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人教版初中数学八年级下册
第十九章 一次函数 达标检测
一、单选题：
1．函数 ，自变量x的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：由 有意义得， ，
解得：
故选：B
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整
式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根
式时，被开方数非负．
2．已知一个长方形的周长50cm，相邻两边分别为 ， ，则它们的关系为是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据长方形周长公式列出等式变形即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，且 ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查求函数解析式及自变量x的取值范围，根据题意列等量关系式及根据实际有意义求取值
范围是解题的关键．
3．在下列一次函数中，其图象过点 且y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】对于一次函数 ， 时，y随x的增大而减小，找出各选项中k值小于0的选项，再把点
代入，符合的函数解析式即为答案．
【详解】解： y随x的增大而减小，
该一次函数的一次项系数小于0，由此排除A，B，
对于 ，当 时， ，
的图象不过点 ，由此排除D，
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是能够根据k值判
断一次函数图象的增减性．
4．一次函数 的图象经过二、三、四象限，则点 所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断点 所处的象限
即可．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过二、三、四象限，
∴ ，
∴ 在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
5．已知一次函数 的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据一次函数图象进行判断．
【详解】解： 一次函数 的图象经过第二、三、四象限，
， ．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
6．如图，直线 与 相交于点 ，则关于 ， 的方程组 的解
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把 代入 求出m，根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可
得到答案．
【详解】解∶ 把 代入 ，得 ，
∴直线 与 相交于点 ，
∴关于 ， 的方程组 的解是 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
7．如图，函数 与 的图象相交于点 ，则关于 的不等式 的解集是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先把点 代入 ，即可求得点A的坐标，再根据两函数的图象，即可求解．
【详解】解： 函数 过点 ，
，
解得： ，
，
由两函数的图象可知，
当 时， ，即 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形，利用两函数图象的交点，求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决
此类题的关键．
8．已知一次函数 的图象经过点 ，其中 ， ，则关于 的一次函数 和
的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数 的图象经过点 ， ，进而推出一次函数 的图象
经过定点 ，则一次函数 一定经过第二象限，同理得到一次函数 的图象经过定点
，则一次函数 必定经过第三象限，再由 ，得到一次函数 与一次函数
与y轴的交点坐标不相同，由此即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴在一次函数 中， ，即 ，对于任意实数 ，恒有当 时， ，
∴一次函数 的图象经过定点 ；
∴一次函数 一定经过第二象限，
当 时，即 ，在一次函数 中， ，即 ，对于任意实数，
恒有当 时， ，∴一次函数 的图象经过定点 ，
∴一次函数 必定经过第三象限，
又∵ ，
∴一次函数 与一次函数 与y轴的交点坐标不相同，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，正确判断出两个一次函数分别要经过第二象限，第三象限
是解题的关键．
9．如图，一次函数 的图像交x轴于点A，交y轴于点B，点P在直线 上（不与点A，B重
合）．过点P作轴于点D，当 的面积为2时，点P的坐标为（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】根据 求出与x轴y轴的交点，设 ，根据 的面积为2列方程即可得到答
案；
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，解得： ，设 ，
∵ 的面积为2，
∴ ，
解得： ， ，
当 ， ，
当 ， ，
∴ 或 ，
故选B．
【点睛】本题考查一次函数上动点围成图形面积问题，解题的关键是设出动点列方程．
10．如图.在平面直角坐标系中，点 ， ， ，…和 ， ， ，…分别在直线 和 轴上，
， ， ，…都是等腰直角三角形，如果点 ，那么 的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设点 ， ， ，…， 坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．
【详解】解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，…
如图，∵ 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ， ，…， ，
则有 ，
，
…
又∵ ， ， …都是等腰直角三角形， 轴， 轴， 轴…，
∴ ，
，
…
∴ ，
，
…
，将点坐标依次代入直线解析式得到：
，
，
，
…
，
又∵ ，
∴ ，
，
，
…
，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现
纵坐标的规律是解题的关键．
二、填空题：
11．一次函数 的图象不经过第______象限．
【答案】三/3
【分析】根据一次函数的解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象
限．
【详解】∵一次函数 ， ， ，
∴该函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为：三．【点睛】本题考查一次函数的性质，明确题意，利用一次函数的性质是解答本题的关键．
12．函数 的自变量 的取值范围是______．
【答案】 /
【分析】由x同时满足分式及二次根式有意义列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：依题意有 ，
解得 ．
故答案为：
【点睛】本题考查分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、解不等式组，能根据函数有意义的条件列
出不等式组是解题的关键．
13．已知，如图直线 与直线 交于 点，则不等式 的解集为 ___________．
【答案】 /
【分析】根据函数图象交点左侧直线 图象在直线： 图象的下面，即可得出不等式
的解集．
【详解】解：∵直线 ，与直线 交于点 ，
∴不等式 为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大
于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在x轴上（或下）方
部分所有的点的横坐标所构成的集合．14．在直角坐标平面中，直线 沿y轴向上平移m个单位后，经过 则 的值为___________．
【答案】5
【分析】根据平移规律得到平移后的直线为 ，然后再把 代入解得即可．
【详解】解：将直线直线 沿y轴向上平移m个单位后得到 ，
平移后的直线经过 ，
∵
将 代入表达式得 ，
∴
∴故填： ．
【点睛】本题考查一次函数的图像与平移，熟知函数图像平移法则“左加右减，上加下减”是解此题的关键．
15．已知一次函数 (k为常数，且 )，y随x的增大而减小，当 时，函数有最大
值 ，则k的值是_______．
【答案】
【分析】根据题意y随x的增大而减小，当 时，函数有最大值 ，即当 时 ，代入求
解即可．
【详解】解： (k为常数，且 )y随x的增大而减小，
且当 时，函数有最大值 ，
当 时 ，
即 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程；解题的关键是理解函数的增减性，确定当
时 ．
16．若一次函数 的图像不经过第二象限，则k的取值范围是______________．
【答案】【分析】若函数 的图像不过第二象限，则此函数的 ， ，据此求解．
【详解】解： 函数 的图像不过第二象限，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的图像与系数的关系，握一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数是
大于0或是小于0是解题关键掌．
17．如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点，以 为边构造等腰直角三角
形 ， ，点C落在第一象限，则点C的坐标是___________．
【答案】
【分析】过点C作 轴于点D，则 ， ，先求出点A，B的坐
标，再证明 ，可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作 轴于点D，则 ， ，
令 ， ，
令 ， ，
∴点 ，
∴ ，∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，是综
合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，将矩形 沿直线 折叠（点 在边 上），折叠后点 恰好落
在边 上的点 处．若点 的坐标为 ，则直线 的解析式为______．
【答案】
【分析】根据折叠的性质得到 ，所以在直角 中，利用勾股定理求得 ，然后设
，则 ， ，根据勾股定理列方程求出 可得点E的坐标，再利用待定系数法
求解 的解析式即可．
【详解】解：∵四边形 为矩形，D的坐标为 ，
∴ ， ，
∵矩形沿 折叠，使D落在 上的点F处，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，即EC的长为 ，
∴点E的坐标为 ．
设直线 为： ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，利用待定系数法求解一次函数的解析式，根据题意
求出EC的长为 ，是解题的关键．
19．如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上的一个动点，将 沿
所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为______．
【答案】
【分析】先求出 ， 两点的坐标，根据折叠，得到 ， ，进而求出 的长度，在
中，利用勾股定理进行求解，得到 的长，即可得解．【详解】解： ，当 时， ；当 时， ；
， ，
， ，
将 沿 所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，
，
， ，
在 中， ，即： ，
，
点 在 轴的负半轴上，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质，利用勾股
定理解三角形，是解题的关键．
20．甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t（h），甲、乙行驶
的路程分别为 ，路程与时间的函数关系如图所示，丙与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往
M地．当丙与乙相遇时，甲、乙两人相距20km，问丙出发后 _____小时后与甲相遇．
【答案】 或【分析】利用函数图象的信息求得三人的速度，再利用题意列出方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：由函数图象得：乙的速度为 （km/h），
乙出发1小时后，甲出发并经过 小时追上乙，
设甲的速度为xkm/h，
，
，
∴甲的速度为60km/h．
设丙与乙相遇时乙出发了t小时，
∵当丙与乙相遇时，甲、乙两人相距20km，
或
，
∴丙的速度为 （km/h）或 （km/h），
设丙出发后y小时后与甲相遇，
，或
解得：y＝ 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，利用函数的图象的信息求得三人的速度，再利用题意列出方程是解
题的关键．
三、解答题：
21．抖音直播带货是目前非常盛行的销售方式．小徐为了推销家乡的水果“荔枝”和“龙眼”，在网上直播带
货．小徐和她的团队，每天在家乡收购两种水果共600箱，且当天全部售出．进货成本、平台提成等成本，
销售单价如表所示：
进货成本（元/箱） 平台提成等成本（元/箱） 销售单价（元/箱）
荔枝 36 6 50
龙眼 28 7 41
设该团队每天进货“荔枝”x箱，每天获得的利润为y元．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)若该团队每天投入总成本不超过23800元，应怎样安排“荔枝”和“龙眼”的进货量，可使该团队一天所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种水果的进货量．
【答案】(1)
(2)“荔枝”应该安排进货400箱，“龙眼”应该安排进货200箱，可使该团队一天所获得的利润最大，最大利
润为4400元
【分析】（1）由题意得， ，整理求解即可；
（2）由题意得， ，解得， ，然后根据一次函数的性质求利润
的最大值，以及两种水果的进货量即可．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∴y与x之间的函数关系式为 ；
（2）解：由题意得， ，
解得， ，
∵ ， ，
∴ 随着 的增大而增大，
∴当 时， 值最大， ，
∴ ，
∴“荔枝”应该安排进货400箱，“龙眼”应该安排进货200箱，可使该团队一天所获得的利润最大，最大利润
为4400元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式的应用等知识．解题的关键在于
根据题意正确的列等式和不等式．
22．已知一次函数 的图象经过点 和点 ， 且点B在正比例函数 的图
象上．(1)求a的值；
(2)求一次函数的解析式；
(3)若 ， 是这个一次函数图象上的两点，试比较 与 的大小；
(4)求 的面积．
【答案】(1)-1
(2)
(3)
(4)5
【分析】（1）将 代入 计算即可；
（2）将 ， 代入 ，即可求出；
（3）利用一次函数的增减性判断即可；
（4）分别求出 的面积，再求和即可．
【详解】（1）解：将 代入 得： ．
（2）解：将 ， 代入 得：
，
解得： ，
故一次函数表达式为： ．（3）解： ，
随 的增大而减小，
由 ， 得： ，
．
（4）解：由题意可得：
，
．
【点睛】本题考查了一次函数，相关知识点有：根据表达式求点的坐标、待定系数法求函数表达式、根据
增减性判断函数值大小、割补法求面积等，熟记一次函数的性质是解题关键．
23．要从甲、乙两仓库向 ， 两工地运送水泥．已知甲、乙两个仓库分别可运出 吨和 吨水泥；
， 两工地分别需要水泥 吨和 吨．从两仓库运往 ， 两工地的运费单价如下表：
工地(元 吨) 工地(元 吨)
甲仓
库
乙仓
库
(1)设甲仓库运往 工地水泥 吨，求总运费 关于 的函数表达式及自变量 的取值范围．
(2)当甲仓库运往 工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
(3)若甲仓库运往 工地的运费下降了 元 吨 ，则最省的总运费为多少元？
【答案】(1)
(2)甲仓库运往 工地 吨水泥时，总运费最省，最省的总运费是 元
(3)甲仓库运往 工地的运费下降了 元 吨， ，则最省的总运费为 元
【分析】(1)设甲仓库运往A工地水泥x吨，则甲仓库运往B工地水泥 吨，乙仓库运往A工地水泥
吨，乙仓库运往B工地水泥 吨，根据表格列出函数表达式，根据实际情况列出不等式求
得 的范围；
（2）根据一次函数的性质即可求解；（3）若甲仓库运往 工地的运费下降了 元 吨．则 ，根据一次函数的性质结合 的
范围即可求解．
【详解】（1）设甲仓库运往A工地水泥x吨，则甲仓库运往B工地水泥 吨，
乙仓库运往A工地水泥 吨，乙仓库运往B工地水泥 吨，
∵
，
由题意可得， ，
∴ ，
∴总运费 关于 的函数表达式为
（2）∵
，
随 的增大而增大，
当 时， 最小，最小值为 ，
故甲仓库运往 工地 吨水泥时，总运费最省，最省的总运费是 元；
（3）若甲仓库运往 工地的运费下降了 元 吨．则
，
当 ，即 时，
∴当 ， 时， 取得最小值为 ，
当 ，即 时，
此时， 随 的增大而减小，且 越小， 随 的增大而减小得越多，
当 ， 时，取得最小值，最小值为 ，
综上，若甲仓库运往 工地的运费下降了 元 吨， ，则最省的总运费为 元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
24．一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车
到达乙地后停止．如图所示的图像分别表示货车、轿车离甲地的距离 （千米）与轿车行驶时间 （小
时）的关系．
(1)求轿车在返回甲地过程中的速度；
(2)当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处离甲地的距离；
(3)请求出两车出发多久后相距 千米．
【答案】(1)
(2)
(3)当时间为 小时，或 小时，或 小时两车相距 千米
【分析】（1）当时间 时，离甲地的距离为 ，当 时，离甲地的距离为 ，由此即可求
救轿车返回甲地的速度；
（2）轿车返回甲地的时间为 ，由此可求出轿车返回的直线解析式，货车的时间为 到达乙地，
可求出货车的直线解析式，由此即可求出相遇时的时间，由此即可求解；
（3）分类讨论，当轿车去乙地，轿车返回甲地，相遇后三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：根据题意，如图所示，线段 为轿车从甲地出发驶往乙地，路程是 ，时间是 ，
线段 是轿车原路返回甲地，时间为 ，
∴轿车在返回甲地过程中的速度 ．
（2）解：根据题意得，设线段 所在直线方程为 ，且 ， ，
∴ ，解方程组得， ，
∴轿车从乙地返回甲地的所在直线 的解析式为 ，
同理，设货车所在直线 的解析式为 ，且 ， ，
∴ ，解得， ，
∴货车所在直线 的解析式为 ，
∵轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇，
∴ ，解方程组得， ，
∴轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，轿车离甲地的距离为 ，货车离甲
地的距离为 ．
（3）解：①轿车未到达乙地，轿车的速度为 ，货车的速度为 ，
设时间为 ，
∴ ，解得， ；
②轿车到达乙地，返回甲地时，由（2）可知，轿车的路程与时间的关系为 ，货车的路程与
时间的关系为 ，
∴ ，解得， ；③当轿车与货车相遇后，
∴ ，解得， ；
综上所述，当时间为 小时，或 小时，或 小时两车相距 千米．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际运用，理解图示，掌握一次函数图形的性质，待定系数法求解析，
直线相交的意义是解题的关键．
25．如图，一次函数 的图象与y轴交于点B，与正比例函数 的图象相交于点 ，且
．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)求 的面积；
(3)点P在x轴上，且 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)正比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为
(2)10
(3) 或 或
【分析】（1）把点 代入 可得 ，再由 ，可得点 ，即可求解；
（2）根据 即可求解；
（3）分 和 两种情况，利用等腰三角形的定义和性质分别求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象与 轴交于点 ，与正比例函数 的图象相交于点，
∴ ，解得：
∴正比例函数的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 ，
把点 ， 代入 ，得：
，解得： ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：由题意知 ，
即 的面积为10；
（3）解：当 时，点 的坐标为 或 ；
当 时，过点A作 轴于点C，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ；
综上所述，点P的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，
等腰三角形的性质，利用分类讨论思想和数形结合解答是解题的关键．
