文档内容
专题 05 有理数的减法（3 个知识点 7 种题型 1 个易
错点 2 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.有理数的减法法则（重点）
知识点2.有理数的加减混合运算（难点）
知识点3.省略加号的和式的写法读法
【方法二】 实例探索法
题型1.有理数的加减混合运算
题型2.绝对值与有理数的减法的综合问题
题型3.利用有理数减法求数轴上两点间的距离
题型4.利用数轴信息进行有理数的加减运算
题型5.新定义运算问题
题型6.有理数的加减在实际生活中的应用
题型7.规律探究创新题
【方法三】差异对比法
易错点.混淆有理数减法中的运算符号和性质符号
【方法四】 仿真实战法
考法1.有理数的减法
考法2.有理数减法的实际应用
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 掌握有理数减法的运算法则，理解减法法则与加法法则的关系，体会转化的思想方法。2. 能熟练地进行有理数的减法运算，会进行有理数的加减混合运算，会解决简单的实际问题。
3. 能将和式中的括号和加号省略，并利用加法运算律进行相关计算。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.有理数的减法法则（重点）
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号
（减数变相反数）；
【注意】：
在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
【例1】 计算：(1)(－32)－(+5)； (2)(+2)－(－25)．
【变式1】(1)2－(－3)； (2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)； (3) ．【变式2】根据如图所示的计算机程序，若输入的值为x=12，则输出的值为_________．
知识点2.有理数的加减混合运算（难点）
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的
形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
【例2】计算：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|；
(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)；
(3)－－(－)＋(－)．
【变式】（2022秋·浙江·七年级专题练习）计算：
(1)4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）
(2)3 ）+5 +（﹣8 ）；
(3)2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）
(4)﹣0.6﹣0.08+ ﹣2 ﹣0.92+2 ．
知识点3.省略加号的和式的写法读法
（1）把算式中的减法转化为加法；
（2）去括号时注意符号，能省掉的“ ”号要省掉；（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算．
【例3】将下列式子写成省略括号和加号的形式，并用两种读法将它读出来．
(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)
【方法二】实例探索法
题型1.有理数的加减混合运算
1．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．2．计算：
(1) ；
(2) ．
题型2.绝对值与有理数的减法的综合问题
3．有理数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简式子： ______．
4.已知 ，求 的值．
5.在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：
．
(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；
① ______；
② ______；
③ =______；(2)用合理的方法计算： ；
(3)用简单的方法计算： ．
6.某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中
十次行驶纪录如下（单位： ）．
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 第九次 第十次
(1)最后他们是否回到出发点A？若没有，则他们停留在A地的什么方向？距离A地多远？
(2)在第 _________次纪录时距A地最远．
(3)若每千米耗油0.08升，问共耗油多少升？
题型3.利用有理数减法求数轴上两点间的距离
7．如图，数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示
的数为1，则A点表示的数为_________________．
8．数轴上点 对应的数是 ，那么与 相距2个单位长度的点 对应的数是______．
9． “数形结合”是重要的数学思想．如： 表示3与 差的绝对值，实际上也可以理解为3与
在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用a，b表示，那
么A，B两点之间的距离表示为 ．利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上 和5这两点之间的距离为 ．
(2)若x表示一个实数， 的最小值为 ．
(3)直接写出所有符合条件的x，使得 ，则x的值为 ．
10.已知数轴上 、 两点所对应的数分别是 和 ， 为数轴上任意一点，对应的数为 ．
（1）则 、 两点之间的距离为________；
（2）式子 的最小值为________．
题型4.利用数轴信息进行有理数的加减运算
11．邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行9km
到达C村，最后回到邮局．
(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，以1个单位表示1km，在该数轴上表示A，B，C三个村庄的位置；
(2)C村离A村有多远？
(3)邮递员一共骑行了多少千米？
12.如图，是北京S1线地铁的分布示意图，其中桥户营、四道桥、金安桥、苹果园四站在同一条直线上．
如果在图中以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是 ，2，那么金安桥站表示的
数是___________．
题型5.新定义运算问题
13．（2022秋·重庆·七年级校考阶段练习）阅读材料寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b＝n可以使（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c，如果1⊕1＝2，那么2020⊕2020＝ ．
14．（2022秋•新河县校级月考）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b， ， ，将
这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，
， ，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣ ．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值．
题型6.有理数的加减在实际生活中的应用
15．小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高6分，第三次比第二次低10分，
第四次又比第三次高12分．那么这四次测验的平均成绩是（ ）
A．90分 B．85分 C． 分 D．81分
16．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无
现金社会发展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是
（ ）
微信转账
扫二维码付
款
微信红包
便民菜站
A．收入 元 B．支出 元 C．收入 元 D．支出 元
17．小明同学将2B铅笔笔尖从原点 开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成
第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操
作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留
在点 处，则点 对应的数是（ ）．
A．0 B． C． D．50
18．（2023春·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考开学考试）某一天早晨的气温是 ，中午上升了
，午夜又下降了 ，则午夜的温度是 ．19.粮库 天内粮食进、出库的吨数记录如下表（“＋”表示进库，“ ”表示出库）：
第二 第五
时间 第一天 第三天 第四天 第六天
天 天
进、出库数量（吨） ＋25 ＋8 ＋34 22
(1)在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是 吨．
(2)经过这6天，粮库里的粮食是增多还是减少了？请通过计算说明．
(3)经过这6天，仓库管理员结算时发现库里还存有480吨粮食，那么6天前库里存粮多少吨？
20．某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差．以下为同一时刻5个城市的国际标准时间（正数表
示当地时间比格林尼治时间早的时数，负数表示当地时间比格林尼治时间迟的时数）：
城市 伦敦 北京 东京 多伦多 纽约
国际标准时间 0 +8 +9 -4 -5
(1)伦敦时间中午12点时，北京的当地时间是 _________ 点，纽约的当地时间是 _________ 点：
(2)某人在北京首都机场乘坐中午12点整的航班飞往伦敦，若飞行时间为12小时，则此人到达伦敦时，伦
敦的当地时间是几点?（以上时刻均用24小时制作答）
21．为了庆祝中华人民共和国成立72周年，空军航空开放活动在其机场举行，某特技飞行队做特技表演时，
其中一架J31型飞机起飞0.5km后的高度（上升记为正）变化为：+2.5km，－1.2km，+1.1km，－1.4km．
(1)求该飞机完成这四个表演动作后离地面的高度；
(2)已知飞机平均上升1km需消耗5L燃油，平均下降1km需消耗3L燃油，那么这架飞机在做完这四个表演
动作过程中，一共消耗了多少升燃油？22．小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学．厂里规定每周工作6天，每人每天需生产A玩具30个，每周
生产180个．下表是小颖某周实际的生产情况（增产记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六
增减产
值
(1)根据记录的数据可知小颖星期二生产玩具___________个；
(2)根据记录的数据可知小颖本周实际生产玩具___________个；
(3)该厂规定：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元，少生产一个则
倒扣2元；工资采用“每日计件工资制”或“每周计件工资制”．小颖本周应选择哪种工资形式更合算？
请说明理由 ．
题型7.规律探究创新题
23．观察下列各式的特征： ； ； ；
，根据规律，解决相关问题：
（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）；
① _____________；
② ___________．
（2）当 时， ___________；当 时， __________．
（3）有理数 在数轴上的位置如图，则化简 的结果为___________A． B． C． D．
（4）合理的方法计算：
24.定义：对于任意的有理数a，b ，
(1)探究性质：
①例： _________； _________； _________； ________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出 的一般规律；
(2)性质应用：
①运用发现的规律求 的值；
②将 ， ， ， ……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个
数中任一数值记作a，另一个记作b，求出 ，10组数代入后可求得10个 的值，则这10个值的和
的最小值是 ．
25.已知点A、B在数轴上分别表示数a，b．若A、B两点间的距离记为d，则d和a，b之间的数量关系是
d=|a-b|.
(1)数轴上有理数x与有理数－2所对应两点之间的距离可以表示为______；
(2)|x+6|可以表示数轴上有理数x与有理数_______所对应的两点之间的距离；
若|x+6|= |x -2|，则x=______；
(3)若a=1，b=-2，将数轴折叠，使得A点与﹣7表示的点重合，则B点与数______表示的点P重合；
(4)若数轴上M、N两点之间的距离为11(M在N的左侧)，且M、N两点经过(3)中折叠后互相重合，则M、
N两点表示的数分别是：M：_____， N：_______；
(5)在题(3)的条件下，点A为定点，点B、P为动点，若移动点B、P中一点后，能否使相邻两点间距离相等？若能，请写出移动方案.
【方法三】差异对比法
易错点.混淆有理数减法中的运算符号和性质符号
26.计算： ．
莉莉的解法如下：
．
请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请写出正确解法．
【方法四】 仿真实战法
考法1.有理数的减法
27．（2023•日照）计算2﹣（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
28．（2023•临沂）计算（﹣7）﹣（﹣5）的结果是（ ）
A．﹣12 B．12 C．﹣2 D．2
29．（2023•滨州）计算2﹣|﹣3|的结果为 ．
考法2.有理数减法的实际应用
30．（2023•温州）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）A．﹣1 B．0 C．1 D．2
31．（2022•杭州）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为﹣6℃，
最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（ ）
A．﹣8℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．8℃
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2022秋·浙江金华·七年级期中）泰山风景壮观，深受广大游客喜爱，1月份泰山山脚的平均气温是零
上 ，泰山山顶的平均气温是零下 ，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是（ ）
A．1 B． C．7 D．
2．（2022秋·甘肃定西·七年级校考期中）若 ， ，则 的值为（ ）
A．5 B． C． D．0
3．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）华华家住在电梯楼房的第 层，他乘电梯下到 层的地下车库，
则他的位置高度下降了（ ）层．
A． B． C． D．
4．（2023秋·广西南宁·七年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若
， ， ，则 （ ）A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2022秋·甘肃定西·七年级校考阶段练习）若数轴上的点A表示的数 ，则与点A相距5个单位长度
的点表示的数是（ ）
A． B． C．3或 D． 或7
7．（2021秋·福建福州·七年级校考阶段练习）在数轴上，到表示 的点的距离等于5的点表示的数是
（ ）
A．4 B． C．4或 D．7
8．（2022秋·甘肃定西·七年级校联考阶段练习）如图，在生产图纸上通常用 来表示轴的加工要求，
这里300表示直径是 ， 和 是指直径在 到 之间的产品都属于合
格产品．现加工一批轴，尺寸要求是 ，请依次检验直径为 和 的两根轴是否合格
（ ）
A．合格，合格 B．不合格，不合格 C．合格，不合格 D．不合格，合格
9．（2022秋·安徽·七年级周测）若a＞0，b＜0，则下列各式正确的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．a﹣b＞0 C．a﹣b=0 D．（﹣a）+（﹣b）＞0
10．（2023秋·全国·七年级专题练习）若 ， ，且 的绝对值与相反数相等，则 的值是
（ ）
A． B． C． 或 D．2或6
二、填空题
11．（2023秋·内蒙古呼和浩特·七年级校考期末）若a的相反数是 ，b的绝对值是5，则 ．
12．（2021秋·福建福州·七年级校考阶段练习） 写成省略括号的和的形式为．
13．（2023秋·江苏·七年级专题练习）一天早晨的气温是 ，中午上升了 ，半夜又下降了 ，则
半夜的气温是 ．
14．（2021秋·广东江门·七年级校考阶段练习）计算： ．
15．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）数轴上离表示2的点相距4个单位长度的点表示的数是
．
16．（2023秋·全国·七年级专题练习）点A在数轴上距原点3个单位长度，若一个点从点A处向右移动4
个单位长度，再向左移动1个单位长度得到点B．则点B表示的数是 ．
17．（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）按如图程序计算，当输入的值为0时，输出的值为
.
18．（2022秋·七年级单元测试）有理数a，b，c在数轴上所表示的点的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|c
﹣b|+|c|﹣|c﹣a|＝ ．
19．（2023秋·全国·七年级专题练习）若 的最小值为3，则 的值为 ．
20．（2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市实验中学校考期末）如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整
数记作 ．例如， ， ， ．那么， ，其中 ．例如，， ， ．现有 ，则x的值为 ．
三、解答题
21．（2023秋·全国·七年级专题练习）用简便方法运算．
(1) ；
(2) ．
22．（2023秋·江苏·七年级专题练习）计算： ．
23．（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读下面文字：对于 ，可以按如下方
法计算：
原式
．
上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算：(1) ；
(2) ．
24．（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读下面的解题过程，并解决问题
计算：
解：原式 ……第一
步
…………第二
步
…………………………………………
第三步
(1)计算过程中，第一步把原式化成_______的形式，体现了数学中的_______思想，为了计算简便，第二步
运用了___________
(2)根据以上的解题技巧计算下列式子：25．（2023秋·福建南平·七年级福建省光泽第一中学校考开学考试）六年级（1）班和（2）班进行植树比
赛．上午（1）班种了 18 棵，下午两个班种的一样多．六（2）班上午种了多少棵？
26．（2023秋·湖南永州·七年级校考开学考试）为了体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司
机小李在东西向的公路上免费接送教师，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千
米）： ， ， ， ， ， ， ， ，
(1)将最后一名教师送到目的地时，小李在出车地点的什么方向？距离出车地点多远？
(2)若汽车的耗油量为每千米 升，这天上午汽车共耗油多少升？
27．（2022秋·四川泸州·七年级校考期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入
微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式 的几何意义是数轴上 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为 ，所以 的几何意义就是数轴上 所对应的点与 所对
应的点之间的距离．
发现问题：代数式 的最小值是多少？
探究问题：如图，点 、 、 分别表示数 、 、 ， ．（在数学中，∵表示因为，∴表示所
以）
∵ 的几何意义是点 到点 和点 之间的距离之和，
∴当点 在点 和点 之间时，点 到点 和点 之间的距离之和等于3，
当点 在点 的左侧或点 的右侧时，点 到点 和点 之间的距离之和大于3．
∴ 的最小值是3．
解决问题：
（1）若数轴上两点 、 表示的数为 、 ， 、 之间的距离可用含 的式子表示为______；
（2） ，则 ______；
（3） 有最小值，最小值是______．
28．（2022秋·浙江台州·七年级校考期中）定义：对于任意的有理数a，b ，
(1)探究性质：
①例： _________； _________； _________； ________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出 的一般规律；
(2)性质应用：
①运用发现的规律求 的值；
②将 ， ， ， ……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个
数中任一数值记作a，另一个记作b，求出 ，10组数代入后可求得10个 的值，则这10个值的和
的最小值是 ．
