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微专题22 计数原理与概率统计压轴小题
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测
量某一个物理量，其测量误差 通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结
果的误差 ，则为使 的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为
（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
例2．（2023·上海·高三专题练习）若 ，则
（ ）
A．244 B．243
C．242 D．241
例3．（2023·上海·高三专题练习）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有
可能的取值为1，2，…，n，且 ，定义X的信息熵
．
命题1：若 ，则 随着n的增大而增大；
命题2：若 ，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且
，则 ．
则以下结论正确的是（ ）
A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确
C．两个命题都错误 D．两个命题都正确
例4．（2023·全国·高三专题练习）足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．
为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，
从甲开始随机地球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任
意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球
者，第 次触球者是甲的概率为 ，即 ．则下列说法正确的个数是（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例5．（2023·上海·高三专题练习）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），
在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E
六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端
点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（ ）
A．480 B．720 C．1080 D．1200
例7．（2023·上海·高三专题练习）甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每
次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．则n次传球后球在甲手
中的概率 ______．
例8．（2023·全国·高三专题练习）(1)若数列 的通项公式为 ，则该数列中
的最小项的值为__________．
(2)若 的展开式中含有常数项，则n的最小值等于__________．
(3)如图所示的数阵中，用 表示第m行的第n个数，则以此规律 为
__________．
(4) 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知 ，且，有下列结论：① ；② ；③ ， 时， 的面
积为 ；④当 时， 为钝角三角形．其中正确的是__________ 填写
所有正确结论的编号
例9．（2023·全国·高三专题练习）如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间
的一个小等边三角形，设 .若在大等边三角形内任取一点P，则该点取自小等边
三角形内的概率为___________.
例10．（2023·全国·高三专题练习）设整数数列 ， ，…， 满足 ，
，且 ， ，则这样的数列的个数为___________.
例11．（2023·全国·高三专题练习）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数
“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这
个数恰为“十全十美数”的概率是____________
例12．（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，
F，G，H八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同
的涂色方法有___________种.【过关测试】
一、单选题
1．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）过正态分布曲线 上非顶点的一点
作切线，若切线与曲线仅有一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5
种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个
袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同
的方案数为（ ）
A．20160 B．20220 C．20280 D．20340
3．（2023·全国·高三专题练习）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于 即
为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现
有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：
①平均数 ；
②平均数 且极差小于或等于3；
③平均数 且标准差 ；
④众数等于5且极差小于或等于4．
则4组样本中一定符合入冬指标的共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 的展开式中各项系数和为4，则
的系数为（ ）A．16 B．8 C．0 D．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一
格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如
1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条
数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2023·全国·高三专题练习）由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任
意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数
“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足a＝0，且对任意n∈N*，an 等概率地
1 +1
取an+1或an﹣1，设an的值为随机变量ξn，则（ ）
A．P（ξ＝2）＝ B．E（ξ）＝1
3 3
C．P（ξ＝0）＜P（ξ＝2） D．P（ξ＝0）＜P（ξ＝0）
5 5 5 3
8．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，若 是从 三个数中任
取一个， 是从 五个数中任取一个，那么 恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，记随机变量 为x，
y，z中的最大值，则 （ ）
A． B．
C．5 D．二、多选题
11．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被
国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交
流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，我市四
所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比
赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分
多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负
一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为 ，则在比赛结束时（ ）
A．四支球队的积分总和可能为15分
B．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为
C．可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况
D．丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为
12．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中
有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以 ， 和
表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示
由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件B与事件 相互独立 B．
C． D．
13．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个
数列，记第i项为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则这样的数列共有360个
B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个
C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个
D．若 ，则这样的数列共有71个
14．（2023·广东肇庆·统考二模）随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝
福.他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（ ）
A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为
B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为
C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为
D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为
15．（2023·全国·高三专题练习）对于伯努利数 ，有定义：
.则（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023·全国·高三专题练习）学校食坣每天中都会提供 两种套餐供学生选择（学
生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择 套餐的概率为 ，选择
套餐的概率为 .而前一天选择了 套餐的学生第二天诜择 套餐的概率为 ，选择 套
餐的概率为 ；前一天选择 套餐的学生第一天选择 套餐的概率为 ，选择 套餐的概
率也是 ，如此往复.记某同学第 天选择 套餐的概率为 ，选择 套餐的概率为 .一
个月（30天）后，记甲､乙､丙3位同学选择 套餐的人数为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．数列 是等比数列
C． D．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为 ，a，
2，根据以往销售经验可得 ，随机变量X的分布列为
X 0 a 2
P b其中结论正确的是（ ）A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当 最小时，
18．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）如图，已知正方体
顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移
动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置
位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．点Q移动4次后恰好位于点 的概率为0
D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
三、填空题
19．（2023·上海·高三专题练习）现有n（ ， ）个相同的袋子，里面均装有n个
除颜色外其他无区别的小球，第k（ ，2，3，…，n）个袋中有k个红球， 个白球.
现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），
若第三次取出的球为白球的概率是 ，则 ___________.
20．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）现有一款闯关游戏，共有4关，规
则如下：在第 关要抛掷骰子 次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所
出现的点数之和大于 ，则算闯过第 关， ，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是______．
（1）直接挑战第2关并过关的概率为 ；
（2）连续挑战前两关并过关的概率为 ；
（3）若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则
；
（4）若直接挑战第4关，则过关的概率是 ．
21．（2023·全国·高三专题练习）设项数为 的数列 满足： ，
且对任意 ， ，都有 ，则这样的数列 共有
_____个.
22．（2023·全国·高三专题练习）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以 表示没有出现连
续3次正面的概率.给出下列四个结论：
① ；
② ；
③当 时， ；
④ .
其中，所有正确结论的序号是__________.
23．（2023·全国·高三专题练习）在曲线 上及其内部随机取一点，则该点取
自圆 上及其内部的概率为______．
24．（2023·全国·高三专题练习）设整数 ， 的展开式中 与xy两项的
系数相等，则n的值为____________ .
25．（2023·全国·高三专题练习）已知空间直角坐标系中的四个点
，经过 四点的球记作球M．从球
M内部任取一点P，则点P落在三棱锥 内部的概率是___
26．（2023·全国·高三对口高考）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、
微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种
方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可
能情况有________种．
