文档内容
专题 05 三角形全等的判定（8 个知识点 5 种题型 5
种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.三角形全等的基本事实：边边边（重点）
知识点2.用直尺和圆规作一个角等于已知角
知识点3.三角形全等的基本事实：边角边（重点）
知识点4.三角形全等的基本事实：角边角（重点）
知识点5.三角形全等的推论：角角边（重点）
知识点6.直角三角形全等的判定方法：HL（重点）
知识点7.判定两个三角形全等常用的思路方法（难点）
知识点8.常见全等三角形的基本图形
【方法二】 实例探索法
题型1.三角形全等的判定与性质的综合应用
题型2.巧构全等三角形解决问题
题型3.利用全等三角形解决设计测量方案问题
题型4.全等三角形的探究题
题型5.动点问题中全等三角形的探究题
【方法三】 仿真实战法
考法1.用SAS证明两个三角形全等
考法2.用SSS证明两个三角形全等
考法3.用AAS证明两个三角形全等
考法4.用ASA证明两个三角形全等
考法5.用HL证明两直角三角形全等
【方法四】 成果评定法【学习目标】
1. 掌握用SSS,SAS,ASA和AAS证明两个三角形全等的方法，并会用HL证明两个直角三角形全等。
2. 能根据所给条件灵活地选择三角形全等的判定方法，并能综合运用全等三角形的性质证明线段和角相
等的问题。
3. 通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探索、归纳、证明两个三角形全等的条件，提高运用知识的
能力。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.三角形全等的基本事实：边边边（重点）
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果A'B'＝AB， A'C' ＝AC， B'C' ＝BC，则△ABC≌△ A'B'C' .
【例1】（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点 在一条直线上， ，
求证： ．【详解】证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中
∴ ．
知识点2.用直尺和圆规作一个角等于已知角
【例2】如图，已知 ．用三种不同的方法作 等于 ．要求：尺规作图；保留作图痕迹，不写
作法．
【详解】解：如图①、②、③， 即为所求．，
【点睛】本题考查基本尺规作图-作角、作垂线、作等腰三角形，涉及等腰三角形的等边对等角、线段垂直
平分线的性质，熟练掌握基本尺规作图和基本几何图形的性质是解答的关键．
知识点3.三角形全等的基本事实：边角边（重点）
1. 全等三角形判定——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ A'B'，∠A＝∠A'，AC ＝ A'C' ，则△ABC≌△ A'B'C' . 注意：这里的
角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是
有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【例3】已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE.求证:△ACD≌△CBE.【解析】证明：∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B..
∵点C为AB中点，∴AC=CB.
又∵CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS）
【变式1】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF．
求证：△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+EC．
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
{ AB=DE
，
∠B=∠≝¿BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【变式2】如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．
求证：△ABC≌△DEC．
【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，{
AC=DC
∠ACB=∠DCE，
BC=EC
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
【变式3】如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF
＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．
【解答】解：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ACB＝∠EFD＝90°，
∵BF＝CD，
∴BF+CF＝CD+CF，
即BC＝DF，
在△ABC和△EDF中，
{
BC=DF
∠ACB=∠EFD，
AC=EF
∴△ABC≌△EDF（SAS）．
知识点4.三角形全等的基本事实：角边角（重点）
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠A'，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，则△ABC≌△ A'B'C' .
【例4】如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC 边上，∠1＝∠2，AE和BD 相交于点O．
求证：△AEC≌△BED；【详解】∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
【变式1】如图，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求证：△ABC≌△ADE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B，
∵DA平分∠BDE．
∴∠ADE＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠B，在△ABC和△ADE中，
{
∠ADE=∠B
AB=AD ，
∠BAC=∠DAE
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
【变式2】（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：
△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
{∠B=∠DEF
BC=EF ，
∠ACB=∠F
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
知识点5.三角形全等的推论：角角边（重点）
1.全等三角形判定——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定
两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE
不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【例5】如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．
求证：△ADE≌△CAB．
【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，
∴AD＝AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ACB，
∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠B，
在△ADE与△CAB中，
{∠DAE=∠ACB
∠AED=∠B ，
AD=AC
∴△ADE≌△CAB（AAS）．
知识点6.直角三角形全等的判定方法：HL（重点）
【例6】如图，四边形 中， ，连接对角线 ，且 ，点 在边 上，连接 ，
过点 作 ，垂足为 ，若 ．
(1)求证： ；(2)求证： ．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
在 和 中，
．
（2）连接 ，
由 证明可得 ，
，
在 和 中，
．
，
，
．
知识点7.判定两个三角形全等常用的思路方法（难点）
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
知识点8.常见全等三角形的基本图形
1、截长补短
有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采
取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其
中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是
将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线
段关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
2、倍长中线
图一
图二图三
3、过端点向中线作垂线
4.一线三等角
B
模型 三垂直全等模型
A
D E
C图一
如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA
图二
如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA
5、手拉手
图一 图二
图三 图四 图五图六 图七
手拉手模型的定义：
定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。
特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉
左手，右手拉右手）
3、如右图：手拉手模型的重要结论：
结论1：∆ABC≅∆A/B/C/（SAS）
BC=B/C/(左手拉左手等于右手拉右手)
结论2：∠BOB=∠BAB（利用三角形全等及顶角相等
的等腰三角形底角相等）
结论3：AO平分∠BOC/（利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明）
【方法二】实例探索法
题型1.三角形全等的判定与性质的综合应用
1．（2022秋•宁波期末）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE；
（2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积．【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BEC（SAS）；
（2）解：由（1）知△ADC≌△BCE，
∴DC＝CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF＝EF，
∴CF垂直平分DE，
∵CF＝3，DF＝4．
∴DE＝2DF＝8，
∴S△DCE ＝ ＝ ＝12，
即△DCE的面积是12．
2．（2022秋•东宝区期末）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝25°．
3．（2022秋•下城区校级期中）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点
F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．
【解答】（1）证明：∵在△AED和△CEF中
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵AC平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF，
∵∠A＝∠ACF，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，
∴2∠A＝130°，
∴∠A＝65°．题型2.巧构全等三角形解决问题
(1)．作公共边可构造全等三角形：
4.如图：在四边形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求证：∠B＝∠D.
【思路点拨】∠B与∠D不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线 AC，根据平行线的性质，可构造出
全等三角形.
【答案与解析】
证明：连接AC，
∵AD∥CB，AB∥CD.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
在△ABC与△CDA中
∴△ABC≌△CDA（ASA）
∴∠B＝∠D
【总结升华】添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证∠A＝∠C，则连接对角线BD.5.在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C
【答案】
证明：过点A作AD⊥BC
在Rt△ABD与Rt△ACD中
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）
∴∠B＝∠C.
(2)．倍长中线法：
6.己知：在ΔABC中，AD为中线.求证：AD＜
【答案与解析】证明：延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD为中线，
∴BD＝CD
在△ADC与△EDB中
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE
在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD
∴AD＜ .
【总结升华】用倍长中线法可将线段AC，2AD，AB转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中
线法实际上是绕着中点D旋转180°.
7、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．
A
B D C
方法1：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BEA
12
B D C
E
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴AC=BE，∠E=∠2
[来源:学科网ZXXK]
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
[来源:Z。xx。k.Com]
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
方法2：
A
12
B D C
E
如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E
∵BE∥AC
∴∠E=∠2在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（AAS）
∴BE=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：
8、在ΔABC中，AB＞AC.求证：∠B＜∠C
【答案与解析】
证明：作∠A的平分线，交BC于D，把△ADC沿着AD折叠，使C点与E点重合.
在△ADC与△ADE中
∴△ADC≌△ADE（SAS）
∴∠AED＝∠C
∵∠AED是△BED的外角，∴∠AED＞∠B，即∠B＜∠C.
【总结升华】作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形.
(4)．利用截长(或补短)法构造全等三角形：
9.如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．
【思路点拨】因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，
显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．
【答案与解析】
证明：∵AB＞AC，则在AB上截取AE＝AC，连接ME．
在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．
在△AMC和△AME中，
∴ △AMC≌△AME（SAS）．
∴ MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．
又∵ BE＝AB－AE，
∴ BE＝AB－AC，
∴ MB－MC＜AB－AC．
【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.
(5)．巧用“延长法”构造全等三角形：10.如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．
求证：CE＝ BD．
【解答】证明：如图，延长CE，BA交于点F．
∵CE⊥BD，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF＝∠BEC＝90°．
又∵∠ADB＝∠EDC，
∴∠ABD＝∠ACF．
在△ABD与△ACF中，
∴△ABD≌△ACF（ASA）．
∴BD＝CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE．
在△BCE与△BFE中，
∴△BCE≌△BFE（ASA）．
∴CE＝FE，即CE＝ CF．
∴CE＝ BD．题型3.利用全等三角形解决设计测量方案问题
11．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期末）池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量
A，B的距离．八年级一班甲，乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接 并延长到点 ，连接 并延长到
点 ，使 ， ，连接 ，测出 的长即可．
乙：如图②，先确定直线 ，过点 作直线 ，在直线 上找可以直接到达点 的一点 ，连接
，作 ，交直线 于点 ，最后测量 的长即可．
请分析两种方案可行的理由．
【详解】解：甲同学方案：
在 和 中，
， ， ，
，
；
乙同学方案：
在 和 中，
， ， ，
，
．
12．（2022秋·福建漳州·八年级统考期中）如图，有一条河流（假设河流两岸平行，即 ），由于河水
湍急，无法下水，为了测量河的宽度，林师傅给出了以下方法：在河岸 上确定点A（如图），利用红外线光束，在河岸 上确定点 ，使得 与河岸垂直；
从A点沿河岸向东直走 ，记为点 （如图），继续向东直走 ，到达点 ；
从 点沿垂直河岸的方向行走，行走过程中，用红外线光束一直对准 ，当点 刚好出现在红外线光束
上时，停下，记为点 ；
测得 的长为 ．
(1)根据上述方法，河流的宽度为______ m；
(2)请你根据林师傅的方法，利用三角板和刻度尺，在图中画出 ， ， 的位置，并结合题意说明林师傅
作法的科学性．
【答案】(1)8
(2)见解析
【详解】（1）解：根据题意可得 ，
河流的宽度为 ，
故答案为： ；
（2）解：画出图形如下：
根据题意可得： ， ， ，
，
∴ ．
13．（2023秋·江苏·八年级专题练习）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小
组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的
距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接 并延长到点C，连接 并延长到
点D，使 ， ，连接 ，测出 的长即可．乙：如图②，先确定直线 ，过点B作直线 ，在直线 上找可以直接到达点A的一点D，连接 ，
作 ，交直线 于点C，最后测量 的长即可．
(1)甲、乙两同学的方案哪个可行？
(2)请说明方案可行的理由．
【答案】(1)甲同学的方案可行
(2)见解析
【详解】（1）解：甲同学的方案可行；乙同学方案不可行；
（2）甲同学方案：
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
乙同学方案：
在 和 中，
只能知道 ， ，不能判定 与 全等，故方案不可行．
题型4.全等三角形的探究题
14．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图， ， 是 的中点， 平分 ．(1)若连接 ，则 是否平分 ？请你证明你的结论；
(2)线段 与 有怎样的位置关系？请说明理由．
【详解】（1） 平分 ，理由为：
证明：过点 作 ，垂足为 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ （角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 平分 （到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2） ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ （垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴ （两直线平行，同旁内角互补）
又∵ （角平分线定义）
∴ ，
∴ ，∴ ．
即 ．
15.如图， ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长
线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断 BEG的形状，并说明理由．
【详解】证：（1）BE＝ AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在 BAE和 HAE中，
△ △
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝ BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在 BCH和 ACD中，
△ △，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝ AD．
（2） BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝△BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝ ∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
题型5.动点问题中全等三角形的探究题
16．（2022秋·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，已知 中， ， ，
，点 为 的中点．(1)如果点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上由点 向点 运动．
①若点 的运动速度与点 的运动速度相等，经过 秒后， 与 是否全等，请说明理由．
②若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，当点 的运动速度为___ 时，在某一时刻也能够使
与 全等．
(2)若点 以②中的运动速度从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时出发，都按逆时针方向沿
的三边运动．求经过多少秒后，点 与点 第一次相遇，并写出第一次相遇点在 的哪条边上？
【答案】(1)①全等，理由见详解；②
(2)经过 后，点 与点 第一次在 边上相遇
【详解】（1）解：①全等，理由如下，
∵ ，
∴ ，
∵ ，点 为 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，∴ ；
②假设 ，且 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴点 ，点 运动的时间 ，
∴点 的速度为： ，
∴当点 的运动速度为 时， 与 全等，
故答案为： ．
（2）解：设经过 后点 相遇，
∴ ，解得， ，
∴点 共运动了 ，
∵ ，
∴点 ，点 在 边上相遇，
∴经过 后，点 与点 第一次在 边上相遇．
17．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知： 中， ， ，D 为直线
上一动点，连接 ， 在直线 右侧作 ，且 ．
(1)如图 ，当点 D 在线段 上时，过点 E 作 于 H，连接 DE，求证： ；
(2)如图 ，当点 D 在线段 的延长线上时，连接 交 的延长线于点 M．求证： ．【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）如图，作 交 的延长线于点F，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∵ ．
18．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图①， ， ， ，
．点P在线段AB上以 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段 上由点B向
点D运动，它们运动的时间为 ．
(1) ______；（用t的式子表示）
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 时， 与 是否全等，请说明理由，并判断
此时线段 和线段 的位置关系；
(3)如图②，将图①中的“ ， ”改为“ ”，其他条件不变，设点Q
的运动速度为 ，是否存在实数x，使得 与 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ； ；理由见解析
(3)存在 ， 或 ， 使得 与 全等【详解】（1）解：∵点P在线段AB上以 的速度由点A向点B运动，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解： ， ，理由如下：
当 时， ， ，
又 ，
在 和 中，
∵ ，
，
，
，
，
∴ ．
（3）解：由题意可得： ， ， ， ，
①若 ，
则 ， ，
则 ， ，
解得： ， ；
②若 ，
则 ， ，
则 ，
解得： ， ；
综上所述，存在 ， 或 ， 使得 与 全等．【方法三】 仿真实战法
考法1.用SAS证明两个三角形全等
19．（2022•金华）如图，AC 与 BD 相交于点 O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定
△ABO≌△DCO的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故选：B．
考法2.用SSS证明两个三角形全等
20．（2023•云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．
【解答】证明：∵C是BD的中点，
∴BC＝DC，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SSS）．
考法3.用AAS证明两个三角形全等
21．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：△ABE≌△ACD；【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
考法4.用ASA证明两个三角形全等
22．（2022•衢州）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．
【解答】证明：∵∠3＝∠4，
∴∠ACB＝∠ACD，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（ASA），
∴AB＝AD．
考法5.用HL证明两直角三角形全等
23．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝
OC．
求证：∠1＝∠2．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．
∵∠DOB＝∠EOC，
∴∠B＝∠C．……第一步
又OA＝OA，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO．……第二步
∴∠1＝∠2．……第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第 二 步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
【解答】（1）解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二；
（2）证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
在△DOB和△EOC中，
，
∴△DOB≌△EOC（AAS），
∴OD＝OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠1＝∠2．
【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·江苏·八年级校考周测）如图，将两根钢条 、 的中点 连在一起，使 、 可以绕着点 自由转动，就做成了一个测量工件，则 的长等于内槽宽 ，那么判定 的理由
是 （ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
【答案】A
【分析】由于已知 是 、 的中点 ，再加对顶角相等即可证明 ，所以全等理由是边
角边．
【详解】解：在 与 中，
， ， ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定方法，此题利用了 ，做题时要认真读图，找出有用的条件是
十分必要的．
2．（2023春·河北石家庄·八年级统考开学考试）如图，要测量一条河的宽度 ，先在 的垂线BF上取
两点C、D，使 ，再过点D作 ，要使点A、C、E在同一条直线上，则可以说明
，从而得到 ，因此测得 的长就是 得长，判定 的依据是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对顶角相等得出 ，根据题意得出 ，根据垂直的定义得出
，即可根据 证明 ．
【详解】解：在 和 中，
，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有
．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点B，F，C，E在同一直线上， ， ，如果根
据“ ”判断 ，那么需要补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用全等三角形的判定方法，“ ”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而
得出答案．
【详解】解：需要补充的条件是 ，
在 和 中，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
4．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中） 是 的边 上的中线， ， ，
中线 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长 至点 ，使 ，得出 ，进而在 中利用三角形三边关系求解．
【详解】解：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ，
是 的边 上的中线，
，
又 ，
，
，
在 中， ，
即 ， ，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角
形是解题的关键．5．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）如图，通过尺规作图得到 的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】根据作图过程利用 可以证明 ，进而可得结论．
【详解】解：根据作图过程可知，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ （全等三角形的对应角相等）．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
6．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全
等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
【答案】A
【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．
【详解】解：∵AE=FB，
∴AE+BE=FB+BE，
∴AB=FE，在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（SSS），
∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，
∴可利用的是①或②，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
7．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，已知 ， ， ，则 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】由 可证 ，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．
【详解】解：在 与 中，
，
∴ ，
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明 是解题的关键．
8．（2023秋·北京海淀·八年级校考开学考试）如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），
小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：1、2块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第3块有完整的两角及夹边，符合 ，满足题目要求的条件，是符合题意的，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角
形全等的一般方法有： 、 、 、 、 ．
9．（2023秋·陕西榆林·八年级校考开学考试）如图，点 在同一直线上，若 ，
， ，则图中的全等三角形共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】D
【分析】由 可得 ，由平行线的性质可得 ，根据 推出 ，
，得到 ，从而推出 ，再根据 推出
．
【详解】解： ，
，
，
，
，
在 和 中，
，，
在 和 中，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
综上所述，全等三角形共有3对，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是
解题的关键．
10．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，正五边形 中， ，则 的度数是（ ）
A．50° B．54° C．60° D．72°
【答案】B
【分析】连接 ， ，正五边形 中，得到 ， ，证得
根据全等三角形的性质得到 ，根据等腰三角形的性质得到
，即可得到结论．【详解】解：连接 ， ，
五边形 是正五边形，
， ，
在 和 中
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线
构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题
11．（2022秋·河南周口·八年级校考期中）如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A、B的距离，先在
平地上取一个可以直接到达A、B的点C，分别延长 、 到D、E，使 ， ，连接 ，
这样就可以利用三角形全等，通过测量 的长得到假山两端A、B的距离，则这两个三角形全等的依据是
．【答案】
【分析】图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等可得两个三角形全等．
【详解】解：根据题意可得：
在 和 中，
，
，
，
依据是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等解决实际问题．
12．（2021秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级克东县第三中学校考期末）如图，已知 ．要使
．只需添加的一个条件是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】利用 证明全等即可．
【详解】解：可以添加的条件为： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查添加条件证明三角形全等．解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
13．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在 中，点 、 、 分别是 ， ，
上的点，若 ， ， ， ，则 °．【答案】72
【分析】证明 ，得出 ，根据 ，得出
，求出 ．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：72．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键
是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明 ．
14．（2022秋·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图， ， ， ，
，则 ．
【答案】
【分析】先证得 ，进而可证得 ，可得到 ， ，即可求得答
案．
【详解】∵ ，
∴ ， ．∴ ．
在 和 中
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，牢记全等三角形的判定方法（两角分别相等且其中一组
等角的对边相等的两个三角形全等）是解题的关键．
15．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考开学考试）如图，四边形
中， ， ，对角线 ，若 ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】过点A作 于点H，则 ，证明 ， ，又由
，即可证明 ，则 ，即可得到 的面积．
【详解】解：过点A作 于点H，则 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
则 的面积为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．（2023秋·江苏·八年级校考周测）如图，已知 ， ，则由“ ”能直接判定
两个三角形全等的是 （用全等符号写出全等关系）．
【答案】
【分析】首先利用平行线的性质判断得出 ，进而利用 得出 即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （ ），
故答案为 ．
【点睛】本题考查三角形的全等的判定及平行线的性质，熟练掌握判定方法是解题关键.
17．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图， ，且 ． ，垂足分别为
．若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】证 ，利用全等三角形对应边相等即可求解．
【详解】解：
由题意得：
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟记相关结论是解题关键．18．（2023春·河南信阳·八年级校联考阶段练习）如图， 的面积为 ， 垂直 的平分线
于点 ，则 的面积为 ．
【答案】6
【分析】延长 交 于点 ，根据角平分线和垂线的定义，易证 ，得到
， ，进而得到 ，即可求出 的面积．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ，
平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
和 等底同高，
，
，
的面积为 ，
，故答案为：6．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式等知识，作辅助线构造
全等三角形是解题关键．
三、解答题
19．（2023秋·八年级课时练习）如图， 于点 ， 于点 ， ．若 ，
，求 的长．
【答案】10
【分析】根据题目所给条件证 ，可得 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
20．（2023秋·八年级课时练习）已知：如图， 且 ， ， 是 上的两点，且
.求证： ．【答案】见解析
【分析】已知 ，由 ，可得 ，再由平行线的性质得到 ，然后利用全等三
角形的判定(SAS)，即可得出结论．
【详解】解： ， ， ，
，
，
，
在 和 中， ，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质及全等三角形的判定，熟练掌握平行线的性质及全等三角形的判定是解
题关键．
21．（2023秋·八年级课时练习）完成下列证明过程．
如图，已知 ， ，D，C在 上，且 ，求证： ．
证明：∵ ，
∴ _____________ _________（__________________________），
∵ ，∴ ，即______________，
在 和 中， ，__________________________，
∴ ___________________．
【答案】A； ；两直线平行，同位角相等； ； ， ；【分析】先证明 ，求得 ，利用 即可证明 ．
【详解】证明：∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等），
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
， ， ，
∴ ．
故答案为：A； ；两直线平行，同位角相等； ； ， ； ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的判断条件是解题的关键．
22．（2023秋·八年级课时练习）如图，要测量水池宽 ，可从点 出发在地面上画一条线段 ，使
，再从点 观测，在 的延长线上测得一点 ，使 ，这时量得 ，求
水池宽 ．
【答案】
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】 ，
，
， ，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
23．（2023·全国·八年级假期作业）已知， 中， ， ，直线m过点A，且
于D， 于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现 ．(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问： 与 、 的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中， 、 、 存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证
明）
【答案】(1) ，证明见解析；
(2) ， ， ．
【分析】（1）利用条件证明 ， 再结合线段的和差可得出结论；
（2）根据图，可得 、 、 存在3种不同的数量关系；
【详解】（1）证明：如图2，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ （AAS），
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中， 、 、 存在3种不同的数量关系： ，
， ．
如图1时， ，如图2时， ，
如图3时， ，（证明同理）
【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质．
24．（2023·全国·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知 为线段 上一点，分别以线段 ， 为
直角边作等腰直角三角形， ， ， ，连接 ， ，线段 ， 之间的数
量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把 绕点 逆时针旋转，线段 ， 交于点 ，则 与 之间的关系是
否仍然成立？请说明理由．
【答案】问题发现： ， ；拓展探究：成立，理由见解析
【分析】问题发现：根据题目条件证 ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
拓展探究：用SAS证 ，△根据全等三角形的性质即可证得．
【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：
∵ ，
∴ ，
又∵ ,∴ （SAS），
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
故答案为： ， ；
拓展探究：成立．
理由如下：设 与 相交于点 ，如图1所示：
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ （SAS），
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ， 依然成立．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定
和手拉手模型是解决本题的关键．
25．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考开学考试）如图，在 和 中， ，
， ．(1)如图1，当点 在 上时， ，连接 ，若 ，求 的度数；
(2)如图2，若 ，连接 、 ， 为 中点，连接 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）证明 ，得出 ， ，进而即可求解；
（2）延长 到 ，使 ，连接 ，证明 ， ，得出
，即可得证 ．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ , ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图，延长 到 ，使 ，连接 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，作出辅助线是解题的关键．
26．（2021秋·广东江门·八年级统考阶段练习）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验
探究活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
(1)如图1， 是 的中线，延长 至点E，使 ，连接 ，写出图中全等的两个三角形：
__________；
【理解与运用】
(2)如图2， 是 的中线，若 ， ，设 ，求 的取值范围；(3)如图3， 是 的中线， ，点Q在 的延长线上， ，求证： ．
【答案】(1) ≌
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1） ≌ ，根据全等三角形的判定 即可得到．
（2）根据（1）中的辅助线作法，延长 至点Q，使 ，再证明 ≌ ，得到 ，
再在 中，利用三边关系进行计算即可．
（3）根据（1）中辅助线作法，延长 至点M，使 ，证明 ≌ ，得到 ，
，再证明 ≌ ，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1） 是 的中线，
,
在 和 中，
，
≌ ．
（2）如图2，延长 至点Q，使 ，连接 ，是 的中线，
在 和 中，
，
≌ ,
， ，
在 中，
即 ，
∴ ．
（3）如图3，延长 至点M，使 ，连接 ，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ .
【点睛】本题考查三角形全等的证明，三角形全等的证明方法以及倍长中线的辅助线作法是本题关键，准
确的作出辅助线是本题难点．
