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植树问题
1.掌握植树问题中的基本概念和分类情况，包括两端都栽、只栽一端、两端都
不栽，归纳并理解三种植树问题中棵数与间隔数之间的关系。
2.通过学生自主探究、合作交流、发现规律，构建植树问题的数学模型，提高
教学目标 学生推理意识和模型意识，会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题，
培养学生的应用意识和创新意识。
3.感受数学与生活的联系，提高学生学习数学兴趣，增强学好数学的信心，养
成良好数学习惯。
1.理解和掌握植树问题在不同情况下棵数和间隔数之间的关系，并且能利用它
教学
们之间的关系解决相关的实际问题。
重难点
2.能对具体的植树问题情况进行判断，灵活解决问题。
教学准备 课件、学习任务单、练习本
目标落实 教师活动 学生活动 二次备课
一、游戏导入 一、发现问题
游戏引入，激发学游戏：指手画脚说成语 两名同学根据老师给出的“一
生的学习兴趣。 活动要求：两人根据给出的成刀两断”进行动作比画，其余
语做动作，不能说话，其余同同学猜。
学猜。
的确是“一刀两断”，如果老
师写成“段”，你觉得有道理
吗？
别着急，老师相信学完今天的
知识你会有所收获。
二、引导合作 二、探究问题
借助教室内场景，活动一：揭示课题 活动一：揭示课题
指导学生掌握植树刚才上台的两位同学是前后
问题中“间隔数”桌，他俩之间有一个空，第二
的基本概念。初步名同学和第三名同学之间又有
感受每两人之间有一个空……这个空数学上叫1.学生根据刚才给出的“间
一个间隔，为后面“间隔”。 隔”定义进行分析和判断。
学习植树问题的规1.想一想，三名同学之间有几预设 1：三名同学之间有 2 个
律做铺垫。 个间隔？四名同学呢？这列一间隔。
共七名同学，你还能知道什预设 2：四名同学之间有 3 个
么？ 间隔。
预设 3：七名同学之间有 6 个
间隔。
2.学生思考后回答问题。
2.咱班有多少人？如果也这样预设1：咱班有45人，会产生
坐一列，会产生多少间隔？ 44个间隔。
预设 2：我发现间隔的数比人
数少1。
3.根据大家的发现，如果咱们3.学生思考后回答问题。
1全校的同学坐成一列，一共产预设：根据刚才的发现，间隔
生了 2000 个间隔，那你知道数比人数少 1，间隔数是 2000
咱学校一共多少名同学吗？ 的话，人数就应该是2001。
厘清题意，尝试发今天一起学习和间隔数有关的
现和提出有意义的数学问题“植树问题”。
活动二：植树问题分类
数学问题，提升学活动二：植树问题分类
1.学生读题理解题目意思，并
生的创新意识。 1.先读题。
说一说自己的理解。
北园小学要在通往图书馆的小
预设 1：三个班栽树，每个班
路一侧栽树，小路全长 60
栽20米，隔5米栽一棵。
米，每隔 5米栽一棵，这项活
预设 2：我来解释“每隔 5 米
动由四年级三个班合作完成。
栽一棵”的意思，就是两棵树
一班先栽20米；
之间的间隔是5米。
二班接着一班再栽20米；
三班栽剩下的 20 米，一直到
图书馆。
学生在动手操作读题后，说说你的理解。 2.学生尝试提出问题。
中，发挥主体性，2.理解了题目的意思，你想提预设 1：每个班各栽多少棵
对后面植树数学模一个什么问题？ 树？
型的得出进行实践 预设 2：三个班一共栽多少棵
性的体验。 树？
3.想不想帮帮这三个班的同3.学生根据活动要求完成学习
学？请根据活动要求完成学习
单。
单。
活动要求：
在学习单上量一量，画一画，
学生汇报交流，再
看三个班各栽多少棵树，并将
次经历观察、发现
表格填完整。
和感受的全过程，
学习单： 4.三位同学上台进行汇报，其
学习解决问题的方
________________________ 余同学可以提问、补充或纠
法。
派三名同学分别代表一、二、正。
三班完成板书上的学习单。
预设 1：我代表一班，开头栽
4.都完成了，采访一下上台的
了一棵，然后每 5米栽一棵的
三位同学。
话，我一共栽了5棵。
预设 2：我代表二班，我本来
想在二班开头的地方栽一棵，
根据预设 1、2、3 小结：一结果一班栽了，所以我就往后
班、二班连接的地方一班栽每 5 米栽一棵，一共栽了 4
了，二班就不用栽；同样的，棵。
二班、三班连接的地方也是这预设 3：三班的开头也是被二
样。 班栽了，往后栽的话一共也是
4棵。
2根据预设 4，教师纠正板书，预设 4：我来纠正，最后一棵
将最后一棵树换成图书馆的图的位置是图书馆，我觉得不应
片。
该栽，三班只用栽 3棵就可以
了。
预设 5：我发现虽然每个班都
掌握植树问题的分 是栽 20 米，但是栽的数量却
类情况，包括两端
是不一样的，为什么？
都栽、只栽一端、教师小结：正像这位同学所说
预设 6：我能解决，一班栽了
两端都不栽。 的，今天学习的植树问题就分
自己的起点和末尾，二班因为
为了这三种情况，分别是①一
起点被一班栽了，所以只栽了
班从头栽到尾，那就是两端都
栽。②二班只栽了尾没栽头，末尾，而三班起点和末尾都不
课件演示，数形结
就是只栽一端。③最后一个班用栽，所以栽的是最少的。
合，向学生示范线
既不栽头也不栽尾，就是两端
段图的画法，渗透
都不栽。
一一对应的思想。
活动三：“两端都栽”的植树
活动三：“两端都栽”的植树
问题
问题
化繁为简，以小见
1.三种情况咱们先来仔细研究
1.学生再说说两端都栽的过
大。学生在交流
其中的一种“两端都栽”的情程。
中，探究出总长、
况。 预设：每5米栽一棵，再从头
间距、间隔数的关
课件呈现：用线段表示两端都上栽一棵，一共栽了5棵树。
系，便于后面学生
栽的情况（用线段表示小路，
更好地理解植树问
用短竖线表示树），你能再说
题的数学模型。
说这个栽树的过程吗？
2.如果这条小路变得很长，变2.学生思考后回答。
成了 1000 米，不量不画，你预设：先用1000除以5，求出
还能解决吗？ 间隔数，就是1000÷5=200，再
小结：这个同学是用了算式的用 200+1=201，也就是再在开
方法解决的，当我们画图比较
头上栽一棵。
麻烦的时候，就可以尝试用算
式的方法。
3.不着急，咱们先从简单的开3.学生尝试用计算的方法解决。
始，回到刚才的 20 米，你能
预设1：先用20÷5=4（棵），
用刚才这个同学算式的方法来
再加上开头的一棵，4+1=5
讲讲吗？
（棵）
根据预设 2，请同学上台指一
预设 2：我有不同的想法，我
指哪4段。
觉得他说的算式里应该是 4个
小结：4 段其实就是咱们一开
始知道的“间隔”。
间隔，不是4（棵）。
教 师 完 善 算 式 ： 20÷5=4 ，
4+1=5（棵）
明确每个算式及算4.再指学生说一说算式每部分4.学生思考后回答。
3式中每个数的含的意思。 预设：20表示总长度，5表示
义，提高学生推理教师根据学生回答，规范每个每 5 米栽一棵树，4 表示有 4
意识，为后面归纳数字的含义：20 表示全长，5段。
数学模型积累经表示间距，4表示间隔数。
验。 5.分析到这，你还有什么问 5.学生思考，提出问题
题？ 预设 1：求出来是 4 个间隔，
为什么还要加1？
预设 2：我来帮他回答，加的
1 棵是栽在开头位置上的，加
上这棵就是5棵树。
预设3：我还有个问题，4+1=5
后面的单位怎么是“棵”不是
“段”或者“个”？
在分析变与不变根据预设 4，也就是说第二个预设 4：我上台给大家指着解
中，尝试建立两端算式里的 4表示的是 4个间隔答，1个间隔对应1棵树，4个
都栽的数学模型，对应着的4棵树。 间隔就对应着 4棵树，这 4棵
提高学生的推理意补充板书： 树再加上头上栽的 1棵，就是
识和模型意识。 20÷5=4（个） 4+1=5（棵） 5棵树。
6.还是这段20m的小路，除了6.学生思考后回答。
可以 5m 栽一棵，还可以几米预设 1：我觉得可以每隔 4 米
栽一棵？这时又需要栽几棵树栽 1 棵树，算式是 20÷4=5，5
呢？ 个间隔对应 5 棵树，5+1=6
根据预设1板书： （棵）。
20÷4=5 5+1=6（棵） 预设2：我想的是每隔2米栽一
根据预设2板书： 棵，算式是20÷2=10，10个间隔
20÷2=10 对应10棵树，10+1=11（棵）。
10+1=11（棵） 预设3：每隔10米栽一棵，就
是 20÷10=2，2 个间隔对应 2
棵树，2+1=3（棵）。
7.这条小路现在变成 100 米
7.学生独立思考后汇报。
了，还是每隔 5米栽一棵，你
预设：100÷5=20，20个间隔对
通过归纳类比、迁 应20棵树，20+1=21（棵）。
能解决吗？
移类推，发现其余 8.学生一起回答算式。
两种植树问题的数8.这条小路长1000米呢？ 预设：1000÷5=200，200 个间
学模型，提高学生 隔对应 200 棵树，200+1=201
推理意识和创新意 （棵）。
识。 9.学生 4 人一组，讨论后汇
9.观察黑板上这些算式，哪里
报。
变了？哪里没变？
预设 1：全长、间隔数、棵数
都在变。
预设 2：间隔数没变，还有第
小结：棵数=间隔数+1
二个算式的加1没变。
预设 3：我觉得间隔数和棵数
之间的关系是没变的，都是间
隔数+1=棵数。
举例生活中的植树活动四：方法类推 活动四：方法类推
问题，多角度拓展1.两端都栽的情况下，棵数和1.学生小组讨论后汇报。
4对植树问题的认间隔数存在着关系，那只栽一预设 1：我们讨论的只栽一端
识，激发学习的兴端和两端都不栽的情况，棵数的情况，棵数=间隔数，因为
趣，也让学生切实和间隔数是不是也有着什么不开头那棵不用栽，所以不用加
感受到身边处处有变的关系呢？小组里讨论讨1。
数学，使学生深刻论。 预设 2：两端都不栽的情况是
感受到数学的应用小结：只栽一端 棵数=间隔棵数=间隔数-1，因为不光开
价值。 数 头的不用栽，最后一个间隔也
两端都不栽棵数=间隔数-1 不用栽。
2.观察对比这三种情况及对应2.学生思考后回答。
的关系，哪里相同？哪里不预设：棵数和间隔数都有关
同？ 系，就是关系不太一样，有的
加 1，有的相等，还有的减
3.看来间隔数很重要，那间隔1。
数如何求呢？ 3.学生回答。
将数学模型拓展到
4.大家都研究明白了。想一
预设：间隔数=全长÷间距
线上的点数问题，
想，植树问题一定要栽树吗？ 4.学生观察，说自己的发现。
再次提高学生的模
课件呈现走方队、带扣子的衬预设 1：走方队中每一行学生
型意识。
衣、剪绳子的图片、播放钟的数量是植树问题，可以看成
声。 两端都栽。
预设 2：衬衣上的扣子排列也
是植树问题，是只栽一端的，
因为最下面不用栽。
预设 3：剪绳子是两端都不栽
的情况，因为两端都不用剪。
预设 4：钟声属于两边都栽的
5.总结一下上面这三幅图，虽
植树问题，一开始要响一声，
然每幅图的情况都不一样，但
中间一个间隔响一声，到最后
是有什么一样的地方吗？
还要再响一声。
5.学生回答。
预设：虽然都没有真的栽树，
但都是植树问题。
结合抽象出的线和点，师进行
小结：
这些树都种在了这些点上，今
天研究的植树问题其实就是这
些线上的点数问题。
三、辅导练习 三、解决问题
首先巩固总长、间1.基础练习 1.基础练习
距、间隔数的概念
5和它们之间的关（1）选择。 （1）①17棵桂花树之间有16
系，再通过画一①公路一边栽了 17 棵桂花个间隔，1 个间隔对应着 1 棵
画，直观夯实植树树，如果每相邻两棵桂花树中银杏树，两端都不用栽，所以
问题规律。 间栽一棵银杏树，那么一共要一共要种16棵银杏树。
栽（ ）棵银杏树。
考查学生是否能对A.16 B.17
具体的植树问题情C.18 D.19
②600÷6就是总长度÷间距，求
况进行判断，并解②刘村有一条长 600m 的公
出的是间隔数。
决实际问题，培养路，计划在路的一侧每隔 6m
学生的应用意识和栽一棵树，如果两端都栽，那么
创新意识。 “600÷6”求出的是（ ）。
A.总距离 B.株距
C.棵数D.间隔数
（2）
（2）画一画。
一个舞台长 20m，每隔 5m 挂
一面彩旗。（用↑代表彩旗）
①两端都挂
②只挂一端
③两端都不挂
可以利用直观演2.变式练习 2.变式练习
示，让线段、点数1 路公共汽车从起点站到终点分析：总长度为 10km，间距
产生的画面灵动起站行驶路线全长 10km，如果为 500m，在路线上设站点属
来，从而帮助学生相邻两个站点之间的路程是于两端都栽的植树问题。
建构数学模型，提500m，那么这条路线一共设有10km=10000m
升学生的推理意识多少个站点？ 间隔数：10000÷500=20
和思维水平。 站点数：20+1=21（个）
3.提升练习 3.提升练习
一位老人沿路边散步，从第 1分析：路边的路灯属于两端都
盏路灯处走到第 12 盏路灯处栽的植树问题，原公式中的棵
共用了 22 分钟。当这位老人数为现在的路灯数（盏数）。
走了 44 分钟时，他走到了第
根据“路灯数=间隔数+1”得
几盏路灯处？
知，“间隔数=路灯数-1”，因
此在走到第 12 个路灯的时
候，间隔数为 12-1=11，走每
个间隔需要的时间为 22÷11=2
（分），走 44 分钟就是走了
44÷2=22 个间隔，则路灯数
=22+1=23（盏）。
四、引导反思 四、提升问题
梳理本节课知识，
通过这节课的学习，你有哪些同桌汇报并总结本节课收获。
巩固三种植树问题 收获？ 预设 1：植树问题分为三类：
6的数学模型，培养 两端都栽、只栽一端和两端都
学生总结概括的能 不栽。
力。 预设 2：这三种情况中，棵数
和间隔数都有关系，分别是棵
数=间隔数+1、棵数=间隔数和
棵数=间隔数-1。
预设 3：我还会求间隔数。间
隔数=全长÷间距。
预设 4：生活中也有一些类似
的植树问题，也可以利用这些
模型来解决，比如站队、锯木
头问题和敲钟问题等。
植树问题
两端都栽 只栽一端 两端都不栽 迁移类推 数形结合
棵数=间隔数+1 棵数=间隔数 棵数=间隔数-1 数学模型
板书设计
全长÷间距=间隔数
20÷5=4↔4+1=5（棵）
20÷4=5↔5+1=6（棵）
20÷2=10↔10+1=11（棵）
封闭图形的植树问题
1.理解并掌握封闭图形的植树问题的规律，会用规律解决实际生活中类似植树
的问题。
2.通过观察、操作、交流等活动，经历知识形成的过程，体会数形结合、化繁
教学目标 为简、化曲为直、一一对应的解题策略和方法，提高解决问题的能力，培养推
理意识和模型意识。
3.感受数学在日常生活中的广泛应用，体会数学的价值，激发学习数学的兴
趣，培养应用意识。
1.理解并掌握封闭图形的植树问题的规律，会用规律解决实际生活中类似植树
教学
的问题，培养模型意识。
重难点
2.综合运用知识灵活解决问题的能力。
教学准备 课件、学习任务单、练习本
目标落实 教师活动 学生活动 二次备课
一、情境导入 一、发现问题
感受数学在学校“庆元旦”艺术节马上要学生理解情景问题，独立思考
7日常生活中进行了，学校艺术节筹备组也并进行解答。
的应用，体在精心布置会场。
会数学的价1.课件出示：艺术节筹备组准备
预设1：这是两端都栽的情况，
值，激发学在舞台前摆绿色盆栽，每隔
2m棵数=间隔数+1：40÷2+1=21
习数学的兴放一盆，40m 长的舞台（两端 （盆）
趣，提高解都要放），一共要放多少盆绿
决问题的能色盆栽？
预设 2：学生进一步思考并回
力，培养应2.课件继续出示问题：为了更漂
答。
用意识。 亮美观，学校准备在两盆绿色
鲜花的盆数=间隔数：
盆栽之间放一盆鲜花，需要买
21-1=20（盆）
多少盆鲜花？
师：我们利用植树问题解决了
舞台前的布置问题，那接下来
还有问题需要我们一起帮着来
解决，让我们一起看看吧。
二、引导合作 二、探究问题
进一步体会活动一：探究“圆”上的植树活动一：探究“圆”上的植树
数学与生活问题。 问题。
的联系，培1.课件出示问题：学校设计了一1.学生观察情境图，思考这个问
养 学 生 观个圆形舞台，周长 80m，每隔题和上节课学习的植树问题的
察、分析、4m安装一盏彩灯，请问一共要联系。
比较、迁移安装多少盏灯？
类 推 的 能（1）问：这和我们之前学过的
（1）预设：安装灯相当于是植
树，所以这也是植树问题，只
力，提高解植树问题一样吗？
是这是在圆形上植树，而上节
决问题的能
课我们探究的是在线段上的植
力。
树问题。
（2）继续追问：根据上节课研
（2）学生回想上节课的研究方
究植树问题的方法和经验，你
法，思考研究“圆”上的植树
想如何研究“圆”上的植树问
问题的方法。
进一步体会题？
预设1：可以画图。
数形结合、
预设2：可以化繁为简，选周长
化繁为简的
2.师：我们一起动手探究一下。短一些的舞台先画画试试。
解决策略，
教师出示活动要求。 2.学生按要求进行探究活动，并
提高解决问
（1）选一选：我想选周长（ 思考交流。
题能力，初
）m的舞台进行研究。 汇报（可以找多名同学进行投
步培养推理
（2）画一画：用一个圆表示这影展示并汇报）
意识和模型
个舞台，每隔 4 米安装一盏预设1：周长12m，每隔4m一
意识。
灯。 盏灯，有3个间隔，能安3盏。
预设2：周长16m，每隔4m一
盏，有4个间隔，能安4盏。
（3）数一数：画好后，数一数预设3：周长20m，每隔4m一
有几个间隔，几盏灯。 盏，有5个间隔，能安5盏。
（4）想一想：在圆形植树问题……
中，棵数和间隔数有什么关预设4：发现：在圆形上植树，
系？ 棵数=间隔数。
8教师根据学生汇报课件展示
12m、16m、20m、24m 等的植
经历知识形
树情况。
活动二：大胆探究，验证猜想
成的过程，
活动二：大胆探究，验证猜想
理解封闭图
师：在圆形上植树问题中，我
形植树问题
们通过画图举例，也就是数形
的规律，进
结合，发现“棵数=间隔数”，
一步体会数 学生思考验证方法，并组内交
但这只是个猜想，还需要进一
形结合、化 流分享自己的想法。
步验证。
曲为直、一
请同学们打开学具袋，认真阅
一对应的解
读要求，思考验证方法。
决策略和方
要求：
法，培养科
你想怎样验证这个结论？小组
学严谨的思
内分享自己的想法。
维习惯，进
学具袋里有三种灯带，以周长
一步提高推
16m 为例，如果用灯带绕圆形
理意识和模
舞台一周，你选择哪种灯带？
型意识。 汇报：
预设1：根据刚才的汇报，观察
发现，在圆形上植树，不管周
长是多少，都是一棵树对应一
教师根据学生情况及时进行指
个间隔，有几个间隔，就有几
导。
棵树，所以得出“棵数=间隔
1.教师进一步通过课件演示，一
数”。
棵树对应一个间隔，强化棵数
预设 2：以周长 16m 为例，验
和间隔数一一对应。
证发现应该选择第二种灯带绕
舞台一周，因为第一种首尾相
2.教师根据学生汇报引导学生理接处有两盏灯，不符合要求；
解选择第二种灯带的合理性。 第三种首尾相接处没有灯，也
3.教师引导学生借助化曲为直的不符合要求。所以第二种刚好
方法将圆形植树问题转化为一符合要求。
端植树问题。 预设3：沿着第一棵树的旁边剪
开，把它拉直，正好和第一种
灯带的情况一样。这是实际转
教师小结：通过刚才的说理验
化成前面学习的一端植树问题
证、化曲为直等方法，得出圆
一样，所以“棵数=间隔数”。
形植树问题“棵数=间隔数”。
进一步掌握活动三：迁移类推，总结规律 活动三：迁移类推，总结规律
封闭图形植1.在圆形植树问题上，我们发现1.学生思考讨论其他形状的情况
树问题的规“棵数=间隔数”。如果是其他并汇报交流。
律，体会结形状的舞台呢？ 预设：可以把他们也从一端剪
9论从特殊到课件出示： 开，拉直，都可以转化成我们
一般，培养 学过的一端植树问题，都是
迁移类推的 “棵数=间隔数”。
能力，进一师问：这些图形都是什么样的
步提高思维图形？ 学生思考这些图形的特点并回
答。
的严谨性，
预设：这些图形都是首尾相
培养推理意
教师小结：像这样一条首尾相
接，没有开口的封闭图形。
识和模型意
接的封闭图形，都可以把它拉
识。
直，转化成一端植树问题，所
以“棵数=间隔数”。
会用规律解
2.学生独立思考并解决。
2.那你现在能解决“周长 80m
决实际生活
预设：80÷4=20（盏）
的舞台，每隔4m一盏灯，需要
中植树的问
安装多少盏灯”吗？
题，培养应
用意识。
三、辅导练习 三、解决问题
理解并掌握1.基础练习 1.基础练习
封闭图形植
张伯伯准备在圆形池塘周围栽引导学生应用封闭图形植树模
树问题的规 树。池塘的周长是120m，如果型：棵数=间隔数。
律，培养模 每隔 10m 栽一棵树，一共要栽120÷10=12（棵）。
型意识和应
多少棵？
用意识。
2.变式练习 2.变式练习
培养学生灵 一个长方形公园，在其周围栽引导学生理解：周长=间隔数×
活利用规律 树，每隔 10m 栽一棵，共栽树间隔长。
解决类似植200棵。公园的周长是多少米？ 间 隔 数 = 棵 数 ， 所 以
树问题，进 200×10=2000（米）。
一步培养推
理意识和应
用意识。
3.提升练习
学校运动会开幕式上，五年级3.提升练习
培养学生思
代表队站成了一个方阵，这个引导学生理解题意，可以借助
维 的 灵 活
方阵的最外层每边站了 9 人。画图理解，每边站 9 人，把每
性，提高推
最外层一共站了多少人？这个条边都看成一端植树问题，每
理意识和应
方阵共有多少人？ 条边上有9-1=8（人），8×4=32
用意识。
（人）。
进一步掌握四、引导反思 四、提升问题
封闭图形的本节课我们研究了封闭图形上学生交流分享本节课的收获。
植树问题的的植树问题，在知识和方法上知识：
规律，积累都有哪些收获？ 预设：我知道了封闭图形的植
解决问题的 树问题都是“棵数=间隔数”。
10方 法 和 策 方法：
略，提高解 预设1：本节课，我们还是利用
决问题的能 化繁为简、数形结合、一一对
力。 应的解决策略和方法。
预设2：可以把封闭图形转化成
一端植树问题。
预设3：在研究封闭图形的植树
问题时，先利用化繁为简、画
图尝试得到初步的猜想结论；
然后动手验证得出结论，最后
把结论推广到一般的封闭图形
上。
封闭图形的植树问题
棵数 间隔数 化繁为简
板书设计 3棵 12÷4=3 数形结合
4棵 16÷4=4 一一对应
5棵 20÷4=5 化曲为直——转化
棵数=间隔数
11
