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专题 8-2 立体几何中的角和距离问题（含探索性问题）
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专题8-2立体几何中的角和距离问题（含探索性问题）....................................................................1
.....................................................................................1
题型一：异面直线所成角（含定值，最值，范围）............................................................................1
题型二：线面角（定值，最值）..........................................................................................................12
题型三：线面角探索性问题..................................................................................................................32
题型四：二面角（定值，最值）..........................................................................................................47
题型五：二面角探索性问题..................................................................................................................68
题型六：点到平面距离问题..................................................................................................................80
................................................................95
题型一：异面直线所成角（含定值，最值，范围）
【典例分析】
例题1．（2022·山东泰安·二模）已知 ， 两点都在以 为直径的球 的球面上，
， ，若球 的体积为 ，则异面直线 与 所成角的余弦
值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】
如图，取 中点 ，连接 ，由 可得 是 的外心，则 平面 ，
又 ， ，
由 得 ，即 ，又 ， ，
分别是 中点，
， ，以 为 轴建立空间直角
坐标系，
则 ，与 平行的向量
，
，故异面直线PB与AC所成角的余弦值为 .
故选：A.
例题2．（2022·江苏省横林高级中学高二阶段练习）在正方体 中， 是
棱 的中点， 是底面 内（包括边界）的一个动点，若 平面 ，则异面
直线 与 所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ，取 中点 ，连接
，在正方体 中， 是棱 的中点，
， ， ，
， ，
平面 平面 ，
是底面 内（包括边界）的一个动点， 平面 ，
的轨迹是线段 ，
如图，以D为原点， 为 轴建立空间之间坐标系，设正方体棱长为2
则 ， ， ， ，
由于 在线段 上，设 ，且
所以
则 ，又所以
由于 ，所以
所以异面直线 与 所成角的取值范围 .
故选：C.
例题3．（2022·湖北·荆门市东宝中学高二期中）如图，在四棱锥 中，已知
平面 ，且四边形 为直角梯形， ， ，
.
（1）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
（2）点 是线段 上的动点，当直线 与 所成的角最小时，求线段 的长.
【答案】(1) (2)
【详解】试题分析：以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则各点的坐标为 ．（1） 因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量， ．
因为 ．
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，解得 ．
所以 是平面 的一个法向量，从而 ，
所以平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ．
（2） 因为 ，设 ，
又 ，则 ，
又 ，
从而 ，
设 ，则 ，
当且仅当 ，即 时， 的最大值为 ．
因为 在 上是减函数，此时直线 与 所成角取得最小值．
又因为 ，所以 ．
【提分秘籍】
设异面直线 和 所成角为 ，其方向向量分别为 ， ；则异面直线所成角向量求法：
①
②
③涉及到异面直线所成角所成范围或最值问题时，根据得到的解析式 ，
可通过配方为二次函数，或者基本不等式，或者求导，求出范围或者最值.
【变式演练】
1．（2022·江苏·高二阶段练习）在长方体 中，
为空间内一点， 为底面 内一点，且满足 ，异面直
线 与 所成角为 ，则当线段 的长度取最小值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，得 ，即 ，
所以点 在直线 上.又异面直线 与 所成的角为 ， 为底面 内一点，
所以点 在以点 为圆心，半径为 的圆上，因此要使 长度最小，则 、 、 共
线，且 .因为 ， ，所以 ，，此时 ，又因为 与 反向，所
以 .
故选：B.
2．（多选）（2022·河南·高二期中）在三棱锥 中，平面 平面BCD，
， ， 为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，
若异面直线DE与BF所成角的余弦值为 ，则AF的值可能为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】AC
【详解】由 为等边三角形，取BD的中点O，连接 ,则
又平面 平面BCD，且平面 平面
所以 平面BCD，由
过 作与 平行的直线为 轴，分别以 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ，则 ， ，
所以 ．设 ，则 ， ，
则 ，解得 或 ，
故 或 ．
故选：AC
3．（多选）（2022·浙江·余姚中学高二阶段练习）如图，在三棱锥 中，平面
平面 ， 与 均为等腰直角三角形，且 ，
， 是线段 上的动点（不包括端点），若线段 上存在点 ，使得异面直线
与 成 的角，则线段 的长度可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】解：以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立
空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设 ，因为 与 为异面直线，所以 ， ， ，则 ，
异面直线 与 成 的角，
，
， ，
，解得 ，
，
线段 长的取值范围是 ．
故选：AB．
4．（2022·云南·玉溪市民族中学模拟预测（文））如图，在直三棱柱 中，
D，E，F分别是 的中点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2) ．
【详解】（1）证明：因为三棱柱 是直三棱柱，
所以 面ABC，又 面ABC，则 ，
又因为 ，且 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）由（1）知： 平面 ，建立如图所示空间直角坐标系：
设AD=2，则 ，
所以 ，
设异面直线 与 所成的角为 ，
所以 .
5．（2022·天津·二模）如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，
AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1．(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵AE∥CF，AE⊄平面BFC，CF 平面BFC，
⊂
∴AE∥平面BCF，
∵AD∥BC，同理可得AD∥平面BFC，
又AD∩AE=A，∴平面BCF∥平面ADE，
∵BF 平面BFC，∴BF∥平面ADE；
⊂
（2）以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），E（0，0，2），F（2，2，1），则 =（-2，0，2）， =（2，-1，1），
∴直线BE与直线DF所成角的余弦值为
题型二：线面角（定值，最值）
【典例分析】
例题1．（2022·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥 的底面 为正方形，
二面角 为直二面角， ，点 为线段AD的中点.
(1)证明： ；
(2)若 ，点 是线段 上靠近点 的三等分点，求直线 与平面 所成角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）取AB的中点O，连接SO，DO，
因为 ，所以 ，
所以 .
又二面角 为直二面角，
所以 平面ABCD，且 平面ABCD, 所以 .
在正方形ABCD中，O，M分别为AB，AD的中点，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 .
因为 ， 平面SOD， 平面SOD，
所以 平面SOD，
又 平面SOD，所以 .
（2）取CD的中点 ，连接OG，由（1）可知OB，OS，OG两两垂直.
以 为坐标原点，OB，OS，OG所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴建立如图所示的空间直角
坐标系.
不妨设AB=2，则 ， ， ， ，
， ， ， ，
则 ， .
设平面SMN的法向量为 ，
由题意得 ，
令 ，得 .
设直线SA与平面SMN所成的角为 ，则 ，
故直线SA与平面SMN所成角的正弦值为 .
例题2．（2022·湖南·模拟预测）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重
檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，
因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，
其形状与四阿顶相类似．已知底面 为矩形， ， 底面
, ， ， 分别为 ， 的中点．
(1)证明： 且 平面 ．
(2)若二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为EF∥底面ABCD， 平面ABFE，平面 底面
，
所以 ．
因为 ，M，N分别为AD，BC的中点，
所以EM⊥AD，FN⊥BC， ，因为 ∥ ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
因为 ，
所以四边形EFNM为梯形，且EM与FN必相交于一点，
又 ，
所以 ，
因为 平面 ，
故BC⊥平面 ．
（2）解：过点E作 ，垂足为H，
由（1）知BC⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，
所以EH 平面 ，
由 ， ，得 为二面角 的平面角，则 ．
因为 ，所以 ．
作 ，垂足为K．
以H为原点，以 的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则 ，
， ， ，， ．
设平面ABF的法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ．
因为 ，
所以 ，
故CF与平面ABF所成角的正弦值为 ．
例题3．（2022·河北·模拟预测（理））如图1所示，在平行四边形 中，
， ，将 沿 折起，使得二面角 的大小为 ，如
图2所示，点 为棱 的中点，点 为棱 上一动点．
(1)证明： ；(2)若四棱锥 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， ，
点 为棱 的中点，在 中，
，
， ，
在平行四边形 中
有 ， ，
，
，
折起后也有
所以 ，
， ，
为二面角 的平面角，即 ，
平面 ， 平面
，
， ，
为正三角形，，
，
平面 ，
平面 ，
，
，
平面 ，
平面 ，
.
（2）设 ， ，
那么点 到面 的距离就是 的长，也就是 ，
，
，
解得 ，
， ，
以A为坐标原点，以 ， 为 ， 轴，以过A且平行于 的直线为 轴建立如图所示
的空间直角坐标系，则 ，0， ， ，2， ， ，4， ， ，1， ，
设点 ，
根据 与 方向相同得： ，
， ， ，
， ，1， ，
设平面 的一个法向量为 ，
，
令 ，
解得 ， ，
平面 的一个法向量为
， ， ，
．
当 时取到等号
直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
例题4．（2022·全国·模拟预测）已知四棱锥 的底面为菱形， ，， 平面 ． 与底面 所成角为 ，设平面 与平面 交线
为 ．
(1)证明： 平面 ；
(2) 为 上的动点，且点 与点 在平面 同侧，求直线 与平面 所成角的正
弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
（1）
因四棱锥 的底面为菱形，则 ，而 平面 ， 平面 ，
则有 平面 ，又平面 平面 ， 平面 ，于是得 ，
而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）
取BC中点E，连接DE，BD，菱形 中， ，则 为正三角形，有
，又 ，即有 ，
而 平面 ，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，因 与底面 所成角为 ，则 ， ，
有 ，设 ，
，设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，得 ，设直线 与平面 所成角为
，
因此 ，而 ，
则当 时， ， ，即 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围 .
【提分秘籍】
设直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则
① ；
② .③涉及到线面角范围或最值问题时，根据得到的解析式 ，可通过配方
为二次函数，或者基本不等式，或者求导，求出范围或者最值.
【变式演练】
1．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））如图所示，直三棱柱 中
， ，点M为线段 ， 的交点，点P，Q分别为线段 ，AB
的中点，延长 至点D，使得 ，连接CD，QD，CQ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点M在平面ABP内的投影恰好为 的重心， ，求直线MD与平面 所
成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【详解】（1）如图，连接MQ．
因为 ， ，故 ，
而 ，故四边形BDCP为平行四边形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，故 平面 ；
同理可证BDQM为平行四边形， ，即 ， 平面 ， 平面
，故 平面 ．
因为 ， 平面CDQ， 平面CDQ，
故平面 平面 ；（2）在直三棱柱 中，因为 ， ，由余弦定理可得
，解得 ，
故 为等腰直角三角形， ，
故以CA，CB， 所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设 ， 重心为G，
则 ， ， ， ， ，
， ，
因为 平面ABP，所以有 ，
故 ．
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
故直线MD与平面 所成角的正弦值 ．2．（2022·浙江温州·三模）如图是一个四棱柱被一个平面所截的几何体，底面 是正
方形，M是 的中点， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)
法一：证明：连 ，因为 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 ，
所以 ，
而 ，所以 平面 ，
又 面 ，所以平面 平面 ；法二：证明：取 中点O，连 ，
则 ，
所以E，G，M，O四点共面，
又 ，
所以 ，
而 ，所以 平面 ，
又 面 ，所以平面 平面 ；
(2)
法一（向量法一）：取 中点O，连 ，则 ，
所以E，G，M，O四点共面，又 平面 ，所以 ，又 ，所以 面 ，
以O为原点，过O垂直于 的向外的射线为x轴， 为y轴， 为z建立如图空间直
角坐标系，
则 ，
由 ，所以 ，
所以 ，
又 是平面 的法向量，
所以
.
法二（向量法二）：以A为原点，分别以射线 为x，y轴的正半轴，建立空间直角
坐标系 ，则 ，
设 ，
由 ，得 ，又 ，所以 ，
所以 ，
又 是平面 的法向量，
所以
法三（几何法）：取 中点N，连 ，
因为 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
于是，问题转化为求 与平面 所成角的正弦值，
又因为 平面 ，
所以 （或其补角）就是 与平面 所成角的余角，
取 中点O，连 ，则 ，所以E，G，M，O四点共面，
又 平面 ，所以 ，又 ，
所以 平面 ，
所以 ，又 ，所以 面 ，所以 ，
，所以 .
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
3．（2022·山东日照·三模）如图，在斜三棱柱 中，侧面 侧面
，M为 上的动点.
(1)当M为 的中点时，证明： ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见详解.
(2)
（1）连接
由 可知:四边形 均为含 的菱形,故
当M为 的中点时,则 ,又侧面 侧面 , 侧面 侧面
,故 平面 ,从而 ,
,所以 平面 , 平面 , 故
（2）
取 中点为 ,因为侧面 侧面 , ,
故可建立如图所示的空间直角坐标系. ,设
则
设平面 的法向量为
由 ,令
设 与平面 所成角为 ,所以
当 时,
当 时,,
所以
综上故
4．（2022·江苏江苏·三模）如图，在四棱锥 中， 底面 ，
，点 在棱 上， ,点 在棱 上，
.
(1)若 ， 为 的中点，求证： ， ， ， 四点共面；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2)
（1）
解：以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设 ，则 ，解得 ，
则 ，即 ， ， ， 四点共面.
（2）
解：由（1）中的空间直角坐标系，可得 ， ， ，
设 ，（其中 ），且 ，
则 ，解得 ，
可得
设平面 的法向量为 ，由 ，
取 ，可得 ，所以
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，当且仅当 时等号成立.
直线 与平面 所成角的正弦的最大值为 .
题型三：线面角探索性问题
【典例分析】
例题1．（2022·天津·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
底面 是直角梯形，其中 ， ， 为
棱 上的点，且
(1)求证： 平面 ；(2)求二面角 的余弦值；
(3)设 为棱 上的点（不与 、 重合），且直线 与平面 所成角的正弦值为
，求 的值.
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【详解】（1）以 为原点， 所在的直线为 轴的正方向建立空间直角坐
标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，且 ，所以DE⊥平面 .
（2）由（1）知，DE⊥平面 ， 是平面 的一个法向量，
且 ， ，，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，即 ，令 ，则 ，
所以 ，
，
由图二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .
（3）由（1）得 ， ， ， ，设 ，则 ，可得 ，
所以 ， 是平面 的一个法向量
所以
，解得 .
所以 .
例题2．（2022·天津河东·二模）如图所示，直角梯形 中， ， 垂直
， ，四边形 为矩形， ，平面 平面 ．(1)求证： ∥平面 ；
(2)求平面 与平面 所成二面角的正弦值；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存
在，求出线段 的长，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，且 ，理由见解析
(1)
取 为原点， 所在直线为 轴，过点 且平行于直线 的直线为 轴，
所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 ，
不妨设 ，则 ，
，
又 ，
，
，
又 平面 ，
平面 .
(2)
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 ，
不妨设 ，则 ， ，
，
则，
，
平面 与平面 所成二面角的正弦值为 .
(3)
存在，理由如下，
设 ，
则 ，所以 ，
又平面 的一个法向量为 ，
即直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
整理得 ，解得 或 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
综上 ，即在线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
此时线段 的长为 .
例题3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））如图所示，四棱锥 ，底面在以
为直径的圆 上， 圆 ， 为等边三角形， ， ．(1)求证：平面 平面 ；
(2)线段 上是否存在一点 使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，
求出 ；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在； .
(1)
证法一：设 ，由题知 为等边三角形， 为直径， ，得
，
∴ ， ， ，
得 ，在 中，得 ，
在 中 ， ，得 ．易知 ，
则 ，故 ．
易知 ，则 ，又 ，
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面 ．
证法二：设 ，连接 ，
由 平面 ， 平面 ，，由题知 ，又 ，
平面 ， 平面 ，
，
， ， 为等边三角形，
， ， ， 得 ， ，
，则 ，
又 ，
故 平面 ，
又 平面 ，
平面 平面 ．
(2)
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴，过点 且与直线 平行的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
，
设 ， ，
则
令平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，
令直线 与平面 的所成角为 ，
，
解得 ，
即 上存在点 ，使得 .
【提分秘籍】
探索性问题，动点的位置一般可以假设 ，再结合向量加，减法，求解；另外如果动
点在坐标轴上，可以直接假设动点坐标;
【变式演练】
1．（2022·天津·一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
，AP⊥平面ABCD， ，点M、N分别为线段
BC和PD的中点．
(1)求证：AN⊥平面PDM；
(2)求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；
(3)在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为
，若存在，求出线身PE的长：若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
(3)存在，PE= ．
【详解】（1）方法一：∵ ，且 ，
∴BM∥AD，且BM=AD，
∴四边形ADMB是平行四边形，
∴ ，
∵ ，则AD⊥DM，
∵AP⊥平面ABCD， 平面ABCD，
∴AP⊥DM，又 ，
∴DM⊥平面PAD，又 平面PAD，
∴DM⊥AN，
∵ ，N是PD的中点，
∴PD⊥AN，又 ， 、 平面PDM，
∴AN⊥平面PDM；
方法二：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间
直角坐标系．则 ， ， ， ， ， ， ．
则 ， ， ．
设平面PDM的法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，则 ， ，则 ，
∴ ，则 ，
∴AN⊥平面PDM；
（2） ， ，设平面PDC的法向量为 ，
则 ，则 ，取 ，则 ， ，则 ，
由(1)知平面PDM的一个法向量为 ，
设平面PDM与平面PDC的夹角为 ，
则 ，
∴ ，
∴平面PDM与平面PDC夹角的正弦值为 ；
（3）假设存在点E，设 ，
， ， ，
则 ，
设直线BE与平面PDC所成角为 ，由(2)知平面PDC的一个法向量为 ，
则 ，
化简得 ，即 ，
∵ ，∴ ，故 ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∴线段PE的长为 ．
2．（2022·黑龙江·佳木斯一中模拟预测（理））如图，四棱锥 的底面为菱形，
， ， 底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线
段PC上的一点．
(1)若 ，证明直线AG在平面AEF内；
(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为 ，试确定 的值．
【答案】(1)证明见解析(2) 或
（1）证明：取BC的中点M，连接 ，则AM⊥AD，分别以AM，AD，AP所在直线为
x，y，z轴建立空间直角坐标系 , 如图所示．
则 ， ， ， ， ， ，
设 ，因为 ， ， ．
所以 ，即 ，
， ，
设平面AEF的法向量 ，则 ，所以
取 ，
所以 ，即 ．
又因为 平面AEF，所以直线AG在平面AEF内．
（2）
（2）设 ，则
则 ，
解得 或 ，即 或 ．
3．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））如图，在三棱柱 中，
平面 分别是 的中点.
(1)求证： //平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ？若存
在，则求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
（1）连接 ，且 交 于点 ，再连接 ，如图所示.
因为三棱柱 ，所以 .
又 分别是 的中点，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，所以点 是 的中点.
在 中，点 是 的中点， 是 的中点，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 .
（2）
不妨设 ，则 .
在 中，由余弦定理得 ，即 .
所以 ，所以 .
因为 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ，所以 .以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系.
则 ，所以 .
设平面 的一个法向量为 ，
由 得
令 ，解得 ，
所以平面 的一个法向量 .
设 ，且 ，
所以 ，得 ，
所以点 的坐标为 ，
所以 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则
解得 ，所以 .
题型四：二面角（定值，最值）
【典例分析】
例题1．（2022·四川·石室中学模拟预测（理））如图，在四棱锥 中，
， ， ， 是棱 的中点，且 平面(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）取 中点 ，连接 ， ， ， ， 面 ， 面
，
故 面 ， 面 ， ，面 面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，故 .
， ， ， ，故 ，
， 是 中点，故 ， ， 平面 ，
故 面 ， ，故 面 .
（2）如图所示以 为 轴建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ，，设平面 法向量为 ， ，
取 ， ，
设平面 法向量为 ， ，
取 ， ，
，
设二面角 的平面角为 ， .
例题2．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））在四棱锥 中， ，
， ， ， 平面 ， 与平面 所成角 ，
又 于 ， 于 .
(1)证明： 平面 ；(2)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）过 作 ，则四边形 为矩形，
以 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，因为 与平面 所成角 ，
所以 ，所以 ，所以 ,
， ，
设 ，
所以 ，即 ,
因为 ，所以 ,解得 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 .（2）由（1）可知 平面 ，
则 为平面 的一个法向量.
,所以 ,即 ，
又因为 平面 ， 平面 ,所以 ，
又因为 平面 ，
所以 平面 ，
则 为平面 的一个法向量.
则
所以二面角 的余弦值为 .
例题3．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知直三棱柱 中，侧面
为正方形. ， ， 分别为 和 上的点，且 ，
， 为棱 上的点， .
(1)证明： ，且 ；
(2)当 为何值时，平面 与平面 所成的二面角的正弦值最小？
【答案】(1)证明见解析(2)
（1）
因为 ， ，所以 ，
又 ，且 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
因为 ，所以在 中，
，
又 ，所以 ，
由 ，且 ，得 ，
取点B为坐标原点，以BA，BC， 所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系 （如图所示）.
则 ， ， ， ，
设 ，则 ，于是 ，
所以 ，即 .
（2）因为平面 的一个法向量为 ，又由（1）知 ，
，
设平面DEF的法向量为 ，则 ，所以有
取 ，得 ， ，于是平面DEF的法向量为 ，
所以 ，
设平面 与平面DEF所成的二面角为 ，则
，
故当 时，平面 与平面DEF所成的二面角的正弦值取得最小值为 .
所以当 时，平面 与平面DEF所成的二面角的正弦值最小.
例题4．（2022·安徽省舒城中学一模（理））如图所示，三棱锥 中， 平面
， ，平面 经过棱 的中点 ，与棱 ， 分别交于点 ， ，且
平面 ， 平面 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，点 是直线 上的动点，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)
证明： 平面 ， 平面 ，且平面 平面 ，
，又 为 的中点， 为 的中点，
又 平面 ，同理可得 ，且 为 的中点，
平面 ， 平面 ， ，则 ，
， ， ，而 ， 、 平面 ，
平面 ；
(2)
解：如图，以点B为坐标原点，分别以BA，BC所在直线为x，y轴，过点B且与AP平行
的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，设 ，则 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，
所以 为平面 的一个法向量.
设平面 的法向量为 ，则 ，则 ，令 ，则
，
所以 为平面PBC的一个法向量.
设平面MAC与平面PBC所成的锐二面角为θ，
则 .
当 时， ;
当 时， ，
当且仅当 ，即 时， 取得最小值 ， 取得最大值，最大值为
.
所以平面MAC与平面PBC所成锐二面角的余弦值的最大值为 .
【提分秘籍】
（1）如图①， ， 是二面角 的两个面内与棱 垂直的直线，则二面角的大
小 ．（2）如图②③， ， 分别是二面角 的两个半平面 的法向量，则二面角
的大小 满足：
① ；
②
若二面角为锐二面角（取正），则 ；
若二面角为顿二面角（取负），则 ；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定
为锐二面角还是钝二面角.）
③涉及到二面角范围或最值问题时，根据得到的解析式 ，可通过配
方为二次函数，或者基本不等式，或者求导，求出范围或者最值.
【变式演练】
1．（2022·山东青岛·一模）如图①，在梯形 中， ， ，
， 为 的中点，以 为折痕把 折起，连接 ， ，得到如图②的几
何体，在图②的几何体中解答下列两个问题．
(1)证明： ；(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角 的余弦值．
①四棱锥 的体积为2；
②直线 与 所成角的余弦值为 ．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
证明：在图①中
因为 ， ， 为 中点所以 ， ，
所以 为平行四边形，所以 ，同理可证 ，
在图②中，取 中点 ，连接 ， ， ，
因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）
若选择①：因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 且交线为 ，所以过点 作 ，
则 平面 ，因为 ，所以四棱锥 的体积 ，
所以 ，所以 与 重合，所以 平面 ，
建系如图，则 ， ， ， ，
平面 法向量为 ，设平面 法向量为 ，
因为 ， ，
所以 ，得 ，
设二面角 的大小为 ，则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
若选择②：因为 ，所以 即为异面直线 与 所成角，
在 中， ，
所以 所，以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 且交线为 ，所以 平面 ，
建系如图，则 ， ， ， ，
平面 法向量为 ，
设平面 法向量为 ，
因为 ， ，所以 ，得 ，
设二面角 的大小为 ，则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
2．（2022·全国·模拟预测）如图①，平面图形ABCDE中， ，四边形BCDE是等
腰梯形， ， .沿BE将 ABE折起，使平面 平面
BCDE，得到四棱锥 ，连接CE，如图②.△
(1)设平面ABC与平面ADE的交线为l，求证： ；
(2)当四棱锥 的体积为 时，求侧面ACD与侧面ABE所成的二面角的平面角.
【答案】(1)证明见解析
(2)60°(1)
因为平面 平面BCDE，平面 平面 ，
， 平面ABE，所以 平面BCDE，
因为 平面BCDE，所以 .
在等腰梯形BCDE中，由 ， ，
可得 ，
在△BCE中，由余弦定理得 ，
所以 ，则 .
因为 ，所以 平面ABC.
因为l是平面ABC与平面ADE的交线，所以 平面ABC，所以 ；
(2)
如图，过点C作 于点G，易得 ，
则梯形BCDE的面积 ，
所以 ，解得 ，
如图，以B为坐标原点，分别以BE，BA所在直线为y轴，z轴，在平面BCDE内以垂直于
BE的直线为x轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面ACD的法向量为 ，则 即
令 ，得 ，则 ，所以 ，
又平面ABE的法向量为 ，
所以 ，由图可知所求二面角为锐角，
所以侧面ACD与侧面ABE所成的二面角的平面角大小为60°；
综上，所求的二面角的平面角为60°.
3．（2022·山东潍坊·模拟预测）如图，正三棱柱ABC−ABC 的所有棱长均为2，D为棱
1 1 1
BB（不包括端点）上一动点，E是AB的中点．
1(1)若AD⊥AC，求BD的长；
1
(2)当D在棱BB（不包括端点）上运动时，求平面ADC 与平面ABC的夹角的余弦值的取
1 1
值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)
由 ，知 ，
又平面ABC⊥平面 ，所以CE⊥平面 ．
而AD 平面 ，∴ ，又 ，所以AD⊥平面 ，
所以 ．又四边形 为正方形，故此时D为 的中点，故 ．
(2)以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，建立空间直
角坐标系，如图所示．
设 ，则A（－1，0，0），D（1，0，t）， （0， ，2），
， ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ．
平面ABC的法向量 ，
设平面 与平面ABC的夹角为 ，
∴
由于 ，故 ．
即平面 与平面ABC夹角的余弦值的取值范围为 ．
4．（2022·全国·长郡中学模拟预测）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）[方法一]：几何法
因为 ，所以 ．
又因为 ， ，所以 平面 ．又因为 ，构造正
方体 ，如图所示，
过E作 的平行线分别与 交于其中点 ，连接 ，
因为E，F分别为 和 的中点，所以 是BC的中点，
易证 ，则 ．
又因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 平面 ．
又因为 平面 ，所以 ．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱 是直三棱柱， 底面 ，
， ， ，又 ， 平面 ．所以
两两垂直．
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图．， ．
由题设 （ ）．
因为 ，
所以 ，所以 ．
[方法三]：因为 ， ，所以 ，故 ， ，所
以
，所以
．
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，即 ．
令 ，则
因为平面 的法向量为 ，设平面 与平面 的二面角的平面角为 ，
则 ．
当 时， 取最小值为 ，
此时 取最大值为 ．
所以 ，此时 ．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长 交 的延长线于点S，联结 交 于点T，则平面 平面
．
作 ，垂足为H，因为 平面 ，联结 ，则 为平面 与
平面 所成二面角的平面角．
设 ，过 作 交 于点G．
由 得 ．又 ，即 ，所以 ．
又 ，即 ，所以 ．
所以 ．
则 ，
所以，当 时， ．
[方法三]：投影法
如图，联结 ，
在平面 的投影为 ，记面 与面 所成的二面角的平面角为 ，
则 ．
设 ，在 中， ．
在 中， ，过D作 的平行线交 于点Q．在 中， ．
在 中，由余弦定理得 ，
， ，
， ，
当 ，即 ，面 与面 所成的二面角的正弦值最小，最小值为 ．
题型五：二面角探索性问题
【典例分析】
例题1．（2022·浙江绍兴·一模）在四棱锥 中， ，
， ， .
(1)求证： ；
(2)若平面 平面 ，二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所
成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析.
(2) .
【详解】（1）证明：如图所示，取 的中点 ，连接 ， .依题意可知， ， ， ，
故 ， 为正三角形，
,又 ， ， 平面 ， 平面
平面 ，又 平面 ，
， .
（2）依题意平面 平面 ，由（1）可知 ，平面 平面
, 平面 ,
则 平面 ，故以 ， ， 为 ， ， 轴的正方向建立如图所示的空间直
角坐标系.
设 ，则 ， ， ， ,
， ， ， ,
设平面 的一个法向量 ，由 ,可得 ，
令 ，则 ， ， ,
设平面 的一个法向量 ，由 ,可得 ，
令 ，则 ， ，则 ,可得平面 的法向量 .
依题意可得 ，解得 ，即 .
即平面 的法向量 ， ,
设直线 与平面 所成角为 ，
则 的正弦值 .
例题2．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边长为4的菱形 中，
，点 ， 分别是边 ， 的中点， ， ．
沿 将 翻折到 的位置，连接 ， ， ，得到如图2所示的五棱
锥 ．
(1)在翻折过程中是否总有平面 平面 ？证明你的结论；
(2)当四棱锥 体积最大时，求直线 和平面 所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的平面角的
余弦值为 ？若存在，试确定点 的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)总有平面 平面PAG；证明见解析
(2)(3)存在；Q为线段PA的中点．
【详解】（1）在翻折过程中总有平面 平面PAG，
证明如下：∵点M，N分别是边BC，CD的中点，∴ ，
又因为菱形ABCD中∠DAB＝60°，∴ 是等边三角形，
∵G是MN的中点，∴ ，
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴ ，∴ ，
∵ ， 平面PAG， 平面PAG，
∴ 平面PAG，∴ 平面PAG，∵ 平面PBD，∴平面 平面PAG．
（2）由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，且DB＝4，MN＝2， ，
所以等腰梯形MNDB的面积 ，
要使得四棱锥P-MNDB体积最大，只要点P到平面MNDB的距离最大即可，
∴当 平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为 ，
此时四棱锥P-MNDB体积的最大值为 ，
连接BG，则直线PB和平面MNDB所成角的为∠PBG，
在 中， ， ，由勾股定理得： ．
∴ ．
（3）假设符合题意的点Q存在．
以G为坐标原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直
角坐标系，
则 ， ， ， ，
因为 平面PMN，故平面PMN的一个法向量为 ，设 ，∵ ， ，
故 ，∴ ， ，
平面QMN的一个法向量为 ，则 ， ，
即 ，令 ，所以 ，
即 ，
则平面QMN的一个法向量 ，设二面角 的平面角为 ，
所以 ，解得： ，
故符合题意的点Q存在，且Q为线段PA的中点．
例题3．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）如图，在三棱柱 中，底
面 是边长为2的正三角形，侧面 是菱形，平面 平面 ， ，
分别是棱 ， 的中点， 是棱 上一点，且 ．(1)证明： 平面 ；
(2)若三棱锥 的体积为1，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
（1）
证明：取 中点 ，连接 为 的中点， 为 的中点，
四边形 为平行四边形，
平面 平面 ，
平面 .
（2）
解： 平面 平面 过 作 平面 ，
，
为 中点， ，如图分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，
由 ，
设平面 和平面 的一个法向量分别为 ,
∴ ,∴
，设二面角 的平面角为 ,
.
【提分秘籍】
探索性问题，动点的位置一般可以假设 ，再结合向量加，减法，求解；另外如果动
点在坐标轴上，可以直接假设动点坐标;
【变式演练】
1．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在四面体 中， 是正三角形， 是
直角三角形， ．(1)求证： ；
(2)已知点E在棱 上，且 ，设 ，若二面角 的余弦值为 ，
求 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
（1）
证明：因为 是正三角形，所以
因为 ， 公共边，所以 ，所以 ，
因为 是直角三角形，所以 ，
取 的中点O，连接 ， ，则 ， ，
因为 是正三角形，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ．
（2）
解：在直角 中， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
以O为坐标原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ．
可得平面 的法向量为
设 ，由 ，可得 ，
可得
设面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
则 ，
又因为 ，解得 ．
2．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图所示，已知长方形 中， 为
的中点将 沿 折起，使得 .(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点 在线段 上，且平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，试确定点
的具体位置.
【答案】(1)证明见解析
(2) 为 的中点
（1）
在矩形 中， 为 中点，
又 平面 ，
又 平面 平面 平面 .
（2）
因为 ，过点 作直线 垂直于平面 ，以点 为原点，建立空间直角坐标系，
如图所示：
，
设 ，
设 ， ，
，设平面 的一个法向量 ，
而平面 的一个法向量
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
，故 为 的中点.
3．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））如图， 是边长为6的正三角形，
点E，F，N分别在边AB，AC，BC上，且 ， 为BC边的中点，AM交
EF于点 ，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)试探究在线段DM上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2) 时二面角 的大小为
（1）在 中，易得 ， ， ，
由 ，得 ，
又 ， ， ，
又 为 中点， ， ，
因为 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）
由(1) 平面 ，以 为原点，以 为 的正方向建立空间直角坐标
系 ， ， ，
， ，
由(1)得平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ， ，
所以 ，所以 .
由题得,所以 ，
所以 ，所以 ，
因为二面角P—EN—B的大小为60°，
所以 ，解之得 （舍去）或 .
此时 ，所以 .题型六：点到平面距离问题
【典例分析】
例题1．（2022·浙江台州·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ，
与 均为等腰直角三角形， ， ，且平面 平面 .
(1)求证： ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
与 均为等腰直角三角形， ，， ， ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， .
（2） 平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
平面 ，又 ，
则以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
， ， ， ，
又 ， ，
则 ， ， ， ，
设 ，则 ， ， ，则 ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
点 到平面 的距离 .例题2．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平
面 ， ， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，
， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【详解】（1）因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EF AB，DC AB，所以EF DC．
又因为EF 平面PCD，DC⊂平面PCD，
所以EF 平面PCD．
又因为EF⊂平面EFQ，平面EFQ 平面PCD＝GH，
所以EF GH，又因为EF AB，所以AB GH.
（2）因为 ，PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直．
以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由 ，则 ，
所以 ， .
设平面PAB的一个法向量为 ，则可取
设平面PDC的一个法向量为 ＝(x，y，z)，
由 ， ，
得 ，取z＝1，得 ＝(0，2，1)．
所以cos〈 〉＝ ，
所以平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为 ．
（3）由点到平面的距离公式可得 ，
即点A到平面PCD的距离为 .
例题3．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）在如图所示的几何体中，四边
形 是正方形，四边形 是梯形， ， ，平面 平面，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的大小；
(3)已知点 在棱 上，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求点 到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）
证明： 四边形 是正方形， ， 平面 ， 平面 ．所以
平面 ．
四边形 是梯形， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面
，
平面 ， 平面 ， ， 平面 平面 ，
平面 ， 平面 ．
（2）
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，2， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ，，2， ， ，2， ， ，0， ，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ，得 ， ，得 ，1， ，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ， ， ，得 ，1， ，
设二面角 的大小为 ，由图形得 为钝角，
则 ，
因为 为钝角， ，
二面角 的大小为 ．
（3）
点 在棱 上，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，设 则 ， ， ， ，
，
解得 ，∴线段 的长为 ．
设平面 的法向量 ，因为 ， ，
则 ，取 ，得 ，
又 ，所以 ．
【提分秘籍】
点 到平面 的距离
如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点.过点 作平
面 的垂线 ，交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是
在直线 上的投影向量 的长度.【变式演练】
1．（2022·北京东城·三模）如图，在正三棱柱 中， ， ， 分
别为 ， 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小；
(3)线段 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 到平面 的距离；若
不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，距离为
(1)
证明：取 中点 ，连接 .
因为正三棱柱 ，所以 ，且 .
因为E为线段 的中点，
所以 且 .
所以 且 .
因为D为 中点，所以 .
所以 且 .
所以四边形 是平行四边形.
所以 .
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
(2)
解：分别取 中点O， ，连接 .因为 是正三棱柱，
所以 平面 ， .
所以 平面 .
所以 .
以O为原点， 所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
则 .
所以 .
设平面 的法向量为 ，
所以 ，即
令 ，解得 ，所以 .
设直线 与平面 所成角为 ， ，则 ，
所以 .
即直线 与平面 所成角为 .
(3)
解：假设存在点G，设 .
所以 .
所以 .
由 知，
若 ，则 .
解得 .即G与C为同一个点.
因为 ，平面 的法向量为 ，
所以点G到平面 的距离 .
2．（2022·北京·人大附中模拟预测）如图，三棱柱 中，面 面
， ．过 的平面交线段 于点 （不
与端点重合），交线段 于点 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；(2)若 到平面 的距离为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
（1）
在三棱柱 中， ， 平面 ， 平面 ，则
平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，于是得 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
则 ，
所以四边形 为平行四边形.
（2）
在平面 内过点A作 ，因平面 平面 ，平面 平面
，
于是得 平面 ，又 ，以点A为原点，建立如图所以的空间直角坐标系，
因 ， ，则 ，
，
，设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得
，
点B到平面 的距离 ，解得
，
因此， ，而 ，设直线 与平面 所成角为 ，
于是得 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
3．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））图1是直角梯形 ， ， ，
， ， ， ，以 为折痕将 折起，使点 到达 的位
置，且 ，如图2．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点P为线段 上靠近点 的三等分点，求点 到平面 的距离？
【答案】(1)证明见解析
(2)（1）
在图1中取 中点F，连接 ， ，
∵ ， ， ，∴ ， ，
∵ ， ， ，∴四边形 为矩形，∴ ，
∴ ，又 ，∴ 为等边三角形；
又 ，∴ 为等边三角形；
在图2中，取 中点G，连接 ， ，
∵ ， 为等边三角形，∴ ， ，
∴ ，又 ，∴ ，∴ ，
又 ， ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
（2）
以G为坐标原点， ， ， 正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ，∴ ，
∴ 到平面 的距离为 ．
1．（2022·青海·湟川中学一模（理））在各棱长均相等的直三棱柱 中，点M
在 上 ，点N在AC上且 ，则异面直线 与NB所成角的正切值
为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设棱长为3，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
∴ ， ．设异面直线 与BN所成角为 ，
则 ，∴ ，∴异面直线 与BN所成角的
正切值为 .
故选：B．
2．（2022·河南开封·一模（文））如图，在正方体 中，点M，N分别是
， 的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）① ∥平面 ； ②平面 平面 ；
③直线 与 所成的角为 ； ④直线 与平面 所成的角为 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为 ，
，
由正方体的性质可知： 平面 ，则平面 的法向量为 ，
，因为 ，所以 ，而 平面 ，
因此 ∥平面 ，故①对；
设平面 的法向量为 ， ， ，
所以有 ，
同理可求出平面 的法向量 ，因为 ，所以 ，因此平面 平面 ，故②正确；
因为 ， ，
所以 ，
因为异面直线所成的角范围为 ，所以直线 与 所成的角为 ，故③正确；
设直线 与平面 所成的角为 ，
因为 ，平面 的法向量为 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成的角不是 ，因此④错误，
一共有 个结论正确，
故选：C
3．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在正三棱锥 中，底面 是边长
为 正三角形， 是 的中点，若直线 和平面 所成的角为 ，则三棱锥外接球
的表面积为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】连接 ，AE，过A点作 平面 于 ，则 落在 上，且为 的
重心，所以 为直线 和底面 所成的角，即 .因为 的边长为 ，所以 ， .
设三棱锥 外接球的球心为 ，外接球半径为 ，则 在 上，连接 .
在 中， ， ， ，由勾股定理得，
，即 ，
解得 . 所以三棱锥外接球的表面积为 .
故选：C
4．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））如图，在正方体 中，E，F分
别为棱 ， 的中点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：以D为原点，以 ， ， 的方向分别作为x，y，z轴的正方向，建立
空间直角坐标系 ，设正方体的棱长为2，则 ， ， ，
，所以 ， ，所以所求角的余弦值为．
故选：A
5．（2022·河南郑州·二模（理））如图，在长方体ABCD－ABC D 中，AD＝AA＝1，AB
1 1 1 1 1
＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD 的距离为（ ）
1
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，
以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而 .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，得 ，
令 ，则 ，所以点E到平面 的距离为 ．
故选：C
6．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）在直三棱柱 中，底面是等腰
直角三角形， ，侧棱 ，D，E分别是 与 的中点，点E在平面
ABD上的射影是 的重心G，则点 到平面ABD的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，0， ， ， ， ， ， ，0， ，
可得 ， ， ， ，
因为点 在平面 上的射影是 的重心，
所以 平面 ，所以 ，
即 ，解得 ，
即 ，
则点 到平面 的距离为 ， 是 的中点，
所以 ．
故选：A.7．（2022·四川泸州·一模（文））在棱长为1的正方体 中，点M在对角
线 上（点M与A， 不重合），则下列结论中错误的是（ ）
A．线段 与 的长度始终相等
B．存在点M，使得 ∥平面
C．存在点M，使得直线 与平面 所成角为
D．若N是 上一动点，则 的最小值为
【答案】D
【详解】对A：连接 ，如下所示：因为 ，故△ △ ，故 ，
又 ，故△ △ ，故 始终成立，故A正确；
对B：以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则 ，
，设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，取 ，则 ，故 ；
设点 的坐标为 ， ，即 ，
解得 ，故 ， ，
若存在点M，使得 ∥平面 ，则 ，即 ，
解得 ，故存在点 为 上靠近 点的三等分点，使得 ∥平面 ，B正确；对C：根据选项B中建立的空间直角坐标系，易知平面 的一个法向量 ，
又 ，
若直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
解得 （舍）或 ，即存在点 为 上靠近 点的三等分点满足题意，故C正确；
对D：由A可知， ，故 的最小值即为 的最小值；
在平面 中，作 关于 的对称直线 ， 点关于直线 的对称点为 ，如下所
示：
故 ，则当且仅当 ，交 于点 时， 取得最小值
；
在△ 中， ，故
，
则 ，在△ 中， ，故 ，
即 的最小值为 ，D错误.
故选：D.8．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在矩形 中， ，E，F，G，H分别
为边 的中点，将 分别沿直线 翻折形成四棱锥
，下列说法正确的是（ ）
A．异面直线 所成角的取值范围是 B．异面直线 所成角的取值范围
是
C．异面直线 所成角的取值范围是 D．异面直线 所成角的取值范
围是
【答案】C
【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系，由题意得，
和 在平面 中的投影分别在 和 上（如下图所示），因为 ，令 ，则 ，
由比值可知， 的x，y，z坐标比值为 ，所以令 坐标为 ，
因为 在平面 中的投影在 上，所以 ，
同理可得 坐标为 ，
，
则 ，
解得 ，因为 和 的范围均为 ，
所以 ，即夹角范围是 ，故A，B错误；
同理可得 ，因为异面直线所成角范
围是 ，则夹角范围是 ．即C正确，D错误；
故选：C．
二、多选题
9．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在直三棱柱 中， ，， 为 的中点，点 是线段 上的点，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．存在点 ，使得直线 与 所成的角是
C．当点 是线段 的中点时，三棱锥 外接球的表面积是
D．当点 是线段 的中点时，直线 与平面 所成角的正切值为 ．
【答案】AD
【详解】易知AB、BC、 两两垂直，如图建立空间直角坐标系
则
所以 ， ， ，
记
因为 ，所以 ，A正确；
因为
记直线 与 所成的角为 ，则 ，因为 ，所以 ，故B错误；
当点 是线段 的中点时，点P坐标为
易知 的外心坐标为 ，故设三棱锥 外接球的球心为 ，
则 ，即 ，解得 ，
所以三棱锥 外接球的半径 ，表面积 ，C错误；
当点 是线段 的中点时， ，
易知 为平面 的一个法向量，记直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，D正确.
故选：AD
10．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，
平面 ，O，P分别是 的中点，M是棱SD上的动点，则下列选
项正确的是（ ）A．
B．存在点M，使 平面SBC
C．存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°
D．点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
【答案】ABD
【详解】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系
（如图），
设 ，
则 ，
由M是棱SD上的动点，设 ，
，
，
，故A正确；
当 为 的中点时， 是 的中位线，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故B正确；，
若存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°，
则 ，
化简得 ，方程无解，故C错误；
点M到平面ABCD的距离 ，
点M与平面SAB的距离 ，
所以点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为 ，是定值，故D正确；
故选：ABD
11．（2022·山东烟台·一模）如图，正三棱柱 中，底面ABC是边长为2的等
边三角形， ，D为BC中点，则（ ）A．直线 平面
B．点 到平面 的距离为
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．设P，Q分别在线段 ， 上，且 ，则PQ的最小值为
【答案】ABD
【详解】解：在正三棱柱 中， 为 的中点，所以 ，
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
， ，所以 ， ， ，设平面
的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以
，因为 ，即 ，又 平面 ，所
以 平面 ，故A正确；
因为 ，所以 ，则点 到平面 的
距离为 ，故B正确；
因为 ， ，设直线 与 所成角为 ，则
，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故C错误；
设 ，则 、 ，因为 ， ，
所以 ， ，则 ， ，所以
，所以当 时 有最小值，所以 ，所以 ，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
12．（2022·江苏·华罗庚中学三模）如图，在平行六面体 中，AB＝AD＝
2， ， ，点E是AB中点，则异面直线 与DE所成
角余弦值是______．
【答案】 ##
【详解】由题意，AB＝AD＝2， ，
且 , ,，
又 ,
,
,
设异面直线 与DE所成角为 ，则 .
故答案为：
四、解答题
13．（2022·青海·湟川中学一模（理））在三棱柱 中， 平面 ，
，点E为AB的中点且 ．(1)证明： 平面MEC；
(2)P为线段AM上一点，若二面角 的大小为 ，求AP的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设CM与BN交于点F，连接EF，由已知可得四边形BCNM是平行四边形，
F是BN的中点，E是AB的中点，故 ，
又 平面MEC， 平面MEC，故 平面MEC．
（2）设 ， 平面ABCD，故 平面ABCD，
如图，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，设 （ ），
， ．设平面PEC的一个法向量为 ，则 ， ，
令 ，则 ，
平面ADE的一个法向量为 ， ，
解得 （负值舍去），故AP的长为 ．
14．（2022·四川南充·一模（文））在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形，
， ， ， ， 是等边三角形．现将
沿AD折起，连接EB，EC得四棱锥 （如图2）且 ．
(1)求证：平面 平面ABCD；
(2)在棱EB上有点F，满足 ，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【详解】（1）依题意，ABCD是梯形， ， ， ，
， 是等边三角形．
设 是 的中点，则 三点共线，且折叠后， ， ，即 ，
由于 平面 ，所以 平面 ，
由于 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）可知 两两相互垂直，以 为原点建立空间直角坐标系如图所示，
平面 的法向量为 ，
，
， ,
，设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ，
设二面角 为 ，由图可知 为锐角，
所以 .
15．（2022·上海虹口·一模）如图，在三棱柱 中，底面ABC是以AC为斜边的
等腰直角三角形，侧面 为菱形，点 在底面上的投影为AC的中点 ，且 ．(1)求证： ；
(2)求点 到侧面 的距离；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得直线DE与侧面 所成角的正弦值为 ？若存
在，请求出 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在满足条件的点 ，1
【详解】（1）证明：由点 在底面ABC上的投影为AC的中点 ，知 平面ABC，
又 平面ABC，故 ，
因 是以AC为斜边的等腰直角三角形，故 ，
而 ， 平面 ， ，故 平面 ，
由 平面 ，得 ．
（2）由点 ， 为AC的中点，侧面 为菱形，知 ，
由 是以AC为斜边的等腰直角三角形， ，可得 ，
，
由（1）知直线 ， ， 两两垂直，故以点 为坐标原点，
直线 ， ， 分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
又 ，故点 到平面 的距离为：
（3）假设存在满足条件的点E，并 ，
则 ，
于是，由直线DE与侧面 所成角的正弦值为 ，
可得 ，
即 ，解得 ．
又 ，故 ．
因此存在满足条件的点 ，且 ．16．（2022·北京市第五中学三模）如图，在三棱柱 中，平面 平面
， 是矩形，已知 ，动点 在棱
上，点 在棱 上，且 .
(1)求证： ;
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值;
(3)在满足（2）的条件下，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3)点 到平面 的距离为 .
（1）
因为四边形 是矩形，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
（2）
因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 ， ，
所以 平面 ，又 ，
所以 两两相互垂直，以 为原点， ， ， 为 ， ， 轴的正方向建
立空间直角坐标系，则 ， ， ， ,
设 ，则 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ， ，
则 ， ，
取 ，可得 ，
设直线 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以 ，
化简可得 ，又 ，
所以 ，所以 ；（3）
由(2) 平面 的法向量为 ， ，又 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 .
所以点 到平面 的距离为 .
17．（2022·云南云南·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面ABCD是直角梯形，
， ， .
(1)求证： 平面ABCD；
(2)设 ，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为 时，求 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)【详解】（1）取CD的中点E，连接BE，
四边形ABCD为直角梯形， ，且E为CD的中点，
且 ，所以，四边形ABED为矩形，
，
，
，
，
， 平面 ， 平面 ， 平面PAD，
平面PAD， ，
， 平面 ， 平面 ， 平面ABCD；
（2）由（1）可知，PA､AB､AD两两垂直，以点A为坐标原点，分别以AB､AD､AP所在直
线为x､y､z轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
所以， ，
设平面PBD的法向量为 ，
由 ，得 ，
令 ，得 .
，设平面PAM的法向量为 ，
由 ，得 ，令 ，则 ，
，
由于平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为 ，
则 ，整理可得 ，
，解得 .
18．（2022·北京西城·二模）如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为4
的菱形， ，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面 与棱 交
于点E.
(1)求证： ；
(2)若 ，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB
与平面 所成角的正弦值.条件①：平面 平面 ；条件②： ；
条件③： .
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【详解】（1）在三棱柱 中， ，又 面 ， 面
，
所以 平面 ，又面 面 ， 面 ，
所以 .
（2）选①②：连接 ，取 中点 ，连接 ， .
在菱形 中 ，所以 为等边三角形.
又 为 中点，所以 ，
又面 面 ，面 面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
故 ，又 ，所以 .
以 为原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， .
所以 ， .设面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，故
.
又 ，设直线 与面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
选②③：连接 ，取 中点 ，连接 ， .
在菱形 中 ，所以 为等边三角形.
又 为 中点，故 ，且 ，又 ， .
所以 ，则 .
又 ， 面 ，所以 面 ，
由 平面 ，故 ，又 ，所以 .
以 为原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， .
所以 ， .
设面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，故
.
又 ，设直线 与面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .选①③：取 中点 ，连接 ， .
在 中，因为 ，所以 ，且 ， .
又面 面 ，面 面 ， 面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
在 中， ，又 ， ，
所以 ，则 .
由 ， 面 ，则 面 ，
由 平面 ，故 ，又 ，所以 .
以 为原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， .
所以 ， .
设面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，故
.
又 ，设直线 与面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
