文档内容
第4讲 范围、最值问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................8
【考点一】范围、最值问题............................................................................................................8
【专题精练】...............................................................................................................................21
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范围、最值问题，定点、定直线、定值
问题及探索性问题.
2.以解答题的形式压轴出现，难度较大．
真题自测
一、解答题
1．（2024·上海·高考真题）已知双曲线 左右顶点分别为 ，过点 的直线
交双曲线 于 两点.
(1)若离心率 时，求 的值．
(2)若 为等腰三角形时，且点 在第一象限，求点 的坐标．
(3)连接 并延长，交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围．
2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆 的离心率 ．左顶点为 ，下顶点为 是
线段 的中点，其中 ．
(1)求椭圆方程．
(2)过点 的动直线与椭圆有两个交点 ．在 轴上是否存在点 使得 ．若存在求出这
个 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
3．（2023·全国·高考真题）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点
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学科网（北京）股份有限公司在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据离心率公式计算即可；
（2）分三角形三边分别为底讨论即可；
（3）设直线 ，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.
【详解】（1）由题意得 ，则 ， ．
（2）当 时，双曲线 ，其中 ， ，
因为 为等腰三角形，则
①当以 为底时，显然点 在直线 上，这与点 在第一象限矛盾，故舍去；
②当以 为底时， ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 , 联立解得 或 或 ，
因为点 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；
（或者由双曲线性质知 ，矛盾，舍去）；
③当以 为底时， ，设 ，其中 ，
则有 ，解得 ，即 ．
综上所述： .
（3）由题知 ，
当直线 的斜率为0时，此时 ，不合题意，则 ，
则设直线 ，
设点 ，根据 延长线交双曲线 于点 ，
根据双曲线对称性知 ，
联立有 ，
显然二次项系数 ，
其中 ，
①， ②，
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则 ，因为 在直线 上，
则 ， ，
即 ，即 ，
将①②代入有 ，
即
化简得 ，
所以 , 代入到 , 得 , 所以 ,
且 ，解得 ，又因为 ，则 ，
综上知， ， ．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设 ，将其与双曲线方
程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.
2．(1)
(2)存在 ，使得 恒成立.
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.
（2）设该直线方程为： ， ， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合
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学科网（北京）股份有限公司韦达定理和向量数量积的坐标运算可用 表示 ，再根据 可求 的范围.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，其中 为半焦距，
所以 ，故 ，
故 ，所以 ， ，故椭圆方程为： .
（2）
若过点 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为： ，
设 ，
由 可得 ，
故 且
而 ，
故
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因为 恒成立，故 ，解得 .
若过点 的动直线的斜率不存在，则 或 ，
此时需 ，两者结合可得 .
综上，存在 ，使得 恒成立.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借
助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出 ；
（2）设直线 ： ， 利用 ，找到 的关系，以及 的面
积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【详解】（1）设 ，
由 可得， ，所以 ，
所以 ，
即 ，因为 ，解得： ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）因为 ，显然直线 的斜率不可能为零，
设直线 ： ， ，
由 可得， ，所以， ，
，
因为 ，所以 ，
即 ，
亦即 ，
将 代入得，
， ，
所以 ，且 ，解得 或 ．
设点 到直线 的距离为 ，所以 ，
，
所以 的面积 ，
而 或 ，所以，
当 时， 的面积 ．
【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关
系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.
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学科网（北京）股份有限公司4．(1) ；
(2) ．
【分析】（1）设 是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出 ，再根据二次
函数的性质即可求出；
（2）设直线 与椭圆方程联立可得 ，再将直线 方程与 的方
程分别联立，可解得点 的坐标，再根据两点间的距离公式求出 ，最后代入化简可得
，由柯西不等式即可求出最小值．
【详解】（1）设 是椭圆上任意一点, ,
，当且仅当 时取
等号，故 的最大值是 .
（2）设直线 ,直线 方程与椭圆 联立,可得 ,设
，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为直线 与直线 交于 ,
则 ,同理可得, .则
，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 .
【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思
路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较
难题．
考点突破
【考点一】范围、最值问题
一、单选题
1．（2023·河南周口·模拟预测）已知椭圆 的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的
两点．则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题）设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
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学科网（北京）股份有限公司二、多选题
3．（2024·贵州贵阳·三模）双曲线 的左、右焦点分别为点 ，斜率为正的渐
近线为 ，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，交双曲线于点 ，设点 是双曲线 上任意一点，若
，则（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．双曲线 的共轭双曲线方程为
C．当点 位于双曲线 右支时，
D．点 到两渐近线的距离之积为
4．（23-24高三上·山东德州·期末）双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲
线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分
该点与两焦点连线的夹角．已知 分别为双曲线 的左，右焦点，过 右支上一点
作双曲线的切线交 轴于点 ，交 轴于点 ，则（ ）
A．平面上点 的最小值为
B．直线 的方程为
C．过点 作 ，垂足为 ，则 （ 为坐标原点）
D．四边形 面积的最小值为4
三、填空题
5．（2022高三·全国·专题练习）抛物线 上的点到直线 的最短距离是 ．
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学科网（北京）股份有限公司6．（22-23高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，点 在抛物线上，且满足
，设弦 的中点M到y轴的距离为d，则 的最小值为 ．
四、解答题
7．（2024·吉林长春·模拟预测）已知椭圆 的两焦点 ，且椭圆 过
.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设椭圆 的左､右顶点分别为 ，直线 交椭圆 于 两点（ 与 均不重合），记直线
的斜率为 ，直线 的斜率为 ，且 ，设 ， 的面积分别为 ，求 的
取值范围
8．（21-22高二上·上海长宁·期末）已知双曲线C经过点 ，它的两条渐近线分别为 和
.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为 ､ ，过左焦点 作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求 周
长的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司9．（2022·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系 中，一动圆经过点 且与直线 相切，设该
动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点．
(1)求曲线K的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若 且直线OP与直线 交于Q点．求
的值；
(3)若点D、E在y轴上， 的内切圆的方程为 ，求 面积的最小值．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C A ACD ABD
1．C
【分析】由对称性和椭圆定义得到 ，从而表达出 ，并计算
出 ，从而得到最值，求出答案.
【详解】由对称性和椭圆定义可知 ，其中 ，
故 ，
不妨设 ， ， ，
则 ，
故当 时， 取得最小值，最小值为4，
当 时， 取得最大值，最大值为64，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司故当 时， 取得最小值，最小值为51，
当 时， 取得最大值，最大值为 ，
故 的取值范围是 .
故选：C
2．A
【分析】设点 ，由依题意可知， ， ，再根据两点间的距离公式得到 ，然后
消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点 ，因为 ， ，所以
，
而 ，所以当 时， 的最大值为 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数
的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的
长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量
的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
3．ACD
【分析】利用三角形面积公式得 ，再利用余弦定理得 ，则解出双曲线方程，再利用离心率定
义和共轭双曲线方程的含义即可判断AB；对C，计算得 ，再根据 的范围即可
判断；对D， ，利用点到直线的距离公式并结合点双曲线上化简即可.
【详解】如图，因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
则 ，所以 ，又 ，
在 中， ，
化简得 ，所以 ，双曲线 方程为 ，
对于A，双曲线 的离心率为 ，A正确；
对于B，双曲线 的共轭双曲线方程为 ，B错误；
对于C， ，因为 ，
则 ，即 ，C正确；
对于D，渐近线方程为 ，设 ，
点 到两渐近线的距离之积为 ，D正确，
故选：ACD.
4．ABD
【分析】对A，利用双曲线定义将 转化为 可得解；对B，设出直线 的方程为
与双曲线联立，根据 化简运算得解；对C，由双曲线的光学性质可知， 平分
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学科网（北京）股份有限公司，延长 与 的延长线交于点 ，则 垂直平分 ，即 ， 为 的中点，进而
得 得解；对D，求出 点坐标，根据 ，结合基本不等式可求解.
【详解】对于A，由双曲线定义得 ，且 ，
则 ，
所以 的最小值为 .故A正确；
对于B，设直线 的方程为 ， ，
联立方程组 ，消去 整理得， ，
，化简整理得 ，解得 ，
可得直线 的方程为 ，即 ，故B正确；
对于C，由双曲线的光学性质可知， 平分 ，延长 与 的延长线交于点 ，
则 垂直平分 ，即 ， 为 的中点，
又 是 中点，所以 ，故C错误；
对于D，由直线 的方程为 ，令 ，得 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以四边形 面积的最小值为4，故D项正确.
故选：ABD.
.
【点睛】关键点睛：C项中，结合已知给出的双曲线的光学性质，即可推出 垂直平分 ，
.
5．
【分析】设出抛物线上的点坐标，利用点到直线的距离公式求解作答.
【详解】设抛物线 上的点 ，则点P到直线 的距离：
，当且仅当 时取等号，
所以所求最短距离为 .
故答案为：
6．1
【分析】设 ,利用余弦定理表示出 ，利用抛物线定义结合梯形中位线性
质表示出 ，从而可得 的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由抛物线 可得准线方程为 ，
设 ，由余弦定理可得
,
由抛物线定义可得P到准线的距离等于 ，Q到准线的距离等于 ，
M为 的中点，由梯形的中位线定理可得M到准线 的距离为 ，
则弦 的中点M到y轴的距离 ，
故 ，
又 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为1，
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：本题综合性较强，涉及到余弦定理和抛物线定义以及基本不等式等，解答的关键是
利用抛物线的定义表示出弦 的中点M到y轴的距离，结合余弦定理表示出 的表达式，进而转
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学科网（北京）股份有限公司化为利用基本不等式求最值问题.
7．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得： ，求解即可；
（2）先确定直线 的斜率必不为0，设其方程为 ，联立椭圆方程，结合韦达定理，结
合题意可得直线 恒过 轴上一定点 .从而可求得 ，进而可
求解.
【详解】（1）由题意可得： ，解得 ，所以椭圆的方程为： ；
（2）依题意， ，设 ，直线 斜率为 .
若直线 的斜率为0，则点 关于 轴对称，必有 ，不合题意.
所以直线 的斜率必不为0，设其方程为 ，
与椭圆 的方程联立 得 ，
所以 ，且
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学科网（北京）股份有限公司因为M(x ,y )是椭圆上一点，满足 ，
1 1
所以 ，
则 ，即 .
因为
所以 ，此时 ，
故直线 恒过 轴上一定点 .
因此 ，
所以
，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，
当 即 时， 取得最大值 .
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
8．(1)
(2)
【分析】（1）设双曲线C的方程为 ，代入 坐标可得答案；
（2）当直线l的斜率不存在时 ，可得A､B的坐标及 的周长；当直线l的斜率存在，设直线l
的方程为 ，与双曲线方程联立， 的周长利用韦达定理得到
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学科网（北京）股份有限公司，设 ，根据 的范围可得答案.
【详解】（1）设双曲线C的方程为 ，
代入点 ，得 ，
所以双曲线C的标准方程为 .
（2）双曲线C的左焦点为 ，
设 ､ ，
①若直线l的斜率不存在，则 ，得A､B的坐标分别为 和 ，
此时 的周长为 .
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ，
由 得 ，
因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，
所以 ，
得
设 的周长为z，
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学科网（北京）股份有限公司，
设 ，由 ，得 ，
， ，
所以 ，
综上，由①②可得 的周长的取值范围 .
9．(1)
(2)
(3)8
【分析】（1）由题意动圆的轨迹满足抛物线的定义，所以得出抛物线的轨迹方程即可，
（2）联立直线l与抛物线，求出 的值，又 ，设出OP的方程，再联立抛物线求出 的值，
再求出 ，得出 的值；
（3）由于D、E在y轴上，设出D、E坐标，并求出 ，P点的横坐标即为 的高，再求 面
积的最小值即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由题意可知圆心到 的距离等于到直线 的距离，
由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹方程为 ，
（2）设直线l的方程为 ，
联立 ，消y得 ，
∴ ，∴ ，
设 ，∴ ,
又 ，
∴
∵ ，∴设直线OP的方程为 ，
联立 ，消y得 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
令 ，则 ，∴ ，∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故 的值为 ，
（3）设 ，
直线PD的方程为 ，
又圆心 到PD的距离为1，即 ，
整理得 ，
同理可得 ，
所以，可知b，c是方程 的两根，
所以 ， ，
依题意 ，即 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时上式取等号，
所以 面积的最小值为8．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数
的最值或范围．
规律方法：
求解范围、最值问题的常见方法
(1)利用判别式来构造不等关系．
(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系．
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式．
(4)利用基本不等式．
专题精练
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知直线 与椭圆 交于 两点， 是椭圆上
异于 的一点．若椭圆 的离心率的取值范围是 ，则直线 ， 斜率之积的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24 高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点 P 是椭圆 上的动点，则点 P 到直线
的距离最小值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．5 C． D．
3．（22-23高三上·河北石家庄·期末）已知双曲线 ： 的左右焦点分别是 ， ，
左右顶点分别是 ， ，离心率为2，点P在 上，若直线 ， 的斜率之和为 ， 的面积
为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
4．（2022高三·全国·专题练习）已知点 是双曲线 上的动点， ， 为该双曲线的左右焦点，
为坐标原点，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（22-23高二下·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于
两点， ，线段 的中点为 ，过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，则 的最
小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知抛物线C： ，点M在C上，直线l：
与x轴、y轴分别交于A，B两点，若 面积的最小值为 ，则 （ ）
A．44 B．4 C．4或44 D．1或4
7．（22-23高二上·北京延庆·期末）已知点P在抛物线 上，且 ，则 的最小值为（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A．2 B． C．3 D．4
8．（2023·山东日照·一模）已知椭圆 ： 的左、右焦点为 ， ，点 为椭圆
内一点，点 在双曲线 ： 上，若椭圆上存在一点 ，使得 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）过椭圆 的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点， ， 是椭圆的左、
右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A． 周长的最小值为18
B．四边形 可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是 ，则直线PB斜率的取值范围是
D． 的最小值为-1
10．（22-23高二上·山东济宁·期末）已知 为双曲线 的右焦点，直线 与该双曲线相
交于 两点（其中 在第一象限），连接 ，下列说法中正确的是（ ）
A． 的取值范围是
B．若 ，则
C．若 ，则点 的纵坐标为
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学科网（北京）股份有限公司D．若双曲线的右支上存在点 ，满足 三点共线，则 的取值范围是
11．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知抛物线 上的两个不同的点 关于直线
对称，直线 与 轴交于点 ，下列说法正确的是（ ）
A． 的焦点坐标为 B． 是定值
C． 是定值 D．
三、填空题
12．（21-22高二上·江苏镇江·期中）若点O和点F分别为椭圆 的中心和左焦点，点P为椭圆上
任意一点，则 · 的取值范围为 .
13．（21-22高二上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆 ，双曲线 与椭圆 共焦点，且与椭圆 在四
个象限的交点分别为 ，则四边形 面积的最大值是 .
14．（2023·江苏南通·模拟预测）已知点 是抛物线 上的动点，则 的最小
值为 .
四、解答题
15．（22-23高三上·天津南开·期末）已知椭圆C： 的离心率为 ，四个顶点所围成
菱形的面积为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)若A、B两点在椭圆C上，坐标原点为O，且满足 ，
（i）求 的取值范围；
（ii）求 的面积.
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学科网（北京）股份有限公司16．（2024·浙江金华·模拟预测）在直角坐标系 中，圆Γ的圆心P在y轴上（ 不与 重合），且与双
曲线 的右支交于A，B两点．已知 ．
(1)求Ω的离心率；
(2)若Ω的右焦点为 ，且圆Γ过点F，求 的取值范围．
17．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，
在椭圆 上仅存在 个点 ，使得 为直角三角形，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 是椭圆 上一动点，且点 在 轴的左侧，过点 作 的两条切线，切点分别为 、 .求
的取值范围.
18．（2024·湖北·一模）已知双曲线 经过椭圆 的左、右焦点 ，设 的
离心率分别为 ，且 ．
(1)求 的方程；
(2)设 为 上一点，且在第一象限内，若直线 与 交于 两点，直线 与 交于 两点，设
的中点分别为 ，记直线 的斜率为 ，当 取最小值时，求点 的坐标．
19．（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知抛物线 ， 为E上位于第一象限的
一点，点P到E的准线的距离为5．
(1)求E的标准方程；
(2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线 与 斜率乘积为 ．
（i）证明：直线 过定点；
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学科网（北京）股份有限公司（ii）求 的最小值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A D B B A A AC ABD
题号 11
答案 ABD
1．D
【分析】先设点 的坐标，然后将 的坐标代入方程中，相减，构造出直线 ， 的斜率，相
乘转化只含有 的表达式，再根据 的关系以及椭圆 的离心率的取值范围是 建立不等式，
求出直线 ， 斜率之积的取值范围即可.
【详解】设 ，
由直线 与椭圆 交于 两点可知 两点关于原点对称，
所以 且 ，
由题意知： ，两式相减得：
，
即 ，
又 ，
由椭圆的离心率的取值范围是 ，
即 ，
31 / 53
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
即 ，
故选：D.
2．D
【分析】
由题意设 ，利用点到直线的距离公式表示出点P到直线 的距离，
结合辅助角公式化简即可求得答案.
【详解】
由题意点P是椭圆 上的动点，设 ，
则点P到直线 的距离为
，其中 ，
当 时， 取最小值 ，
故选：D
3．A
【分析】根据离心率公式结合 的面积为 ，可得 ，再利用 列方程求解即
可.
【详解】
①
32 / 53
学科网（北京）股份有限公司②
所以
故 ③
由①②③，得 ，解得
故选：A.
4．D
【分析】设 在右支上，根据双曲线的性质求得 、 且 ，由已
知双曲线有 ，结合 的范围求范围，即可得结果.
【详解】由双曲线的对称性，假设 在右支上，即 ，
由 到 的距离为 ，而 ，
所以 ，
综上， ，同理 ，则 ，
33 / 53
学科网（北京）股份有限公司对于双曲线 ，有 且 ，
所以 ，而 ，即 .
故选：D
5．B
【分析】由抛物线定义及勾股定理得到 ， ，由基本不等式求出最值.
【详解】设 ，
因为 ，所以 ，
过点 分别作 准线于点 ， ，
由抛物线定义可知 ，
由梯形中位线可知 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，
故 ， 的最小值为 .
故选：B
34 / 53
学科网（北京）股份有限公司6．B
【分析】 为定值，设 则可将 面积表示为以 为自变量的二次函数，依据二次
函数的性质可将 面积的最小值用 表示出来，因为 面积的最小值为 ，解方程可以求出 的
值.
【详解】不妨设 ， ，由 ， ，
知 ．设 ，
则 ，
故 ，故 .
故选：B．
7．A
【分析】设 ，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质求解即可
【详解】设 ，则有 ，又 ，
所以
因为 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等，
所以 的最小值为2，
故选：A
35 / 53
学科网（北京）股份有限公司8．A
【分析】先求出椭圆左焦点 坐标为 ，由题得 ，解不等式得到
，再解不等式 即得解.
【详解】点 在双曲线 ： 上，所以 .
所以椭圆左焦点 坐标为 .
因为 ，所以 ,
所以 .
因为 ，所以 .
点 为椭圆 内一点，所以 ，
所以 或 .
综上： .
故选：A
9．AC
【分析】A由椭圆对称性及定义有 周长为 ，根据椭圆性质即可判断；B根据圆的性质，结合
椭圆方程与已知判断正误；C、D设 ，利用斜率两点式可得 ，进而判断C正误，应
用向量数量积的坐标表示列关于 的表达式，结合椭圆有界性求最值.
【详解】A：根据椭圆的对称性， ，当PQ为椭圆的短轴时，
有最小值8，所以 周长的最小值为18，正确；
36 / 53
学科网（北京）股份有限公司B：若四边形 为矩形，则点P，Q必在以 为直径的圆上，但此圆与椭圆 无交点，错
误；
C：设 ，则 ，因为直线PA斜率的范围是 ，
所以直线PB斜率的范围是 ，正确；
D：设 ，则
．因为 ，所以当 时， 最小值为 ，错误.
故选：AC．
10．ABD
【分析】对于A，根据渐近线分析即可求解；
对于B，结合对称性，双曲线定义即可求解；
对于C，结合对称性可知 为直角三角形， ，结合双曲线定义及勾股定理，可得
，进而求解；
对于D，根据临界情况，直线 的方程为： ，联立方程组，可得 ，进而求解.
【详解】对于A，双曲线的渐近线方程为 ，因为直线 与双曲线相交于 ，所以 的
取值范围是 ，故A正确；
对于B，设 为双曲线的左焦点，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司由对称性知， ，又 ，
所以 ，故B正确；
对于C，结合选项B，知 为直角三角形，且 ，
所以 ，化简得 ，
设点A的纵坐标为 ，则 ，故C不正确；
对于D，当直线 的斜率为 时，直线 的方程为： ，
联立方程组 ，得 ，
又 ，所以 ，
所以双曲线的右支上存在点 ，满足 三点共线，
则 的取值范围是 ，故D正确.
故选：ABD.
11．ABD
【分析】根据抛物线的性质可判定A选项；根据A、B关于直线对称及点在抛物线上可得
， ， ，联立化简可判定B、C选项；再利用AB中点在抛物线内可得
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学科网（北京）股份有限公司，结合直线方程可判定D选项.
【详解】根据抛物线的性质可知抛物线的焦点坐标为 ，即A正确；
设A、B的中点为D，则 ，易得 ①，
又 ②，且 ③， ④，
将③④代入②可得： ，
代入①可得 ，
故B正确，C错误；
所以A、B的中点 坐标为 ，
则直线 的方程为： ，
令 得： ，
而 位于抛物线内部，即 ，可得 ，
则 ．即D正确.
故选：ABD
12．
【分析】可设 ，可求得 与 的坐标，利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方程即可求得
其答案．
【详解】点 为椭圆 上的任意一点，设 ，
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学科网（北京）股份有限公司依题意得左焦点 ，
， ，
，
， ，
， ．则 ．
故答案为： ．
13．
【分析】设双曲线和椭圆在第一象限得交点为 ，根据对称性易得四边形 是矩形且面积为
，只需联立双曲线和椭圆，求出交点表达式即可.
【详解】依题意得，双曲线的焦点是 ，设双曲线方程为 ，且 ，不妨
设 在第一象限，根据对称性易得四边形 是矩形，且面积为： ，联立
，解得 ，注意到 ，化简得 ，于是 ， 所以四边形
面积为 ，又
， 取等号，则四边形 面积最大值为 .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司14． /
【分析】根据已知条件将问题转化为抛物线 上的动点 到直线 和 轴的距离之
和的最小值，作出图形，利用抛物线的定义及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题可知，过抛物线 上的动点 作直线 的垂线交直线于 ，过点
作 轴的垂线交 轴于 ，交准线于 点， 为抛物线焦点，
由 ，得 ，所以 ，如图所示
则 动点 到 轴的距离为
所以 ，
当且仅当 三点共线时， 有最小值，即 (此时
为点 到直线 的距离)，
所以 到直线 的距离为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
所以 的最小值为 .
故答案为：
15．(1)
(2)（i） （ii）
【分析】（1）利用菱形的面积和椭圆的性质列方程组即可得出；
（2）（i）设直线 的方程为 ，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用斜率的计算公
式、数量积运算即可得出；
（ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可得出.
【详解】（1）由已知可得 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）（i）设直线 的方程为 ，设 ，
联立 ，得 ，
，即 ，
， .
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学科网（北京）股份有限公司， .
,
，即 ，
，
， ，
，
又直线 的斜率不存在时 ,
的取值范围是 .
（ii）设原点到直线 的距离为 ，
则
，
由 化简可得 .
的面积为 .
16．(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）由点差法与直线与圆的性质分别得到与直线 的斜率有关的等量关系，结合已知条件将
坐标化，得 ，再结合两斜率关系，整体消元可得 ，从而求出斜率；
（2）将 化斜为直，转化为 坐标表
示，再由韦达定理代入得关于 的函数解析式，求解值域即可.
(x +x y + y )
【详解】（1）设A(x ,y )，B(x ,y )，则线段 中点M 1 2, 1 2
1 1 2 2 2 2
由题意 不与 重合，则 ，由 在双曲线右支上，则 ，
所以 斜率存在且不为 .
由 在双曲线上，则 ，且 ，
两式作差得 ，
所以有 ，
故 ①，
由圆Γ的圆心P在y轴上（P不与O重合），设 ，
由题意 ，
则 ，
化简得 ，由 ，得 ，
由圆Γ的圆心为 ，弦 中点为 ，所以 ，
则 ，即 ②，
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学科网（北京）股份有限公司由①②得， ，则 ，
故Ω的离心率为 .
（2）由Ω的右焦点为 ，得 ，
由（1）知， ，所以有 ，故双曲线的方程为 .
设圆的方程为 ，由圆Γ过点 ，则 ，
则圆的方程可化为 ，
联立 ，消 化简得 ，
，
其中 ， ，则有 ，
由 ，
同理 ，
所以 ，
其中 ，
令 ，则 ，
所以 ，
设 ， ，
由函数 在 单调递增，则 ，即 ，
所以有 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ,
.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线最值范围问题，关键在把要求最值（范围）的几何量、代数式转化为某个
（些）参数的函数，然后利用函数、不等式方法进行求解.
17．(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，当 时，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
设点 ，利用平面向量数量积的坐标运算可得出 ，再利用 面积的最大值可得出 、
的值，可得出 的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）证明出抛物线 在点A(x ,y )处的切线方程为 ，可得出抛物线在点 处的切线方
1 1
程，联立两切线方程，求出点 的坐标为 ，设 ，其中 ，利用二
次函数的基本性质可求得 的取值范围.
【详解】（1）解：当 轴时，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
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学科网（北京）股份有限公司当 轴时，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
当 时，由题意可知，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
设点 ，其中 ，则 ，可得 ，
且 ， ，
则 ，可得 ，
由题意可知， ，则 ，
当点 为椭圆短轴的顶点时， 到 轴的距离最大，此时， 的面积取最大值，
即 ，则 ，故 ，
因此，椭圆的方程为 .
（2）解：设点A(x ,y )、B(x ,y )，先证明出抛物线 在点 处的切线方程为 ，
1 1 2 2
联立 可得 ，即 ，解得 ，
所以，抛物线 在点 处的切线方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司同理可知，抛物线 在点 处的切线方程为 ，
联立 可得 ，
所以， ，则 ，即点 ，
因为点 在 轴左侧，则 ，即 ，
因为点 在椭圆 上，则 ，
设 ，其中 ，则 ， ，
所以，
，
因为 ，则 ，则 ，
所以， ，
因此， 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
48 / 53
学科网（北京）股份有限公司18．(1) 的方程为 的方程为
(2)
【分析】（1）由题意可得 ， ，解方程即可求出 ，即可求出 的方
程；
（2）设直线 的斜率分别为 ，由题意可得 ，设直线 的方程为： ，联立
可得 ，同理可得 ，即可求出直线 的斜率为 ，再由
基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）依题意可得 ，得 ，
由 ，得 ，解得 ，
故 的方程为 的方程为 ．
（2）易知 ，设P(x ,y )，直线 的斜率分别为 ，
0 0
则 ，P(x ,y )
0 0
在 ，即有 ，
可得 为定值．
设直线 的方程为： ，联立 可得
恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司设A(x ,y ),B(x ,y )，则有 ，
1 1 2 2
可求得 ，
设直线 的方程为： ，
同理可得 ，
则
由 可得： ，
点 在第一象限内，故 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
而 ，故等号可以取到．
即当 取最小值时， ，联立 ，
可解得 ，
故 的方程为： 的方程为： ，
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学科网（北京）股份有限公司联立可解得 ，即有 ．
【点睛】关键点点睛：本题（2）问的关键点在于设直线 的斜率分别为 ，由题意可得 ，
联立直线 与椭圆的方程求得 ，联立直线 与椭圆的方程同理可得
，即可求出直线 的斜率为 ，再由基本不等式即可得出答案.
19．(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）由题可知 ，求解即可得到抛物线的方程；
（2）（i）先求解 ，设 ，根据斜率公式结合题意可得 ，
分斜率存在和不存在分别求得直线 的方程，从而可确定过定点 ；（ii）设 ，当
直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，联立方程组，结合韦达定理求得
的最小值为 ；当直线 斜率不存在时，由抛物线定义知 ，从
而可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由题可知 ，解得 .
所以 的标准方程为 ；
（2）（i）由（1）知， ，且 ，解得 ，所以 .
设 ，则 ，同理可得， ，
则 ，即 .
当直线 斜率存在时，直线 的方程为 ，
整理得 .
所以 ，即 ，
所以直线 过定点 ；
当直线 的斜率不存在时 ，可得 .
综上，直线 过定点 .
（ii）设 ，当直线 斜率存在时，
设直线 的方程为 ，
与抛物线 联立得 ，消去 得 ，
由题意 ，所以 .
所以
，
52 / 53
学科网（北京）股份有限公司所以当 时， 的最小值为 ；
当直线 斜率不存在时， .
由抛物线定义知 .
故 的最小值为 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
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