联的量。 (2)1×30=30
1.5×20=30 2×15=30 2.5×12=30 3×10=30 积相等,这个积表示这批煤的总吨数。
(3)成反比例,因为烧煤的天数与每天烧煤的吨数的积一定。
[设计意图] 学生通过观察、发现、概括经历了整个学习过程,逐步形成定向思维方式,
为学会学习打好基础。
二、找出生活中成反比例关系的例子。
1.生活购物,用最常见最熟悉的事,理解反比例关系。
师:我们购物时经常用到的数量关系是什么?
预设 生:数量×单价=总价。
师:根据这一关系,和刚才学到的反比例意义,说出你经历的成反比例关系的购物事件吧!
预设 生1:一天,我去文具店发现钢笔的价格有0.5元、1.00元、2.00元、5.00元的,
我一共拿了10.00元钱。如果只买一种,那么数量应是:20支、10支、5支、2支,这时,单
价和数量就成反比例,因为总价10.00元是一定的。
生2:我说一个坐车的事。路程一定,速度和时间成反比例。
……
[设计意图] 学生寻找生活中的反比例关系,我想是应该有一点难度的,所以为了降低
学生学习的难度,特意设计了教师引路的方法,使学生少走弯路,快速达到学习目的,并从中
获得成功的喜悦。
1.教材第48页“做一做”。
2.教材第51页练习九第8,9,10题。
【参考答案】 1.(教材做一做)(1)表中有每天运的吨数和运货的天数两种量,它们是
相关联的量。(2)300×1=150×2=100×3=300,积都等于300。这个积表示这批货物的总吨
数。 (3)成反比例,因为这批货物的总吨数一定,也就是每天运的吨数和运货的天数的乘积
一定。 2.(教材练习九)8.成反比例,因为教室的面积一定,也就是每块地砖的面积与所需地砖数量的积一定。 9.成反比例,因为食品加工厂生产醋的总量一定,也就是每瓶容量与
所装瓶数的积一定。 10.如下表所示。
1
x 2 100 40 12
5
1 5
y 5 50 0.1
4 6
师:谁来说一下这节课我们学习了反比例的哪些知识。
预设 生1:我们学习了什么叫做反比例,反比例是两种相关联的量,一种量变化,另一种
量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的量,
它们的关系叫做反比例关系。
生2:我们还学习了怎样用字母表示反比例的关系:xy=k(一定) 。
作业1
教材第51页练习九第11,12,13题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)两种( )的量,一种量变化,另一种量( ),如果这两种量中
( )的两个数的( )一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做(
)。
2.(易错题)填空题。
(1)若y=3x(x,y均不为0),则y与x成( )比例。
3
(2)若y= ,则y与x成( )比例。
x
3.(易错题)判断题。
1 1
(1)若 x= y(x≠0,y≠0),则x和y成反比例。( )
2 3
(2)小刚做10道题,已做的和未做的成反比例。( )
(3)分子一定,分母和分数值成反比例。( )
(4)全班学生的总人数一定,出勤率和出勤人数成反比例。 ( )
(5)如果ab+5=12,那么a与b成反比例。 ( )
(6)圆周率和直径成反比例。 ( )【提升培优】
4.(变式题)一辆汽车由甲地去乙地,行驶的速度和时间如下表。
速度/
120 75 60 40 30 …
(千米/时)
时间/时 5 8 10 15 20 …
从表中可知速度和时间成( )比例。因为( )一定,( )随着( )的变化而变化。
( )增加,( )反而减少,而且( )和( )的乘积一定。
5.(探究题)先判断x与y成什么比例,再填表。
(1)x和y成( )比例。
x 51 9 1.5
y 34 3 6 0.5
(2)x和y成( )比例。
x 12 3.75 6 2.5
y 10 32 15
【思维创新】
6.(竞赛题)如果甲、乙两个数满足1.5∶甲=乙∶8,那么甲和乙是否成比例?成什么比例?为
什么?【参考答案】
作业1:11.(1)成反比例,因为煤的数量一定,也就是每天的平均用煤量与使用天数的积一定。
(2)成反比例,因为全班人数一定,也就是每组的人数与组数的积一定。 (3)成反比例,因为
圆柱的体积一定,也就是圆柱的底面积和高的积一定。 (4)不成反比例,因为种黄瓜和西红
柿的面积的和一定,积不一定,所以不成反比例。 (5)成反比例,因为书的总册数一定,也就
是每包的册数与包数的积一定。12.(1)组装的手机总数=pt (2)反比例
(3)500×24÷8=1500(部) 13.(1)260×5=1300(千米)(2)反比例 vt=1300
(3)1300÷325=4(时)
作业2:1.相关联 也随着变化 相对应 乘积 反比例关系 2.(1)正 (2)反 3.(1)✕
(2)✕ (3)√ (4)✕ (5)√ (6)✕ 4.反 路程 时间速度 时间 速度 时间 速度
5.(1)正 4.5 0.75 1 (2)反 20 8 48 6.甲和乙成比例 成反比例 甲×乙
=1.5×8=12,甲和乙的积一定,所以甲和乙成反比例。
反比例例2
杯子的底面积/cm2 10 15 20 30 60 …
水的高度/cm 30 20 15 10 5 …
30×10=20×15=15×20=10×30=5×60=300
底面积×高=体积
意义:像这样,两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对
应的两个数的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。
用字母表示:xy=k(一定)。
本课教学学生主动学习的成分多了,学生通过自己探究的机会有了,真的实现自主学习,
为今后的发展做好准备。
教学中教师问题的设计还不算太科学,有老师领着学生的感觉,就是没有彻底交给学生。
如果学生自己能按内容提出问题,或学生能把学习中遇到的疑惑提出来,一定会更好!
【做一做·48页】
(1)表中有每天运的吨数和运货的天数两种量,它们是相关联的量。
(2)300×1=150×2=100×3=300,积都等于300。这个积表示这批货物的总吨数。(3)成反比
例,因为这批货物的总吨数一定,也就是每天运的吨数和运货的天数的乘积一定。
【做一做·49页】
60 65 55 60 65 75
1.(1) = = = = = ,它们的比值相等。 (2)表示电的单价。 (3)成正
120 130 110 120 130 150
比例。因为各月电费与用电量的比值,也就是电的单价一定。 2.(1)成正比例,理由:因为
单价一定,也就是订阅的费用与订阅的数量的比值一定,所以订阅的费用和订阅的数量成正
比例。 (2)不成正比例,理由:正方体的表面积与它的棱长的比值不一定。(3)不成正比例,
理由:因为二者的比值不一定,所以不成正比例。 (4)成正比例,理由:因为小麦每公顷产量
一定,也就是总产量和公顷数的比值一定,所以小麦的总产量和公顷数成正比例。 (5)不成正比例,理由:虽然已读的页数和未读的页数是两种相关联的量,但总页数一定,是它们的和
一定,所以不成正比例。 3.(1)成正比例。因为汽车每千米的耗油量一定,也就是耗油量与
所行千米数的比值一定,所以成正比例。 (2)汽车耗油量随着所行路程的变化而变化,所行
路程增加,耗油量也随着增加,所行路程减小,耗油量也随着减小,所描各点都在同一条直线
上。 (3)7.5 L 4.x:3,8,15 y:5,12.5,25,50 5.(1)如下图。所描各点都在同一条直线
上。
(2)成正比例,因为树高与影长的比值一定。 7.1.5 2 2.5 3 (1)略 (2)3.5元
(3)4倍 8.成反比例,因为教室的面积一定,也就是每块地砖的面积与所需地砖数量的积一
定。 9.成反比例,因为食品加工厂生产醋的总量一定,也就是每瓶容量与所装瓶数的积一
定。 10.如下表所示。 11.(1)成
1
x 2 100 40 12
5
1 5
y 5 50 0.1
4 6
反比例,因为煤的数量一定,也就是每天的平均用煤量与使用天数的积一定。 (2)成反比例,
因为全班人数一定,也就是每组的人数与组数的积一定。(3)成反比例,因为圆柱的体积一定,
也就是圆柱的底面积和高的积一定。 (4)不成反比例,因为种黄瓜和西红柿的面积的和一
定,积不一定,所以不成反比例。 (5)成反比例,因为书的总册数一定,也就是每包的册数与
包数的积一定。 12.(1)组装的手机总数=pt (2)反比例 (3)500×24÷8=1500(部)13.
(1)260×5=1300(千米) (2)反比例 vt=1300(3)1300÷325=4(时) 14.(1)斑马和长颈鹿
的奔跑路程和奔跑时间都成正比例。 (2)斑马18分钟跑21.6 km,长颈鹿18分钟跑14.4
km。 (3)斑马跑得快。 15.(1)反 (2)正 (3)正 16.反比例是一条曲线
根据ab=c(a,b是两种相关联的量),请分析哪个量一定时,另两个量成反比例。[名师点拨] 根据反比例的意义,如果两种相关联的量中相对应的两个数的积一定,那
么这两种量成反比例。由ab=c得到,若c一定,则a和b成反比例。
[解答] 当c一定时,a和b成反比例。
【知识拓展】 在一些数学关系式中,若两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定,
则这两种量成正比例;若两个相关联的量中相对应的两个数的积一定,则这两种量成反比例。
正方形的面积
有位同学说:“老师正方形的面积一定,边长与边长成反比例。”老师说:“你能说出理
由吗?”同学答道:“因为边长×边长=面积(一定),所以边长成反比例。”看上去似乎没有
什么不对的,这时老师追问:“正方形的边长的特点是什么?”生:“相等。”师:“那么边长
随着边长的变化而变化吗?”生:“不。”师:“这就是说边长和边长是一种量,不是两种相
关联的量,反比例是研究两种相关联的量的积,所以这种说法不正确。”
3 比例的应用
教材安排有比例尺、图形的放大与缩小、用比例解决问题三部分内容。
本部分内容是在学生学习了比例和比例的基本性质以及正反比例之后进行教学的。学
生是有一定的基础的,学习起来难度不会太大。
教师力求做到多引导,少一些讲解,多给学生探究发现的时间,形成学生独立学习的习惯。
1.理解比例尺的意义、种类;会求比例尺以及图上距离和实际距离。
2.认识图形的放大与缩小的现象,掌握图形放大与缩小的方法,能在方格纸上按一定比
将简单图形放大或缩小。
3.能正确判断问题中数量之间的关系,并利用比例知识解决问题。
【重点】1.理解比例尺的意义,能根据比例尺求图上距离或实际距离。
2.认识图形放大或缩小的现象。
3.能正确利用比例的知识解决实际问题。
【难点】
1.根据比例尺画出平面图。
2.按一定比将图形放大或缩小。
3.正确判断数量之间的关系,并能根据正、反比例的意义列出方程。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习比例的相关知识。
第 课时 比例尺(1)
1.理解比例尺的意义、种类。
2.会求一幅图的比例尺,能根据比例尺求图上距离或实际距离。
【重点】
理解比例尺的意义,能根据比例尺求图上距离或实际距离。
【难点】
能根据比例尺求图上距离或实际距离。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 气温预报表。
1.求比值。1 3
5∶15 ∶ 0.03∶3
4 5
2.解比例。
x 24
(1)12∶x=2.4∶0.4;(2) = 。
6 72
1 5 1
【参考答案】 1. 2.(1)x=2 (2)x=2
3 12 100
方法一
1.画图。
师:我们班的同学都喜欢打篮球,那么同学们知道篮球场地的长和宽吗?
预设 生:是的,我们都喜欢打篮球,我们知道篮球场地的长是28米,宽是14米。
师:下面请同学们在练习本上画出这个篮球场地吧!怎么?同学们有困难?
预设 生:是的!我们的困难是我们没有那么大的纸张,练习本画不下。
师:同学们谁能想一个解决的好方法?
预设 生:老师我想,我不画和篮球场地一样大的图,在练习本上我用1厘米长的线段表
示7米,那么篮球场地的长28米,我就画一条长4厘米的线段,宽14米,我画一条2厘米长的
线段,在练习本上我画一个长4厘米,宽2厘米的长方形。
2.揭示课题。
师:刚才这位同学回答的很好,解决了没法把那么大的场地原样不变地画在我们的练习
本上的问题!我们要向这位同学学习,遇到难题要利用我们学过的知识来想办法解决它。这
位同学想到的办法也正是我们今天要探究的问题:比例尺。(板书课题)
[设计意图] 练习本太小画不下篮球场地,教师引导学生想出缩小图形的画法,直切主
题,把学生领入本节内容之中,激发了学生学习的兴趣 ,建立了良好的开端。
方法二
1.谈话导入(PPT课件出示家乡地图)。
师:同学们,你们对地图都有哪些了解?说给同学们听一听。
预设 生1:地图上也是有方向的:上北、下南、左西、右东。
生2:和实际的位置相同。生3:地图上的距离比实际的距离要小的多。
2.揭示课题。
师:同学们说得真好!是的,地图上的距离是按一定的比把实际的距离缩小了画在图纸上
的。今天我们就来研究这个问题:比例尺。(板书课题)
[设计意图] 运用学生熟悉的现象导入,给学生带来的是愉快的心情和积极的学习态度,
顺其自然进入学习状态,达到导入的目的。
一、教学比例尺的意义及种类,理解比例尺的含义以及关系式。
1.阅读教材第53页关于比例尺的内容。
师:阅读教材后,汇报你知道了哪些关于比例尺的知识。
预设 生1:通过阅读我知道:一幅图的图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。
图上距离∶实际距离=比例尺。(板书比例尺的意义)
图上距离
=比例尺
实际距离
生2:比例尺是绘图时用的,它是把实际距离按一定的比缩小或扩大,再画在图纸上。
生3:教材介绍说,地图上的比例尺有1∶100000000,这是数值比例尺,它也可以写成
1
这种形式,也叫数值比例尺。(板书)
100000000
生4:老师,我看见这样表示比例尺的:
师:这叫线段比例尺。 它表示的是:图上1厘米的距离相当于地面上50 km的实际距离。
(板书)
生5:我会把上面的线段比例尺改成数值比例尺。
图上距离∶实际距离。
=1 cm∶50 km
=1 cm∶5000000 cm(单位要相同)
=1∶5000000(板书过程)
1
生6:比例尺1∶5000000表示图上距离是实际距离的 。实际距离是图上距离
5000000
的5000000倍。生7:我发现一个和地图比例尺不一样的一个比例尺2∶1,我知道这是绘制精密零件时
把零件的尺寸按一定的比放大,即图上距离2 cm相当于零件1 cm的实际距离。也可以说:
图上距离是实际距离的2倍(板书放大比例尺)。
生8:我还发现比例尺的前项或后项要写成1的形式。
师:8位同学具体地解释了比例尺的意义和种类,说的非常好,同学们谁还有不明白的地
方吗?
预设 生:没有了!
2.巩固练习。
填一填。
1.一幅图的比例尺是1∶2000000,它表示图上1厘米的距离相当于实际距离( ),
实际距离是图上距离的( )。
2.一幅图的比例尺是
它表示图上( )厘米的距离相当于实际( )的距离,把它转化成数值比例尺是(
)。
【参考答案】 1.20千米 2000000倍 2.1 50千米 1∶5000000
[设计意图] 学生完全有能力自主完成比例尺意义的学习,让学生独立阅读,自我展示,
彰显学习主人的地位,增强学生战胜自我的信心。
二、学习例1,根据比例尺的意义,求一幅图的比例尺。
出示例1(PPT课件)。
1.北京到天津的实际距离是120 km,在一幅地图上量得两地的图上距离是2.4 cm。这
幅地图的比例尺是多少?
2.理解题意。
师:读题后你知道了什么?
预设 生:我知道北京与天津两地的实际距离是120 km,地图上的距离是2.4 cm。求这
幅图的比例尺是多少。
3.求比例尺。
师:谁能说出这个比例尺怎么求?
预设 生1:我想根据比例尺的意义,可知用图上距离比实际距离,再化简成前项是1的最
简比。
生2:图上距离∶实际距离=比例尺
120 km=12000000 cm2.4∶12000000=1∶5000000
答:这幅图的比例尺是1∶5000000。
4.巩固练习。
2014年9月30日为中国首个烈士纪念日,王叔叔来到中国人民抗日战争纪念馆,缅怀革
命英烈。将背景雕塑“铜墙铁壁”拍照,已知背景雕塑实际高6.5 m,在照片上高3.25 cm。
求比例尺。
【参考答案】 3.25 cm∶6.5 m=3.25 cm∶650 cm=1∶200
[设计意图] 自我探究式教学,证明了自己有能力,学生感到无比的自豪,倍感成功的兴
奋,激励学生勇往直前。
1.教材第53页“做一做” 。
2.教材第56页练习十第1题。
【参考答案】 1.(教材做一做)4∶1 2.(教材练习十)1.
师:下面请同学们来汇报一下在这节课里我们都学习了哪些内容。
预设 生:一幅图的图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。
关系式是:图上距离∶实际距离=比例尺或
图上距离
=比例尺。
实际距离
1
数值比例尺:1∶5000000( )
5000000
线段比例尺:
放大比例尺:2∶1
求一幅图的比例尺的方法:根据比例尺的意义列出比,再化成前项或后项是1的最简比。
作业1
教材第56页练习十 第2,3,4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空题。(1)( )叫做这幅图的比例尺。
( )
(2)( )∶( )=比例尺,或 =比例尺。
( )
(3)图上距离=( ),实际距离=( )。
(4)根据表现形式,比例尺分为( )比例尺和( )比例尺。
【提升培优】
2.(易错题)判断题。
(1)实际距离∶图上距离=比例尺。 ( )
(2)比例尺的前项都是1。 ( )
1
(3)一幅图的比例尺是1∶300,表示的是将实际距离缩小到原来的 画在图纸上。 (
300
)
【思维创新】
3.(探究题)解决问题。
一个零件的长度是12 mm,在图纸上量得零件长6 cm。这幅图纸的比例尺是多少?
【参考答案】
作业1:2.4∶400=1∶100 3.(1)比例尺是6 cm∶18000 m=6 cm∶1800000 cm=1∶300000
(2) 4.3 cm∶5 mm=30 mm∶5 mm=6∶1
图上距离
作业2:1.(1)一幅图的图上距离与实际距离的比 (2)图上距离 实际距离
实际距离
(3)实际距离×比例尺 图上距离÷比例尺 (4)数值 线段 2.(1)√ (2)✕ (3)√
3.5∶1
比例尺(1)
比例尺:一幅图的图上距离与实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。
图上距离
图上距离∶实际距离=比例尺或 =比例尺
实际距离
1∶100000000}
1 数值比例尺,表示图上距离是实际距离的(100000000)分之(1),实际距
100000000
离是图上距离的100000000倍。线段比例尺,表示图上1 cm相当于实际距离50 km。
线段比例尺转化成数值比例尺:
图上距离∶实际距离
=1 cm∶50 km
=1 cm∶5000000 cm
=1∶5000000
以上是缩小比例尺。
比例尺是2∶1的图纸,表示把实际距离扩大到原来的2倍后,画在图纸上,这是一个放大
比例尺。
本节以自主探究的方式进行教学,是本节教学的一大亮点,它是我在充分地对教材和学
生的分析的基础上进行设计的。由于学生有比例知识的储备,计算比例尺会比较轻松,所以
自主学习学生完全能做到。
各环节的衔接还存在不足,有待教者在今后的工作中不断改进,使其更加完善。
再次设计时要把各环节的过渡部分处理好,以鼓励表扬学生表现的语言进入下一环节为
主,让学生充满激情地进行学习。
【做一做·53页】
2 cm∶5 mm=20∶5=4∶1
一种精密仪器的零件,实际长是4 mm,在图纸上量得的长度是6 cm,求这幅图的
比例尺。[名师点拨] 需要注意的是4 mm是这个零件实际的长,而6 cm却是图上距离。先统一
单位,根据比例尺的计算公式可以求出这幅图的比例尺。
[解答] 6 cm∶4 mm=60 mm∶4 mm=60∶4=15∶1。
【知识拓展】 比例尺的后项比前项小,这种比例尺叫做放大比例尺。放大比例尺一般
要化成后项是1的形式。比例尺的前项比后项小,这样的比例尺称为缩小比例尺。缩小比例
尺一般要化成前项是1的形式。
空间比例尺
空间比例尺是摄像所特有的一种不同于绘画的空间的意识。我们通常所见的摄影作品
大多是平面的视觉表示,现实生活中立体的、有深度的空间在作品中都要转化为平面的视觉
现象,而摄影画面中的空间不断也必须借助于摄影自身的独特的表现方式才能在观众解读时
还原为空间的真实感觉。
第 课时 比例尺(2)
1.感受并理解比例尺的意义,会计算图上距离和实际距离,并能解决相关的实际问题。
2. 在实际应用中感受数学、亲近数学,培养学生学习数学的兴趣,并对学生进行辩证唯
物主义的初步渗透。
【重点】
会计算图上距离和实际距离,并能解决相关的实际问题。
【难点】
通过解决实际问题,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 1.调查表。2.复习百分数的有关计算知识。1.(PPT课件出示复习题)
(1)什么是比例尺?
(2)数值比例尺的两种表示形式是什么样的?
(3)A地点到B地点的实际距离是200 km,在一幅地图上量得两地的图上距离是5 cm。
这幅地图的比例尺是多少?
2.引导学生复习比例尺是图上距离与实际距离的比,并进行相应的计算。
预设 生1:一幅图的图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。
图上距离
生2:图上距离∶实际距离=比例尺或 =比例尺。
实际距离
生3:要求这幅地图的比例尺可以用5 cm比上200 km,并变成相同的单位再化简比值。
……
【参考答案】 (1)一幅图的图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。 (2)图
图上距离
上距离∶实际距离=比例尺或 =比例尺。 (3)200 km=20000000 cm
实际距离
5∶20000000=1∶4000000
方法一
师:同学们,在刚才复习题的(3)题中,如果我们变换一下已知和未知条件,变成这样一个
例题,应该怎么解决呢?
(PPT课件出示)
在一幅地图上量得A地点到B地点的图上距离是5 cm,已知这幅地图的比例尺是
1∶4000000,那么A地点到B地点的实际距离是多少千米?
师:在这里已知的条件有哪些?
预设 生1:知道两地的图上距离是5 cm。
生2:知道比例尺是1∶4000000。
师:要解决的问题是什么?
预设 生:计算两地的实际距离是多少千米。师:刚才我们把复习题变换了一下已知和未知条件,得到一种新的题型,这节课我们就接
着来学习比例尺的应用,学习如何利用比例尺来解决实际问题,也就是已知比例尺和图上距
离,求实际距离。(板书课题)
[设计意图] 通过把复习题中的习题变换已知和未知条件来变成本节课要解决的问题,
使学生产生浓厚的兴趣,并且,也有助于培养学生举一反三、触类旁通的能力,使学生认识到
数学知识的灵活性。
方法二
师:上节课,我们学习了比例尺的意义及如何计算比例尺等相关知识,今天我们就学习利
用上节课的知识来解决一些生活中的常见问题,学习比例尺的应用。(板书)
[设计意图] 通过对与本课有关的知识的简短概括,直接引入本课的学习,使学生快速
进入到学习的状态上来。
一、探究学习例2,已知比例尺和图上距离,求实际距离。
1.PPT课件出示P54例3。
下面是北京轨道交通路线示意图。地铁1号线从苹果园站至四惠东站在图中的长度大
约是7.8 cm,从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是多少千米?
2.引导学生分析探究:
师:从例题中可以知道哪些已知条件?
预设 生:可以知道两站的图上距离大约是7.8 cm。
师:这是从题目中直接读出来的,那么从所给的图中还能观察到什么条件呢?
预设 生:可以知道比例尺是1∶400000。
布置学生小组讨论怎么样解决问题。
学生以小组为单位进行合作学习,教师进行指导。
3.汇报学习成果,师生共同探究:师:你们是怎么解答的?
预设 生1:通过列方程来解答的。
生2:根据题意,可以先设实际长度为x cm,再根据“图上距离∶实际距离=比例尺”,列
方程解答。
师:解答时要注意什么?
预设 生1:要求实际距离是多少千米,但已知的图上距离是多少厘米,可以先设实际距离
为x cm,算出实际距离的厘米数后,再化成千米数。
生2:根据“图上距离∶实际距离=比例尺”,可以用解比例的方法求出实际距离。
4.完成解答:(板书解题过程)
解:设从苹果园站到四惠东站的实际长度是x cm。
7.8 1
=
x 400000
x=7.8×400000
x=3120000
3120000 cm=31.2 km
答:从苹果园站到四惠东站的实际长度大约是31.2 km。
5.拓展延伸:
师:我们除了用方程解答之外,还可以用什么方法解答?
预设 生:可以用算术方法解答。
师:可以怎样来分析呢?
预设 生:在“图上距离∶实际距离=比例尺”中,实际距离既可看成分数的分母,又可看
成除法中的除数,所以可得出实际距离=图上距离÷比例尺。
师:我们来共同完成解答:(板书过程)
1
7.8÷ =3120000(cm)
400000
3120000 cm=31.2 km
答:从苹果园站到四惠东站的实际长度大约是31.2 km。
6.巩固练习,加深理解。
(1)师:我们一起来做两个练习题,看我们对新知识的掌握程度如何。(PPT课件出示)
①教材P54做一做。
先把教材P54做一做的图中的线段比例尺改写成数值比例尺,再用直尺量出图中河西村
与汽车站之间的距离是多少厘米,并计算出两地的实际距离大约是多少。②由复习准备中的(3)题改成的例题:
在一幅地图上量得A地点到B地点的图上距离是5 cm,已知这幅地图的比例尺是
1∶4000000,那么A地点到B地点的实际距离是多少千米?
(2)引导分析:
师:1题中先要进行的是什么?
预设 生:先量出两地的图上距离是3 cm。
师:我们仔细想想,用不用通过比例尺来计算呢?为什么?
预设 生:不用通过比例尺来计算,因为图中告诉我们1 cm代表600 m,图上距离是3 cm,
所以可以直接计算。
师:2题中应怎样进行思考和计算呢?
预设 生:根据“图上距离∶实际距离=比例尺”中,实际距离既可看成分数的分母,又可
1
看成除法中的除数,所以可得出实际距离=图上距离÷ 。
4000000
1
【参考答案】 1.600×3=1800(m) 2.5÷ =20000000(cm) 20000000 cm=200
4000000
km
[设计意图] 通过小组合作学习,让学生积极主动地探究运用比例尺来解决问题,同时
引导学生根据具体问题采用不同的解决方法,培养学生综合运用知识的能力。
二、探究学习例3,已知比例尺和实际距离,求图上距离。
1.(PPT课件出示)P55例3。
小明家在学校正西方向,距学校200 m;小亮家在小明家正东方向,距小明家400 m;小红
家在学校正北方向,距学校250 m,在下图中画出他们三家和学校的位置平面图(比例尺
1∶10000)。
2.引导学生分析探究:
(1)师:从例题中我们可以知道哪些已知条件?
预设 生1:可以知道小明家在学校正西方向,距学校200 m。生2:知道小亮家在小明家正东方向,距小明家400 m。
生3:小红家在学校正北方向,距学校250 m。
师:还有什么已知条件?
预设 生:知道比例尺是1∶10000。
师:让我们完成的任务是什么?
预设 生:在图中画出他们三家和学校的位置平面图。
师:那么我们在完成画图之前,应先做什么?
预设 生:根据比例尺分别计算出三家到学校的图上距离。
(2)布置学生小组讨论怎么样解决问题。
(3)学生以小组为单位进行合作学习,教师进行指导。
3.汇报学习成果,师生共同探究:
(1)画图步骤分析:
①根据比例尺分别计算出三家到学校的图上距离。
②再根据在图上的方向和距离分别找出三家的位置并画图。
(2)计算三家到学校的图上距离。
师:根据我们刚才学过的知识,可以怎样计算?用哪个比例尺的表示方式来计算?
预设 生1:可以利用数值比例尺来计算。
生2:分别把单位进行统一:
200 m=20000 cm,400 m=40000 cm,250 m=25000 cm。(板书)
1
生3:小明家到学校的图上距离:20000× =2(cm)。(板书)
10000
生4:小红家到学校的图上距离:
1
25000× =2.5(cm)。(板书)
10000
师:刚才是计算小明和小红家到学校的图上距离,那么小亮家能直接计算吗?为什么?
预设 生:不可以,因为题目中没有给出小亮家到学校的实际距离。
师:我们可以怎样来计算小亮家到学校的图上距离呢?
预设 生1:我们可以通过小亮家和小明家分别在学校的相反方向和两家之间的距离来解
决这个问题。
1
生2:小亮家到学校的图上距离:(40000- 20000)× =2(cm)。
10000
4.拓展延伸。
师:我们除了用数值比例尺计算之外,还可以用什么方法解答?预设 生:可以利用线段比例尺解答。
师:可以怎样来分析呢?
预设 生:根据比例尺是1∶10000,可以知道图上距离1 cm代表实际距离100 m,因此实
际距离有几个100 m,就应在图纸上画几厘米。
师:我们来共同完成解答:
200÷100=2(cm)
(400- 200)÷100=2(cm)
250÷100=2.5(cm)
5.指导学生分别在图上画出三家和学校的位置平面图。
6.巩固练习,加深理解。
(1)师:我们一起来做一个练习题,看我们对新知识的掌握程度如何。(PPT课件出示)
教材P55做一做。
学校要建一个长80 m、宽60 m的长方形操场。请在下图中画出操场的平面图(比例尺
1∶2000)。
(2)引导分析:
师:上题中先要进行的是什么?
预设 生:计算出在图上的长和宽。
师:可以怎样来计算?
1
预设 生1:图上的长是:8000× =4(cm)。
2000
1
生2:图上的宽是:6000× =3(cm)。
2000
(3)指导学生正确画出长方形操场的平面图。教材第57页练习十第5题。
读题,根据题意,说出题目中的比例尺和图上距离分别是1∶5000000和3.4 cm。引导学
图上距离 1
生说出,利用实际距离=图上距离÷比例尺来计算或是根据比例尺= = 用
实际距离 5000000
方程来解。
1
【参考答案】 5.方法1:3.4÷ =17000000(cm) 17000000 cm=170 km
5000000
方法2:解:设上海到杭州的实际距离是x cm。
3.4∶x=1∶5000000
x=17000000 17000000 cm=170 km
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我学会了利用已知比例尺和图上距离,求实际距离。
生2:应用比例尺画图。
生3:在利用方程解决比例尺问题时,要注意单位的统一。
作业1
教材第57页练习十第6,7,8题。
作业2
【基础巩固】
1
1.(重点题)一个长方形操场,长130 m,宽100 m,把它画在比例尺是 的图纸上,长和宽
2000
各应画多少厘米?
【提升培优】
2.(难点题)一个长方形操场画在比例尺为1∶2000的图纸上,在图上量得长方形的长为4厘
米,宽为2厘米,求这个长方形操场的实际周长。
【思维创新】3.(创新题)一块三角形地,按1∶8000的比例尺画在图纸上,在图纸上量得它的底是4厘米,
高是2.5厘米,这块地的实际面积是多少平方米?如果每平方米收粮食2.5千克,那么这块地
一共可收多少吨粮食?
【参考答案】
作业1:6.学生根据自己量取的实际情况计算。7.解:设长度是x cm,1900 km=190000000
cm,x∶190000000=1∶40000000 x=4.75 8.3.6 cm 22.5 cm 9000 km
作业2:1.长画成6.5 cm,宽画成5 cm 2.240米 3.32000平方米 80吨
比例尺(2)
例2:解:设从苹果园站到四惠东站的实际长度是x cm。
7.8 1
=
x 400000
x=7.8×400000
x=3120000
3120000 cm=31.2 km
1
7.8÷ =3120000(cm)
400000
3120000 cm=31.2 km
例3:200 m=20000 cm,400 m=40000 cm,250 m=25000 cm。
1
小明家到学校的图上距离:20000× =2(cm)。
10000
1
小红家到学校的图上距离:25000× =2.5(cm)。
10000
1
小亮家到学校的图上距离:(40000- 20000)× =2(cm)。
10000
1.通过解决与生活密切相关的习题,让学生对所学的知识进行巩固运用,这样极大地调
动了学生的学习积极性,提高了学习效率,也使学生感受到了数学与生活的密切联系,激发了
学习数学的兴趣。
2.在解决问题的时候,鼓励学生运用多种方法进行解答,锻炼学生的思维能力和解题意
识。在教学过程中,没有注重学生画图过程的指导,过分地关注了关于比例尺的计算能力和
运用比例尺解决问题的能力,导致部分学生在画图时出现各种问题。
再教这节课的内容时,要多关注学生各种能力的培养,使学生在小组合作学习的时候,密
切配合,培养动手、动脑的能力。
【做一做·54页】
600 m=60000 cm 比例尺为1∶60000 量得图中河西村与汽车站的距离为3 cm。解:设河
西村与汽车站的实际距离约为x cm,3∶x=1∶60000 x=180000 180000 cm=1800 m
【做一做·55页】
1 1
解:长:80 m=8000 cm,8000× =4(cm),宽:60 m=6000 cm,6000× =3(cm)。如左图
2000 2000
所示。
【练习十·56页】
2.4∶400=1∶100 5.解:设上海到杭州的实际距离是x
cm,3.4∶x=1∶5000000,x=17000000,17000000 cm=170 km。 7.解:设它的长是x cm,1900
km=190000000 cm,x∶190000000=1∶40000000,x=4.75。 8.3.6 cm 22.5 cm 9000 km
在比例尺是1∶2000000的地图上,量得甲城到乙城的距离是4.8厘米,如果李叔
叔开车从甲城出发沿直线行驶,每小时行60千米,几小时能到达乙城?[名师点拨] 根据比例尺和图上距离先求出实际距离,再将以“厘米”为单位的实际距
离转化成以千米为单位的实际距离,最后用实际距离÷速度=时间。
1
[解答] 4.8÷ =4.8×2000000=9600000(厘米)
2000000
9600000厘米=96千米
96÷60=1.6(小时)
答:1.6小时能到达乙城。
1 1
原比例尺为 的一幅地图,现在改为用 的比例尺重新绘画,原地图中
50000 20000
4.8厘米的距离在新地图中应该画多少厘米?
[名师点拨] 根据原地图的比例尺先求出地图中4.8厘米表示的实际距离,再根据新地
图中的比例尺求出这个实际距离在新地图中的图上距离。
1
[解答] 4.8÷ =240000(厘米)
50000
1
240000× =12(厘米)
20000
答:在新地图中应该画12厘米。
【知识拓展】 此题的解题关键是求实际距离,在求实际距离时不必将厘米化成千米。
地图是怎样绘制的
千百年前,古人把山川、道路、树木如实画在羊皮上,用符号来记载或说明自己生活的
环境、走过的路,这样的羊皮成了原始的地图,是古人外出狩猎或劳作的指南。
现实生活中,随处可见各种各样的地图,从社区示意图、城市旅游图到各类交通地图,地
图在人类生活中同样起到了非常重要的作用。看地图的时候,你有没有感到好奇过,地图到
底是如何制成的?三国时期数学家刘徽所著的《海岛算经》,成为古代测量的基本依据,不仅
实现了直接测量向间接测量的飞跃,也为中国古代地图的绘制提供了有效的技术支持。而如
今的地图绘制则采用卫星定位导航、激光雷达、航空全数字摄影等“高新尖”技术,使地图
有了更丰富的内涵。
简单来说,一幅地图的生产由室内工作和野外调绘共同完成。首先由无人飞机从高空拍
摄连续的数码照片,并对航空影像未覆盖的区域,通过卫星影像进行补充,形成遥感影像资料。
有了这些原始影像,内业工作人员在每一幅图片上制定坐标点位,为了准确测定点位的坐标
和高程,外业人员需要前往实地,通过GPS系统测量准确点位,实际误差不能超过1米,这一切都是为恢复立体模型作准备。由于地球是椭圆形的,卫星和航拍的影像会有变形,所以等
这些数据传回到室内作业人员的电脑中时,内业人员需要对影像进一步纠正,这时候要戴上
立体眼镜才能看清影像中的地形,就像用双眼从空中俯视地面一样逼真,同时还要双手操作
控制器为影像增加控制点以修正影像。做好这一切,工作其实只进行了一半,剩下的外业调
绘才是测绘工作中最为艰苦和耗时的。
一张正射影像图、一台掌上智能电脑、一部照相机,外加一些食物和水,这些东西就是
外业测绘人员的基本装备,他们的工作是将沿途看到的每一处地理信息进行调查核实后,准
确标绘在影像图上。这些信息包括:居民地、河流、交通设施、管线、植被、名称注记、境
界、土质地貌和控制点等。有时对一些不明确的信息还需要向村民询问,哪怕是村民口中山
头上的一座土地庙,或是山沟底的一处间歇溪流,外业人员都需要跑到跟前去核实。这样的
工作是因为遥感影像上很多地理要素被遮挡住,所以必须到实地去调绘,同时需要实地测量
植被高度,以便获得准确的信息。外业调绘完成后,内业工作人员将各类地理信息要素的调
查信息编辑到计算机中进行数据整合,并且利用专用工具软件制作成三维地理模型,将地形
图上的道路、河流、民居、植被等地理信息都“搬到”电脑里,制作一套三维影像,今后只
要动一动鼠标,就能从各种角度观看立体的地形地貌。
第 课时 图形的放大与缩小
1.使学生在具体情境中认识图形的放大与缩小的现象。
2.掌握图形的放大或缩小的方法,能在方格纸上按一定的比将简单图形放大或缩小。
3.能激发学生的学习兴趣和求知欲,使学生积极参与学习活动,在学习过程中感受成功
的喜悦。
【重点】
认识图形的放大和缩小现象。
【难点】
把一个简单图形按指定的比放大或缩小。【教师准备】 PPT课件。
1.什么是放大比例尺?
2.什么是缩小比例尺?
【参考答案】 前项是大于1的数,后项是1的比例尺是放大比例尺。前项是1,后项是
大于1的数的比例尺是缩小比例尺。
方法一
创设情境,导入新课。
1.PPT课件出示一名同学的1,2,3,4,5,6 寸照片。
2.观察照片回答问题。
(1)这些照片从左到右有什么变化?
(2)这些照片从右到左又有什么变化呢?
预设 生:(1)照片逐渐变大;(2)照片逐渐变小。
3.找出生活中你见到过的放大或缩小的例子。
预设 生:零件的图纸是放大的;地图是缩小的……
4.揭示课题。
图形的放大或缩小在我们实际生活中常常会用到。下面,我们就一起来探究“图形的放
大与缩小”。(板书课题)
[设计意图] 教师所出示的课件是现实生活中学生常见事物,学生自己的照片,容易激
发学生学习的兴趣,有利于尽快进入本节内容的学习。
方法二
1.观察。
师:(出示一张看不清的、小的照片课件)能看清楚吗?有什么办法解决吗?
预设 生:看不清楚,用放大的方法吧!
师:回答的真好!(教师演示放大过程)
2.揭示课题。放大与缩小的情况我们经常看到。今天我们一起来探究图形的放大与缩小。(板书课
题)
[设计意图] 创设相片放大与缩小的情境,激发学生的学习兴趣,发现数学与我们的生
活息息相关,学好数学会为我们解决更多生活中的问题。
一、学习教材主题图,认识放大与缩小现象。
1.自读教材第59页,回答问题。
预设 生:见过这些现象,在这些现象中,放大镜看文字、投影仪投放图表、人体的影子
是把物体放大;拍照片是把物体缩小。
2.教师演示,在计算机上,把图片任意地放大或缩小。
预设 生:图形放大或缩小后所得到的图形与原图相比,形状相同,大小不同。
[设计意图] 主题内容学生一读就会,教师不用过多的讲解,采用“自读—发现—比较
—归纳”的方法,在理解教学内容的同时又锻炼了学生的分析和解决问题的能力,也让学生
有了无比的自豪感。
二、教学例4,会在方格纸上按一定比将图形放大或缩小。
(PPT课件出示例4)
1.理解按照2∶1放大图形的含义。
师:2∶1放大后的长度>原图的长度。(板书2∶1是放大图形)
2.分别说出正方形、长方形,三角形各需要放大哪两条边,各是多少。
预设 生:正方形只需要放大边长即可,放大后的长度是:3×2=6(格);长方形需要放大长
和宽两条边,放大后的长度是:长:4×2=8(格),宽:2×2=4(格);三角形需要放大底和高两条
边,放大后两条直角边的长度分别是:4×2=8(格),3×2=6(格)。
3.学生展示:在方格纸上画出放大后的三种图形。
预设 生:4.比较放大后的图形与原图形的异同点。
师:观察放大后的图形与原图形,比较它们的内角、边长、周长,什么变了?什么没变?
预设 生:
(1)边的长度变成原图的2倍。
(2)周长变成原图的2倍。
(3)内角的度数没有变化,所以形状没变。
(4)图形都比原图变大了。
5.自主完成把放大后的正方形按1∶3,长方形按1∶4,三角形按1∶2缩小。各个图形又
会发生什么变化?在方格纸上画画看。
师:同学们,根据上一题的学习方法,我们该怎样解决这个问题?
预设 生:先理解1∶3,1∶4,1∶2的含义,其次计算原图缩小后各边的长度,最后画出缩
小后的图形并比较。
师:回答的真好!同学们按这个试一试吧!
(1)比的含义。
预设 生:1∶3,1∶4,1∶2,比的前项是应该画在图上的各边的长度,比的后项是原图各
边的长度。这三个比表示是把图形缩小。
(2)计算缩小后的长度。
1
预设 生:放大后的正方形按1∶3缩小就是把它的各边都缩小到原来的 ,即正方形的边
3
1
长为6× =2(格)。
31
放大后的长方形按1∶4缩小就是把它的各边缩小到原来的 ,即长方形的长缩小为8×
4
1 1
=2(格),宽缩小为4× =1(格)。
4 4
1
放大后的三角形按1∶2缩小就是把它的各边都缩小到原来的 ,即三角形的两条直角边
2
1 1
分别缩小为6× =3(格),8× =4(格)。
2 2
(3)画图。(图略)
(4)学生比较各个图形的变化。
1 1 1
预设 生:三个图形的变化是:边长缩小为原图边长的 , , ,
3 4 2
1 1 1
周长缩小为原图的 , , ,
3 4 2
内角的度数没有变化,所以形状没变。
[设计意图] 自我探究、先教后放,学生获得成功的体验,增强学习信心,学会学习,为
将来自我探究打下良好基础。
1.教材第60页“做一做”。
2.判断题。
(1)放大后的图形与原图形比较,形状相同,大小不同。 ( )
(2)保持图形原来的形状而使图形变小,叫做图形的缩小。 ( )
3.把边长为3格的正方形,两条直角边分别是3格、9格的三角形,长6格、宽3格的长
方形,按1∶3缩小,画出这三个图形缩小后的图形。
【参考答案】 1.(做一做)略 2.(1)√ (2)√3.略
师:下面请同学们来汇报一下在这节课里我们都学习了哪些内容。
预设 生:(1)认识了图形放大与缩小的现象。(2)知道图形放大或缩小后得到的图形与
原图形相比,形状相同,大小不同。(3)学会在方格纸上按一定的比将图形放大与缩小的方法。
师:是的,这节课我们共同探究图形的放大与缩小,知道图形的各边按相同的比放大或缩
小后,只是大小发生了变化,形状没变。(板书知道)作业1
教材第63页练习十一第1题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空题。
(1)图形按一定的比放大时,这个比的比值比1( )。
(2)图形按一定的比缩小时,这个比的比值比1( )。
(3)把一个长3 cm,宽2 cm的长方形按3∶1的比放大并画在纸上,图纸上新长方形的长是(
)cm,宽是( )cm。
(4)如果把一个正方形按5∶1放大,放大前后边长的比是( ),面积的比是( )。
2.(易错题)选择题。
(1)将直角三角形的两条直角边都放大到原来的3倍,则斜边( )。
A.不变
B.也放大到原来的3倍
1
C.缩小到原来的
3
(2)将圆的半径按2∶1的比放大后,周长将扩大到原来的( )。
A.2倍 B.4倍
C.8倍 D.16倍
(3)把一个零件按下面的比分别画出来,按( )画出的图最小。
A.1∶3 B.4∶1
C.1∶5
(4)下图中图形( )是图形A按1∶3的比缩小后的图形。
3.(操作题)把下面的图形按比放大或缩小。【提升培优】
4.(探究题)看图按要求回答问题。
(1)图中几号图形是①号长方形放大后的图形?它是按什么比放大的?
(2)图中几号图形是①号长方形缩小后的图形?它是按什么比缩小的?
5.(重点题)实验小学的长方形操场长200米,宽150米,画到图纸上长4厘米,宽3厘米,这
个图是按什么比缩小的?(画出操场平面图)
【思维创新】
6.(竞赛题)下图是按1∶500的比画的长方形,先量出长方形的长和宽,然后求出阴影部分的
实际面积是多少平方米。
【参考答案】
作业1:1.D
作业2:1.(1)大 (2)小 (3)9 6 (4)1∶5 1∶25 2.(1)B (2)A (3)C (4)D 3.略
4.(1)⑤号 1.5∶1 (2)③号 1∶2 5.按1∶5000缩小的,平面图略。 6.长3厘米
宽2厘米 75平方米
图形的放大与缩小
把物体放大:用放大镜看文字、投影仪投放图表、人体的影子
把物体缩小:拍照片。
2∶1是放大图形。图形的各边按相同的比放大或缩小后,只是大小发生了变化,形状没
变。在新知构建中没有过多地讲解,采用“自读——发现——比较——归纳”的方法,学生
在理解教学内容的同时又锻炼了分析和解决问题的能力,更让学生有了无比的自豪感,为本
节教学的成功画上漂亮的一笔,例题采用先教后放的方法更是锦上添花。
虽然有以上的成功,但在各环节的衔接上还缺少调动学生激情的语言。
1.各环节衔接时,表扬、鼓励的语言要有。
2.多用学生常见的实例。
【做一做·60页】
如下图。
把一个长为10 cm、宽为5 cm的长方形按1∶5缩小,缩小后的图形与原图形相
比,周长和面积各发生了怎样的变化?
[名师点拨] 先求出按1∶5缩小后的长方形的长和宽,再分别求出缩小后的图形及原
图形的周长、面积,最后进行比较,找出其中的规律。
1
[解答] 新长方形的长:10× =2(cm)
5
1
新长方形的宽:5× =1(cm)
5
新长方形的周长:(2+1)×2=6(cm)
新长方形的面积:2×1=2(cm2)原长方形的周长:(10+5)×2=30(cm)
原长方形的面积:10×5=50(cm2)
1 1
6÷30= 2÷50=
5 25
1 1
答:周长缩小到原来的 ,面积缩小到原来的 。
5 25
【知识拓展】 如果一个长方形的各边长都放大到原来长度的n倍或缩小到原来长度
1 1
的 ,那么它的周长就放大到原来长度的n倍或缩小到原来长度的 ,它的面积则放大到原
n n
1
来面积的n2倍或缩小到原来面积的 。
n2
照片的尺寸
照片的尺寸是以英寸为单位的,1英寸=2.54 cm ,通常X寸是指照片的一边的英寸长度。
如:5寸就是照片宽为2.54×5=12.7(cm);12寸就是照片长为2.54×12≈30.5(cm)。
身份证、体检表等多采用小一寸(32 mm×22 mm),第二代身份证为26 mm×32 mm,普通
一寸相片则为25 mm×35 mm,护照旅行证件的相片标准为相片尺寸:48 mm×33 mm,头部宽
度为21 mm~24 mm,头部长度为28 mm~33 mm。
第 课时 用比例解决问题
1.巩固判断成正反比例的量,加深对正反比例意义的理解。
2.能利用正反比例的意义解答比较简单的生活中的问题。培养学生的分析、判断和推
理能力。
3.经历用比例知识解答问题的过程,体验解决问题的策略,培养和发展学生的发散思维。
感受数学知识与实际生活的密切联系,培养学生动脑思考的良好学习习惯。
【重点】用比例知识解决实际问题。
【难点】
能够正确分析题中的比例关系,列出方程。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习比的相关知识。
填空。
(1)速度一定,路程和时间成( )比例。
(2)路程一定,速度和时间成( )比例。
(3)单价一定,总价和购买数量成( )比例。
(4)路程一定,已行的路程和未行的路程( )比例。
【参考答案】 (1)正 (2)反 (3)正 (4)不成
[设计意图] 找到新知识的切入点, 唤醒学生学过的知识,为顺利完成教学目标做好铺
垫。
方法一
1.小红去文具店购买2.00元一个的笔记本,10元钱能买几个?
看上面的题,回答下面的问题:
(1)有哪三种量?
(2)其中哪一种量是固定不变的?
(3)哪两种量是变化的?这两种量是按怎样的规律变化的? 它们成什么关系?
(4)如果小红用20元去购买钢笔呢?
预设 生1:(1)单价、数量和总价三种量。
(2)单价是固定不变的。
(3)数量和总价这两种量是变化的。总价随着数量的增加而增加,随着数量的减少而减
少。总价和数量成正比例关系。
生2:(4)如果用20元去购买,就是总价一定,数量和单价成反比例的关系。2.引入新课。
像这样的问题也可以用比例的知识来解决,我们今天这节课就来讨论如何运用比例的知
识来解决这类问题。(板书课题)
[设计意图] 简单的购物问题,唤醒学生正、反比例知识的储备,为正、反比例应用的
学习做好铺垫,使学生顺利进入新知识的学习。
方法二
1.如何判断两种量是否成正比例(或反比例)?
师:同学们,我们已经学习了哪两种比例?
预设 生:我们学习了正比例和反比例两种比例。
师:你知道怎样判断两种量之间的关系吗?
预设 生:判断两种量之间的关系,首先要看这两种量是不是相关联的量,若是,再看它们
的比值(或积)是否一定,如果一定,则两种量成正比例(或反比例)。
2.下面每题中的两种量成什么比例?
(1)路程一定,速度和时间。
(2)单价一定,总价和数量。
(3)长方形的面积一定,长和宽。
预设 生:(1)成反比例。(2)成正比例。(3)成反比例。
3.揭示课题。
师:这节课,我们就应用我们学过的比例的知识解决一些生活中的实际问题。(板书课
题)
[设计意图] 利用学生已有的知识储备,找到新旧知识的切入点,为顺利进入本节的学
习做好准备,学生正确回答后带着浓厚的兴趣进行学习,会收到事半功倍的效果。
一、教学例5,用正比例知识解决问题。
1.出示PPT课件理解题意。
师:找出题中的已知条件和要求的问题。
预设 生:已知张大妈家用水量是8 t,水费是28元,李奶奶家用水量是10 t。要求李奶
奶家这10 t水花多少元。师:水费与哪两种量相关联?
预设 生:水费与水的单价和用水量相关联。
师:这两种量题中都告诉我们了吗?
预设 生:题中水的单价是未知的,但是单价在题中是一定的。
2.解题方法。
(1)算术方法。
师:谁能说出怎样用算术法解答?
预设 生:先求出水的单价,水费÷用水量,再求李奶奶家10 t水的水费。
列式:28÷8×10
=3.5×10
=35(元)
答:李奶奶家上个月的水费是35元。
(2)用比例知识解答。
①判断比例关系。
师:找出题中两种相关联的量,判断这两种量成什么比例关系。
预设 生:水费和用水量是两种相关联的量,水费÷用水量=单价(一定),也就是水费与用
水量的比值一定,所以水费和用水量成正比例,即两家的水费和用水的吨数的比值相等。
②根据正比例知识列出方程解答。
师:根据以上的分析怎样列比例?
预设 生:解:设李奶奶家上个月的水费是x元。
28 x
=
8 10
8x=28×10
28×10
x=
8
x=35
答:李奶奶家上个月的水费是35元。
3.总结解法。
师:同学们,我们共同回忆一下用正比例解决问题的方法。
预设 生:
(1)理解题意,找出两种相关联的量。
(2)判断两种量是否成正比例关系。
(3)如果成正比例关系,那么根据正比例知识列出方程。(4)解答。
二、教学例6,用反比例知识解决问题。
1.(PPT课件出示例6)。
一个办公楼原来平均每天照明用电100千瓦时,改用节能灯以后,平均每天只用电25千
瓦时。原来5天的用电量现在可以用多少天?
2.学生合作探究,汇报展示。
(1)算术法。
预设 生1:已知原来平均每天用电100千瓦时,现在平均每天用电25千瓦时,要求原来5
天的用电量现在可以用几天。
生2:先求出总用电量,再求改用节能灯后用的天数。每天用电量×用电天数=总用电量。
生3:列式解答。
100×5÷25
=500÷25
=20(天)
答:现在可以用20天。
(2)用比例知识解答。
预设 生1:用电量和用电天数是相关联的两种量,每天用电量×用电天数=总用电量(一
定),所以每天用电量和用电天数成反比例,也就是说,每天用电量与用电天数的乘积一定。
生2:根据现在每天用电量×用电天数=原来每天用电量×用电天数,设现在可以用x天,
列出方程为25x=100×5。
生3:解:设原来5天的用电量现在可以用x天。
25x=100×5
100×5
x=
25
x=20
答:原来5天的用电量现在可以用20天。
[设计意图] 探究汇报是在学完例5的基础上进行的,其目的是让学生在模仿中形成解
决问题的能力,同时学生在展示中收获成功的喜悦。
1.教材第62页“做一做”第1,2题。
2.教材第63页练习十一第3,4,5题。【参考答案】 1.1.解:设要用x元。6∶4=x∶3,x=4.5。 2.解:设可以买x支。
1.5×4=2x,x=3。 2.3.解:设这棵树高x m。1.5∶2.4=x∶4,x=2.5。 4.解:设运行15周
要用x小时。10.6∶6=x∶15,x=26.5。 5.解:设x天可以完成任务。6×12=8x,x=9。
师:同学们,两个例题我们学完了,赶快与老师一起来回忆一下用比例解决问题的方法吧!
预设 生1:应用正比例解决问题:找出两种相关联的量,判断它们是否成正比例关系,若
成正比例关系,则根据比值相等,列出方程解答。(板书用正比例解决问题的方法)
生2:应用反比例解决问题:找出两种相关联的量,判断它们是否成反比例关系,若成反比
例关系,则根据乘积相等,列出方程解答。(板书用反比例解决问题的方法)
作业1
教材第64页练习十一第6,7,8题
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)写出下面各相关联的量各成什么比例。
(1)房间面积一定,每块地砖的大小和地砖的块数。( )
(2)作业本的单价一定,作业本的总价和数量。( )
(3)全班的人数一定,平均每组的人数和组数。( )
(4)车轮的直径一定,所行驶的路程和车轮转的圈数。( )
2.(易错题)选择题。
(1)一项工程,甲队单独做要10天,乙队单独做要8天,甲、乙两队的工作效率比是( )。
A.1∶1 B.5∶4 C.4∶5
(2)下面不成比例的是( )。
A.正方形的周长和边长
B.某同学匀速从家到学校的步行速度和所用时间
C.圆柱的体积和表面积
(3)甲、乙两个三角形的面积相等,甲的底边长与乙的底边长的比是5∶3,那么甲的与底相
对的高与乙的与底相对的高的比是( )。
A.3∶5 B.5∶3 C.9∶25
3.(重点题)解比例。(1)25∶7=x∶35
(2)399∶35=57∶x
3 5 5
(3) ∶x= ∶
4 2 8
0.75 x
(4) =
6 4
【提升培优】
4.(难点题)根据下面的条件列出比例,并解出来。
(1)96和x的比等于16和5的比。
(2)45和x的比等于25和8的比。
5.(开放题)生活中的数学。
(1)李师傅3小时能加工36个零件,照这样计算,加工48个零件需要多长时间?
(2)某加工厂做一批零件,若每天加工200个,20天可以完成;若每天多加工50个,需几天完
成?
(3)一堆煤,3辆卡车8次可以运完。如果要6次运完,需要安排几辆这样的卡车?
【思维创新】
6.(创新题)一项工程,10人去做12天刚好完成,如果每人的工作效率相同,现在要提前4天
完成任务,需要增加多少人?
【参考答案】
700 1600 40
作业1:6.解:设北京到长沙需x小时。 = ,x= <6,能到。 7.解:设全程需x小
2.5 x 7
时。90∶x=30∶2,x=6。 8.解:设每天要读x页。6x=30×8,x=40。
作业2:1.(1)反比例 (2)正比例 (3)反比例 (4)正比例 2.(1)C (2)C (3)A 3.
3 1
(1)x=125(2)x=5 (3)x= (4)x= 4.(1)96∶x=16∶5 x=30 (2)45∶x=25∶8
16 2
x=14.45.(1)4小时 (2)16天 (3)4辆 6.5人
用比例解决问题在本课新知构建的例5和例6的教学中,采用“先教后模仿”的方法。为学生铺设了一
条探究新知识的平坦之路。虽然不能说学生学会了发现新知识的方法,但是它是打开发现新
知识大门的一把钥匙,有了它学生的学习会越来越好。
本次教学,还有不尽如人意的地方,总结部分有点过于教条,实际上用比例解应用题时,
有的也不必一定要依照这样的四步,尽可能简单地列出比例。
再教时,学习准备和导入部分的设计应从学生熟悉、常见的事例中选择问题,才能激发
学生的学习兴趣,真正发挥这两部分的功效。
【做一做·62页】
1.解:设要用x元。6∶4=x∶3,x=4.5。 2.解:设可以买x支。1.5×4=2x,x=3。
【练习十一·63页】
1.D 2.如下图所示。(答案不唯一)(1)三角形B和三角形C是三角形A放大后的图形。
(2)三角形A和C是三角形B缩小后得到的。 (3)略
3.解:设这棵树高x m。1.5∶2.4=x∶4,x=2.5。4.解:设运行15周要用x小时。
10.6∶6=x∶15,x=26.5。 5.解:设x天可以完成任务。6×12=8x,x=9。 6.解:设北京到
700 1600 40
长沙需x小时。 = ,x= <6,能到。 7.解:设全程需x小时。90∶x=30∶2,x=6。
2.5 x 7
8.解:设每天要读x页。6x=30×8,x=40。 9.(1)解:设每小时收割x公顷。
30x=0.3×40,x=0.4。 (2)0.3×40×8=96(t)(3)略 10.解:设x小时能返回原地。90x=72×10,x=8。 11.(1)解:设够用x天。6x=30×10,x=50。 (2)一个月的零花钱够用
多少天? 解:设够用x天。15x=30×10,x=20。 12.解:设需要x块。
0.5×0.5×x=0.6×0.6×100,x=144。
【整理和复习·65页】
1.两个数相除,又叫做两个数的比。表示两个比相等的式子叫做比例。联系:比例是由两个
相等的比组成的。区别:(1)意义不同;(2)比有两项,分别叫前项和后项,而比例有四项,分别
24 1
叫内项和外项;(3)基本性质不同。 2.解比例的依据是比例的基本性质。x= ,x= ,x=
5 12
25
,x=8。 3.(1)成反比例 (2)成正比例 (3)不成比例 4.(1)解:设甲、乙两地相距x
4
km。100∶2=x∶3,x=150。(2)解:设返回时用了x小时。50×3=60x,x=2.5。
【练习十二·66页】
1.(1)1∶300000 (2)5∶3 5∶3 25∶9 (3)135 2.(1)成正比例 (2)成反比例 (3)成
150 x
正比例(4)成正比例3.5.5×2000000÷5000000=2.2(cm)4.(1)解:设现价x元。 = ,
250 180
y
x=108。 (2)150÷250=60% 200×60%=120(元) 90×4÷120=3(件) (3) =60%
x
一个晒盐场用100克海水可以晒出3克盐,如果一块盐田一次放入6900吨这样
的海水,可以晒出多少吨盐?
[名师点拨] 根据题意,同一地点的海水的含盐率是一定的,所以晒出盐的质量与海水
的质量成正比例。
[解法1] 设可以晒出x克盐。
6900吨=6900000000克。
x∶6900000000=3∶100
6900000000×3
x=
100
x=207000000
207000000克=207吨答:可以晒出207吨盐。
[解法2] 设可以晒出x吨盐。
x∶6900=3∶100
3
x=6900×
100
x=207
答:可以晒出207吨盐。
【知识拓展】 由于海水的含盐率一定,所以列比例时,只要每组对应数的单位一致即
可,无论是克比克,还是吨比吨,得到的比值都表示含盐率。
一根圆柱形钢材,锯成5段需要8分钟,照这样计算,如果锯成10段,需要多少分
钟?
[名师点拨] 从题中的已知条件可知每锯一次所用的时间是一定的,也就是说所用的时
间和锯的次数成正比例。
[解答] 设锯成10段需要x分钟。
x 8
=
10- 1 5- 1
4x=8×9
x=18
答:需要18分钟。
【知识拓展】 由于每锯一次所用的时间一定,所以所用的时间与锯的次数成正比例,
而不是所用的时间与锯成的段数成正比例。
比例是我们在小学学习的知识,我们的生活中也经常会用到它,因此我们在考试中也会
经常遇到这一类的问题,为此我们邀请了专家给我们总结有关比例的数学知识,希望大家能
够对这些知识掌握好,争取取得好成绩。
1
比:两个数相除就叫做两个数的比。如:3∶6或 , 比的前项和后项同时乘或除以一个
3
相同的数(0除外),比值不变。
比例:表示两个比相等的式子叫做比例。如3∶6=9∶18。
比例的基本性质:在比例里,两外项之积等于两内项之积。
解比例:求比例中的未知项,叫做解比例。如3∶x=9∶18。正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的
两个数的比值(也就是商k)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系就叫做正比例
y
关系。如: =k或kx=y(k一定)。
x
反比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的
两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系就叫做反比例关系。 如:x×y
k
= k或 =y( k一定)。
x
有关比例的数学知识很好掌握,这些知识希望我们及时复习,这样在考试时才能够很好
地对付这类题,处理起来会易如反掌。
人体的比例关系
比例关系是用数字来表示人体美,并根据一定的基准进行比较。用同一人体的某一部位
作为基准,来判定它与人体的比例关系的方法被称为同身方法。
分为三组:系数法,常指头高身长指数,如画人体有坐五、立七,即身高在坐位时为头高
的五倍、立位时为7或7.5倍;百分数法,将身长视为100%,身体各部位在其中所占的百分比;
两分法:即把人体分成大小两部分,大的部分从脚到肚脐,小的部分为肚脐到头顶。
标准的面型,其长宽比例协调,符合三庭五眼。三庭是指脸型的长度,从头部发际到下巴
尖的距离分为三份,即从发际到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下巴尖各为一份,各称一庭,共三庭;
五眼是指脸型的宽度,双耳间正面投影的长度为五只眼睛的长度,即眼角外侧到同侧发际边
缘,刚好为一只眼睛的长度,两只眼睛之间,也是一只眼睛的长度,另一侧眼角外侧到发际边
缘,也是一只眼睛的长。
自行车里的数学
本节课的教学主要是理解两方面的知识:普通自行车的速度与自行车的内在结构之间的
关系及变速自行车能变化出多种速度。教学中设计两个实践活动,引导学生能在实际操作中
运用所学过的圆、比例等相关知识帮助理解、总结自行车里的数学知识,通过操作中的测量数据、计算结果、比较数据组合等学习方法,获得自行车前齿轮、后齿轮齿数与转数之间的
关系,得出结论:
普通自行车蹬一圈:前齿轮齿数×1=后齿轮齿数×后齿轮转数,后齿轮转数=
前齿轮齿数 前齿轮齿数
,变速自行车蹬一圈走的路程=车轮周长× 。在学习的过程中培
后齿轮齿数 后齿轮齿数
养学生的应用意识和创新精神以及数据的整理运用的能力,形成在实际生活中处处有数学的
数学理念,建立完整的数学思维体系。
1.通过综合运用所学的圆、比例等知识解决生活中常见的有关自行车的实际问题。
2.经历解决问题的过程,获取运用数学知识解决问题的思考方法。
【重点】
理解普通自行车前齿轮、后齿轮齿数和转数之间的关系。
【难点】
理解变速自行车变化出不同速度的方法。
【教师准备】 1.PPT课件。2.实物自行车。
【学生准备】 搜集自行车的相关数据。
方法一
预设谈话导入。
师:同学们,看见老师这节课把自行车推进了课堂,你们会对老师说些什么?
预设 生:老师这节课是数学课,是不是今天我们要研究自行车与数学的关系?
师:同学们猜得很对,今天我们将一起来探讨在自行车里藏着的数学问题,板书课题:自
行车里的数学。
[设计意图] 谈话内容以及出现在课堂上的自行车,引发了学生的好奇心和联想。方法二
(教师PPT课件出示自行车图片)
师:同学们,自行车的种类很多,你都知道哪些?
预设 生1:我知道有普通的自行车。
生2:我知道有变速自行车。
师:自行车的种类很多,这是一辆普通自行车,在自行车里面蕴含着很多有趣的数学问题,
现在就跟随老师走进自行车里的学问。(板书课题)
[设计意图] 利用图片直接导入,使学生形象直观地进入知识,明确这节课的知识点在
于自行车里的数学知识,建立初步的知识印象,走进课堂教学。
一、 活动1,自行车蹬一圈走的路程。
1.师生探究,汇报课前准备的测量数据。
师:同学们,看教材67页第1个问题,整理课前搜集的数据,完成表格填空。
前齿轮齿数 后齿轮齿数 车轮半径
(学生整理数据,教师巡回指导,适当点拨)
2.探究方法1:直接测量法。
探究问题:这辆自行车蹬一圈走多远?
师:现在我们探究一下,自行车蹬一圈走多远?
(1)理解题意。
师:你是怎样理解这句话的?
预设 生:就是自行车的前齿轮旋转一周,在地面上走的路程。
(2)方法探究。
师:根据你们的理解,现在我们开始在教室内演示一下。
师:同学们有什么好方法吗?预设 生:我们可以骑上自行车蹬一圈量一量。(学生演示)
师:好!这叫做直接测量法。这种方法获得的数据准确吗?
(学生汇报课前蹬自行车的数据,结果不同)
师:根据你们汇报的数据,我们发现结果相同吗?
预设 生1:不相同。
生2:不准确。
师:对,它不准确,误差大。
3.探究方法2:数学计算法。
师:刚才我们分析出直接测量法不准确,误差太大,现在我们就来利用一个准确的计算方
法获得自行车走一圈能走多远。
预设 生:我们试着计算一下吧!
师:现在我们就运用学过的数学知识计算一下。
(1)探究:利用所学的比例知识,探究前、后齿轮齿数与它们的转数有什么关系。
师:引导学生观察讨论:前齿轮转过一个齿,后齿轮转过几个齿?你是怎样知道的?前齿轮
转动一圈,后齿轮转动几圈?齿轮的齿数与齿轮的转数有什么关系?
(学生动手操作,摇动手中的简易学具,理解上面问题)
师:现在动手操作,感受前齿轮和后齿轮的转动有什么关系?
预设 生1:老师,我发现前齿轮转过一个齿,后齿轮也转过一个齿,因为链条间的孔与前
后两个齿轮的每一个齿相对应。
(学生演示)
(2)师生探究,得出结论。
师:根据刚才的动手操作,看看前齿轮和后齿轮的转动,你发现了什么?
预设 生1:我发现前齿轮转动一周的长度就是链条走过的长度。
生2:我还发现前齿轮转动一圈的长度就是后齿轮要转动的长度。
生3:我发现链条带动前齿轮和后齿轮同时转动,它们走的路程是相等的。
(3)师生探究,得出公式。
师:想想刚才的结论:因为前后齿轮走的链条的长度是相等的,所以得出什么等量关系?(学生思考片刻,得出答案)
预设 生:前齿轮走过的链条长度=后齿轮走过的链条长度。
师:小组探讨一下,这样相关联的量成比例吗?成什么比例?
①学生自由理解分析:前后齿轮的转动是否成比例?
②引导学生思考:前后齿轮走过的链条长度相等,这是积不变,还是商不变?
③得出结论:前齿轮的齿轮数乘转数等于后齿轮的齿轮数乘后齿轮转数,所以是积不变,
即属于反比例关系。
④学生写出结论:
前齿轮齿数×前齿轮转数=后齿轮齿数×后齿轮转数。(齿轮的齿数与齿轮的转数成反
比例)
(4)引导学生尝试总结蹬一圈的路程的公式。
师:根据上面我们的总结,想想前齿轮走一圈,后齿轮的圈数怎么表示?
学生根据比例的基本性质推理得出:
前齿轮齿数×1=后齿轮齿数×后齿轮转数,
前齿轮齿数
后齿轮转数= 。
后齿轮齿数
(教师板书)
(5)巩固练习,知识拓展。
教师出示练习题:前齿轮齿数为30,后齿轮齿数为15,前齿轮走一圈,后齿轮走多少圈?
师:学生想想这个问题需要用我们刚才得出的哪个公式?
前齿轮齿数
预设 生:后齿轮转数= 。
后齿轮齿数
师:现在开始练习一下吧!
(学生练习,教师巡回指导)
【参考答案】 2圈
(6)总结学习方法,待以后学以致用。
师:回忆一下刚才我们的学习过程是怎样进行的。
(学生小组探讨,回忆学习过程)
得出结论:提出问题、分析问题、实际操作、得出结论、应用。
二、活动2,变速自行车的齿轮转动。
(1)实物变速自行车,现场试验。师:现在同学们实际操作,完成表格内容。
(引导学生在操作中完成表格的内容,注意强调计算出每组前齿轮和后齿轮的齿数的比。
前齿轮齿数
从中理解:蹬一圈自行车走的路程=车轮周长× )(教师板书)
后齿轮齿数
(2)汇报结果,理解:比值越大走的越远。
师:请同学汇报一下刚才我们操作的数据。
(学生将操作后得到的数据汇报)
师:想想,刚才得出的结论中有的比值大,有的比值小,这和自行车的速度有什么关系吗?
(请学生利用手中的操作学具实际操作一下,思考老师提出的问题)
学生汇报思考结果,明确变速自行车的变速原理。
预设 生:老师,我们发现比值越大,车走的越远,说明车的速度越快。
师:通过刚才大家的汇报,得出可以有2×6=12种不同的组合,所以得出12种比,因为其
中有两个比(2∶1)相同,所以这种变速自行车可以有11种不同的速度。师:比较表格中哪个比值最大。
预设 生:前齿轮齿数是48,后齿轮齿数是14的组合比值最大。
师:所以在蹬同样的圈数时,这种组合走的最远。
(3)巩固应用。
练习: 一辆变速自行车的车轮直径是0.7 m,前齿轮有48个齿,后齿轮有16个齿,蹬一
圈自行车能走多远?
学生独立完成,汇报时说出解题过程。
【参考答案】 3.14×0.7×(48÷16)=6.594(m)
[设计意图] 教学以学生动手操作为主,在操作中探究知识要点,在合作探究中获取数
据,整理数据,在师生互动过程中使知识理解到位,将知识与能力结合到实际的学习中,更好
地完成学习知识的过程。
1.写出求普通自行车蹬一圈后齿轮转数的公式。
2.小华的变速自行车前齿轮数是48个,后齿轮数是19个,自行车的车轮直径是75 cm,
小丽的变速自行车前齿轮数是25个,后齿轮数是16个,自行车的车轮直径是66 cm,同样蹬
一圈,谁走的远?为什么?
前齿轮齿数
【参考答案】 1.后齿轮转数= 。 2.小华自行车蹬一圈走:3.14×75×
后齿轮齿数
48 25
≈594.9(cm) 小丽自行车蹬一圈走:3.14×66× ≈323.8(cm),594.9 cm>323.8 cm,
19 16
所以小华的自行车走的远。
师:通过本课的学习,你有什么收获?预设 生1:我学会了两种探究方法:一种是直接测量法,另一种是数学计算法。
生2:我学会了普通自行车和变速自行车走一圈的路程与自行车前齿轮、后齿轮齿数的
关系。
前齿轮齿数
生3:我知道了蹬一圈变速自行车走的路程=车轮周长× 。
后齿轮齿数
师:同学们的收获真不小,在实践操作中获得知识,在理解运用中懂得蹬一圈,自行车的
周长、前齿轮齿数、后齿轮齿数之间的关系,能帮助我们解决实际问题。
自行车里的数学
普通自行车:
前齿轮齿数×前齿轮转数=后齿轮齿数×后齿轮转数
普通自行车蹬一圈:
前齿轮齿数×1=后齿轮齿数×后齿轮转数
前齿轮齿数
后齿轮转数=
后齿轮齿数
变速自行车:
前齿轮齿数
蹬一圈自行车走的路程=车轮周长× 。
后齿轮齿数
本节课的教学在学生实践操作过程中,理解普通自行车前齿轮、后齿轮的齿数和转数的
关系,在整理数据的过程中,提高学生的操作能力,合作意识,在学习中能主动参与实践操作
过程,在实践中获取知识,切实理解公式的提炼过程,扎实掌握自行车里的数学知识。
由于本节课的实践操作性强,在操作中获取知识点的提炼,所以在教学中学生操作不及
时,会出现知识提炼不全面的现象。
学生的理解分析能力还不强,所以在推导公式的过程中有些吃力。再教时,教师设置学习环节尽量新颖,引发学生的注意力,使学生注意力集中,思路跟紧,
这样在知识提炼的过程中就会自然而然地完成,在教学中尽量设置循序渐进的活动,这样在
学生原有的分析和理解能力的基础上,逐步提高学生的分析和理解能力,进而完成本节教学。
自行车的相关知识
自行车是我们日常生活中极其常见的一种交通工具。它的出现距今已有百余年的历史。
最早的自行车是由法国人西夫拉克发明的,它没有传动系统,靠两脚蹬地向前滑行,最快只能
达到时速20公里。后来苏格兰人皮埃尔发明了前轮带脚蹬的自行车。第一辆现代意义的自
行车出现在19世纪末的英国,后由传教士带入中国。据统计,目前中国有大约五亿辆自行车。
自行车运动力学:自行车运动是一种半机械化运动,人们应掌握一定的机械原理和力学知识,
有效地利用传动速比,合理掌握运动强度,巧妙节省体能消耗,从而以充沛的体力,达到高效
的运动。自行车传动:自行车是传动式机械,它的传动装置包括主动齿轮、被动齿轮、链条
及变速器等。齿轮比与传动比关系着自行车的使用效率。后轮运转实质在于在链条传动下
的飞轮带动后轮转动,飞轮与后轮具有相同的角速度,而后轮半径远大于齿轮半径,由线速度
增大,提高了车速。自行车的踏脚用到了杠杆原理。以飞轮的轮轴为支点,用较长的铁杆来
转动链条上的飞轮,可以省力。踏脚飞轮上用到了齿轮,以防止链条打滑。自行车上的链条
与车子的后轮之间也采用了齿轮传动,并且应用了比踏脚飞轮更小的齿轮,可以节省时间。
第4单元阶段测评
(时间:60分钟 满分:100分)
一、填空题(12分)
1.3a=4b(b≠0),则a∶b=( )。
2.某学校的操场长200米,宽150米,在一张图纸上用40厘米长的线段表示操场的长,则这
张平面图的比例尺是( ),宽应画( )厘米。
3.一条公路长60千米,已修的公路的长度和未修的公路的长度( )比例。
4.三角形的底一定,它的面积和底所对的高成( )比例。
5.若a,b互为倒数,则a,b成( )比例。
6.12的因数有( ),选出其中四个,把它们组成一个比例是( )。
7.甲、乙两数的比是5∶3,甲数是60,乙数是( )。8.一个长16 cm,宽12 cm的长方形按1∶4缩小,得到的图形周长是( )cm,面积是(
)cm2。
3
9.一个比例,两外项之积是8,一个内项是 ,另一个内项是( )。
5
二、选择题(16分)
1.如果y=5x(x≠0),那么y和x( )。
A.成正比例 B.成反比例
C.不成比例 D.无法确定
2.正方体的体积和它的棱长( )。
A.成正比例 B.成反比例
C.不成比例 D.无法确定
2 1 1
3.在 ∶ =x∶ 中,未知项x的值是( )。
3 2 8
1 1
A.2 B. C.
4 6
3
4.甲数是乙数的 (乙数不为0),甲数与两数和的比是( )。
5
A.3∶8 B.5∶8
C.8∶3 D.8∶5
5.在比例尺是1∶8的图纸上,甲、乙两个圆的直径的比是1∶3,那么甲、乙两个圆的实际
直径比是( )。
A.1∶8 B.1∶24
C.3∶8 D.1∶3
6.人的身高和体重( )。
A.成正比例 B.成反比例
C.不成比例
7.a与b(a≠0,b≠0)成正比例的式子是( )。
A.b=a+1 B.a=4b+5
C.a2=b D.a=b
8.某零件长0.5 cm,在图纸上长4 cm,这幅图的比例尺是( )。
A.8∶1 B.1∶8 C.8
三、判断题(10分)
1.图上距离一定,实际距离和比例尺成正比例。( )2.如果ab=6,那么a和b成正比例。 ( )
3.普通自行车,车轮直径一定,所行路程和车轮所转圈数成反比例。 ( )
4.人的身高和跳高的高度成正比例。 ( )
5.圆锥的体积一定,它的底面积和高成反比例。( )
四、解比例(24分)
3.5∶0.4=x∶8 6∶x=2∶7
24 0.8 1.6 9.6
= =
x 0.5 1.2 x
五、动手操作(6分)
分别按3∶1和1∶2的比画出下面图形放大和缩小后的图形。
六、用比例知识解应用题(32分)
1.农场收割小麦,前3天收割了165公顷,照这样计算,8天可以收割多少公顷小麦?
2.轮船从甲港去乙港,每小时行60千米,3小时到达,回来时逆流,每小时行45千米,几小时
到甲港?
3.一种农药,用药液和水按照1∶1500配制而成。
(1)现在只备有540千克水,要配制这种农药,需要多少千克药液?
(2)如果现在有3千克药液,能配制这种农药多少千克?
4.把一个长150米、宽100米的长方形操场画在比例尺是1∶5000的图纸上,长和宽各应画
多长?
★附加题
某班在一次数学考试中,平均成绩是78分,男、女生各自的平均成绩分别是75.5分和81
分,这个班男、女生人数的比是多少?
【参考答案】
一、1.4∶3 2.1∶500 30 3.不成 4.正 5.反6.1,2,3,4,6,12 1∶2=3∶6(答案不唯
40
一) 7.36 8.14 12 9.
3
二、1.A 2.C 3.C 4.A 5.D 6.C 7.D 8.A
三、1.✕ 2.✕ 3.✕ 4.✕ 5.√四、x=70 x=21 x=15 x=7.2
五、略
六、1.440公顷 2.4小时 3.(1)0.36千克 (2)4503千克 4.3厘米 2厘米
附加题 6∶5
