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专题18.12 矩形（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列性质中，矩形 不一定具有的是（ ）
A． B． C． D．
2．矩形 中， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形 中， ， ，点E在边 上，若 平分 ，则 的长为
（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线垂直的四边形是矩形 D．对角线相等且垂直的四边形是矩形
5．如图，在四边形 中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形 是矩形，则添加的
数据是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在长方形 中， ， ， 为 的中点，点 分别在 上，若
， 为等腰直角三角形，则四边形 的面积为（ ）A．10 B．9 C． D．
7．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，已知
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为 ，∠CAO
的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知 平分 ， ， ， 于点D， 于点E．如果点
M是 的中点，则 的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．410．如图， 是 内部一点， ，且 ， ，依次取 ， ， ， 的中
点，并顺次连接得到四边形 ，则四边形 的面积是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．48
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则
∠ECD＝ °．
12．如图所示，在矩形 中， 是 上任一点，连接 ， 是 的中点，若 的面积为
，则矩形 的面积为 ．
13．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是 ．14．如图，在 中， ，点D、E分别是边 的中点，点F是线段 上的
一点，连接 ，若 ，则线段 的长为 ．
15．如图， 的对角线 相交于点O，请你添加一个条件使 成为矩形，这个条
件可以是 ．
16．如图，长方形 中， ， ，长方形内有一个点 ，连接 ， ， ，已知
， ，延长 交 于点 ，则 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．点E在边AD上，且ED=3，M，N分别是边AB，BC上
的动点，且BM=BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN=4，则线段PC的长为 ．
18．如图，矩形纸片 的对角线 ， 相交于点 ， ，将矩形纸片翻折，使点 恰好
落在点 处，折痕为 ，点 在边 上，则 的长为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，已知四边形 是平行四边形，对角线 交于点 是等边三角形．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，求 的长．
20．（8分）如图，在 中，D为斜边 的中点，E为 上一点，F为 中点，若 ，
．
（1）求证： 为 的角平分线；
（2）求 的长．21．（10分）如图,在 中,点E,F分别在 , 上,连接 , , , ,且 ．请从以
下三个选项中:① ;② ;③ ,选择一个合适的选项作为已知条件,使四边形 是
矩形．（不再添加其他线条和字母）．
（1）你添加的条件是: ;（填序号，填一个即可）
（2）添加条件后,请证明四边形 是矩形．22．（10分）如图，在梯形 中， ，F为 上一点，且 ，E为
上一点， 交 于点G．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，求证： ．
23．（10分）如图，在 中，已知 ，过点C作 于点D，过点B作
于点M， 与 相交于点E，且点E是 的中点，连接 ，过点D作 ，交 于点N．
（1）求证： ；
（2）请探究线段 、 、 之间的数量关系，并证明你的结论．24．（12分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，长方形 ， ， ．在 上取一点 ，沿 折叠，点
恰好落在 上的点 处．
（1）点 的坐标为___________．
（2）求点 的坐标；
（3）若点 是平面内一点，是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，若
存在，直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】根据矩形的性质，进行判断即可．
解：∵矩形 ，
∴ ， ， ；
矩形的邻边不一定相等，
故选A．
【点拨】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．
2．C
【分析】此题考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等即可求解，解题的关键是熟练掌握矩形的性
质及其应用．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
故选： ．3．C
【分析】利用角平分线和平行线内错角相等，可证明 ，则ED=AD，则可用勾股定理求
出ED．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，AB=CE=3
∴
∵ 平分
∴
∴
∴ED=AD=4
∴
故选： C．
【点拨】本题考查了角平分线、平行线性质，灵活运用相关知识进行角度代换是解题关键．
4．B
【分析】根据矩形的判定方法逐一分析即可．
解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A不符合题意；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，表述正确，故B符合题意；
对角线垂直的四边形不一定是矩形，故C不符合题意；
对角线相等且垂直的四边形不一定是矩形，故D不符合题意；
故选B
【点拨】本题考查的是矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解本题的关键．
5．D
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形即可得到答案．
解：当 时，由题意可知，
， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ,
∴四边形 是矩形，
故选：D
【点拨】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
6．D【分析】首先根据等腰三角形的性质证得△AEG≌△DGF，从而得到AE=DG=２，AG=DF=３，从而求得
CF的长度，然后利用梯形面积公式求解．
解：∵△GEF为等腰直角三角形，
∴GE=GF，∠EGF=90°，
∴∠AGE+∠DGF=90°，
又∵在长方形 中∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠AEG=∠DGF，
∴△AEG≌△DGF，
∴AE=GD，AG=DF，
∵AB=4，AD=5，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，
∴BE=AE=GD=2，AG=DF=3，
∴CF=1，
∴四边形 的面积为
故选：D
【点拨】本题考查了矩形的性质及等腰直角三角形的知识，解题的关键是能够利用等腰三角形的性质
证得两三角形全等，难度不大．
7．D
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质．根据 ，可以求得 的度
数，再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到 的度数．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的度数为 ，
故选：D．
8．D
【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知
OD=OE，利用等面积法即可求出结果．
解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示，
∵AD平分∠CAO，
∴DO=DE，
∵点B的坐标为 ，
∴OA=4，OC=3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴OD= ，
∴D点坐标为（0， ），
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的
关键．
9．D【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角直角三角形的性质，直角三角形性质，解题的关
键是熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半．根据角平分线的性质得出 ， ，
根据含30度角直角三角形的性质，得出 ，最后得出 ．
解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点M是 的中点，
∴ ．
故选：D．
10．A
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质与判定，先根据三角形中位线定理可得
， ， ，从而可得
，再根据平行四边形的判定可得四边形 是平行四边形，然后根据平行线的性质
可得 ，根据矩形的判定可得平行四边形 是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得．
解： 点 分别是 ， 的中点，且 ，
，
同理可得： ， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
又 ，
，
平行四边形 是矩形，∴四边形 的面积是 ，
故选：A．
11．57.5．
【分析】根据矩形的性质由∠ADF求出∠CDF，再由等腰三角形的性质得出∠ECD即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵∠ADF=25°，
∴∠CDF=∠ADC﹣∠ADF=90°﹣25°=65°，
∵DF=DC，
∴∠ECD= ，
故答案为：57.5．
【点拨】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠CDF．是一道中考常考
的简单题．
12．24
【分析】根据矩形的性质和三角形中线的性质，求解即可．
解：连接 ，
是 的中线， 的面积为 ，
，
又∵矩形 与 同底等高，
矩形 的面积 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质和三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线三角形分成面积相
等的两个三角形；求三角形或矩形面积充分运用底，高相等的关系解答是解题的关键．
13．（﹣2，4）【分析】作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，则∠AMO＝∠BNC＝90°，OM＝2，AM＝1，OB＝5，证明
△BCN≌△AOM（AAS），得出BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，得出ON＝OB﹣BN＝4，即可得出答案．
解：作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，如图所示：
则∠AMO＝∠BNC＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵A（2，1），B（0，5），
∴OM＝2，AM＝1，OB＝5，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝AO，∠AOC＝90°，BC∥OA，
∴∠CBN＝∠AOB，
∵∠AOM+∠AOB＝90°，
∴∠CBN＝∠AOB＝∠OAM，
在△BCN和△AOM中， ，
∴△BCN≌△AOM（AAS），
∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，
∴ON＝OB﹣BN＝4，
∴点C的坐标是（﹣2，4）；
故答案为（﹣2，4）．
【点拨】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等
是解题的关键．
14．3
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关
键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到 的长，然后利用三角形的中位线求出长，再利用 解题即可．
解：∵ ，点D是 的中点，
∴ ，
∵D、E分别是 ， 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为3．
15． （答案不唯一）
【分析】依据矩形的判定定理进行判断即可．
解：∵四边形 为平行四边形，
∴当 时，四边形 为矩形．
故答案为 （答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键．
16．
【分析】此题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，延长 交 于F，根据已
知条件得到 ，根据矩形的性质得到 ， ，根据余角的
性质得到 ，进一步推出 ，根据勾股定理即可得到结论．
解：延长 交 于点F，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
17．2
解：∵DE=AB=CD=3，
∴△CDE是等腰直角三角形．
作点N关于EC的对称点N'，则点N'在直线CD上，连接PN'，如图：
∵PM+PN=4．∴PM+PN'=4=BC，即MN'=4，
此时M，P，N'三点共线且MN'∥BC，∴四边形MBCN'是矩形，
∴BM=CN'，∠PN'C=90°．
∵BM=BN，CN=CN'，
∴BN=CN= BC=2，
∴PM=PN'=2，∴PC=2 ．
18．
【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质；首先证明
是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质得出 ，证明 ，根据 ，即可求解．
解： 四边形 是矩形，
， ，
由翻折性质可知： ， ，
，
是等边三角形，
，
， ，则
, ，
，
故答案为：6．
19．（1）见分析；（2）
【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，等边三角形的性质，勾股定理．
（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质，得到 ，即可得证；
（2）根据勾股定理，进行求解即可．
掌握矩形的判定方法和性质，是解题的关键．
解：（1）证明： 四边形 是平行四边形，
．
是等边三角形，
，
，
四边形 是矩形．
（2）解： 四边形 是矩形，
．
是等边三角形，
，则 ，
．20．（1）详见分析；（2）4
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到 ，根据三角形中位线定理得到 ，根
据平行线的性质得到 ，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据三角形中位线定理得到 ，则 ，根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵D为斜边 的中点，F为 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的角平分线；
（2）解：∵D为斜边 的中点，F为 中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，D为斜边 的中点，
∴ ．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、平行线的性质以及直角三角线斜边上的
中线等于斜边的一半，解题的关键是找到中位线并利用直角三角形的斜边的中点．
21．（1）①（或②）；（2）证明见分析
【分析】本题考查矩形的判定及平行四边形判定及性质．
（1）根据题意 ,先分析平行四边形的性质有哪些,思考平行四边形和矩形的区别,可知“对角线
相等的平行四边形为矩形”继而解出本题;
（2）根据（1）所得结论证明出 是矩形即可．
解：（1）解:根据平行四边形性质与判定,矩形的判定,选择①（或②）,选择其中一个序号填写即可．
（2）解:证明:若选①判定如下:
∵四边形 是平行四边形,
∴ , , ,
∵ ,∴在 和 中,
,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ 为平行四边形,
∵ ,
∴ 为矩形;
若选② 判定如下:
解:∵四边形 是平行四边形,
∴ ,
∵ ,
∴ 为平行四边形,
∵ ,
∴ 为矩形．
22．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）根据 ，可得四边形 是平行四边形，再由 ，即可求
证；
（2）根据四边形 是矩形， ，从而得到
，再由 ，可得 ，从而得到 ，
进而得到 ，即可求证．
解：（1）证明：∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴四边形 是矩形．（2）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【点拨】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，
等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（1）见详解；（2） ．见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识．
（1）用等腰直角三角形得出 ， ，再用已知条件推出 ，最后
利用 证明两个三角形全等即可．
（2）作 于点F，由（1） 可得 ，由 ，推出
， ，由此即可证明 ．
解：（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ．
（2）结论： ．由（1） 可得 ．
作 于点F，
又 ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
24．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）由 ， 即可求解；
（2）设 ，则 ，计算出线段 即可利用勾股定理求解 ，进而可求点 的坐标；
（3）根据“平行四边形的对角线互相平分”即可分类讨论求解．
（1）解：∵
∴点 的坐标为
故答案为：
（2）解：由题意得：∴
设 ，则
在 中：
解得：
∴点
（3）解：由题意得可得：
设点
为对角线，则有：
解得：
故
为对角线，则有：
解得：
故
为对角线，则有：解得：
故
综上所述：
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理．熟记相关结论是解题关键．
