文档内容
重难点突破 11 圆锥曲线中的探索性与综合性问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：存在点使向量数量积为定值................................................................................................2
题型二：存在点使斜率之和或之积为定值........................................................................................3
题型三：存在点使两角度相等............................................................................................................5
题型四：存在点使等式恒成立............................................................................................................6
题型五：存在点使线段关系式为定值................................................................................................7
题型六：存在定直线问题....................................................................................................................9
题型七：存在定圆问题......................................................................................................................10
03 过关测试.........................................................................................................................................11解决存在性问题的技巧：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，
然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．
（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
题型一：存在点使向量数量积为定值
【典例1-1】（2024·北京通州·二模）已知椭圆 ： （ ）的长轴长为4，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于 两点（不与左右顶点重合），点 在 轴正半轴上，
直线 交 轴于点P，直线 交 轴于点 ，问是否存在 ，使得 为定值？若存在，求出 的值
及定值；若不存在，请说明理由．
【典例1-2】已知椭圆 椭圆的离心率 ．左顶点为 ，下顶点为 是线段 的
中点，其中 ．
(1)求椭圆方程．
(2)过点 的动直线（斜率存在）与椭圆有两个交点 ．在 轴上是否存在点 使得 为锐角？
若存在求出这个 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【变式1-1】如图所示，椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，离心率 ，过
的直线交椭圆于 、 两点，且 的周长为8．
(1)求椭圆 的方程．
(2)设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ，试探究：在坐标平
面内是否存在定点 使得以 为直径的圆恒过定点 ？若存在求出点 的坐标；若不存在请说明理由．
【变式1-2】（2024·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，过右焦点
且平行于 轴的弦 ．
(1)求 的内心坐标；
(2)是否存在定点 ，使过点 的直线 交 于 ，交 于点 ，且满足 ？若存在，
求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．
题型二：存在点使斜率之和或之积为定值
【典例2-1】（2024·四川宜宾·三模）已知椭圆E： 的左右焦点分别为 ， ，过焦点 斜率为
的直线 与椭圆E交于A，B两点，过焦点 斜率为 的直线 与椭圆E交于C，D两点，且．
(1)求直线 与 的交点N的轨迹M的方程；
(2)若直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为 ， ， ， ，问在（1）的轨迹M上是否存在点P，
满足 ，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
【典例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，过点
的直线 与椭圆 相交于 两点，当 过坐标原点 时， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 斜率存在时，线段 上是否存在定点 ，使得直线 与直线 的斜率之和为定值．若存在，求
出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-1】（2024·高三·河北·期末）已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右顶点，
是椭圆 的上顶点，且 ， 的周长为 .
(1)求椭圆 的方程.
(2) 为坐标原点，斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，直线 ， 的斜率分别为 ， .是
否存在常数 ，使得 为定值？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【变式2-2】（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 是直线 ：
（其中 是实半轴长， 是半焦距）上不同于原点 的一个动点，斜率为 的直线 与双曲线
交于 ， 两点，斜率为 的直线 与双曲线 交于 ， 两点．(1)求 的值；
(2)若直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，问是否存在点 ，满足
，若存在，求出 点坐标；若不存在，说明理由．
题型三：存在点使两角度相等
【典例3-1】（2024·重庆·一模）已知点 为圆 上任意一点， ，线段 的垂直
平分线交直线 于点 ．
(1)求 点的轨迹方程；
(2)设过点 的直线 与 点的轨迹交于点 ，且点 在第一象限内．已知 ，请问是否存在常数 ，
使得 恒成立？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由．
【典例3-2】（2024·湖南邵阳·一模）已知椭圆 的短轴长为 ，右顶点到右焦点的
距离为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)如图所示，设点 是椭圆 的右顶点.过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 ，且都在 轴的
上方.在 轴上是否存在点 ，使 ，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.【变式3-1】（2024·新疆阿勒泰·统考三模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，
分别为椭圆 的上，下顶点， 到直线 的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别交x轴于 两点．问：y轴上是否存在点
R，使得 ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】已知椭圆 经过点 且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积
为 .
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)设 ， 为椭圆 上不同的两个点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，且 、 、
三点共线.其中 为坐标原点.问： 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标，
若不存在，说明理由.
题型四：存在点使等式恒成立
【典例4-1】已知椭圆C的焦点坐标是 ， ，过点 垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D
两点，且 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过定点 且斜率为k的直线l与椭圆C相交于不同两点M，N，试判断：在x轴上是否存在点
，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请
说明理由．
(1)求 的方程；(2)已知点 ， ， （ ）为抛物线 上任意三点，记 面积为 ，分
别在点A、B、C处作抛物线 的切线 、 、 ， 与 的交点为D， 与 的交点为E， 与 的交点为
F，记 面积为 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
【典例4-2】（2024·高三·贵州·期中）已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点
.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作直线 与椭圆相交与 ， 两点，试问在 轴上是否存在定点 ，使得两条不同直线 ，
恰好关于 轴对称，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由.
【变式4-1】（2024·北京·三模）已知椭圆 的离心率为 ，其长轴的两个端点分别为
， .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)点 为椭圆上除 ， 外的任意一点，直线 交直线 于点 ，点 为坐标原点：过点 且与直线
垂直的直线记为 ，直线 交 轴于点 ，交直线 于点 ，问：是否存在点 使得 与
的面积相等?若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
题型五：存在点使线段关系式为定值
【典例5-1】（2024·河南新乡·三模）已知椭圆 的左、右顶点分别是 ，椭圆
的焦距是2， （异于 ）是椭圆 上的动点，直线 与 的斜率之积为 ．(1)求椭圆 的标准方程；
(2) 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点 ，使得
为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
【典例5-2】（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线 分别是 的左、右
焦点．若 的离心率 ，且点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)若过点 的直线 与 的左、右两支分别交于 两点，与抛物线 交于 两点，试问是否存
在常数 ，使得 为定值？若存在，求出常数 的值；若不存在，请说明理由．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的一个顶点在圆
上，对任意实数 ， 上存在两点关于直线 对称，直线 与 交
于点 ，与 交于点 在 之间，且 时 ．
(1)求 的标准方程．
(2)是否存在与 不重合的定点 ，使得 成立，若存在，求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【变式5-2】（2024·广东江门·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，顺次连接
椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长 的菱形．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 与椭圆 有唯一的公共点 ，过点 且与 垂直的直线 分别交 轴、 轴于两点．当点 运动时，是否存在两定点 ，使得点 满足 恒为定值？若
存在，请求出定点 的坐标若不存在，请说明理由．
(3)对于第（2）问，如果推广到一般的椭圆．求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
题型六：存在定直线问题
【典例6-1】（2024·上海虹口·二模）已知椭圆 的焦距为 ，点 在椭圆
上，动直线 与椭圆 相交于不同的两点 ，且直线 的斜率之积为1.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 为的法向量为 ，求直线 的方程；
(3)是否存在直线 ，使得 为直角三角形？若存在，求出直线 的斜率；若不存在，请说明理由.
【典例6-2】（2024·安徽阜阳·三模）已知双曲线C： ，直线l在x轴上方与x轴平
行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为 .
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，
， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【变式6-1】（2024·河南安阳·一模）如图，已知直线 ，M是平面内一个动点，
且MA与 相交于点A（A位于第一象限）， ，且MB与 相交于点B（B位于第四象限），
若四边形OAMB（O为原点）的面积为 ．(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点 的直线l与C相交于P，Q两点，是否存在定直线l′: ，使以PQ为直径的圆与直线l′相
交于E，F两点，且 为定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2024·上海·三模）已知椭圆 ： ， 、 分别为左、右焦点，直线 过 交椭圆
于 、 两点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)当 ，且点 在 轴上方时，求 、 两点的坐标；
(3)若直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ，是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.
题型七：存在定圆问题
【典例7-1】（2024·高三·湖北武汉·期末）已知双曲线 （ ， ），点 是 的
右焦点， 的一条渐近线方程为 .
(1)求 的标准方程；
(2)过点 的直线与 的右支交于 两点，以 为直径的圆记为 ，是否存在定圆与圆 内切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由.
【典例7-2】（2024·江苏宿迁·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点
在双曲线 上，且直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 ， 是双曲线 上的两个动点，且恒有 ，是否存在定圆与直线 相切？若存在，求出定
圆的方程，若不存在，请说明理由．
【变式7-1】（2024·安徽·一模）椭圆 的上顶点为 ，圆 在椭圆 内．
(1)求 的取值范围；
(2)过点 作圆 的两条切线，切点为 ，切线 与椭圆 的另一个交点为 ，切线 与椭圆 的另
一个交点为 ．是否存在圆 ，使得直线 与之相切，若存在求出圆 的方程，若不存在，说明理由．
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C： 的左，右焦点分别为 ， ，
过 的直线与椭圆C交于M，N两点，且 的周长为8， 的最大面积为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设 ，是否存在x轴上的定点P，使得 的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2024·广东·二模）在平面直角坐标系中，若A，B两点在一曲线C上，曲线C在A，B均存在不垂直
于x轴的切线，且两条切线的斜率的平均值等于直线AB的斜率，则称AB是曲线C的一条“切线相依割
线”．
(1)证明：准线平行于x轴的抛物线上任意一条割线均为“切线相依割线”；
(2)试探究双曲线 在第一象限内是否存在“切线相依割线”，若存在，请求出所有的
“切线相依割线”，若不存在，请说明理由．
3．已知椭圆 的右焦点 的坐标为 ，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为
4.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过右焦点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，试问 的面积是否
存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
4．已知圆 的方程为 ，点 的坐标为 ．点 为圆 上的任意一点，线段 的垂直
平分线与 交于点 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)点 是圆 上异于点 和 的任一点，直线 与轨迹 交于点 ， ，直
线 与轨迹 交于点 ， ．设 为坐标原点，直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ，
，问：是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．5．设 为椭圆 的左、右焦点，直线l过 交椭圆于A，B两点．试从① 若点M，N
在该椭圆上且关于原点对称，P为该椭圆上异于M，N的一点，且 ；② 的周长为8；
③ 的最小值为8这三个条件中选择一个作为已知条件，并解答问题．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)是否存在直线l，使得 的重心为 ？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
6．（2024·高三·北京海淀·开学考试）已知椭圆 ，与x轴不重合的直线l经过左焦点 ，且与
椭圆G相交于 两点，弦 的中点为M，直线 与椭圆G相交于 两点．
(1)若直线l的斜率为1，求直线 的斜率；
(2)是否存在直线l，使得 成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
7．（2024·广西桂林·三模）双曲线C： 的左、右焦点分别为 、 ，过 且倾斜角为
的直线为 ，过 且倾斜角为 的直线为 ，已知 ， 之间的距离为 ．
(1)求C的方程；
(2)若过点 的直线l与C的左、右两支分别交于 两点（点 不在x轴上），判断是否存在实数k
使得 ．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
8．椭圆 经过点 ，且离心率 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)设 是直线 上任意一点， 是经过椭圆右焦点 的一条弦（不经过点 ）．记直线 ， ，的斜率依次为 ， ， ，问是否存在常数 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说
明理由．
9．（2024·全国·二模）如图，过点 的动直线 交抛物线 于 两点.
(1)若 ，求 的方程；
(2)当直线 变动时，若 不过坐标原点 ，过点 分别作（1）中 的切线，且两条切线相交于点 ，问：
是否存在唯一的直线 ，使得 ？并说明理由.
10．（2024·湖南永州·二模）已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，
点 为线段 的中点，过点 且斜率为 的直线 交 于 两点， 的面积最大值为
．
(1)求 的方程；
(2)设直线 分别交 于点 ，直线 的斜率为 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由．
11．已知椭圆 的离心率为 ，且a，b的等比中项为2．
(1)求C的方程；
(2)若直线 与C交于点A，B两点，直线 过点A且与C交于另外一点 ，直线过点B，且与C交于另外一点 ．
（ⅰ）设 ， ，证明： ；
（ⅱ）若直线 的斜率为 ，判断是否存在常数m，使得k是m， 的等比中项，若存在，求出m的值；
若不存在，请说明理由．
