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专题03 三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”
字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型
图1 图2
8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：① ；②
。
8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图）， 与 的交点为 ，且 ，
， 保持不变．为了舒适，需调整 的大小，使 ，则图中 应 （填
“增加”或“减少”） 度．
【答案】 减少 10
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【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即
可判断．
【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由
∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的
关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含
了数形结合的思想方法．
例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．
【答案】540°
【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝
∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．
【详解】解：如图所示：
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由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝
∠GML，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）
×180°＝3×180°＝540°．
【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将
所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键
例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段 相交于点O，连接 ，则我
们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 和 的平分线 和 相交于点P，且与 分别相交于点 ．
①若 ，求 的度数；
②若角平分线中角的关系改为“ ”，试探究 与 之间的数量
关系．
【答案】(1)见解析(2)① ；②
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（2）①根据角平分线的定义得到 ， ，再根据“8字形”得到
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，两等式相减得到 ，即
，即可求解．②根据 ，可得 ，
，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：在 中， ，
在 中， ，
∵ ，∴ ；
（2）解：①∵ 和 的平分线 和 相交于点P，∴ ，
∵ ①， ②，
由 ，得： ，即 ，
∵ ，∴ ；
②∵ ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ），故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．
例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段 ， 交于点 ，连接 ， ，判断 与 的大小关系，并说明理由；
(2)如图2， 平分 ， 为 上任意一点，在 ， 上截取 ，连接 ， ．求证：
；
(3)如图3，在 中， ， 为角平分线 上异于端点的一动点，求证： ．
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【答案】(1) ；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解
【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知， ， ，两式相加即可得出
结论；（2）根据 证 即可得出结论；
（3）在 上取一点 ，使 ，连接 交 于点 ，证 ，即 ，同理证
，然后同理（1）得 ，变形不等式即可得出结论．
【详解】（1）解： ，理由如下：
， ，
，即 ；
（2）证明： 平分 ， ，
在 和 中， ， ， ；
（3）证明：在 上取一点 ，使 ，连接 交 于点 ，
是 的角平分线， ，
在 和 中， ， ， ，同理可证 ，
， ， ，即 ，
， ．
【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是
解题的关键．
例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能
够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为
基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问
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题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论 ．
我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论 ．
(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：
如图2， 、 分别平分 、 ，说明： ．
(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：
①如图3，直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，若 ， ，求
的度数．②在图4中， 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，猜想 与 、
的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中， 平分 ， 平分 的外角
，猜想 与 、 的关系（直接写出结果，无需说明理由）．
【答案】(1)见解析(2)① ；② ；③
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【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ，再根据题干的结论列出
，相加得到 ，继
而得到 ，即可证明结论；
（2）①如图所示，分作 的角平分线交于H，根据（1）的结论得到 ，
再由角平分线的定义和平角的定义证明 ， ，再根据题干的结论可推出
；②如图所示，分作 的角平分线交于H，由（1）的结论可知
，，同理可得 ， ，则由四边形内角和定理可得
；③由题干的结论可得 ，由角平分线的定义得到
，再求出 ，由题干的结论可知
，由此可得 ．
【详解】（1）解：∵ 分别平分 ，
∴ ，∴ ，
由题干的结论得： ，∠ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即 ；
（2）解：①如图所示，分作 的角平分线交于H，
由（1）的结论可知 ，
∵ 分别平分 ，∴ ，
∵ ∴ ，
∴ ，同理可得 ，由题干的结论可得 ，
∴ ；
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②如图所示，分作 的角平分线交于H，
由（1）的结论可知 ，，同理可得 ， ，
∴ ；
③由题干的结论可得 ，
∵ 平分 ， 平分 的外角 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
由题干的结论可知 ，∴ ，
∴
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8”
字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
模型2、“A”字模型
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结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若 ，那么 的度数为
．
【答案】
【分析】根据平角的定义求出 ，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：如图
， ， ，
， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基
例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图， 中， ，直线 交 于点D，交 于点
E，则 （ ）．
A． B． C．235 D．245
【答案】D
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【分析】根据三角形内角和定理求出ADEAED，根据平角的概念计算即可．
【详解】解：∵A65，ADEAED18065115，
BDECED360115245，故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180是解题的关键．
例3．（2022·福建泉州·九年级校考期中）如图， ，若 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质求出∠D，再根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵ ，∴∠ABC＝∠D＝45°，
∵∠A＝60°，∴∠E＝180°－∠A－∠D＝180°－60°－45°＝75°. 故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等是解题的关键．
例4．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示， 的两边上各有一点 ，连接 ，求证
．
【答案】见解析
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．
【详解】解： 和 是 的外角， ．
又 ， ．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
例5．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在 中， ，现将一块直角三角板放在
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上，使三角板的两条直角边分别经过点 ，直角顶点D落在 的内部，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明
∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴ 40°-90°=50° 故选C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
例6．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1， 为直角三角形， ，若沿图中
虚线剪去 ，则 __________；
（2）如图2，在 中， ，剪去 后成为四边形，则 __________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳 与 的关系是______________；
（4）若没有剪去 ，而是将 折成如图3的形状，试探究 与 的关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和为 ，三角形的外角和定理，则 ， ，
，即可；
（2）根据三角形的内角和为 ，三角形的外角和定理，则 ， ，
，即可；
（3）根据（1）和（2）可知， ，根据 ，即可；
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（4）根据折叠的性质，则 ，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则
， ， ，再根据等量代换，即可．
【详解】（1） 为直角三角形， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
（2）∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
（3）由（1）和（2）得， ，
∵ ，∴ ，∴ ．
（4） ，理由见下：由题意得， ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，三角形的内角和和三角形的外角
和定理．
例7．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
应用上面模型解决问题：
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(1)如图（2），“五角星”形，求 ？
分析： 图中 是“A”型图，于是 ，所以 = ；
(2)如图（3），“七角星”形，求 ；
(3)如图（4），“八角星”形，可以求得 = ；
【答案】(1)180°(2)180°(3)360°
【分析】（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；
（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．
（3）根据三角形外角的性质把8个角转化到一个四边形中可得答案．
【详解】（1）解：如图，
【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由三角形外角的性质可得， ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故答案为：180°；
（2）如图，由（1）得，
∵ ，∴ ．
（3）如图，由三角形外角的性质可得， ， ， ，
故答案为：360°．
【点睛】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．
模型3、三角板模型
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【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
例1．（2023·山西吕梁·联考模拟预测）如图： 和 是两块直角三角尺，两直角三角尺的
斜边AB、DE在同一直线上，其中 ， ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵由题意得 ， ，
∴ ，故选：B
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，解决本题的关键是熟练掌握三角形外角的性质，即三角形的一
个外角等于与它不相邻的两个内角和．
例2．（2023春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中 ， ，
，若 相交于点E，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
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【分析】在 中，利用三角形内角和定理，可求出 的度数，再结合对顶角相等，即可得出
的度数．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，∴ ．故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及对顶角，牢记“三角形内角和是 ”及“对顶角相等”是解题
的关键．
例3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在 的延长线上，点
C、F分别为直角顶点，且 ， ，若 ，则 的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【分析】由 ，利用“两直线平行，内错角相等”可求出 ，再利用三角形的外角性质，
即可求出 的度数．
【详解】解：∵ ，∴ ．
∵ 是 的外角，∴ ．故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两
个内角的和”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
例3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含 角的直角三角板的直角顶点在另
一个三角板的斜边上，若 ，则 的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质进行求解即可．
【详解】解：如图，由题意得： ， ，
， ， ．故选：D．
【点睛】本题考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
例4．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图， ，一副直角三角板 和 如图摆放，
， ，若 ，则下列结论：① ；② ；③ ；
④ 平分 ，正确的有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】如图，由题意得： ，根据平行线的性质求出
，进而可求出 ，即可判断③④；根据三角形的内角和定理、
平行线的性质和角的和差求出 ，即可判断①；求出 ，进而可判断②．
【详解】解：如图，由题意得： ，∵ ，∴ ，
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∵ ， ∴ ，
∴ ， ，故结论③错误；
∵ ，∴ ，∴ 平分 ，故结论④正确；
∵ ，∴ ，∴ ，故结论①正确；
∵ ，∴ ，∴ ，故结论②正确；故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握
三角形的相关知识和平行线的判定和性质是解题的关键．
例5．（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）一副三角板如图1摆放， ， ，
，点 在 上，点 在 上，且 平分 ，现将三角板 绕点 以每秒 的速度顺
时针旋转（当点 落在射线 上时停止旋转），设旋转时间为 秒．
(1)当 ______秒时， ；当 ______秒时， ；
(2)在旋转过程中， 与 的交点记为 ，如图2，若 有两个内角相等，求 的值；
(3)当边 与边 、 分别交于点 、 时，如图3，连接 ，设 ， ，
，试问 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1) ； (2)当 为6或15或24时， 有两个内角相等
(3)是定值， ，理由见解析
【分析】（1）由平行和垂直求出旋转角，结合旋转速度求出旋转时间；
（2）画出图形，分类讨论，① ；② ；③ ，求出旋转角，再求出
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值；（3）找出与 ， ， ，有关的数量关系，再把无关的角消去，得出结论．
【详解】（1）如图，当 时，
平分 ， ， ，
又 为 的一个外角， ， ；
如图，当 时， ， ，
， ， ．故答案为：3；
21．
（2）①如图，当 时，
， ， ；
②如图，当 时， ， ，
， ；
③如图，当 时， ， ，
综上所述：当 为6或15或24时， 有两个内角相等．
（3） 是为定值105，理由如下：
是 的一个外角， 是 的一个外角，
， ，
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又 ， ， ，
， ．
【点睛】本题以求三角形旋转时间为背景，考查了学生对图形的旋转变换、平行的性质、垂直的性质和求
等腰三角形内角的掌握情况，第（2）问分情况讨论是解决问题的关键，第（3）问找到三个角之间的关系
是关键．
课后专项训练
1．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图， 的度数为（ ）
A．540° B．500° C．460° D．420°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可得 ，根据平角的定义和四边形内角和可得
，同理可得 ，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，
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∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴
∵ ∴ ，
同理可得： ，∴ ，故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于 是解题的关键．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用内外角之间的关系可得 ．
【详解】解：∵三角形的内角和等于 ，∴可得 和 的邻补角之和等于 ，
∴ ，故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内外角之间的关系，三角形的内角和等于 ,解题的关键是理解题意，掌握
这些知识点．
3．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角
板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC＋∠DCB＝90°，进而可求出∠ABD＋
∠ACD的度数．
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【详解】解：在 ABC中，∠ABC+∠ACB＝120°，
在 DBC中，∠△BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠△ABD+∠ACD＝120°﹣90°＝30°．故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°，此题难度不大．
4．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则
的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用四边形内角和为 和直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵在 中， ，∴ ，
∵ ，∴ 故选：A．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和，解题关键在于根据四边形内角和为 和直角
三角形的性质求解．
5．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中 ，
， 则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和求出 ， ，
由 ，求出 ，再由外角和是 即可求出答案．
【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：如图， ， ， ，
， ，
， ，
， ．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质定理、多边形外角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键．
6．（2023秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在由线段 组成的平面图形中，
，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图标记 ，然后利用三角形的外角性质得 ， ，再
利用 互为邻补角，即可得答案．
【详解】解：如下图标记 ， ，
， ，又 ， ，
， ，故选C．
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【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角
的意义是解答此题的关键．
7．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）一副三角板如图所示放置，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由外角定理知， ，将已知角代入求解即可．
【详解】解：如图， ， ，∵ ，∴ ，故选：A．
【点睛】本题考查三角形外角定理，观察图形，由角的位置关系导出角之间数量关系是解题的关键．
8．（2023秋·海南海口·九年级校考期末）将一个直角三角板 与一个直尺按如图所示的方式摆放，若
， ， ，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，得到 ，结合 得到 得度数．
【详解】∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，补角，熟练掌握性质是解题的关键．
9（2022春·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳：
（1）如图1，已知 ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2= °．
（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2= °．
（3）如图2，根据△（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ．
【答案】 270°/270度 220°/220度 180°+∠A
【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
（3）根据（1）（2）可以直接写出结果．
【详解】解：（1）∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-90°=270°，∴∠1+∠2等于270°，故答案为：270°；
（2）∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A =180°+40°=220°，故答案是：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A；
证明：∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A；故答案为：180°+∠A．
【点睛】主要考查了三角形的内角和定理，四边形内角和定理．熟练掌握三角形的内角和定理、四边形内
角和定理是解题的关键．
10．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若 ，则
．
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【答案】 /250度
【分析】按图先进行标注，根据外角性质分别表示出 ， ，
， ，再根据 ，进行求解即可得出
最后结果．
【详解】解：如图，进行标注，
是 的一个外角， ，
是 的一个外角， ，即 ，
是 的一个外角， ，
，
是 的一个外角， ，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，圆周角及邻补角的应用，熟练掌握外角性质是解答本题的关键．
11．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知 ，
．
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【答案】 /240度
【分析】由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】连接 ， ，
∴
又 ，∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角性质
以及三角形内角和定理是解决问题的关键．
12．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图 ，将三角板 与三角板 摆放在一起；如图 ，其
中 ， ， ．固定三角板 ，将三角板 绕点 按顺时针方
向旋转，记旋转角 ．
(1)在旋转过程中，当 为 度时， ；当 为 度时， ．
(2)当 时，连接 ，利用图 探究 值的大小变化情况，并说明理由．
【答案】(1) ， (2)不变，理由见解析
【分析】（1）如图 ，记 与 的交点为点 ， 与 的交点为点 ，由 ，可得
，再利用角的和差关系可得答案；如图 ，记 与 的交点为 ，求解
，由角的和差关系可得答案；
（2）如图3，设 分别交 、 于点 、 ，在 中，可得 ，
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结合 ， ，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图 ，记 与 的交点为点 ， 与 的交点为点 ，
， ， ， ，即 ，
如图 ，记 与 的交点为 ，
， ， ，
，即 ，
（2）当 ， ，保持不变，理由如下：
如图3，设 分别交 、 于点 、 ，在 中， ，
， ，
， ， ．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形的外角的性质的应用，熟练的利
用旋转的性质与三角形的外角的性质解题是关键．
13．（2023春·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．
他用一副三角板拼成了如下两幅图．(1)图1中， 的度数是______．(2)①求图1中 的度数；②
图2中， ，求 的度数．
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【答案】(1) (2)① ；②
【分析】（1）由三角板可知 ， ，然后利用三角形外角的性质求解即可；
（2）①由三角板可知 ， ，然后利用三角形外角的性质求解即可；
②由三角板可知 ，然后根据平行线的性质得出 的度数，再利用三角形外角的性质求解即
可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，故答案为： ；
（2）解：①∵ ， ，∴ ；
②∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和是解题的关键．
14．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图所示，有一块直角三角板 足够大 ，其中，
把直角三角板放置在锐角 上，三角板 的两边 、 恰好分别经过 、 ．
(1)若 ，则 ______ ， ______ ， ______
(2)若 ，则 ______ ．（写出求解过程）
(3)请你猜想一下 与 所满足的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)140，90，50；(2)35，过程见解析；(3) ，理由见解析．
【分析】（1）在 中，由 和三角形内角和定理求得 ，在 中，由
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及三角形内角和定理求得 ，即可求得 ；
（2）按照（1）的过程即可得到答案；
（3）在 中， ．在 中， ，利用
，即可得到答案．
【详解】（1）在 中， ， ，
在 中， ， ，
；故答案为：140，90，50．
（2）在 中， ， ，
在 中， ， ，
，故答案为：35；
（3） 与 之间的数量关系为： ．
理由如下：在 中， ．在 中， ．
， ．
【点睛】此题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键．
15．（2023·福建南平·八年级统考期末）结论：直角三角形中， 的锐角所对的直角边等于斜边的一半.
如图①，我们用几何语言表示如下：
∵在 中， ， ，∴ .
你可以利用以上这一结论解决以下问题：
如图②，在 中， ， ， ， ，
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（1）求 的面积；（2）如图③，射线 平分 ，点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿
着射线 的方向运动，过点 分别作 于 ， 于 ， 于 .设点 的运动时间
为 秒，当 时，求 的值.
【答案】（1） ；（2） 或
【分析】（1）过点C作CH⊥AB于点H，则∠CAH=90°，即可求出∠ACH=30°，求出AH，根据勾股定理即可
求解；（2）分两种情况讨论①当点P在 ABC内部时②当点P在 ABC外部时，连结PB、PC，利用面积法
进行求解即可. △ △
【详解】（1）过点C作CH⊥AB于点H，则∠CAH=90°，如图②
∵ ∴∠ACH=30°∴
∴ ∴
（2）分两种情况讨论
①当点P在 ABC内部时，如图③所示，连结PB、PC.
△
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设PE=PF=PG=x∵
∴ ∴
∵AM平分∠BAC，∴ ，∴ ，
∴ ∴
②当点P在 ABC外部时，如图④所示，连结PB、PC.
△
设PE=PF=PG=x，∵
∴ ，解得 由①知， ，
又 ，∴ ，∴ ∴
∴当PE=PF=PG时， 或
【点睛】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质，掌握勾股定理及三角形的面积法是关键.
16．（2022·广东云浮·九年级校考期中）把一副三角板按如图甲放置，其中 ，
， ，斜边 ， ．把三角板 绕点 顺时针旋转 得到 （如
【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
图乙）．这时 与 相交于点 、与 相交于点 ．
(1)写出 度；(2)线段 的长为 ；(3)若把 绕着点 顺时针旋转 得 ，
这时点 在 的内部、外部、还是边上？说明理由．
【答案】(1) (2) (3)内部，理由见详解
【分析】（1）根据旋转角度，可算出 ，在 中，可算出 ，根据 是
的外角，由此即可求解；（2）根据（1）可知 垂直平分 ， ， ，可算出 ，
的长度，在 中，由勾股定理即可求解；（3） 绕着点 顺时针旋转 得 ，
设直线 与 相交于 ，在 中求出 的长，在 中算出 的长，进行比较即可求
解．
【详解】（1）解：∵旋转角为 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
在 中， ．
（2）解：由（1）可知， ，且 ，
∴ 平分 ， ，∴ ，
在 中，由勾股定理得， ．
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（3）解：如图所示，点 在 的内部．
理由如下：如图所示，
设直线 与 相交于 ，∵ 绕着点 顺时针旋转 ，∴ ，且 ，
∴ 是等腰直角三角形，且 ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，即 ，∴点 在 的内部．
【点睛】本题主要考查特殊角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，掌握旋转的性质，特殊角的
直角三角形的性质是解题的关键．
17．（2022·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．
(1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；
(2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．
【答案】（1）47°；（2）43°
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出 ，由平分线的定义可得出
、 ，再结合三角形内角和定理即可得出 ，代入 度数
即可得出结论；（2）由邻补角互补结合角平分线可得出 ，根据三角形外角性质结合
【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）中 即可得出 ，再根据三角形内角和定理即可得出
，代入 度数即可得出结论．
【详解】解：（1） ， ， ，
， ， ， ．
平分 交 于 ， 平分 交 于 ，
， ．
， ，
， ．
（2） ， 平分 交直线 于 ，
，
， ，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角以及邻补角，解题的关键
是：（1）根据三角形内角和定理找出 ；（2）根据三角形内角和定理找出 ．
本题属于中档题，难度不大，但重复用到三角形内角和定义稍显繁琐．
18．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板 放置在 上（
点在 内），三角板 的两条直角边 、 恰好分别经过点 和点 ．探究 与 是
否存在某种确定的数量关系．
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(1)特殊探究：若 ，则 ____度， ____度， ____度；
(2)类比探索：请探究 与 的关系；
(3)类比延伸：如图②，改变直角三角板 的位置，使 点在 外，三角板 的两条直角边 、
仍然分别经过点 和点 ，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理
由．
【答案】(1) ； ； (2)
(3)不成立， ，理由见解析
【分析】（1）已知 ，根据三角形内角和定理易求 的度数，已知 ，根据三
角形内角和定理易求 的度数，进而得到 的度数；
（2）由（1）中 的度数， 的度数，相减即可得到 与 的关系；
（3）由于在 中， ，在 中， ，相减即可得到结
论．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．故答案为： ； ； ．
（2） 与 的关系为： ，
理由如下：由（1）得： ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
∴ ．
（3）不成立，存在 ，
理由如下：在 中， ，
在 中，∵ ，∴ ，
∴ ，
【36淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∴ ．∴（2）中的结论不成立．
【点睛】本题考查三角形内角和，直角三角形两锐角互余．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于
．注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出 ， 的度数．
19．（2023·安徽淮北·八年级统考期末）如图，在 中， ，直线 分别交 的边 、
和 的延长线于点D、E、F．
(1)若 ，则 ．(2) 、 、 有什么数量关系？请说明理由．
【答案】(1) (2) ，理由见解析
【分析】（1）在 中利用三角形内角和求出 ，再在 中利用三角形内角和即可得出答案；
（2）在 中利用三角形内角和表示出 ，再在 中利用三角形内角和即可得出答案.
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ．故答案为： ；
（2） ，
理由：∵ ，∴ ，∵
∴ ，
∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形三个内角的和等于 ．
20．（2023·山东青岛·八年级校联考期末）阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间
的数量关系为 ．
【模型应用】应用一：如图4，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角
∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P．则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），
【37淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角
∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，试问∠P与
∠C、∠B之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写
出结论 ．
【答案】∠A+∠B＝∠C+∠D； 25°；∠P＝ ；α+β﹣180°，∠P＝ ； ；
∠P＝ ；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝
∠B+∠D，再代入计算可求解；探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，利用三角形内角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再运用角平分
线定义及三角形外角性质即可求得答案；
应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，利用应
用一的结论即可求得答案；
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拓展一：运用探索一的结论可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝
∠C+∠CAB，再结合已知条件即可求得答案；
拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．
【详解】解：探索一：如图1，
∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°，故答案为25°；
探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，
①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1
∠D+2∠B＝2∠P+∠B．∴∠P＝ ．故答案为：∠P＝ ．
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCD＝ ∠ACD，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝ （∠ACD﹣∠ABC）＝ ∠A＝ ，
故答案为：α+β﹣180°， ；
应用二：如图5，
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延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，
∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，
由应用一得：∠P＝ ∠A＝ ，故答案为： ；
拓展一：如图6，
由探索一可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，
∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，∠PAB＝ ∠CAB，∠PDB＝ ∠CDB，
∴∠P+ ∠CAB＝∠B+ ∠CDB，∠P+ ∠CDB＝∠C+ ∠CAB，
∴2∠P＝∠C+∠B+ （∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+ （x﹣y）＝ ，
∴∠P＝ ，故答案为：∠P＝ ；
拓展二：如图7，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，∴∠PAD＝ ∠BAD，∠PCD＝90°+ ∠BCD，
由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
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②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，
③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【点睛】本题是探究性题目，考查了三角形的相关计算、三角形内角和定理、角平分线性质、三角形外角
的性质等，此类题目遵循题目顺序，结合相关性质和定理，逐步证明求解即可．
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