文档内容
重难点突破 11 圆锥曲线中的探索性与综合性问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：存在点使向量数量积为定值................................................................................................2
题型二：存在点使斜率之和或之积为定值........................................................................................7
题型三：存在点使两角度相等..........................................................................................................12
题型四：存在点使等式恒成立..........................................................................................................17
题型五：存在点使线段关系式为定值..............................................................................................23
题型六：存在定直线问题..................................................................................................................29
题型七：存在定圆问题......................................................................................................................35
03 过关测试.........................................................................................................................................39解决存在性问题的技巧：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，
然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．
（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
题型一：存在点使向量数量积为定值
【典例1-1】（2024·北京通州·二模）已知椭圆 ： （ ）的长轴长为4，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于 两点（不与左右顶点重合），点 在 轴正半轴上，
直线 交 轴于点P，直线 交 轴于点 ，问是否存在 ，使得 为定值？若存在，求出 的值
及定值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为椭圆 的长轴长为 ，离心率为 ，
所以 ， ．
所以 ， ．所以 ．
所以椭圆 的方程为 ．
（2）若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， ．联立方程组 ，
消去 ，化简得 ．
则 ，即 ,
设 ， ，
所以 ， ．
所以直线TM的方程为 ，直线 的方程为 ．
所以 ， ．
所以 ， ，
所以
．
所以当 时， 为定值，
即 （负值舍）时， 有定值 ．
当 时，若直线l斜率不存在，
不妨设 ， ，所以 ， ．
所以 ．
综上，当 时， 有定值 ．
【典例1-2】已知椭圆 椭圆的离心率 ．左顶点为 ，下顶点为 是线段 的
中点，其中 ．
(1)求椭圆方程．
(2)过点 的动直线（斜率存在）与椭圆有两个交点 ．在 轴上是否存在点 使得 为锐角？
若存在求出这个 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
【解析】（1）∵椭圆的离心率为 ，故 ， ，其中 为半焦距，
∴ ，故 ，
故 ，∴ ， ，故椭圆方程为： ．
（2）过点 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为： ，
设 ，
由 可得 ，
故 且
而 ，
故，
∵ 为锐角， 恒成立，故 ，解得 或 ．
综上，存在 （ 或 ），使得 为锐角．
【变式1-1】如图所示，椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，离心率 ，过
的直线交椭圆于 、 两点，且 的周长为8．
(1)求椭圆 的方程．
(2)设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ，试探究：在坐标平
面内是否存在定点 使得以 为直径的圆恒过定点 ？若存在求出点 的坐标；若不存在请说明理由．
【解析】（1） 的周长为 ,
∴ ， , ,
故椭圆 ．
（2）法一:
设点 ，由 得
∵直线与曲线相切，∴ ，即 ①
由韦达定理得 ,
,
∴ ．
令 ，得 ，则 ．
假设平面上存在定点 满足条件，由图的对称性可知，点 必在 轴上．
设点 ，则有
且 ，
由
整理得
满足①式，∴
故存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过定点 ．
法二:（极点极线）．
由性质1可知存在点 满足条件，且点 为极线 对应的极点．
由配极原则写出点 的极线为
对比直线 可得 ，故存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过定点 ．
【变式1-2】（2024·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，过右焦点
且平行于 轴的弦 ．
(1)求 的内心坐标；
(2)是否存在定点 ，使过点 的直线 交 于 ，交 于点 ，且满足 ？若存在，
求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）
∴椭圆 的标准方程为 ，
不妨取 ，则 ；
因为 中， ，所以 的内心在 轴，设直线 平分 ，交 轴于 ，则 为
的内心，且 ，所以 ，则 ；
（2）∵椭圆和弦 均关于 轴上下对称．若存在定点 ，则点 必在 轴上∴设
当直线 斜率存在时，设方程为 ，直线方程与椭圆方程联立 ，
消去 得 ，
则 ①
∵点 的横坐标为1， 均在直线 上，
，整理得 ，
因为点 在椭圆外，则直线 的斜率必存在．∴存在定点 满足题意
题型二：存在点使斜率之和或之积为定值
【典例2-1】（2024·四川宜宾·三模）已知椭圆E： 的左右焦点分别为 ， ，过焦点 斜率为
的直线 与椭圆E交于A，B两点，过焦点 斜率为 的直线 与椭圆E交于C，D两点，且．
(1)求直线 与 的交点N的轨迹M的方程；
(2)若直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为 ， ， ， ，问在（1）的轨迹M上是否存在点P，
满足 ，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由已知 ， ，则 ： ， ： ，
∴点 满足 ，即 ，∴① ② ，
∴点P的轨迹方程是 （ ），
又依题意可知 ，
综上可知：直线 与 的交点N的轨迹M的方程为： （ 且 ）；
（2）由题意知直线 ： ，与椭圆方程联立 ，
消元得 ， ，
，
同理可得 ，
所以 ，即 ．
由（1）知 ，所以 ，令点 ， ，解得 ，
∴存在 或 满足题意．
【典例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，过点
的直线 与椭圆 相交于 两点，当 过坐标原点 时， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 斜率存在时，线段 上是否存在定点 ，使得直线 与直线 的斜率之和为定值．若存在，求
出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）直线l过坐标原点O时， ， ，
由椭圆 离心率为 ，得 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）假设存在定点 ， ，设直线l： ， ，
由 消去y得 ，
， ， ，
直线 的斜率 有
，
则当 时， 为定值，
所以存在定点 ，使得直线QA与直线QB的斜率之和恒为0.
【变式2-1】（2024·高三·河北·期末）已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右顶点，
是椭圆 的上顶点，且 ， 的周长为 .
(1)求椭圆 的方程.
(2) 为坐标原点，斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，直线 ， 的斜率分别为 ， .是
否存在常数 ，使得 为定值？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为 ，所以 ，则 ，
又 的周长为 ，所以 ，解得 ，则 ，故椭圆 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
联立方程组 ，整理得 ，
，
由韦达定理得 ， ，
又 ，所以 ，
又 ， ，
所以
，
令 ，即 ，则 为定值，
故存在 ，使得 为定值.
【变式2-2】（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 是直线 ：
（其中 是实半轴长， 是半焦距）上不同于原点 的一个动点，斜率为 的直线 与双曲线
交于 ， 两点，斜率为 的直线 与双曲线 交于 ， 两点．(1)求 的值；
(2)若直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，问是否存在点 ，满足
，若存在，求出 点坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题可得双曲线E： ，
则 ，
∴左、右焦点分别为 ， ，直线l的方程为：
设 ，
，同理可得 ．
∴ ；
（2）设 ，如图，
直线 方程为 ，
代入双曲线方程可得： ，
所以 ，则 ，
则 ，
，
，
．同理 ，
即 ，
即 ，
∴ 或 ，
又 ，
若 ．无解，舍去．
∴ ，解得 ， ，或 ， ，
若 ， ，由A在直线 上可得， ，
∴ ．此时 ，
若 ， ，由A在直线 上可得， ，
∴ 此时
∴存在点 ，或 ，满足 ．
题型三：存在点使两角度相等
【典例3-1】（2024·重庆·一模）已知点 为圆 上任意一点， ，线段 的垂直
平分线交直线 于点 ．
(1)求 点的轨迹方程；
(2)设过点 的直线 与 点的轨迹交于点 ，且点 在第一象限内．已知 ，请问是否存在常数 ，
使得 恒成立？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）连接 ，则 ，
点的轨迹是以点 ， 为焦点的双曲线，
点的轨迹方程为: .（2）因为 点的轨迹方程为: ，则 .
当直线 的方程为 时，则 ，解得 （负舍，） 则 ，
而 ，易知此时 为等腰直角三角形，
其中 ，
即 ，即: ，
下证： 对直线 斜率存在的情形也成立，
设 ，其中 ，且 ，因为 ，则 ，且 ，
即 ，
，
，
，
结合正切函数在 上的图象可知， .【典例3-2】（2024·湖南邵阳·一模）已知椭圆 的短轴长为 ，右顶点到右焦点的
距离为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)如图所示，设点 是椭圆 的右顶点.过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 ，且都在 轴的
上方.在 轴上是否存在点 ，使 ，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）依题意得
解得 ，
椭圆 的标准方程为 .
（2）存在点 ，使 ，点 的坐标为 .理由如下：
直线 过点 ，与椭圆 交于不同的两点 .且都在 轴上方.
直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 .
联立方程 消去 可得： .此时 ，设 ，则 .
，
.
存在 点满足条件.
点坐标为 .
【变式3-1】（2024·新疆阿勒泰·统考三模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，
分别为椭圆 的上，下顶点， 到直线 的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别交x轴于 两点．问：y轴上是否存在点
R，使得 ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1） 中由面积公式得 ，
即 ，得 ，
椭圆方程为 ；
（2）如图，
假设存在点 使得 ，设 ，
，即 ，
，即 ，
直线 与椭圆 交于不同的两点 ，易知 关于 对称，
设 ，则 ，由（1）知 ，直线 的方程是 ，令 得 ，
直线 方程是 ，令 得 ，
由 ，得 ，
又 在椭圆上，所以 ，即 ，
，即 .
所以存在点 ，使得 成立．
【变式3-2】已知椭圆 经过点 且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积
为 .
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)设 ， 为椭圆 上不同的两个点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，且 、 、
三点共线.其中 为坐标原点.问： 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标，
若不存在，说明理由.
【解析】（1）依题意可得 ， ，又 ，解得 ，
所以椭圆方程为 ，则离心率
（2）因为 、 、 三点共线，根据椭圆的对称性可知 、 关于 点对称，
设点 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
所以点 ， ．假设存在M使 ， ，
所以 ，又 ，所以 ，
即 ，所以 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，解得 ，
所以 .
题型四：存在点使等式恒成立
【典例4-1】已知椭圆C的焦点坐标是 ， ，过点 垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D
两点，且 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过定点 且斜率为k的直线l与椭圆C相交于不同两点M，N，试判断：在x轴上是否存在点
，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请
说明理由．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为 ，
由已知可得 ，又 ，解得 ，
所以所求椭圆的标准方程为 ．
（2）设直线l： ， 的中点 ，
假设在x轴上是否存在点 ，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，则 ，
由 ，
所以 ，
由于直线l与椭圆C相交于不同两点，
所以 或 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，而 ，所以 ，
存在点 ，使得以AM，A还看过9．（2024·广东·三模）已知抛物线 ： ，过点
的直线l交C于P，Q两点，当PQ与x轴平行时， 的面积为16，其中O为坐标原点.
(1)求 的方程；
(2)已知点 ， ， （ ）为抛物线 上任意三点，记 面积为 ，分
别在点A、B、C处作抛物线 的切线 、 、 ， 与 的交点为D， 与 的交点为E， 与 的交点为
F，记 面积为 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）当PQ与x轴平行时， ，
因为P，Q两点均在抛物线C上，
所以 ，即 ，
因为 的面积为16，
所以 ，
解得 ，
则 的方程为 ；
（2）直线AC的斜率为： ，
则 ： ，
直线 与 的交点为T，
则点T为 ，
所以
（∗）
（∗∗）
所以：
由 ，得 ，
令 ，则 的斜率 ，
则有： ，即 ： ，
同理： ： ， ： ，
与 相交得： ，得： ；同理可得： ， ；
同理由（∗∗）可知
所以 ，
所以存在 ，使得
【典例4-2】（2024·高三·贵州·期中）已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点
.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作直线 与椭圆相交与 ， 两点，试问在 轴上是否存在定点 ，使得两条不同直线 ，
恰好关于 轴对称，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意得 ，解得 ，
椭圆 的标准方程为 ；
（2）
在 轴上假设存在点 ，使得 ， 恰好关于 轴对称，
设 ， ，直线 ： ， ，
联立 ，得 ，则 ， ，
因为 ， 恰好关于 轴对称，所以 ，即 ，
即 ，即
整理可得 ，
则 ，即 得 ，即 ．
故在 轴上存在定点 ，使得两条不同直线 ， 恰好关于 轴对称.
【变式4-1】（2024·北京·三模）已知椭圆 的离心率为 ，其长轴的两个端点分别为
， .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)点 为椭圆上除 ， 外的任意一点，直线 交直线 于点 ，点 为坐标原点：过点 且与直线
垂直的直线记为 ，直线 交 轴于点 ，交直线 于点 ，问：是否存在点 使得 与
的面积相等?若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意， ，又 ，所以 ，
则 ，所以椭圆C的方程为 .（2）
设 ， 且 ，则 ，
又因为 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，所以点 的坐标为 ，
因为 ，所以直线 的斜率为 ，
因为 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
因为 ， ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
所以 ，
联立直线 和直线 的方程 ，
消去 得 ，即 ，
整理有： ，
因为 ，所以 ，所以 ，解得点 的横坐标 ，
， ，
要使得 与 的面积相等，应有 ，
整理有 ，即 ，
解得 ， ，因为 ， （舍去），所以 ，
由 可得点P的坐标为 .
题型五：存在点使线段关系式为定值
【典例5-1】（2024·河南新乡·三模）已知椭圆 的左、右顶点分别是 ，椭圆
的焦距是2， （异于 ）是椭圆 上的动点，直线 与 的斜率之积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2) 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点 ，使得
为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ，则 ，即 ，
显然点 ，依题意， ，
解得 ，由椭圆 的焦距是2，得 ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设 ，因为 ，则 ，
由（1）知 ，则直线 的方程为 ，即 ，从而点 到直线 的距离 ，
即 ，即 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，点 在以 为焦点，长轴长为2
的椭圆上，
故存在定点 ，使得 .
【典例5-2】（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线 分别是 的左、右
焦点．若 的离心率 ，且点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)若过点 的直线 与 的左、右两支分别交于 两点，与抛物线 交于 两点，试问是否存
在常数 ，使得 为定值？若存在，求出常数 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设双曲线 的半焦距为c(c>0)，
由题意可得 ，解得 ，所以 的方程为 ．
（2）假设存在常数 满足条件，由（1）知 ，设直线 ，
联立方程得 ，消去 ，整理可得 ，
所以 ， ，
．
因为直线 过点 且与 的左、右两支分别交于 ， 两点，所以 两点在 轴同侧，所以 ．
此时 ，即 ，所以 ．
设 ，将 代入抛物线方程 ，得 ，
则 ，
所以
．
所以 ．
故当 时， 为定值 ，所以，当 时， 为定值 ．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的一个顶点在圆
上，对任意实数 ， 上存在两点关于直线 对称，直线 与 交于点 ，与 交于点 在 之间，且 时 ．
(1)求 的标准方程．
(2)是否存在与 不重合的定点 ，使得 成立，若存在，求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【解析】（1） ，
因为圆 上存在两点关于直线 对称，
所以圆心 在直线 上，则 ，得 ．
因为 的一个顶点在圆 上，所以点 在圆 上，
所以 ．
当 时，直线 的方程为 ，
代入 ，得 ，则 ．
因为圆 的半径为1，
所以 ，
解得 ，
所以 的标准方程为 ．
（2）假设存在与 不重合的定点 ，使得 ，即 ，
当 时，点 关于 轴对称，所以 ，
所以点 在 轴上．
设 ．
联立得 ，得 ，
设 ，
则 ，
得 ．由 可得 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
因为 ，所以 ．
得 ．即存在定点 ，使得 ．
【变式5-2】（2024·广东江门·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，顺次连接
椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长 的菱形．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 与椭圆 有唯一的公共点 ，过点 且与 垂直的直线 分别交 轴、 轴于
两点．当点 运动时，是否存在两定点 ，使得点 满足 恒为定值？若
存在，请求出定点 的坐标若不存在，请说明理由．
(3)对于第（2）问，如果推广到一般的椭圆．求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
【解析】（1）由题意 ， ，
解得 ，椭圆E的标准方程 .
（2）设 ，联立 ，消y得 ，
由 ，得： ①，
所以 ，直线 的方程为：
令 ，得 ，令 ，得
的坐标满足 ②， ③
又 ，
所以 的轨迹方程为 ，
由椭圆定义，知存在定点 ，使得 .
方法二： 的坐标满足 ②， ③
解得： ，代入①得
所以， 的轨迹方程为 .
（3）设 ，联立 ，消y得： ，
，得： ，④
由④式得：
直线 的方程为：
令 ，得 ，令 ，得
的坐标满足 ⑤， ⑥解得： ，代入④得 ．
的轨迹方程为
所以，点 的轨迹是以 焦点，长轴长为 的椭圆.
题型六：存在定直线问题
【典例6-1】（2024·上海虹口·二模）已知椭圆 的焦距为 ，点 在椭圆
上，动直线 与椭圆 相交于不同的两点 ，且直线 的斜率之积为1.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 为的法向量为 ，求直线 的方程；
(3)是否存在直线 ，使得 为直角三角形？若存在，求出直线 的斜率；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知条件可知 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）因为直线 为的法向量为 ，
所以直线 的斜率为 ，方程为 ，
联立 ，得 ，解得 （ 舍去），
从而 ，
因为直线 的斜率之积为1，所以直线 的方程为 ，
同理可得 点的坐标为 ，
所以直线 的斜率 ，所以直线 的方程为 ，即 ；
（3）假设存在满足条件的直线 ，
设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，解得 （ 舍去），
因为直线 的斜率之积为1，所以直线 的方程为 ，
同理可得 ，
故直线 的斜率
，
当 为直角三角形时，只有 或 ，
于是 或 ，
若 ，由 ，可得 ，从而 ，
若 ，由 ，可得 ，从而 ，
所以存在，直线 的斜率为 .【典例6-2】（2024·安徽阜阳·三模）已知双曲线C： ，直线l在x轴上方与x轴平
行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为 .
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，
， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）
由已知C： ，点A的坐标为 ，得 ，
焦点 ， ， .
所以 ， ，故C： .
（2）设l的方程为 ，则 ，故 ，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ，故 .
与双曲线方程联立得： ，
由已知得 ， ，设 ， ，
则 ， ①
由 ， 得： ， ，
消去 得： ，
即 ②
由①②得： ，由已知 ，
故存在定直线l： 满足条件.【变式6-1】（2024·河南安阳·一模）如图，已知直线 ，M是平面内一个动点，
且MA与 相交于点A（A位于第一象限）， ，且MB与 相交于点B（B位于第四象限），
若四边形OAMB（O为原点）的面积为 ．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点 的直线l与C相交于P，Q两点，是否存在定直线l′: ，使以PQ为直径的圆与直线l′相
交于E，F两点，且 为定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设 ， 所在直线方程为 ，
联立方程 得 ，同理 ，
，
所以四边形OAMB的面积为：
，
所以 ，
所以动点M的轨迹C的方程为 ．（2）假设存在定直线l′： ，使 为定值．
设 ，PQ中点 ，直线l方程为 ，
联立方程 ，
由 ，得 ，
，
，
，
设G到直线l′： 的距离 ，
，
因为 为定值，所以 为定值．
由 为定值，
故 即 ，即当 时， 为定值 ，此时 ．
所以存在定直线 ，使 为定值 ．
【变式6-2】（2024·上海·三模）已知椭圆 ： ， 、 分别为左、右焦点，直线 过 交椭圆
于 、 两点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)当 ，且点 在 轴上方时，求 、 两点的坐标；
(3)若直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ，是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由椭圆方程知， ， ，
所以 ，
所以离心率 .
（2） ， ，设A(x ,y )，且 .
1 1
所以 ， ，
， ，
又 在椭圆上，满足 ，即 ，
，解得 ，即 .
所以直线 ： ，
联立 ，解得 或 ，
所以 ；
（3）设 ， ， ， ，直线 ： ，
联立 ，得 .
则 ， .
y
直线 的方程：y= 1 (x+2)，令 得 纵坐标 ；
x +2
1
y
直线 的方程：y= 2 (x+2)，令 得 的纵坐标 .
x +2
2
则 ，
若 ，即 ，
，
， ，
代入根与系数的关系，得 ，解得 .
存在直线 或 满足题意.
题型七：存在定圆问题
【典例7-1】（2024·高三·湖北武汉·期末）已知双曲线 （ ， ），点 是 的
右焦点， 的一条渐近线方程为 .
(1)求 的标准方程；
(2)过点 的直线与 的右支交于 两点，以 为直径的圆记为 ，是否存在定圆与圆 内切？若存
在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由.【解析】（1）设双曲线 的焦距为 ，
因为点 是 的右焦点， 的一条渐近线方程为
所以 ，解得 ，所以 的标准方程为
（2）存在定圆满足题意，方程为 ，理由如下：
因为过点 的直线与 的右支交于 两点，所以直线 斜率不为0，
设直线 方程为 ， ，
由 ，得 ，
，
， ，
所以 ， ，
由直线 与 的右支交于 两点可知 ，解得 ，
又因为
，
所以圆 的方程为 ，
由对称性可知，若存在定圆 与圆 相内切，则定圆圆心 一定在 轴上，
不妨设定圆 方程为 ，则由圆 与圆 相内切可知， ，
即 ，
整理得， ，
因为上式与 无关，
所以 ，解得 ，
所以存在定圆 满足题意
【典例7-2】（2024·江苏宿迁·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点
在双曲线 上，且直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 ， 是双曲线 上的两个动点，且恒有 ，是否存在定圆与直线 相切？若存在，求出定
圆的方程，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设双曲线 的焦距为 ，因为直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，
可得 ，所以 ，
因为 ，可得 ，且 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
又因为点 在双曲线 上，所以 ，
联立方程组 得 或 （舍去），
所以双曲线 方程为： ．
（2）（ⅰ）若直线 的斜率不存在，设 方程为 ，
因为 ，再设 ，则 ，可得 ，由 ，联立方程组，解得 ，可得原点到直线 的距离为 ．
（ⅱ）若直线 的斜率存在，设 方程为 ，
又 ，设 ，则 ，即 ，
则 ，（*）
联立方程组 ，整理得
当 且 ，即 且 时，
，
代入（*）得 ，
即 （其中 ），
原点 到直线 的距离为 ，
综合（ⅰ）（ⅱ），存在以原点为圆心，半径为 的圆与直线 相切，
所求定圆的方程为 ．
【变式7-1】（2024·安徽·一模）椭圆 的上顶点为 ，圆 在椭圆 内．
(1)求 的取值范围；
(2)过点 作圆 的两条切线，切点为 ，切线 与椭圆 的另一个交点为 ，切线 与椭圆 的另
一个交点为 ．是否存在圆 ，使得直线 与之相切，若存在求出圆 的方程，若不存在，说明理由．
【解析】（1）设 为椭圆 上任意一点， ，则 ．
则 ．故 ．
（2）由题意可知 ，设 ，因为 ，故切线 的斜率都存在．
又直线 的方程为 ，即为 ，
直线 的方程为 ．
则 ，故 ．
而 ，故 ，又因为 ．
故 ，同理 ．
故直线 的方程为 ．
若直线 与圆 相切，则 ，令 ．
故 ，即 ．故 ，或 ．
故存在满足条件的圆 ，其方程为 ．
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C： 的左，右焦点分别为 ， ，
过 的直线与椭圆C交于M，N两点，且 的周长为8， 的最大面积为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设 ，是否存在x轴上的定点P，使得 的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，
请说明理由．
【解析】（1）∵ 的周长为8， 的最大面积为 ，
∴ ，解得 ， 或 ， ．∴椭圆C的方程为 或等 ．
（2）
由（1）及 易知F (1,0)，
2
不妨设直线MN的方程为： ， ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，得 ．
则 ， ，
若 的内心在x轴上，则 ，
∴ ，即 ，即 ，
可得 ．
则 ，得 ，即 ．
当直线MN垂直于x轴，即 时，显然点 也是符合题意的点．
故在x轴上存在定点 ，使得 的内心在x轴上.
2．（2024·广东·二模）在平面直角坐标系中，若A，B两点在一曲线C上，曲线C在A，B均存在不垂直
于x轴的切线，且两条切线的斜率的平均值等于直线AB的斜率，则称AB是曲线C的一条“切线相依割
线”．
(1)证明：准线平行于x轴的抛物线上任意一条割线均为“切线相依割线”；
(2)试探究双曲线 在第一象限内是否存在“切线相依割线”，若存在，请求出所有的
“切线相依割线”，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明：由准线平行于x轴，故抛物线图象开口向上，为二次函数
，
设 ， ，则AB斜率为 ，，故A，B处均存在不垂直于x轴的切线，且两条切线的斜率的平均值为
，等于直线AB的斜率，故AB为切线相依割线，由于AB可以任取，故准线
平行于x轴的抛物线上任意一条割线均为“切线相依割线”．
（2）设A(x ,y )，B(x ,y )，其中 ， ， ，则AB斜率为 ，
1 1 2 2
设双曲线在A点处切线方程为l： ，则将其代入双曲线方程，消去y有
，
令 ，得 ，故 ，
同理，双曲线在B点处切线斜率为 ，故其均值为 ，
由A，B在双曲线上，故 ， ，两式相减得 ，故
，
假设存在“切线相依割线”，则 ，即 ，
化简得 ，设AB： ，
则 ，即 ，
当 时，即 ，得 ，不合题意，
当 时， 与双曲线在第一象限内至多有一个焦点，不合题意，
故双曲线在第一象限内不存在“切线相依割线”．
3．已知椭圆 的右焦点 的坐标为 ，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为
4.(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过右焦点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，试问 的面积是否
存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意可知： ，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4，
所以 ，即 ， ，所以椭圆的标准方程为： .
（2）由题意可知直线 的斜率不为 ，所以设直线 的方程为： ，
与椭圆的方程联立，得
消去 ，得 ，
所以 ，
设 ， ，则 ，
由根与系数的关系，得 ，
直线 的斜率为： ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
即直线 与 轴交于一个定点，记为 ，
则 ，等号成立当且仅当 .
4．已知圆 的方程为 ，点 的坐标为 ．点 为圆 上的任意一点，线段 的垂直
平分线与 交于点 ．(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)点 是圆 上异于点 和 的任一点，直线 与轨迹 交于点 ， ，直
线 与轨迹 交于点 ， ．设 为坐标原点，直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ，
，问：是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由图可知，因为 ，所以 ，
则点 的轨迹是椭圆，且 ，
点 的轨迹 的方程为
（2）设直线 的方程为 ，联立
齐次化得 ，
整理可得 ，
即 ，方程的两根为 ， ，
则 ．
同理可得 ．
由条件知 ，∴ ．
整理得 ，故 ．5．设 为椭圆 的左、右焦点，直线l过 交椭圆于A，B两点．试从① 若点M，N
在该椭圆上且关于原点对称，P为该椭圆上异于M，N的一点，且 ；② 的周长为8；
③ 的最小值为8这三个条件中选择一个作为已知条件，并解答问题．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)是否存在直线l，使得 的重心为 ？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
选①：设 ， ， ，由 ， ， 在椭圆上，
可得 ， ，
，
所以 ，所以 .
故椭圆方程为 .
选②：三角形的周长为 ， .
故椭圆方程为 .
选③：因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号， .
故椭圆方程为 .
（2）由题可设直线l的方程为 ，
由 可得 ，易知 ，
设 ，则 ， ，
所以 .
又 ，所以 的重心为 .
令 ，解得 ，
所以当直线l的方程为 时， 的重心为 .
6．（2024·高三·北京海淀·开学考试）已知椭圆 ，与x轴不重合的直线l经过左焦点 ，且与
椭圆G相交于 两点，弦 的中点为M，直线 与椭圆G相交于 两点．
(1)若直线l的斜率为1，求直线 的斜率；
(2)是否存在直线l，使得 成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
设 ，则 ，由A、B在椭圆上有 ，
作差得： ，
易知 ， ，
即 ，
所以直线 的斜率为 ；
（2）假设存在直线 满足题意，不妨设其方程为 ，设 ，
由 ，则 ，
所以 ，
且 ，
则 ，易得 ，
由椭圆对称性可设 ，则 ，
由 ，
所以
，
易知 ，则 ，
即存在直线 或 满足题意.
7．（2024·广西桂林·三模）双曲线C： 的左、右焦点分别为 、 ，过 且倾斜角为
的直线为 ，过 且倾斜角为 的直线为 ，已知 ， 之间的距离为 ．
(1)求C的方程；
(2)若过点 的直线l与C的左、右两支分别交于 两点（点 不在x轴上），判断是否存在实数k
使得 ．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设 ，因为 ， 之间的距离为 ，
所以 ， ，则 ，
所以C的方程为 ．
（2）由（1）知 ，易知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l： ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
联立方程组 ，消去x，得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，同理 ．
因为直线l过点 且与C的左、右两支分别交于M，N两点，
所以M，N两点在x轴同侧，∴ ，此时 ，即 ．
所以，
所以 ．
所以存在 ，使得 ．
8．椭圆 经过点 ，且离心率 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)设 是直线 上任意一点， 是经过椭圆右焦点 的一条弦（不经过点 ）．记直线 ， ，
的斜率依次为 ， ， ，问是否存在常数 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说
明理由．
【解析】（1）由椭圆离心率 ，则 ，即 ，
所以椭圆方程为 ，
又椭圆过点 ，则 ，解得 ， ，
所以椭圆方程为 .
（2）由已知F(1,0)， 经过椭圆右焦点 ，不经过点 ，
可知直线 的斜率一定存在，设 ，
当直线 斜率为 时，A(−2,0)， ，则 ， ， ，
此时 ，
当直线 斜率不为 时，
如图，设直线 的方程为 ，点A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
联立直线与椭圆 ，得 ， ，
则 ， ，
设 ， ，于是 ，即 ．
又 ，则 ，
，
综上所述存在常数 ，使得 ．
9．（2024·全国·二模）如图，过点 的动直线 交抛物线 于 两点.
(1)若 ，求 的方程；
(2)当直线 变动时，若 不过坐标原点 ，过点 分别作（1）中 的切线，且两条切线相交于点 ，问：是否存在唯一的直线 ，使得 ？并说明理由.
【解析】（1）由 ，得直线 的斜率为 ，方程为 ，即 ，
由 消去 得： ，设 ，
则 ，由 ，得 ，解得 ，
所以抛物线 的方程是 .
（2）由（1）知，抛物线 的方程是 ，
直线 不垂直于 轴，设直线 ，显然 ，
由 消去 并整理得 ， ，
则 ，
设抛物线 在 处的切线方程为 ，由 消去 得：
，由 ，得 ，
于是抛物线 在 处的切线方程为 ，
同理抛物线 在 处的切线方程为 ，设点 ，
由 ， ，得 ， ，
即点 ，于是直线 的斜率分别为 ，
若存在直线 ，使得 ，则 ，
设直线 的倾斜角分别为 ，则 ，
由 ，得 或 ，因此 ，即 ，则 ，
，
整理得 ，
化简得 ，令 ，
求导得 ，显然 ，
即 恒成立，则函数 在R上单调递增，而 ，
因此存在唯一 ，使得
所以存在唯一的直线 ，使得 .
10．（2024·湖南永州·二模）已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，
点 为线段 的中点，过点 且斜率为 的直线 交 于 两点， 的面积最大值为
．
(1)求 的方程；
(2)设直线 分别交 于点 ，直线 的斜率为 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意可知当M位于椭圆的短轴端点时， 的面积最大，
即 ，即 ，
由椭圆 的离心率为 ，即 ，即 ，
结合 ，
解得 ，故椭圆的方程为 ；
（2）设 ，而 ，
当MN斜率不为0时，M，N均不在x轴上，
则直线MP的方程为 ，
联立 ， ，
由于MP过点D，D在椭圆内部，则必有 ，
则 ，代入MP方程可得 ，
同理可得 ，
故 ，
又因为 三点共线，所以 ，
即 ，故 ，则 ，
所以此时存在实数 ，使得 ；
当MN斜率为0时，M，N均在x轴上，则P，Q也在x轴上，
此时 ，也符合题意；
综上存在实数 ，使得 ；
11．已知椭圆 的离心率为 ，且a，b的等比中项为2．(1)求C的方程；
(2)若直线 与C交于点A，B两点，直线 过点A且与C交于另外一点 ，直线
过点B，且与C交于另外一点 ．
（ⅰ）设 ， ，证明： ；
（ⅱ）若直线 的斜率为 ，判断是否存在常数m，使得k是m， 的等比中项，若存在，求出m的值；
若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为C的离心率为 ，所以 ，
整理得 ，所以 ，
因为a，b的等比中项为2，所以 ，
即 ， ， ，
所以C的方程为 ．
（2）（ⅰ） 与 联立得 ，
则 ，则 或 ，
所以 ，
因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，即 得证．
（ⅱ）由（ⅰ）知 ， ．因为直线 经过点 ， ，直线 经过点 ， ，
设 ，则 ， ．
又 ， ，
所以 ，所以 ，9的一个等比中项为k，
即存在 ，使得k是m， 的等比中项．
