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微专题21 圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研
究
【秒杀总结】
1、基本思路
（1）探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知
条件进行推理论证.
（2）若导出矛盾，则否定先前假设（否定型）；若推出合理的结论，则说明假设正确（肯
定型），由此得出问题的结论.
（3）“假设一推证一定论”是解答此类问题的三个步骤.
2、技巧总结
（1）解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如
果推出矛盾就不存在，否则就存在.
（2）解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证
明.
（3）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得
出一元二次方程，利用判别式得出是否有解（存在）.
（4）解决是否存在最值问题时，可依据条件，得出函数解析式，依据解析式判定其最值是
否存在，然后得出结论.
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线，直线
1
l： ，且l 与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到直线l 和l
2 2 1 2
的距离之和的最小值等于2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M在直线l 上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，P，在平面内是
1 1 2
否存在定点N，使得MN⊥PP 恒成立？若存在，请求出定点N的坐标，若不存在，请说明
1 2
理由．
【解析】（1）作PA，PB分别垂直l 和l，垂足为A，B，抛物线C的焦点为 ，
1 2
由抛物线定义知|PA|＝|PF|，所以d+d＝|PA|+|PB|＝|PF|+|PB|，
1 2
显见d+d 的最小值即为点F到直线l 的距离，
1 2 2
故 ，解之得 或 （舍）
所以抛物线C的方程为x2＝4y．
（2）由（1）知直线l 的方程为 ，当点M在特殊位置 时，
1
显见两个切点P，P 关于y轴对称，故要使得MN⊥PP，点N必须在y轴上．
1 2 1 2
故设M ，N ， ， ，抛物线C的方程为 ，求导得 ，所以切线MP 的斜率 ，
1
直线MP 的方程为 ，又点M在直线MP 上，
1 1
所以 ，整理得 ，
同理可得 ，
故x 和x 是一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的根，
1 2
由韦达定理得 ，
，
可见n＝1时， 恒成立，
所以存在定点N ，使得MN⊥PP 恒成立．
1 2
例2．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆E的方程为 （a＞1），点O为坐标原
点，点A，B的坐标分别为 ， ，点M在线段AB上，满足 ，直线
OM的斜率为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点 （t≠1），问是否存在实
数t使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求t的值，若不存在，说出理由．
【解析】（1）设点M的坐标 ，点M在线段AB上，满足 ，
∴ ， ，
故 ， ，因为 ，
∴ ，解得：a＝2，
∴椭圆E的方程 ；（2）设直线l方程： ，代入 ，
得 ，
设 ，则 ， ，
假设存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B，则 ．
∴ ，
，
即 ，
得 ，
整理得 ，
∵ ，
∴ ，
故当 时，符合题意．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左焦点坐标为
，直线 与双曲线 交于 两点，线段 中点为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)经过点 与 轴不重合的直线 与双曲线 交于两个不同点 ，点 ，直
线 与双曲线 分别交于另一点 .
①若直线 与直线 的斜率都存在，并分别设为 .是否存在实常数 ，使得 ？
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
②证明：直线 恒过定点.
【解析】（1）由题意知 ，直线 的斜率为 ，设 ，
由题意 ，两式相减得： ，
整理得： ，即 ，又 ，所以 ，即双曲线 ，
经检验满足题意.
（2）①因为 的斜率 存在且 ，设 ， ，
联立 ，消去 整理得： ，
由题意得 ，解得
又 ，设直线 ，
联立 ，整理得 ，
由韦达定理得 ，
又 ， ，
于是 ，
故 ，同理可得 ，
， ，
为定值 ，所以 的值②由①知 （*），
由对称性知 过的定点 在 轴上，在（*）
令 ，得 ，
解得
直线 恒过定点
例4．（2023·上海·高三专题练习）已知椭圆 是左、右焦点．设M是直
线l： 上的一个动点，连结 ，交椭圆Γ于N（ ）．直线l与x轴的交点
为P，且M不与P重合．
(1)若M的坐标为 ，求四边形 的面积；
(2)若PN与椭圆Γ相切于N且 ，求 的值；
(3)作N关于原点的对称点 ，是否存在直线 ，使得 上的任一点到 的距离为
，若存在，求出直线 的方程和N的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由椭圆方程可得 ，∴ ， ，
，
∴直线 为 ，联立 ，整理可得： ，解得 或 ，由 ，可得 ，∴ ，
∴ ；
（2）由于直线PN的斜率必存在，则设直线PN的方程： ，
与椭圆方程联立 ，可得： ，
由相切得 ，得 ，且 ，
即 ，故 ，
，故
，解得 ，
而 ，所以 ，满足 ，所以 ，
可得 x轴，所以 ；
（3）由于N与 ， 与 是两组关于原点的对称点，由对称性知，
四边形 是平行四边形，则 与 平行，故 上的任一点到 的距离均为
两条平行线间的距离d．
设 ，其中 ，易验证，当 时， 与 之间的距离为 ，
不合要求，
由直线 斜率 ，则直线 的方程为： ，即 ，
当 时，由 ，可得 ，
代入 ，可得 ，而 ，
两式联立可得： ，解得： 或 （舍），代入椭圆的方程可得 ，
所以 ，所以直线 的方程为：
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： ，长轴是短轴的3倍，
点 在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点 且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是
否存在点 ，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，
请说明理由.
【解析】（1）由题意得a＝3b，故椭圆C为 ，
又点 在C上，所以 ，得 ， ，
故椭圆C的方程即为 ；
（2）由已知知直线l过 ，设l的方程为x＝my＋1，
联立两个方程得 ，消去x得： ，
得 ，
设 ， ，则 （*），
，
将（*）代入上式，可得： ，
要使 为定值，则有 ，又∵ ，∴t＝3，
此时 ，∴存在点 ，使得直线TM与TN斜率之积为定值 ，此时t＝3.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： （ ）的左､右焦点
分别为 ， ，点 在椭圆 上，且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)是否存在过点 的直线 ，交椭圆 于 ， 两点，使得 ？若存
在，求直线 的方程，若不存在，请说明理由.
【解析】(1)由题知 ， ， ， ，
由椭圆定义知 ，即 ，
又 ，所以椭圆 的标准方程为 .
(2)存在满足题意的直线 .
由题知直线 的斜率存在，设 的方程为 ， ， ，
联立 ，整理得 ，
其中 ， ，
∵ ，∴ ，即 ，
化简得： ，
即 ，解得 ，或 .
当 时，直线 经过点 ，不满足题意，故舍去.
所以存在直线 满足题意，其方程为 .
例7．（2023·全国·高三专题练习）圆 ： 与 轴的两个交点分别为 ，
，点 为圆 上一动点，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足
(1)求点 的轨迹方程；(2)设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 ， 两点，直线 与 交于点 ，
试问：是否存在一个定点 ，当 变化时， 为等腰三角形
【解析】（1）设点 在圆 上，
故有 ，设 ，又 ，可得 ， ，
即 ，
代入 可得 ，
化简得： ，故点 的轨迹方程为： .
（2）根据题意，可设直线 的方程为 ，
取 ，可得 ， ，
可得直线 的方程为 ，直线 的方程为
联立方程组，可得交点为 ；
若 ， ，由对称性可知交点 ，
若点 在同一直线上，则直线只能为 ： 上，
以下证明：对任意的 ，直线 与直线 的交点 均在直线 ： 上.
由 ，整理得
设 ， ，则 ，
设 与 交于点 ，由 ，可得
设 与 交于点 ，由 ，可得 ，
因为
，
因为 ，即 与 重合，所以当 变化时，点 均在直线 ： 上，
因为 ， ，所以要使 恒为等腰三角形，只需要 为线段 的垂直平
分线即可，根据对称性知，点 .
故存在定点 满足条件.
【过关测试】
1．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系 中，点P到点
的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)设过点F且不与x轴重合的直线l与C交于A，B两点，求证：在曲线C上存在点P，使
得直线 的斜率成等差数列.
【解析】（1）设 ，由题意，得 ，
两边平方并整理，得 .
故所求C的方程为 .
（2）证明：C的方程为
当直线l的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，存在C上的点 ，使
，显然直线 的斜率成等差数列；
当直线l的斜率存在且不为0时，可设直线l的方程为 ，
联立 消去x，得 .
设 ，则 .
若存在点 满足条件，则 ，
即 ，
因为点P，A，B均在抛物线 上，所以 .
所以 ，
将 代入得 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，代入 ，得 .此时，存在C上的点 ，使得直线 的斜率成等差数列.
综上，存在C上的点P使得直线 的斜率成等差数列.
2．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知双曲线 ： （ ， ）与双
曲线 的渐近线相同，点 在 上， 为 的右焦点．
(1)求 的方程；
(2)已知 是直线 ： 上的任意一点，是否存在这样的直线 ，使得过点 的直线与
相切于点 ，且以 为直径的圆过点 ？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明
理由．
【解析】（1）依题意可设双曲线 的方程为 ，将点 的坐标代入得
，
∴ ，∴双曲线 ： ．
（2）显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 ，得 ，
由 ，得 ，①
∴ ， ，
即切点 的坐标为 ，
以 为直径的圆恒过点 ，则 ，
又 的坐标为 ， ，
， ，
∴ ，
化简，得 ，
上式对满足①式任意的 ， 成立，则 ．
故存在直线 满足题设条件．3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 （ ， ）的渐近线方程
为 ，焦点到渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 ， 是双曲线 右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线 交AB于 ，点 的
横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆 ，使得 被圆 截得的弦长为定值，若存在，求
出圆 的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设双曲线的右焦点 ，则点 到渐近线 的距离为 ，
即 ，解得 ，
又渐近线方程为 ，即 ，且 ，解得 ， ，
所以双曲线方程为 .
（2）设 ，AB的中点为
因为 ， 是 上不同的两点， 中点的横坐标为2．
所以 ，
得 ，
当 存在时， ，
因为AB的中垂线为直线l，所以 ，即 ，
所以 过定点 ，
当 不存在时， ， 关于 轴对称， 的中线 为 轴，此时 也过 ，
所以存在定圆 ： ，使得 被圆 截得的弦长为定值 ．
4．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知椭圆 ：的长轴为4，离心率为
(1)求椭圆 的方程；
(2)如图，过点 的直线 与 交于 ， ，过 ， 作直线 ： 的垂线，垂足分
别为 ， ，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，问：是否存在实数
，使得 为定值？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由
【解析】（1）因为椭圆 ： 的长轴为4，离心率为 ，
所以 ，解得 ， ，
故 ，
所以椭圆 的方程为
（2）设 ， ， ： ，
则 ， ， ，
则 ①，
联立 与 ，消去 得 ，
则 ，得 ，
代入①得则当 即 时， 为定值
5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： （ ）的左右焦点为 ，
，上、下端点为 ， .若从 ， ， ， 中任选三点所构成的三角形均为面积等于
2的直角三角形.
(1)求椭圆 的方程；
(2)如图，过点 作两条不重合且，斜率之和为2的直线分别与椭圆交于 ， ， ，
四点，若线段 ， 的中点分别为 ， ，试问直线 是否过定点？如果是，求
出定点坐标，如果不是，请说明理由.
【解析】（1）解法一：从 ， ， ， 中任选三点可构成四个三角形，
其中 ， .
为此仅需考虑 ， 为面积等于2的直角三角形即可.
其中 ， .
因为 为等腰三角形，故可得 ，即有： ；
同时因为 为等腰三角形，故可得 ，即有： ；
综上可得： ， ，即可得椭圆 的方程为 .
解法二：由椭圆的对称性，结合已知条件可知从 ， ， ， 中任选三点所构成的三
角形，
均为等腰直角三角形，故四边形 是面积为4的正方形，
又正方形的边长为 ，故 ，即
又正方形的对角线相等，所以 ，即又因为 ，所以
从而椭圆 的方程为 .
（2）解法一：依题意，设直线 的方程为： ①
设直线 的方程为： ，
联立方程①与椭圆 的方程可得
由韦达定理得 ，
根据中点公式可得：
则 ，即
同理可得：
从而直线 的斜率为：
故直线 的方程为：
因为 ，将 代入上式可得：
故直线 必过定点 .
解法二：依题意可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为： ①，
设直线 的方程为： ②，
设直线 的方程为： ，
联立方程②与椭圆 的方程可得
由韦达定理得
根据中点公式可得：
同时点 是直线 和直线 的交点，联立方程①②得
即可得 ，
整理得 ④同理可得 ⑤
根据④⑤可以理解为 ， 为关于 的一元二次方程 的两个根.
由韦达定理可得： ，即可得： ，
∴直线 的方程为： ，故直线 必过定点 .
6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 过点 ，且离心率是
.
(1)求椭圆 的方程和短轴长；
(2)已知点 ，直线 过点 且与椭圆 有两个不同的交点 ，问：是否存在直线
，使得 是以点 为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说
明理由.
【解析】（1）由题意知椭圆 过点 ，且离心率是 ，
则 ，且 ，
故椭圆 的方程为 ，短轴长为 .
（2）假设存在直线 ，使得 是以点 为顶点的等腰三角形,
由于直线 过点 ,当直线斜率不存在时,直线l为 ，
此时 为椭圆的短轴上的两顶点，此时 是以点 为顶点的等腰三角形；
当直线 斜率存在时，设直线方程为 ，
联立 ，得 ，
当直线 与椭圆C有两个不同的交点 时，
该方程 ，整理得 ，
设 ，
则 ，
所以 ，设 的中点为点D，则 ，
即 ，则 ,
当 时， 斜率不存在，
此时 的斜率k为0，不满足 ，故 ，
由题意可知 ,即 ，
解得 或 ，由于 ，故 或 不适合题意，
综合以上，存在直线 ，使得 是以点 为顶点的等腰三角形.
7．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知圆 上的动点P在y轴上的投影为
Q，动点M满足 ．
(1)求动点M的轨迹方程C；
(2)动直线 与曲线C交于A，B两点，问：是否存在定点D，使得 为定值，
若存在，请求出点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设 ， ，则 ，
由 得 ，
即 ，
将 代入得 ，即 ，
所以动点M的轨迹方程 ；
（2）设 ， ， ，
联立 得 ，
所以 ，因为
为定值
所以 ，即 ，
所以存在定点 ，使得 为定值 .
8．（2023秋·北京房山·高三统考期末）已知椭圆 ： 经过点 ，
且点 到两个焦点的距离之和为8.
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 ： 与椭圆 分别相交于 两点，直线 ， 分别与 轴交于点 ，
.试问是否存在直线 ，使得线段 的垂直平分线经过点 ，如果存在，写出一条满足
条件的直线 的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）点 到两个焦点的距离之和为8，故 ， ,椭圆 的方程为
，
代入 ，可得 ，解得 ，故椭圆 的方程为：
（2）由题意，设 ，联立直线 与椭圆 的方程，可得，
，整理得， ，
化简 得， ，故 ；
， ，又 ，
可设直线 ： ，设直线 ： ，故 ， ，
若线段 的垂直平分线经过点 ，必有 ，故有
，整理得，
，化简得， ，
得到， ，
，
，
，
，
，利用韦达定理，得
，
，
，
，
，
，
，
当 时， ，此时，直线 为： ，
故令 ，则必有 ，满足 ，
此时，满足题意的直线 为： （答案不唯一）
9．（2023秋·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末）已知 分别是椭圆
的左、右焦点，A是C的右顶点， ，P是椭圆C上一点，
M，N分别为线段 的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．
(1)求椭圆C的标准方程
(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且 ，判断直线l是否过定点，
若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【解析】（1） M，N分别为线段 的中点，O是坐标原点，，
四边形OMPN的周长为 ，
，
，
，
椭圆C的标准方程为 ．
（2）设 ，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，
代入 ，整理得 ，
则 ，
．
易知 ，
，
化简得 ，
或 (舍去)，
直线l的方程为 ，即 ，直线l过定点 ．
当直线l的斜率不存在时，设 ，
代入 ，解得 ，
由 得 ，
，解得 或 (舍去)，
此时直线l过点 ．综上，直线l过定点 ．
10．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知椭圆 的左、右焦
点分别为 ， ，上顶点为A，钝角三角形 的面积为 ，斜率为 的直线 交椭圆C
于P，Q两点.当直线 经过 ，A两点时，点 到直线 的距离为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，当直线 的纵截距不为零时，试问是否存在实数k，使得
为定值?若存在，求出此时 面积的最大值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）方法一：设 ， ，则 .
当直线 经过点 ，A时，由 的面积为 ， 到 的距离为 ，
得 ①，
同时得 ，即 ②.
联立①②，结合 ，
解得 ， ， 或 ， ， .
因为 为钝角三角形，所以 ，所以 ， ， .
故椭圆C的标准方程为 .
方法二：设 ， ， ，则经过 ，
A两点时直线 的方程为 ，即 .
因为点 到直线 的距离为 ，所以 ①， ②
因为 为钝角三角形，所以 为钝角，所以 .
所以 ，即 ③.
联立①②③式及 得 ， ， .
故椭圆C的标准方程为 .
（2）方法一：由题意设直线 的方程为 ，联立 消元得 .
当 ，即 时满足题意.
设 ， ，则 ， .
，
若 为定值，则上式与 无关，故 ，得 ，
此时 .
又点 到直线 的距离 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
经检验，此时 成立，
所以 面积的最大值为1.
方法二：由题意设直线 的方程为 ，
联立 消元得 .
当 ，即 时满足题意.
设 ， ，则 ， .
所以
,所以
.
因为上式为定值，所以上式与 无关.所以 ，得 .
此时 .
又点 到直线 的距离 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
经检验，此时 成立，
所以 面积的最大值为1.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左､右焦点分别为
.
(1)以 为圆心的圆经过椭圆的左焦点 和上顶点 ，求椭圆 的离心率；
(2)已知 ，设点 是椭圆 上一点，且位于 轴的上方，若 是等腰三角形，
求点 的坐标；
(3)已知 ，过点 且倾斜角为 的直线与椭圆 在 轴上方的交点记作 ，若动
直线 也过点 且与椭圆 交于 两点（均不同于 ），是否存在定直线 ，使
得动直线 与 的交点 满足直线 的斜率总是成等差数列？若存在，求常数
的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意得 即 ，所以离心率 .
（2）由题意得椭圆
①当 时，由对称性得 .
②当 时， ，故 ，设 ，
由 得 ，
两式作差得 ，
代入椭圆方程，得 （负舍），故
③当 时，根据椭圆对称性可知 .
（3）由题意得椭圆 .
设直线 ，
由 得 .
设 ，则 ，
，
，
由 ，得 .12．（2023·全国·高三专题练习）椭圆 的左右焦点分别为 ，
右顶点为 为椭圆 上任意一点，且 的最大值的取值范围是 ，其中
(1)求椭圆 的离心率 的取值范围
(2)设双曲线 以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点， 是双曲线 在第一象限上任意一
点，当 取得最小值时，试问是否存在常数 ，使得 恒成立？若存
在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ，
，
，
由 可得： 代入可得：
，
，
∴ ，
∴ ，即 ，
故 ，
；
（2）当 时，可得： ，
双曲线方程为 ，设 ，
当 ⊥ 轴时， ，
，
，
∵ ，，
所以 ，下面证明 对任意 点均使得 成立，
考虑 ，
，
由双曲线方程 ，可得： ，
，
，
，结论得证，
时， 恒成立.
13．（2023·高三课时练习）已知曲线 ，过点 作直线 和曲线 交于A、B
两点．
(1)求曲线 的焦点到它的渐近线之间的距离；
(2)若 ，点 在第一象限， 轴，垂足为 ，连结 ，求直线 倾斜角的取值
范围；
(3)过点 作另一条直线 ， 和曲线 交于 、 两点，问是否存在实数 ，使得
和 同时成立？如果存在，求出满足条件的实数 的取值集合，如果
不存在，请说明理由．
【解析】（1）曲线 的焦点为 , 渐近线方程 , 由对称性, 不妨
计算 到直线 的距离， .
（2）设 , , 从而 ,
又因为点 在第一象限, 所以 ,
从而 ,
所以直线 倾斜角的取值范围是 ;（3）当直线 , 直线 ， , ,
.
当直线 , 直线 时, ，
不妨设 , 与双曲线联立可得 , 由弦长公
式, ，
将 替换成 , 可得 ，
由 , 可得
解得 , 此时 成立.
因此满足条件的集合为 .
14．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，点 满足 ，记点
的轨迹为 ，
(1)求轨迹 的方程；
(2)若直线 过点 且法向量为 ，直线与轨迹 交于 、 两点．
①过 、 作 轴的垂线 、 ，垂足分别为 、 ，记 ，试确定 的取值
范围；
②在 轴上是否存在定点 ，无论直线 绕点 怎样转动，使 恒成立？如果存
在，求出定点 ；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）由 ，知，点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的右
支．
， ， ，故 ，轨迹方程为 ．
（2）直线 的方程为 ， ，
得 ，设 ， ， ， ，由条件得 ，
解得 ，即 ．
① ，
由条件 ，故 ，故 ，
因为 ，因此 ．
②设存在点 满足条件，
由
，
得 对任意 恒成立，所以 ，
解得 ，
因此存在定点 满足条件．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的焦距为4，以原点为圆心，实
半轴长为半径的圆和直线 相切．
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知点 为双曲线 的左焦点，试问在 轴上是否存在一定点 ，过点 任意作一条
直线 交双曲线 于 ， 两点，使 为定值？若存在，求出此定值和所有的定点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）原点到直线 的距离 ，
， ，
双曲线 的方程为 ；
（2）假设存在点 满足条件，
①当直线 方程为 时，则 ，；
②当直线 方程不是 时，可设直线 ， 代入
整理得 ，
由 得 ，
设方程 的两个根为 ， ，满足 ，
，
当且仅当 时， 为定值1，
解得 ，
不满足对任意 ， ， 不合题意，舍去．
而且 满足 ；
综上得：过定点 任意作一条直线 交双曲线 于 ， 两点，
使 为定值1．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，其左、右
焦点分别为 ， ，短轴长为 ．点 在椭圆 上，且满足△ 的周长为6．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，试问在 轴上是否存在一个定点 ，
使得 恒为定值？若存在，求出该定值及点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意知： ，解得 ，椭圆 方程为： .
（2）设 ， ， ， ， ，
当直线斜率存在时，设直线 的方程为： ，联立 ，
得 ，则 ， ，
又 ，而
为定值．
只需 ，解得： ，从而 ．
当 不存在时， ，
当 时， ，
综上所述：存在 ，使得 ．
17．（2023·全国·高三专题练习）双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，
过点 且垂直于 轴的直线 与该双曲线 交于点 ， ，设直线 的斜率为 ，直
线 的斜率为 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)动点 ， 在曲线 上，已知点 ，直线 ， 分别与 轴相交的两点关于
原点对称，点 在直线 上， ，证明：存在定点 ，使得 为定值．
【解析】（1）当 轴时，把 代入双曲线方程中，得 ，
设 ， ，
，
所以 ，得 ，
所以 的方程： ；
（2）证明：设直线 的方程为 ， ， ，
，整理得 ，
则 ， ， ，直线 ， 分别与 轴相交的两点为 ， ，
∴直线 方程为 ，
令 ，则 ，同理 ，
可得
∴
∴
∴
∴
∴
∴ ，
当 时， ，
此时直线 方程为 恒过定点 ，显然不可能，
∴ ，直线 方程为 ，恒过定点
∵ ，设 中点为 ，∴
∴ 为定值，∴存在 使 为定值 ．
18．（2023·全国·高三专题练习）椭圆 经过两点 ， ，过点 的动直线
与椭圆相交于 ， 两点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若椭圆 的右焦点是 ，其右准线与 轴交于点 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜
率为 ，求证： ；
(3)设点 是椭圆 的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点 不
同的定点 ，使得 恒成立？只需写出点 的坐标，无需证明．
【解析】（1）设椭圆方程为 ， ， ， ，椭圆 经过两点 ， ，
，解得 ， ，
椭圆 的方程为 ．
（2）设 ， ，则 ， ，
由题意 ， ，
， , , ，
， ，
，
，
若 ，则 ，结论成立．
若 ，则 ，
．
（3）当 与 轴平行时，设直线 与椭圆相交于 、 两点，
如果存在定点 满足条件，则有 ，
， 在 轴上，设 ， ，
当直线 与 轴垂直时，设直线 与椭圆相交于 ， 两点，
则 ， 的坐标分别为 , ， , ，
由 ，有 ，
解得 ，
若存在不同于点 不同的定点 满足条件，则 点坐标只可能为 ， ．下面证明：对任意直线 ，均有 ，
记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
设 ， ，则 ， ．
由题意 ， , ，
， ，
，
，
若 ，则 ，符合题意；
若 ，则 ，
，
设点 关于 轴对称的点 ， ， ，A， 三点共线，
，
对任意直线 ，均有 ．
19．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 内，椭圆 ，
离心率为 ，右焦点 到右准线的距离为2，直线 过右焦点 且与椭圆 交于 、 两
点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与 轴垂直， 为椭圆 上的动点，求 的取值范围；
(3)若动直线 与 轴不重合，在 轴上是否存在定点 ，使得 始终平分 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得： ，得 ， ， ， ，
椭圆的标准方程为： ．
（2）当直线 与 轴垂直时，设 ， ，设点 ，
则 ，
又点 在椭圆上， ，
消去 得 ， ，
函数 在 上单调递减，
故 ， ，
故 得取值范围为 ， ．
（3）假设在 轴上存在点 满足题意，不妨设 ，设 ， ， ， ，
设直线 的方程为： ，联立 ，
消去 得 ，则 ， ，
由 平分 知： ，
又 ，
又 ， ，得 ，
即 ，得 ，所以存在点 满足题意．
20．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，
P是直线 上不同于原点O的一个动点，斜率为 的直线 与双曲线 交于A，
B两点，斜率为 的直线 与双曲线 交于C，D两点．
(1)求 的值；
(2)若直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，问是否存在点P，满足 ，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由已知 ， ，设 ， ，
∴ ， ， ；
（2）设 ，（ ），∴ ，
∴直线 的方程是 ，设 ， ，
代入双曲线方程得 ，
即 ，
， ，
，
同理 的方程为 ，设 ， ，
仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：
，
， ，
∴
．
由 得 ，
整理得 ，∵ ，∴ ，
∴存在 或 满足题意．
