专题14.1整式的乘法（10个知识点5种题型5个易错点7个中考考点）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_常见题型通关讲解练-V3_2024版

专题 11 整式的乘法（10 个知识点 5 种题型 5 个易错点 7 个中考考 点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.同底数幂的乘法（重点） 知识点2幂的乘方（重点） 知识点3.积的乘方（重点） 知识点4.单项式与单项式相乘（重点） 知识点5.单项式与多项式相乘（重点） 知识点6.多项式与多项式相乘（重点） 知识点7.同底数幂的除法（重点） 知识点8.零指数幂（重点） 知识点9.单项式除以单项式（重点） 知识点10.多项式除以单项式（重点） 【方法二】 实例探索法 题型1.整式的混合运算 题型2.逆用幂的运算法则解决问题 题型3.整式除法的应用 题型4.整式的化简求值 题型5.整式乘法的应用 【方法三】差异对比法 易错点1.把互为相反数的底数化为同底数时出现符号错误 易错点2.由于幂的运算法则掌握不准出现错误 易错点3.有关多项式乘法计算出现错误 易错点4.运用整式的除法法则时出错易错点5.乘除混合运算顺序出错 【方法四】 仿真实战法 考法1.幂的乘方 考法2.积的乘方 考法3.单项式与单项式相乘 考法4.单项式与多项式相乘 考法5.多项式与多项式相乘 考法6.同底数幂的除法 考法7. 单项式除以单项式 【方法五】 成果评定法 【学习目标】 1. 掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，并能熟练地运用这些法则进行有关计算。 2. 掌握单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的乘法法则，并能熟练地运用 这些法则进行有关计算。 3. 掌握同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并能进行简单的计算，理解零 指数幂的意义。 【知识导图】【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.同底数幂的乘法（重点） m，n 1.同底数幂的乘法： ( 为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【例1】计算： .（结果用幂的形式表示） 知识点2幂的乘方（重点） 2. 幂的乘方： (m，n为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【例2】（2023上·四川绵阳·八年级统考期中）如果 ，那么 的值为（ ） A．3 B．4 C．8 D．2 知识点3.积的乘方（重点） n 3.积的乘方： ( 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 【例3】（2023上·广东广州·八年级广州市第三中学校联考期中） ． 知识点4.单项式与单项式相乘（重点） 4.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连 同它的指数作为积的一个因式. 【例4】（2021下·八年级课前预习）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别 ，对于只在 一个单项式含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 知识点5.单项式与多项式相乘（重点） 5.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 .即 m(abc) mambmc m,a,b,c ( 都是单项式). 【例5】（2023上·广东深圳·七年级校联考期中）一个长方形的长为x，宽比长的一半多1，则这个长方形 的面积为（ ） A． B． C． D．知识点6.多项式与多项式相乘（重点） 6.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即 abmnamanbmbn . 要点：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以 多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一 xaxb x2 abxab 个应用比较广泛的公式： . 【例6】（2023上·天津南开·八年级南开中学校考期中）已知 ， ，则 的值为 ( ) A． B． C． D． 知识点7.同底数幂的除法（重点） a m，n mn 7.同底数幂的除法： ( ≠0, 为正整数，并且 ). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 【例7】在上个月，我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关 “幂”的新运算，定义： 与 （ ，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作 ． 运算法则如下： 当 时， 当 时， 当 时， 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ______， ______； (2)如果 ，求出x的值； (3)如果 ，请直接写出x的值． 知识点8.零指数幂（重点）a0 1a  0. 8.零指数幂： 即任何不等于零的数的零次方等于1. 要点：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质， 使运算更加方便、简洁. 【例8】零指数幂a0＝1（a≠0）的意义，即任何不等于0的数的0次幂都等于1；负整数指数幂a﹣p＝ （a≠0，p为 数），要特别注意a≠0的附加条件．用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它 们表示成a×10﹣n的形式，其中n是 数，1≤|a|＜10．引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的 范围就从正整数扩大到了全体整数，我们以前学习过的各种幂的性质在整数范围内仍然成立． 知识点9.单项式除以单项式（重点） 9.（1）单项式除以单项式法则 两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同 它的指数作为商的一个因式． （2）单项式除以单项式的步骤 （1）把系数相除，所得的结果作为商的因式； （2）把同底数的幂分别相除，所得的结果作为商的一个因式； （3）只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式． （3）单项式混合运算法则 通常情况下，应先乘方，在乘除，最后做加减运算，如有括号，先算括号内的运算． 例题解析 ，则（ ）． 【例9】 A． ， B． ， C． ， D． ， 知识点10.多项式除以单项式（重点） 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. (ambmcm)m  ammbmmcmm  abc 即： 【例10】（2023上·北京朝阳·八年级日坛中学校联考期中）计算：【方法二】实例探索法 题型1.整式的混合运算 1.化简： ． 题型2.逆用幂的运算法则解决问题 2．观察下列式子 ； ； ； ； …… （1）猜想： ________； ________； （2）根据（1）所猜想的结论计算： ． 题型3.整式除法的应用3.（2023上·四川乐山·八年级校考阶段练习）对于任意自然数n，代数式 一定能被一 个整数整除，那么这个整数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．12 题型4.整式的化简求值 4.运用整式乘法公式先化简，再求值． ，其中， ， ． 5.利用整式的乘法化简求值：若 ． ，求 的值． 【方法三】差异对比法 易错点1.把互为相反数的底数化为同底数时出现符号错误 1.（2023·浙江·一模）计算 的正确结果是（ ） A． B．a C． D． 易错点2.由于幂的运算法则掌握不准出现错误 2.（2023上·福建福州·八年级统考期中）下列计算结果为 的是（ ）A． B． C． D． 3.（2023上·四川眉山·八年级校考阶段练习）已知 ， ， ，则a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的 性质之一，用式子表示为： （ 、 为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用 式子表示为： （ 、 为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指 数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如 ，至于选择哪一个变形结果，要 具体问题具体分析．例如，判断 的末尾数字，我们可以采用如下的方法： 解析： 的末尾数字等于 的末尾数字 ∵ ，又 （ 为正整数）的末尾数字均为 ， ∴ 的末尾数字是 的末尾数字，即为 ． ∴ 的末尾数字为 根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)逆用幂的乘方，写出 的末尾数字 (2)试判断 的末尾数字易错点3.有关多项式乘法计算出现错误 5．（2023上·黑龙江绥化·八年级校考期中）已知 的乘积项中不含 项，则 ． 易错点4.运用整式的除法法则时出错 6．（2022春•温州期中）已知一个长方形的面积是4x2+2x，宽为2x，那么它的长为 ． 易错点5.乘除混合运算顺序出错 7．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算： __________． 【方法四】 仿真实战法 考法1.幂的乘方 1．（2023上·湖南邵阳·八年级统考期中）已知 ，则 ． 考法2.积的乘方 2．（2023上·天津南开·八年级南开中学校考期中） ． 考法3.单项式与单项式相乘 3．（2023上·山西吕梁·八年级校考期中）一头非洲大象质量的最高纪录为 ，则 头这样的 大象的质量为（ ） A． B． C． D． 考法4.单项式与多项式相乘 4．（2023上·天津滨海新·八年级校考期中）计算； (1) (2)(3) 考法5.多项式与多项式相乘 5．（2023上·福建福州·八年级校考期中）化简求值： ，其中 ， 考法6.同底数幂的除法 6．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算， 运算法则如下： ． 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ___________， ___________； (2)如果 ，求出 的值；(3)如果 ，请直接写出 的值． 考法7. 单项式除以单项式 7.计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） （用科学记数法表示）； （5）若 ，则 ， ． 【方法五】 成果评定法 一、单选题 1．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）我们在学习单项式（多项式）乘以多项式时，通过乘法分配律将 其归结为了单项式与单项式相乘，这个过程体现的数学思想是（ ） A．化归思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．建模思想 2．（2023上·山西晋城·八年级统考期中）小曹租了一块长为a米，宽为b米（ ）的长方形土地 用于种植新品种脱毒种薯，研究如何提高马铃薯产量．第二年，由于田地重新规划，小曹租的这块地的长 增加10米，宽减少10米，那么小曹租的这块地的面积（ ） A．变大了 B．变小了 C．没有变化 D．无法确定 3．（2023上·天津南开·八年级南开中学校考期中）下列计算结果等于 的是（ ） A． B． C． D． 4．（2023上·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D．5．（2023上·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）若 的值，则m与n 的值是（ ） A． B．1，6 C． D． 6．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）计算 的结果中一次项为 ，则常数m的值为 （ ） A．2 B．3 C． D．5 7．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）已知一个多项式除以多项式 ，所得商式是 ，则这 个多项式为（ ） A． B． C． D． 8．（2023上·山西晋城·八年级统考期中）如果 的乘积中不含x的一次项，那么m的值为 （ ） A． B．1 C． D．2 9．（2023上·山西吕梁·八年级校考期中）下列计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）若 ，则m、n的值分别是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（江苏省南京市联合体2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）若 ，则 ．12．（2023上·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）计算 ． 13．（2023上·北京朝阳·八年级日坛中学校联考期中） ； ； ． 14．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知 ，则 的值为 ． 15．（2023上·上海长宁·七年级上海市复旦初级中学校考期中）计算： ． 16．（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）若 ， ， ， 为正整数，则 ． 17．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）定义一种新运算 ，若 ，则 ，例 ， ．若 ，则 ；若 ，则 的值为 ． 三、解答题 18．（2023上·北京朝阳·八年级日坛中学校联考期中）计算： 19．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）甲同学计算一道关于 的整式乘法题： ， 由于甲抄错了 的符号，得到的结果是 ，请你计算出a，b的值，并计算出这道整式乘法题的 正确结果．20．（2023上·四川绵阳·八年级统考期中）化简： ． 21．（2023上·广东广州·八年级校联考期中）计算： (1) (2) 22．（2023上·北京朝阳·八年级日坛中学校联考期中）计算： ．23．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，哈市某小区有一块长为 米，宽为 米 的长方形地块，角上有四个边长为 米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）； (2)当 ， 时，开发商找来甲、乙两个绿化队完成此项绿化任务，已知甲队每小时可以绿化5平方 米，乙队每小时绿化3平方米，若要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间，则甲队至多工作多少小时？ 25．（2023上·山西晋城·八年级统考期中）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题， 例如：“若 ， ，求 的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式， 即 ，所以 ，所以 ． (1)若 ， ，请你也利用逆向思考的方法求出 的值． (2)下面是小宇用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小宇的方法解答下面的问题： 小宇的作业 计算： ．解： ． ①小宇的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：________． ②计算：