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§8.14 圆锥曲线中的探索性与综合性问题
题型一 探索性问题
例1 (2023·广州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－2,0)，B(2,0)，点M满足直线
AM与直线BM的斜率之积为－，点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)已知点F(1,0)，直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数λ，
使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设M(x，y)，则k k ＝·＝－，化简得＋＝1且x≠±2，
AM BM
所以点M的轨迹(曲线C)的方程为
＋＝1且x≠±2.
(2)设N(4，n)，则直线AM为y＝(x＋2)，
联立曲线C得
整理得(n2＋27)x2＋4n2x＋4n2－108＝0，
由题设知x ＋x ＝－，则x ＝，故y ＝×＝，
A M M M
又tan∠MFD＝＝，tan∠NFD＝，
所以tan 2∠NFD＝＝＝＝tan∠MFD，即∠MFD＝2∠NFD，
所以存在λ＝2，使得∠MFD＝2∠NFD.
思维升华 存在性问题的解题策略
存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不
存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
跟踪训练1 (2023·阜阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，直线l在x轴上方与x轴平行，
交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为(6,4)．
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于点P，Q，与线段AB
交于点N，PM＝λPN，MQ＝λQN均成立？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)由已知C：－＝1(a>0，b>0)，
点A的坐标为(6,4)，得c＝4，
设焦点F(0,4)，F(0，－4)，
2 1
则2a＝AF－AF＝－6＝4.
1 2所以a＝2，b2＝c2－a2＝12，故C：－＝1.
(2)设l的方程为y＝2m(m>1)，
则D(0,2m)，故M(0，m)，
当直线PQ斜率存在时，如图，
设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
故N.
与双曲线方程联立得(3k2－1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，
由已知得3k2≠1，Δ>0，
设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝－，xx＝，①
1 2 1 2
由PM＝λPN，MQ＝λQN得
x＝λ，x＝λ，
1 2
消去λ得x＝x，
2 1
即2xx－(x＋x)＝0，②
1 2 1 2
由①②得m2＝2，解得m＝，
当直线PQ斜率不存在时，m＝，
故存在定直线l：y＝2满足条件．
题型二 圆锥曲线的综合问题
例2 (2024·广州模拟)已知双曲线C：－＝1，直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点．
(1)若M，N两点均在双曲线C的右支上，求证：＋为定值；
(2)试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说
明理由．
(1)证明 如图，F(4,0)，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
直线MN：x＝ty＋4，代入3x2－y2＝12，
整理得(3t2－1)y2＋24ty＋36＝0，
则y＋y＝，yy＝，
1 2 1 2
由解得t∈，
由MF＝＝|y|，
1
同理，NF＝|y|，
2
由于yy<0，不妨设y>0，y<0，
1 2 1 2
则＋＝＝·，
由(y－y)2＝(y＋y)2－4yy＝2－＝，得y－y＝，
2 1 1 2 1 2 2 1
所以＋＝·＝·＝为定值．
(2)解 由题意，圆的方程为2＋2＝，
即x2＋y2－(x＋x)x－(y＋y)y＋xx＋yy＝0，
1 2 1 2 1 2 1 2
由对称性可知，若存在定点，则必在x轴上，
令y＝0，有x2－(x＋x)x＋xx＋yy＝0，
1 2 1 2 1 2
由(1)可知x＋x＝t(y＋y)＋8＝，
1 2 1 2
xx＝(ty ＋4)(ty ＋4)＝t2yy＋4t(y＋y)＋16＝－＋16＝，
1 2 1 2 1 2 1 2
代入方程后有x2＋x＋＝0，
即(x2－4)＋(x＋2)＝0，
令解得x＝－2，故圆过定点(－2,0)．
当直线MN：y＝0时，圆过点(－2,0)．
综上，以MN为直径的圆过定点(－2,0)．
思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键
是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径 r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的
弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有PA·PB＝0.
跟踪训练2 如图，过抛物线E：y2＝2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于点A，B，AB的最小
值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点C，D(O为原点)．
(1)求抛物线E的方程；
(2)圆M过点C，D，交x轴于点G(t，0)，H(m，0)，证明：若t为定值时，m也为定值．并
求t＝－8时，△ABH面积S的最小值．解 (1)当直线AB斜率不存在时，此时A，B，∴AB＝2p，
当直线AB斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝k，
联立抛物线方程得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，
Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2＝4p2(k2＋1)>0，
设A(x，y)，B(x，y)，x＋x＝＝＋p，
1 1 2 2 1 2
此时AB＝x＋x＋p＝＋2p>2p，
1 2
显然当直线AB斜率不存在时，AB的值最小，
即2p＝4，解得p＝2，
∴抛物线E：y2＝4x.
(2)设A(x，y)，B(x，y)，C(－4，y)，D(－4，y)，则OA：y＝x，OB：y＝x，
1 1 2 2 3 4
由(1)知，xx＝，∴yy＝－p2＝－4，
1 2 1 2
∴y＝，y＝＝＝4y，
3 4 1
设圆心M(x，y)，则y＝＝2y－.
0 0 0 1
若G(t，0)(t为定值)，H(m，0)，
则x＝.
0
由MD＝MG，得(x＋4)2＋(y－y)2＝(x－t)2＋y，
0 0 4 0
∴4t＋4m＋80＝－tm，∴m＝也为定值．
∴H也为定点．
若t＝－8，则m＝12，S＝FH·|y－y|＝|y－y|＝≥×4＝22，
1 2 1 2
当且仅当y＝±2时取到最小值．
1
故△ABH面积S的最小值为22.
课时精练
1．(2023·郑州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，且点Q(，)在双曲线
C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在异于F的点P，使得
点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意得，c＝2，
所以所以a2＝1，b2＝3，所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)假设存在P(n，0)，设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由题意知，直线 AB 的斜率不为 0，当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB：x＝my＋
2(m≠0)，
联立消去x，得
(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，
则3m2－1≠0，Δ＝(12m)2－4×9(3m2－1)＝36(m2＋1)>0，
且y＋y＝－，yy＝，
1 2 1 2
因为点F到直线PA，PB的距离相等，
所以PF是∠APB的平分线，
则k ＋k ＝0，即＋＝0，
PA PB
则y(my＋2－n)＋y(my＋2－n)＝0，
1 2 2 1
整理得2myy＋(2－n)(y＋y)＝0，
1 2 1 2
故－＝0，
即3m－2m(2－n)＝0，因为m≠0，
所以n＝，此时P；
当直线AB的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，易得点 P也能让点F到直线PA，PB的
距离相等．
综上所述，故存在P满足题意．
2．(2023·德州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦
点，坐标原点为O，且△EOF的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，
求直线l的方程，若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意可知解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设满足条件的直线l存在，
由E(0，－2)，F(，0)，得k ＝，
EF
因为点F为△EAB的垂心，
所以AB⊥EF，所以k ＝－，
AB设直线l的方程为y＝－x＋t，
代入＋＝1，
得7x2－6tx＋6(t2－4)＝0，
Δ＝(－6t)2－4×7×6(t2－4)
＝－96t2＋672>0，
即－0，
所以直线l的方程为y＝－x＋.
3．(2024·唐山模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线交抛
物线于M，N两点，MN＝8.
(1)求抛物线E的方程；
(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直
线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由．
解 (1)设过点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－，代入y2＝2px(p>0)，
得x2－3px＋＝0，若M(x，y)，N(x，y)，则x＋x＝3p，
1 1 2 2 1 2
所以MN＝x＋x＋p＝4p＝8，则p＝2，
1 2
即抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)设A(x，y)，则过A作抛物线E的切线为y－y＝k(x－x)，即x＝＋x，
0 0 0 0 0
代入y2＝4x，整理得ky2－4y＋4y－ky＝0，
0
因为此直线与抛物线相切，所以Δ＝4(4－4ky＋k2y)＝0，即(ky－2)2＝0，解得k＝，
0 0
所以过A的切线为y－y＝(x－x)，
0 0
令y＝0得x＝－x，即B(－x 0)，
0 0,
所以BF＝AF＝AC，
又AC∥BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，所以四边形 ACBF为菱形．
4．(2023·绵阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，左、右顶点分别为A ，A ，椭圆
1 2
上异于A，A 的任意一点P，都满足直线PA，PA 的斜率之积为－.
1 2 1 2
(1)若椭圆上存在两点B，B 关于直线y＝x＋m对称，求实数m的取值范围；
1 2
(2)过右焦点F 的直线交椭圆于M，N两点，过原点O作直线MN的垂线并延长交椭圆于点
2
Q.那么，是否存在实数k，使得＋为定值？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意得，c＝2，A(－a，0)，A(a，0)，P(x，y)，
1 2
＝·＝－
⇒2y2＝a2－x2，①
∵点P在C上，∴y2＝b2－x2，
代入①式，得2b2－x2＝a2－x2，
∴a2＝2b2，
∵a2＝b2＋4，∴a2＝8，b2＝4，
∴椭圆C的方程为＋＝1，
设B(x，y)，B(x，y)， ⊥l，
1 1 1 2 2 2
设 ：y＝－x＋t，
联立
得3x2－4tx＋2t2－8＝0，
Δ＝(－4t)2－12(2t2－8)>0⇒t2<12
⇒t∈(－2，2)，
x＋x＝，xx＝.
1 2 1 2
∴BB 的中点M在l上，即＝＋m，
1 2
∴m＝－∈.
(2)设l ：x＝sy＋2，
MN
联立
得(s2＋2)y2＋4sy－4＝0，
y ＋y ＝，y y ＝，
M N M N
MN＝|y －y |＝，
M N
l ：y＝－sx，
OQ联立得x＝，y＝，
OQ2＝，
∴＋＝＋＝，
∵＋为定值，设为λ，
∴(k＋2)s2＋(2k＋1)＝8λs2＋8λ，
∴k＋2＝2k＋1，解得k＝，
∴存在k＝，使得＋为定值.
