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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 37 圆锥曲线中的存在性和探索性问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、圆锥曲线中的存在性问题
1.存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．
一般步骤为：
①假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,
②用待定系数法设出,
③列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直
线、曲线或参数)不存在．
注：反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
【一般策略】
求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结
合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参
数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说
明理由的过程.
二、圆锥曲线中的探索性性问题
1.对于探索性问题,一般先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．
要注意：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．
二、题型精讲精练
【典例1】已知双曲线E： 与直线l： 相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两
个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）设 ， ， ，联立直线l与双曲线E的方程，消去y，得
，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，得 且
，即 且 ，由韦达定理，得 ，
则 ， ，联立消去k，得 ，再根据 的范围得出 的范围，即可得出答
案；
（2）设 ， ，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出 ，
，则 ，即线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两
个三等分点，则 ，结合弦长公式列式得 ，即可化简代入得出
，即可解出答案.
【详解】（1）设 ， ， ，联立直线l与双曲线E的方程，得 ，
消去y，得 ．由 且 ，得 且 ．
由韦达定理，得 ．所以 ， ．
由 消去k，得 ．
由 且 ，得 或 ．所以，点M的轨迹方程为 ，其中 或 ．
（2）双曲线E的渐近线方程为 ．设 ， ，联立 得 ，同理可得 ，
因为 ，所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．
若A，B为线段CD的两个三等分点，则 ．即 ，
．
而 ， ．
所以， ，解得 ，
所以 ，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．
【典例2】在平面直角坐标系 中,动点 ,满足 ,记点 的轨迹
为 ．
（1）请说明 是什么曲线,并写出它的方程；
（2）设不过原点 且斜率为 的直线 与 交于不同的两点 , ,线段 的中点为 ,直线 与 交于两
点 , ,请判断 与 的关系,并证明你的结论．
【解析】（1）设 , ,则因为 ,满足
,即动点 表示以点 , 为左、右焦点,长轴长为4,焦距为 的椭圆,其轨迹的方程
为 ；
（2）可以判断出 ,下面进行证明：设直线 的方程为 , , ,
由方程组 ,得 ①,
方程①的判别式为 ,由 ,即 ,解得 且 ．
由①得 , ,
所以 点坐标为 ,直线 方程为 ,
由方程组 ,得 , ,
所以 ．
又 ．
所以【题型训练-刷模拟】
1 . 存在性问题
一、解答题
1．双曲线 ： 的渐近线方程为 ，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求 的方程；
(2)是否存在直线 ，经过点 且与双曲线 于A， 两点， 为线段 的中点，若存在，求 的方
程；若不存在，说明理由.
2．已知椭圆方程为 ，过点 ， 的直线倾斜角为 ，原点到该直线的距
离为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)对于 ，是否存在实数k，使得直线 分别交椭圆于点P，Q，且 ，若存在，求
出k的值；若不存在，请说明理由．
3．已知椭圆 ： ，点 、 分别是椭圆 的左焦点、左顶点，过点
的直线 （不与x轴重合）交椭圆 于A，B两点．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若 ，求 的面积；(3)是否存在直线 ，使得点B在以线段 为直径的圆上，若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明
理由．
4．已知抛物线 ，直线 垂直于 轴，与 交于 两点， 为坐标原点，过点 且平行于
轴的直线与直线 交于点 ，记动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)点 在直线 上运动，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，在平面内是否存在定点 ，
使得 ？若存在，请求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．在直角坐标系 中，抛物线 与直线 交于M，N两点．
(1)若M，N的横坐标分别为 ，4，求直线l的方程及MN的中垂线所在的直线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有 ?说明理由．
6．如图， 为抛物线 上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点 ，直线AN过
点
(1)记A，B的纵坐标分别为 ，求 ；
(2)记直线AN，BM的斜率分别为 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在
说明理由7．已知椭圆 : 过点 ，离心率为 ，斜率不为零的直线 过右焦点 交椭圆
于 两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)在 轴上是否存在定点 ，使得 ，如果存在，求出 点坐标，如果不存在，
说明理由.
8．已知离心率为 的椭圆C的中心在原点O，对称轴为坐标轴，F，F 为左右焦点，M为椭圆上的点，
1 2
且 ．直线l过椭圆外一点 ，与椭圆交于 ， 两点，满足
．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)对于任意点P，是否总存在唯一的直线l，使得 成立，若存在，求出点 对应的直线l的
斜率；否则说明理由．
9．已知椭圆 过点 ，且上顶点与右顶点的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 的直线 交椭圆 于 两点， 轴上是否存在点 使得 ，若存在，求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知椭圆 的离心率为 ，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．
(1)求椭圆 的方程；(2)是否存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点？若存在，求该直线方程，若不存
在，请说明理由．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是 的左顶点， 的离心率为2.设过
的直线 交 的右支于 、 两点，其中 在第一象限.
(1)求 的标准方程；
(2)是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求出 的值；否则，说明理由.
12．已知动点 到定点 的距离与动点 到定直线 的距离之比为 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)对 ，曲线 上是否始终存在两点 ， 关于直线 对称？若存在，求实数 的取值范围；
若不存在，请说明理由．
13．已知抛物线 经过点 ，直线 与 交于 ， 两点（异于坐标原
点 ）．
(1)若 ，证明：直线 过定点．
(2)已知 ，直线 在直线 的右侧， ， 与 之间的距离 ， 交 于 ， 两点，试问是否存在 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
14．已知椭圆 的焦距为2，且经过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为 的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的
定点T，使 恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
15．已知双曲线 ： 的左、右焦点为 、 ，直线 与双曲线 交于 ， 两点.
(1)已知 过 且垂直于 ，求 ；
(2)已知直线 的斜率为 ，且直线 不过点 ，设直线 、 的斜率分别为 、 ，求
的值；
(3)当直线 过 时，直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 .是否存在直线 ，使得 ，若存
在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
2 . 探索性问题
一、解答题
1．已知椭圆 : 的左、右焦点分别为 , ,过点 且斜率为k的直线
与椭圆 交于A,B两点.当A为椭圆E的上顶点时, .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)当 时,试判断以AB为直径的圆是否经过点 ,并说明理由.
2．过抛物线 焦点 ，斜率为 的直线 与抛物线交于 、 两点， ．(1)求抛物线 的方程；
(2)过焦点 的直线 ，交抛物线 于 、 两点，直线 与 的交点是否在一条直线上．若是，求出
该直线的方程；否则，说明理由．
3．在以 为圆心，6为半径的圆A内有一点 ，点P为圆A上的任意一点，线段BP的垂直平
分线 和半径AP交于点M．
(1)判断点M的轨迹是什么曲线，并求其方程；
(2)记点M的轨迹为曲线 ，过点B的直线与曲线 交于C、D两点，求 的最大值；
(3)在圆 上的任取一点Q，作曲线 的两条切线，切点分别为E、F，试判断QE与QF是否垂直，
并给出证明过程．
4．已知椭圆C： ，短轴长为4，离心率为 ，直线l过椭圆C的右焦点F，且与椭圆
C交于A、B两点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求 面积的取值范围；
(3)若圆O以椭圆C的长轴为直径，直线l与圆O交于C、D两点，若动点 满足 ，试判断
直线MC与圆O的位置关系，并说明理由．
5．已知点E是圆 上的任意一点，点 ，线段DE的垂直平分线与直线EF交于
点C．(1)求点C的轨迹方程；
(2)点 关于原点O的对称点为B，与AB平行的直线l与点C的轨迹交于点M，N，直线AM与BN交
于点P，试判断直线OP是否平分线段MN，并说明理由．
6．已知双曲线 ，其右焦点为 ，焦距为4，直线 过点 ，且当直线 的倾斜角为
时，恰好与双曲线 有一个交点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若直线 交双曲线 于 两点，交 轴于 点，且满足 ，判断
是否为常数，并给出理由.
7．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，椭圆E的离心率为 ．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过 作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，其中l与x轴不重合，直线 与直线 交于点
P，判断直线 与DP的位置关系，并说明理由．
8．已知椭圆 的一个焦点为 ，点 在椭圆 上，点 满足
（其中 为坐标原点），过点 作一直线交椭圆于 、 两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 面积的最大值；(3)设点 为点 关于 轴的对称点，判断 与 的位置关系，并说明理由.
9．已知抛物线 的焦点为 为圆 上一动点，且 的最小值为
.
(1)求 的方程；
(2) 在 的准线上，过 作直线 的垂线交 于 两点， 分别为线段 的中点，试判断直
线 与 的位置关系，并说明理由.
10．已知双曲线 ： ， 为 的右顶点，若点 到 的一条渐近线的距离为
．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 ， 是 上异于 的任意两点，且 的垂心为 ，试问：点 是否在定曲线上？若是，求出
该定曲线的方程；若不是，请说明理由．
11．椭圆 的左右焦点分别为 ，左右顶点为 ， 为椭圆 的上顶点，
的延长线与椭圆相交于 ， 的周长为 ， ， 为椭圆 上一点．圆 以原点 为圆心
且过椭圆上顶点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 的直线与圆 切于 ，（ 位于第一象限），求使得 面积最大时的直线 的方程；(3)若直线 与 轴的交点分别为 ，以 为直径的圆与圆 的一个交点为 ，判断直线 是否
平行于 轴并证明你的结论．
12．已知动点T为平面内一点，O为坐标原点，T到点 的距离比点T到y轴的距离大1．设点T的轨
迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设直线l： ，过F的直线与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M且与y轴垂直的直线依
次交直线OA，OB，l于点N，P，Q，直线OB与l交于点E．记 的面积为 ，△ 的面积为 ，
判断 ， 的大小关系，并证明你的结论．
13．椭圆 的焦点 是一个等轴双曲线 的顶点,其顶点是双曲线 的焦点，椭
圆 与双曲线 有一个交点P， 的周长为 ．
(1)求椭圆 与双曲线 的标准方程；
(2)点M是双曲线 上的任意不同于其顶点的动点，设直线 ，的斜率分别为 ，求 的值；
(3)过点 任作一动直线l交椭圆 于A、B两点，记 ．若在线段AB上取一点R，使
得 ，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定曲线上运动？若是，求出该定曲线的方程；
若不是，请说明理由．
