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§8.12 圆锥曲线中探索性与综合性问题
题型一 探索性问题
例1 (2022·南通模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过点P(0，)且斜率为
1的直线l交双曲线C于A，B两点，且OA·OB＝3.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴
上是否存在定点M.使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明
理由．
解 (1)设双曲线C的焦距为2c.
由双曲线C的离心率为2知c＝2a，
所以b＝a，
从而双曲线C的方程可化为－＝1.
由题意知，l：y＝x＋，
联立
得2x2－2x－6－3a2＝0.
设A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
因为Δ＝(－2)2－4×2×(－6－3a2)
＝72＋24a2>0，
所以x＋x＝，x·x＝－3－a2.
1 2 1 2
因为OA·OB＝3，
所以xx＋yy＝xx＋(x＋)(x＋)＝3，
1 2 1 2 1 2 1 2
于是2xx＋(x＋x)＋6
1 2 1 2
＝2×＋×＋6＝3，
解得a＝1，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件．
由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0)．
设Q(x，y)(x≥1)为双曲线C右支上一点．
0 0 0
当x＝2时，因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，
0
所以∠QMF＝45°，
于是|MF|＝|QF|＝＝3，
所以t＝－1.即M(－1,0)．当x≠2时，tan∠QFM＝－k ＝－，
0 QF
tan∠QMF＝k ＝.
QM
因为∠QFM＝2∠QMF，
所以－＝.
将y＝3x－3代入并整理得
－2x＋(4＋2t)x－4t＝－2x－2tx ＋t2＋3，
0 0
所以
解得t＝－1.即M(－1,0)．
综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0)．
教师备选
(2022·德州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，
坐标原点为O，且△EOF的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，
求直线l的方程，若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意可知
解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设满足条件的直线l存在，
由E(0，－2)，F(，0)，
得k ＝，
EF
因为点F为△EAB的垂心，
所以AB⊥EF，
所以k ＝－，
AB
设直线l的方程为y＝－x＋t，
代入＋＝1，得7x2－6tx＋6(t2－4)＝0，①
Δ＝(－6t)2－4×7×6(t2－4)
＝－96t2＋672>0，
即－0，
所以直线l的方程为y＝－x＋.
思维升华 存在性问题的解题策略
存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不
存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
跟踪训练1 (2022·南京模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：y2＝4x，经过P(t,0)
(t>0)的直线l与C交于A，B两点．
(1)若t＝4，求AP长度的最小值；
(2)设以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，问是否存在t，使得OM·ON＝－4？若存在，求
出t的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设A，由P(4,0)，
可得|AP|2＝2＋y
＝－y＋16
＝(y－8)2＋12≥12，
当y＝±2时，|AP|取得最小值2.
0
(2)设直线AB的方程为x＝my＋t，
A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立可得y2－4my－4t＝0，
即有y＋y＝4m，yy＝－4t，
1 2 1 2设以AB为直径的圆上任一点Q(x，y)，M(x,0)，
3
N(x,0)，
4
所以Q的轨迹方程为
(x－x)(x－x)＋(y－y)(y－y)＝0.
1 2 1 2
x＋x＝m(y＋y)＋2t＝4m2＋2t，
1 2 1 2
xx＝(my＋t)(my＋t)＝m2yy＋mt(y＋y)＋t2＝－4m2t＋4m2t＋t2＝t2.
1 2 1 2 1 2 1 2
所以Q的轨迹方程化为x2－(4m2＋2t)x＋t2＋y2－4my－4t＝0.
令y＝0，得x2－(4m2＋2t)x＋t2－4t＝0.
所以上式方程的两根分别为x，x，
3 4
则xx＝t2－4t.
3 4
由OM·ON＝xx＝－4，
3 4
即有t2－4t＝－4，解得t＝2.
所以存在t＝2，使得OM·ON＝－4.
题型二 圆锥曲线的综合问题
例2 (2022·梅州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点与短轴的
一个端点的连线构成等边三角形，直线x＋y＋2－1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C
的长半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点B到直线MN的距
离的取值范围．
解 (1)设椭圆C：＋＝1的右焦点F(c,0)，则以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长
2
为半径的圆(x－c)2＋y2＝a2，
所以圆心到直线x＋y＋2－1＝0的距离
d＝＝a，
又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a＝2c，b＝c，
解得a＝2，b＝，c＝1，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设B(m，n)，线段MN的中点为D，直线OD与椭圆交于A，B两点，
因为O为△BMN的重心，
则|BO|＝2|OD|＝|OA|，
所以D，
即B到直线MN的距离是原点O到直线MN的距离的3倍．
当MN的斜率不存在时，点D在x轴上，所以此时点B在长轴的端点处．
由|OB|＝2，得|OD|＝1，则点O到直线MN的距离为1，点B到直线MN的距离为3.当MN的斜率存在时，设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则有
两式相减得
＋＝0，
因为D为线段MN的中点，
所以x＋x＝－m，y＋y＝－n，
1 2 1 2
所以k＝＝－，
所以直线MN的方程为y＋＝－，
即6mx＋8ny＋4n2＋3m2＝0，
所以原点O到直线MN的距离
d＝.
因为＋＝1，所以3m2＝12－4n2，
所以d＝＝
＝.
因为00)的焦点为F，P是抛物线C上一点，且满足FP
＝(0，－2)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，若|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，求该
数列的公差．
解 (1)由题设知F，设点P(x，y)，
0 0
由FP＝(0，－2)，即＝(0，－2)，
∴x＝，y＝－2，代入y2＝2px，
0 0
得4＝p2，又p>0，
∴p＝2，则抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设直线l：y＝2x＋m，则
消去y得4x2＋(4m－4)x＋m2＝0，
满足Δ＝(4m－4)2－16m2＝－32m＋16>0，
即m<，
设点A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2则x＋x＝1－m，xx＝，
1 2 1 2
若|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，
则|FA|＋|FB|＝2|FP|，
即x＋x＋2＝4，即3－m＝4，m＝－1.
1 2
即x＋x＝2，xx＝，
1 2 1 2
又∵公差d满足2d＝|FB|－|FA|＝x－x，
2 1
而|x－x|＝＝，
2 1
∴2d＝±，即d＝±.
思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键
是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径 r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的
弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有PA·PB＝0.
跟踪训练2 (2022·福州模拟)如图，O为坐标原点，抛物线C ：y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆
1
C ：＋＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C 的右顶点，椭圆C 的长轴长为|AB|＝8，离心率e
2 2 2
＝.
(1)求抛物线C 和椭圆C 的方程；
1 2
(2)过A点作直线l交C 于C，D两点，射线OC，OD分别交C 于E，F两点，记△OEF和
1 2
△OCD的面积分别为S 和S ，问是否存在直线l，使得S∶S ＝3∶13？若存在，求出直线l
1 2 1 2
的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题知，a＝4，＝，
所以c＝2，所以b＝＝2，p＝4.
所以抛物线C 的方程为y2＝8x，
1
椭圆C 的方程为＋＝1.
2
(2)由题设知直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝my＋4.
则⇒y2－8my－32＝0.
设C(x，y)，D(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝8m，yy＝－32.
1 2 1 2
所以＝
＝＝
＝，因为直线OC的斜率为＝＝，
所以直线OC的方程为y＝x.
由得y2＝1，
则y＝1，
同理可得y＝1，
所以y·y＝1，
所以y·y＝，
要使S∶S＝3∶13，
1 2
只需＝2，
解得m＝±1，
所以存在直线l：x±y－4＝0符合条件．
课时精练
1．(2022·东三省四市联考)已知点M，N，直线PM，PN的斜率乘积为－，P点的轨迹为曲
线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设斜率为k的直线交x轴于T，交曲线C于A，B两点，是否存在k使得|AT|2＋|BT|2为定值，
若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设P点坐标为(x，y)，
则k ·k ＝－.
PM PN
∴·＝－，
∴4＋3(x－1)(x＋1)＝0，
∴＋＝1，
∴曲线C的方程为＋＝1(x≠±1)．
(2)假设存在k使得|AT|2＋|BT|2为定值．
设A(x，y)，B(x ，y)，
1 1 2 2
设直线AB方程为x＝my＋n，
代入3x2＋4y2＝12，
得(3m2＋4)y 2＋6mny＋3n2－12＝0.
Δ＝36m2n2－4(3n2－12)(3m2＋4)
＝48(3m2＋4－n2)>0，y＋y＝，yy＝.
1 2 1 2
∴由弦长公式得|AT|2＝(m2＋1)y，
|BT|2＝(m2＋1)y，
∴|AT|2＋|BT|2＝(m2＋1)(y＋y)
＝(m2＋1)[( y ＋y)2－2 y y ]
1 2 1 2
＝(m2＋1)
＝6×[(3m2－4)n2＋4(3m2＋4)]为定值，
则3m2－4＝0，m＝±，k ＝＝±.
AB
所以存在k＝±时使得|AT|2＋|BT|2为定值．
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实半轴长为1，且C上的任意一点M到C的两条渐近
线的距离的乘积为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线C相交于P，Q两点，问在x轴上是否存在定
点D，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直？若存在，求出定点D的坐标；若不存在，请
说明理由．
解 (1)由题意可得a＝1，
所以双曲线C：x2－＝1，
所以渐近线方程为bx±y＝0，
设M(x，y)，
0 0
则·＝，
即＝，
因为M(x，y)在双曲线上，
0 0
所以x－＝1，
即b2x－y＝b2，
所以＝，
解得b2＝3，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)假设存在D(t,0)，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直，
则可得k ＋k ＝0，F(2,0)，
PD QD
设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
当直线l的斜率存在时，直线l：y＝k(x－2)，
由
可得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，
所以x＋x＝，
1 2xx＝，
1 2
所以k ＋k ＝＋
PD QD
＝＝0，
即k(x－2)(x－t)＋k(x－2)(x－t)＝0恒成立，
1 2 2 1
整理可得k[2xx－(t＋2)(x＋x)＋4t]＝0，
1 2 1 2
所以k＝0，
即2×－(t＋2)×＋4t＝0，
所以8k2＋6－4k2(t＋2)＋4t(k2－3)＝0，
所以6－12t＝0，解得t＝，
当直线l的斜率不存在时，t＝也满足题意．
所以存在点D，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直．
3．(2022·承德模拟)已知M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为
－，设动点P的轨迹为曲线C .抛物线C ：x2＝2py(p>0)与C 在第一象限的交点为A，过点A
1 2 1
作直线l交曲线C 于点B，交抛物线C 于点E(点B，E不同于点A)．
1 2
(1)求曲线C 的方程；
1
(2)是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出p的最大值；若不
存在，请说明理由．
解 (1)设动点P(x，y)(x≠±2)，
则k ＝，k ＝.
PM PN
∵k ·k ＝－，
PM PN
∴·＝－，
即＝－，
即＋y2＝1(x≠±2)，
∴曲线C 的方程为＋y2＝1(x≠±2)．
1
(2)设A(x，y)(x>0，y>0)，B(x，y)，E(x，y)，显然直线l存在斜率，
1 1 1 1 2 2 0 0
设l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，
由
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，
∴x＋x＝，x＝.
1 2 0
又由
得x2＝2p(kx＋m)，即x2－2pkx－2pm＝0，∴xx＝－2pm，
1 0
∴x·＝－2pm x＝p，
1 1
∴k>0，
⇒
∵
即x2＋＝4，
∴p22＋＝4，
∴p2＝，
设2＝2
＝t≥2＝4，
当且仅当＝2k，即k＝时取等号，
则p2＝＝，
当t≥4时，2－≥20，
当k＝，即t＝4时，p2取得最大值，最大值为，
即p＝.
此时A，满足Δ>0，
故存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点，且p的最大值为.
4．(2022·九江模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，P为直线y＝x
－2 上的动点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线，切点分别为 A，B.当 P 在 y 轴上时，
OA⊥OB.
(1)求抛物线C的方程；
(2)求点O到直线AB距离的最大值．
解 (1)P为直线y＝x－2上的动点，当P在y轴上时，则P(0，－2)，
由x2＝2py(p>0)，得y＝(p>0)，
所以y′＝(p>0)，
设A，B，x>0，x<0，
1 2
所以过点A的切线方程为
y－＝(x－x)，
1
又因为点P在过点A的切线上，
所以－2－＝(0－x)，
1
解得x＝4p，
又因为OA⊥OB，所以直线OA的斜率为1，
所以x＝，解得x＝2p，
1 1解得p＝1，所以抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)由(1)得抛物线的切线的斜率y′＝x，
A，B，
所以切线PA的方程为y－＝x(x－x)，
1 1
切线PB的方程为y－＝x(x－x)，
2 2
两切线方程联立解得P，
又点P在直线y＝x－2上，
所以＝－2，
由题意知直线AB的斜率一定存在，所以设直线AB的方程为y＝kx＋m，
与抛物线的方程联立
消元得x2－2kx－2m＝0，
Δ＝4k2＋8m>0，
所以x＋x＝2k，xx＝－2m，
1 2 1 2
所以＝－2，即k＋m＝2，满足Δ>0，
所以点O到直线AB的距离为
d＝＝＝，
令t＝，
则t′＝，
令t′＝0，得k＝2或k＝－，
所以当k∈∪(2，＋∞)时，
t′>0，t单调递增，当k∈时，t′<0，t单调递减，
当k＝－时，t＝4，当k→＋∞时，t→0且t<0，
所以t ＝4，
max
所以d ＝＝，
max
所以点O到直线AB距离的最大值为.
