文档内容
专题 09 等腰三角形（5 个知识点 6 种题型 3 个易错点 5 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.等腰三角形的性质（重点）
知识点2.等腰三角形的判定（重点）
知识点3.等边三角形及其性质（重点）
知识点4.等边三角形的判定（重点）
知识点5.含30°角的直角三角形的性质（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.等腰三角形中的分类讨论问题
题型2.等腰三角形的判定及性质的综合应用
题型3.等腰三角形的实际应用
题型4.含30°角直角三角形的性质的应用
题型5.等边三角形的性质和判定的综合应用
题型6.有关等边三角形的探究性问题
【方法三】差异对比法
易错点1.利用等腰三角形的性质解题时考虑问题不全面
易错点2.忽略分类讨论致错
易错点3.误用等腰三角形“三线合一”的性质
【方法四】 仿真实战法
考法1.等腰三角形的性质
考法2.等腰三角形与线段垂直平分线的综合
考法3.含30°角的直角三角形的性质
考法4.等腰三角形的判定
考法5.等边三角形性质【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念。
2. 掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理。
3. 掌握有一个角是30°的直角三角形的性质。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.等腰三角形的性质（重点）
1.等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角
叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，
∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于 45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为
钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
3.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
4.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对
称轴．
【例1】（2022•江口县三模）已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是（
）
A．13cm B．13cm或17cm C．17cm D．16cm
【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否
组成三角形．
【解答】解：当3cm是腰时，3+3＜7，不符合三角形三边关系，故舍去；
当7cm是腰时，周长＝7+7+3＝17（cm）．
故它的周长为17cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要
想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题
的关键．【变式】（2022春•五华县期末）若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了 15cm和18cm两部分，则
它的腰长为 cm．
【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为15和6两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成
的两部分的长，哪个是15，哪个是18，因此，有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD＝DC＝x，
若AB+AD的长为15，则2x+x＝15，解得x＝5，
则x+y＝18，解得y＝13，
所以2x＝10；
若AB+AD的长为18，则2x+x＝18，解得x＝6，
则x+y＝15，即6+y＝15，解得y＝9，
所以2x＝12，
10、10、13和12、12、9均能构成三角形，
所以等腰三角形的腰长为10或12．
故答案为：10或12．
【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中
线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．最后要注意利用三边关系进行验证．
知识点2.等腰三角形的判定（重点）
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为
边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【例2】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交
边AC于点D．求证：△BCD为等腰三角形．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC＝70°，再利用角平分线的定义求出∠DBC＝35°，最后利用等边
对等角即可解答．
【解答】证明：∵∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝35°，
∴∠DBC＝∠ACB＝35°，
∴DB＝DC，
∴△BCD为等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
知识点3.等边三角形及其性质（重点）
1.等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
2.等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
【例3】（2022•博山区一模）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（ ）
A．135° B．125° C．120° D．110°
【分析】利用手拉手模型﹣旋转性全等，证明△DAC≌△BAE，可得∠ADC＝∠ABE，最后利用三角形的外角进行计算即可解答．
【解答】解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，∠ADB＝DBA＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠BOC＝∠BDO+∠DBA+∠ABE
＝∠BDO+∠DBA+∠ADC
＝∠ADB+∠DBA
＝60°+60°
＝120°，
∴∠BOC的度数是120°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型﹣旋转性全等是
解题的关键．
知识点4.等边三角形的判定（重点）
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【例4】（2021秋•沐川县期末）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝
CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
【分析】利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠C，然后根据等
角对等边得到AB＝AC，再求得∠B＝60°，即可解答．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC（等角对等边）．
∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等角对等边的性质，等边三角形的判定，解题的关键
是证明△BED≌△CFD．
知识点5.含30°角的直角三角形的性质（重点）
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三
角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
【例5】（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，
∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据三角形内角和可得∠BDC＝30°，进而得出∠ABD＝15°＝∠A，得到AD＝BD，Rt△BDC中，由
BC＝4，∠BDC＝30°，可求出BD＝2BC＝8＝AD即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，又∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝30°﹣15°＝15°＝∠A，
∴AD＝BD，
在Rt△BDC中，BC＝4，∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝8＝AD，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性
质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．
【变式】（2022•碑林区校级四模）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点
F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】连接BE，由等边三角形的性质可求得∠ABC＝60°，∠ABE＝∠CBE＝30°，结合直角三角形的性质
可求∠EBC＝∠D＝30°，BE＝2，由等腰三角形的性质可求得ED的长，进而可求解．
【解答】解：连接BE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵E为AC的中点，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵EF⊥AB，EF＝1，
∴∠D＝90°﹣∠ABC＝30°，BE＝2EF＝2，∴ED＝BE＝2，
∴DF＝ED+EF＝2+1＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，证明BE＝
ED是解题的关键．
【方法二】实例探索法
题型1.等腰三角形中的分类讨论问题
1、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．
【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明
40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.
【答案与解析】
解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：
两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，
又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，
故每个底角的度数 ；
(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，
则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．
∴其余各角为70°，70°或40°，100°．
【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.
2、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
【答案与解析】
解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；
(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长 ．
这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．
∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．
【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为 3的
边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．
题型2.等腰三角形的判定及性质的综合应用
3.已知：如图， 中， ，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，
．
求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．
A
E
F
B D C
【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD＝DC，易证△ABD≌△CFD，要证BE⊥AC，只需证∠BEC＝90°
即可，DF＝BD，可知∠FBD＝45°，由已知∠ACD＝45°，可知∠BEC＝90°.
【答案与解析】
证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.
∵ ，
∴
∴ AD＝CD
∵ ，
∴ △ABD≌△CFD
(2)∵△ABD≌△CFD
∴ BD＝FD.
∵ ∠FDB＝90°，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ BE⊥AC．
【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角
形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求
出∠FBD=∠BFD=45°．4.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足
是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．
【思路点拨】根据EH⊥AB于H，得到△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点
到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三
角形的性质求解即可．
【答案与解析】
证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵EH⊥AB于H，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC．
【总结升华】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记
性质并证明出等腰直角三角形是解题的关键．
5.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．
求证：AC＝BF．【答案】
证明：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG.
A
E
F
B
D C
G
题型3.等腰三角形的实际应用6．（2022春•本溪期末）如图，一艘船从A处出发向正北航行50海里到达B处，分别从A，B望灯塔C，
测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离是 海里．
【分析】根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：根据题意得：AB＝50海里，
∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB＝50海里．
即从海岛B到灯塔C的距离是50海里．
故答案为：50．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（2022秋·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度
向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得 ， ．
(1)求海岛B到灯塔C的距离；
(2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问小船航行到什么位置时，小船与灯塔C的距离最短？
请作出图示并请说明理由．
【答案】(1)从海岛B到灯塔C的距离为30海里
(2)详见解析，点到直线的距离，垂线段最短【分析】（1）先求出 海里，再证明 ，即可求解；
（2）根据垂线段最短即可求解．
【详解】（1）由题意得： （海里）．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ （海里）．
∴海岛B到灯塔C的距离为30海里．
（2）如图，过点C作 于点P．
则小船航行到点P时，小船与灯塔C的距离最短．
理由：点到直线的距离，垂线段最短．
【点睛】本题考查了方位角问题，涉及到了等角对等边，垂线段最短等知识，解题关键是对概念的理解与
正确求解．
题型4.含30°角直角三角形的性质的应用
8．（2023秋·八年级课时练习）如图所示，已知 ，P是射线 上一动点， ．
(1)当 是等边三角形时，求 的长；
(2)当 是直角三角形时，求 的长．
【答案】(1)10；
(2)5或20．
【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求解；
（2）分两种情况讨论：①若 ，则 ，根据 角所对的直角边等于斜边的一半即可求 ；②若 ，则 ，从而可求 。
【详解】（1）当 为等边三角形时， ．
（2）当 是直角三角形时，分两种情况讨论：
①若 ，则 ，
∴ ，
∴ ；
②若 ，则 ，
∴ ．
综上所述， 的长为5或20．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半，熟练运用相关
知识是解题的关键．
9．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在等边 中，点D、E分别为 、 边上
的点， ．连接 、 相交于点F．
(1)求证：
(2)过A作 于点H，当 ， ， 时，求线段 的长度．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)7
【分析】（1）由等边三角形的性质可得 ， ，从而证明 ，可得
，再根据三角形外角的性质可得 ，即可得出结论；
（2）由（1）可得 ，由全等三角形的性质可得 ， ，求得
，由直角三角形的性质可得 ，从而得出 ，得出 ，即可
得出 ，即可求解．【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）得， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定
与性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质证明 是解题的关键．
10．（2021秋·陕西渭南·八年级校考期中）如图，在等边 中，点 是 边上的中点，点 在 边
上，且 ，求证： ．【分析】先根据等边三角形的性质得出 平分 ， ，从而得 ， ．
继而证得 ， ．然后根据直角三角形的性质得出 ， ，从而得出
，即可得出结论．
【详解】证明： 是等边三角形，
．
为 边中点，
平分 ， ，
， ．
，
，
，
．
在 中， ， ，
在 中， ， ，
，
，
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性
质是解题的关键．
11．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，在Rt 中， 平分 交
于点(1)求证：点 在 的垂直平分线上；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据题意和角平分线的定义，可以得到 和 的关系，然后即可得到 和 的关
系，再根据线段垂直平分线的性质，即可证明结论成立；
（2）根据 角所对的直角边和斜边的关系，可以得到 的长．
【详解】（1）证明：∵ ， ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点D在 的垂直平分线上；
（2）解：∵ ， ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及线段垂直平分线的判定，熟练掌握含30度直角三角形
的性质及线段垂直平分线的判定是解题的关键．
题型5.等边三角形的性质和判定的综合应用
12.等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋
转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【答案】
解： ∵PE⊥AB，∠B＝60°，
1 1
2 3
因此直角三角形PEB中，BE＝ BP＝ BC＝PC，
∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，
∴FP⊥BC，
∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，
∴△BEP≌△CPF，
∴PE＝PF，
∵∠EPF＝60°，
∴△EPF是等边三角形．
ABC DCE
13．已知：如图，B、C、E三点共线， ， 都是等边三角形，连结AE、BD分别交CD、AC于
N、
M，连结MN.
求证：AE＝BD，MN∥BE.
【答案与解析】
证明： ABC ， DCE 都是等边三角形∴BC＝AC，CE＝CD，∠1＝∠3＝60°
∠1＋∠2＋∠3＝180°
BCD ECA
∴∠2＝60°∴
BCD ACE
在 和 中
BC AC
BCD ACE
CD CE
（已证）
∴△BCD≌△ACE （SAS）
∴BD＝AE（全等三角形对应边相等）
4 5
（全等三角形对应角相等）
BMC ANC
在 和 中
4 5
BC AC
1 2
（已证）
∴△BMC≌△ANC（ASA）
∴MC＝NC（全等三角形对应边相等）
∵∠2＝60°
∴△MCN是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴∠6＝60°，∴∠6＝∠1
∴MN∥BE（内错角相等，两直线平行）
【总结升华】本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE＝BD；为证明MN∥BE，可先证明
△MNC为等边三角形，再利用角去转化证明.
题型6.有关等边三角形的探究性问题
14.如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
【答案与解析】
解：（1）△ODE是等边三角形，
其理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°
∴△ODE是等边三角形；
（2）答：BD＝DE＝EC，
其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠OBD＝30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠ABO＝30°，
∴∠DBO＝∠DOB，
∴DB＝DO，
同理，EC＝EO，
∵DE＝OD＝OE，
∴BD＝DE＝EC．
【总结升华】（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；（2）根据角平分
线的性质及平行线的性质可得到∠DBO＝∠DOB，根据等角对等边可得到DB＝DO，同理可证明EC＝EO，因为
DE＝OD＝OE，所以BD＝DE＝EC．
15．（2023春·广东佛山·八年级佛山六中校考阶段练习）（1）问题发现：如图1， 和 均为
等边三角形，点 ， ， 在同一直线上，连接 ．填空：
① 的度数为__________；
②线段 ， 之间的数量关系为__________．
（2）拓展探究：如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点 ， ， 在
同一直线上， 为 中 边上的高，连接 ，请判断 的度数并证明： ．
【答案】（1）① ；② ；（2） ，证明见解析
【详解】
解：（1）① 和 均为等边三角形，
， ， ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
，
故答案为： ；
② ，
证明： ，
，
故答案为： ；
（2） ， ，
证明： 是等腰直角三角形， 是中线，
，在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握等边
三角形的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
16．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）如图1，已知 是边长为5的等边三角形，以 为底边作
一个顶角为 的等腰三角形 ．点M，N分别是 边与 边上的点，并且满足 ．
(1)尝试探究：要想证明 为 的平分线，小诚做了如下思考，如图2，延长 至点F，使 ，
连接 ，通过证明 ______，得到 ，进而证得 ______，得证 为 的
平分线；
(2)类比延伸：在（1）的思路下求 的周长；
(3)拓展迁移：当点D在 内部时，其他条件不变，直接写出 的周长．
【答案】(1) ，
(2)10
(3)5
【分析】（1）根据题干所给的思路进行证明即可．（2）利用全等三角形的性质求解即可．
（3）延长 交 于P，延长 交 于Q，令 ，连接 ，通过证明
证得 的周长 ．
【详解】（1）延长 至点F，使 ，连接 ，
由题意得 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
（2）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．∴ 的周长为： ．
（3）延长 交 于P，延长 交 于Q，令 ，连接 ，
∵ 是等腰三角形，且 ，
∴ ， ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∴ 的周长为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定
理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．（2022秋·湖南怀化·八年级统考期末）问题发现：
如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B、D，E在同一直线上，连接CE，求 的度数，并确
定线段BD与CE的数量关系．
拓展探究：
如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形， ，且点B，D，E在同一直线上，
于F，连接CE，求 的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系．
【答案】问题发现：∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE，理由见解析；拓展探究：∠BEC＝90°，BF＝CE＋AF，理由见解析
【分析】问题发现：证明△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，由点B，D，E在同一直线上，可得∠BEC＝60°；
拓展探究：方法同上，证明△ABD≌△ACE（SAS），可得BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，由点A，D，E在同
一直线上，可得∠ADB＝∠AEC＝135°，进而可得∠DAE＝90°，由AD＝AE，AF⊥DE，可得AF＝DF＝
EF，即可得出BF＝BD＋DF＝CE＋AF．
【详解】问题发现：∵△ACB和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB＝180－60＝120°，
∴∠AEC＝120°，
∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝120－60＝60°，
综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE．
拓展探究：
△ACB和△DAE均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADB＝180－45＝135°，
∴∠AEC＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝135－45＝90°；
∠DAE＝90°，AD＝AE，AF⊥DE，
∴AF＝DF＝EF，
∴DE＝DF＋EF＝2AF，
∴BF＝BD＋DF＝CE＋AF．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握等腰
三角形的性质与判定是解题的关键．
18．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）（1）【问题发现】 如图1， 和 都是等边三角形，
点D在边 上，连接 ． 则 的度数为______；
（2）【拓展探究】如图2， 和 都是等腰直角三角形， ，点D在边 上，
连接 ．则 的度数为______；
（3）【迁移运用】如图3，在四边形 中， ， ， ， ，求
的值．【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据等边三角形性质利用 证明 ，可得 ；
（2）根据等腰直角三角形性质利用 证明 ，可得 ；
（3）如图，延长 至点 ，使 ，由 ，则 ，可得
，进而可证 ，由 可得结果．
【详解】解：（1）∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ；
（2）∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ；
（3）如图，延长 至点 ，使∵ ，
∴
∵
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定，本题还运用
了类比的思想，从问题发现到解决问题，第三问有难度，作辅助线，构建全等三角形是关键．
【方法三】差异对比法
易错点1.利用等腰三角形的性质解题时考虑问题不全面
19、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不
写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎
样的数量关系时才能完成以上作图？
（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想：
（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：
【思路点拨】在等腰三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑.
【答案与解析】
（1）作图：猜想：∠A＋∠B＝90°，
（2）作图：
猜想：∠B＝3∠A.
【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践
能力，本类题目的答案有时不唯一.
20.直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC
上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，
探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，
并画出符合条件的折叠后的图形．
【答案】
解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角 形.
设∠B为 度 ∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－
①当BD＝BE时∠3＝ ，
45°＋90°－ ＋ ＝180°，
＝30° .
②经计算ED＝EB不成立.
③当DE＝DB时
∠3＝180°－2
45°＋90°－ ＋180°－2 ＝180°，
＝45°.
综上所述，∠B＝30°或45°.
易错点2.忽略分类讨论致错
21、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
【答案】D；
【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，
然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．
(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；
(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；
(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．
【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三
角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.
22.已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
【答案】
解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长 ．
这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．
∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．
易错点3.误用等腰三角形“三线合一”的性质
23.在等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数最多有（重合的算一条）（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】B．
【解析】两腰上的角平分线、中线、高的条数最多有6条，底边上三线合一，所以共7条．
24．（2023秋·八年级课时练习）如图，在 中， ， ，点D是底边 的中点，
，求 的度数．
【答案】 ．
【分析】由 ， ，得 ， ，由 得
即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， （三线合一），
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三线合一，垂直的性质，三角形内角和定理，解题的关键在
于能够熟练掌握相关知识进行求解．【方法四】 仿真实战法
考法1.等腰三角形的性质
1．（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70° B．45° C．35° D．50°
【分析】根据等腰三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角＝ ＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形
内角和定理是解题的关键．
2．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝
CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（ ）
A．32° B．58° C．74° D．75°
【分析】由CA＝CB可得△ABC是等腰三角形，从而可求∠CBA的大小，再结合平行线的性质即可解答．
【解答】解：∵CA＝CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣32°）÷2＝74°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠CBA＝74°．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握性质是解题关键．
3．（2023•河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝
n°，则∠C′＝（ ）
A．30° B．n°
C．n°或180°﹣n° D．30°或150°【分析】分两种情况讨论，当 BC＝B′C′时，则△ABC≌△A′B′C′，得出∠C′＝∠C＝n°，当
BC≠B′C′时，如图，利用等腰三角形的性质求得∠A′C″C′＝∠C′＝n°，从而求得∠A′C″B′
＝180°﹣n°．
【解答】解：当BC＝B′C′时，△ABC≌△A′B′C′（SSS），
∴∠C′＝∠C＝n°，
当BC≠B′C′时，如图，
∵A′C′＝A′C″，
∴∠A′C″C′＝∠C′＝n°，
∴∠A′C″B′＝180°﹣n°，
∴∠C′＝n°或180°﹣n°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是解题的
关键．
考法2.等腰三角形与线段垂直平分线的综合
4．（2021•广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于
点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为 ．
【分析】由线段垂直平分线的性质可得 AD＝BD，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BD的长，
进而求解．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝30°，∴∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∵CD＝1，
∴BD＝2CD＝2，
∴AD＝2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线，含30° 角的直角三角形的性质，求得AD＝BD是解题的关键
考法3.含30°角的直角三角形的性质
5．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有
许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 120°，腰长为12m，则底
边上的高是（ ）
A．4m B．6m C．10m D．12m
【分析】作AD⊥BC于点 D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B＝∠C＝ （180°﹣
∠BAC）＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，
在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝ （180°﹣∠BAC）＝30°，
又∵AD⊥BC，
∴AD＝ AB＝ 12＝6（m），
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含 30度角的直角三角形的性质等，解题关键是掌握30度角所对的直角边是斜边的一半．
考法4.等腰三角形的判定
6．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2+ +|c﹣3 |＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由 a2+b2＝c2 的
关系，可推导得到△ABC为直角三角形．
【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
∵a2+b2＝c2，且a＝b，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了非负性和勾股定理的逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一
个非负 数均为0，和勾股定理逆定理．
7．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
【分析】（1）先根据角平分线性质，得∠ABD＝∠CBD，由平行线性质得到：∠EDB＝∠CBD，得到
∠EBD＝∠EDB，根等角对等边判断即可．
（2）先根据三角形内角和，求∠B的度数，再利用角平分线的性质求∠DBC的度数，利用平行线性质
求得∠EDB＝∠DBC．【解答】解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE．
（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝30°，
由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，
故∠BDE的度数为30°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质．熟练掌握判定和性质是关键．属较容易题．
考法5.等边三角形性质
8．（2023•滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP
为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）
A．14° B．16° C．24° D．26°
【分析】过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，四边形AEPD为平行四边形，根
据平行线的性质易得△CDP为等边三角形，△BEP为等边三角形，则CP＝DP＝AE，BP＝EP，因此
△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形，求出△AEP的三个内角即可求解．
【解答】解：如图，过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，
则四边形AEPD为平行四边形，
∴DP＝AE，
∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵PD∥AB，
∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP＝∠BAC＝60°，
∴△CDP为等边三角形，
∴CP＝DP＝CD，
∴CP＝DP＝AE，
∵PE∥AC，
∴∠BEP＝∠BAC＝60°，∠BPE＝∠C＝60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴BP＝EP＝BE，
∴△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形，
∵∠APC＝104°，
∴∠APB＝180°﹣∠APC＝76°，
∴∠APE＝∠APB﹣∠BPE＝16°，
∠PAE＝∠APC﹣∠B＝44°，
∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴以线段AP，BP，CP为边的三角形的三个内角分别为16°、44°、120°，
∴最小内角的大小为16°．
故选：B．
【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、三角形外
角性质，根据题意正确画出图形，推理论证得到△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形是解题
关键．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·八年级课时练习）在等腰三角形 中， ，其周长为 ，则 边的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 ，用含x的式子表示出BC的长，根据三角形三边关系列不等式组求解即可．【详解】解：设 ，则 ，
∴
解得 ，
即 ．
答案：B
【点睛】此题考查了等腰三角形和三角形的三边关系，等腰三角形是特殊的三角形，三边关系只需满足两
腰之和大于底边即可．
2．（2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习） 中， ， 为 上的高，且 为等腰
三角形，则 等于（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】根据题意，应该考虑两种情况，① 在 内部； 在 外部．分别结合已知条件进
行计算即可．
【详解】解： 如图所示， 在 内部，
∵ ， 为 上的高，
∴ ， ，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示， 在 外部，∵ ， 为 上的高，
∴ ， ，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以 等于 或 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角的计算．注意分类讨论．此类题一般是利
用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
3．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）已知等腰三角形的一边长为 ，另一边长为 ，则它的
周长为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【分析】分别讨论腰，结合三角形三边关系即可得到答案；
【详解】解：①当 为腰时，三边分别是： ， ， ，
∵ ，
∴不存在此类情况，
②当 为腰时，三边分别是： ， ， ，
∵ ，
此时周长为： ，
故选B；
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题的关键是分类讨论．
4．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， 和 分别
是 和 的平分线，且相交于点P．在图中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为
（ ）A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内外角关系直接求出 ， ， ， ，，
， 即可得到答案；
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 和 分别是 和 的平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ， ， ， ， ，是等腰三角形，
故选：B；．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与内外角关系，解题的关键是求出角度．
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，已知 平分 ，
，若 ，则 等于（ ）
A．3 B．4 C．1.5 D．2
【答案】A
【分析】利用角平分线的定义以及平行线的性质，得到 ，再根据等角对等边求解即可．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
6．（2023秋·八年级课时练习）如图， 是 斜边 上的高， ，将 沿 折
叠，点B恰好落在 的中点E处， ，则 等于（ ）
A．25° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】根据中点可以得到 ，从而得到 是等边三角形，然后求得 的度数．
【详解】由题意知 ．
E为 的中点， ，
∴ ．
∴ ．
∴ 是等边三角形．
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的
性质和直角三角形的性质是解决问题的关键．
7．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）等腰三角形的一边为4，一边为3，则此三角形的周长是（
）
A．10 B．11 C．6 或8 D．10 或11
【答案】D
【分析】分边4是底边和腰长两种情况讨论，再根据三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三
角形，然后求解即可．【详解】解：若4是底边，则三角形的三边分别为4、3、3，
能组成三角形，周长 ，
若4是腰，则三角形的三边分别为4、4、3，
能组成三角形，周长 ，
综上所述，此三角形的周长是10或11．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并判断是否能组成三角
形．
8．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考开学考试）如图， 是边长为2的等边三角形，
点D、E分别在边 、 上，将 沿直线 折叠，使点B落在点 处， 、 分别交边
于点F、G．则阴影部分图形的周长等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】利用折叠的性质可得 ，利用等量代换和等式的性质解答即可．
【详解】解：利用折叠的性质可得 ，
∴ ， ．
∴阴影部分图形的周长
，
∵ 是边长为2的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分图形的周长等于6，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得 是解题的关键．
9．（2023秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，点 在 上，
， 则 等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质求出 和 度数，利用直角三角形中含 所对应的边是斜边的一
半求出 的长度，根据角度相等求出 以及对应长度，从而求出 长度．
【详解】解： ， ，
， ，
， ，
AB⊥AD，
， ，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．
10．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）如图，在 中， ， 为 上的一点，
，在 的右侧作 ，使得 ， ，连接 ， 交 于点
，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先证明 得到 ， ，由等腰三角形的性质可得
，从而得到 ，再由平行线的性质可得 ，从而得到
，再由等边三角形的判定和性质可得 ， ，再
由三角形外角的定义和性质进行计算即可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，即 ，
，
，
是等边三角形，
，
，是等边三角形，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外
角的定义与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
二、填空题
11．（2023春·湖南永州·八年级校考期中）在 中， ， ， 垂直平分 ，垂足为
点 ，交 边于点 ， ，则 的长为 cm．
【答案】3
【分析】连接 ，根据中垂线的性质，得到 ，推出 ，利用含30度角的直角三角形
的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握相关性质，是解题的关键．12．（2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知一个等腰三角形的一边是8，另一边是6，则这个等腰
三角形的周长是 ．
【答案】20或22/22或20
【分析】因为等腰三角形的底边和腰不确定，6可以为底边也可以为腰长，故分两种情况考虑：当6为腰
时，根据等腰三角形的定义得另一腰也为6，底边为8，求出此时的周长；当6为底边时，8为腰长，根据
等腰三角形的定义得另一腰也为8，求出此时的周长．
【详解】解：若6为等腰三角形的腰长，则8底边的长，
∵ ，
∴能构成三角形，
此时等腰三角形的周长 ；
若8为等腰三角形的腰长，则6为底边的长，
∵ ，
∴能构成三角形，
此时等腰三角形的周长 ；
则等腰三角形的周长为20或22．
故答案是：20或22．
【点睛】此题考查等腰三角形的定义，以及分类讨论的数学思想．学生做题时对于两种情况得到的三角形
三边需利用三角形的两边之和大于第三边判定是否能构成三角形．
13．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）如图，在 中， ， 是 的中点， ，
则 度．
【答案】
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得 ，根据三角形内角和定理可得 ，根据
等边对等角即可求解．
【详解】解：∵ ， 是 的中点，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，三角形内角和定理，等边对等角，熟练掌握以上性质是解题
的关键．
14．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图， 是四边形 的对角线，
，若 ，则点 到边 的距离为 ．
【答案】
【分析】作 于E，作 于F，证明 是 的平分线，利用角平分线的性质求解即可．
【详解】解：作 于E，作 于F，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 是 的平分线，
∵ ， ，∴ ，即点 到边 的距离为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题．
15．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在 中， ，
， 平分 ，则 ．
【答案】10
【分析】在 上截取 ，连接 ，如图，证明 ，可得 ，
推出 ，再利用四边形的内角和得出 ，进而可得答案．
【详解】解：在 上截取 ，连接 ，如图，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四边形的内角和以及角平分线的定义
等知识，正确添加辅助线、证明 是解题的关键．
16．（2023秋·八年级课时练习）如图， 是等腰直角三角形， 是其底边 上的高，点E是
上的一点，以 为边向上作等边三角形 ，连接 ，则 的度数为 ．
【答案】 /30度
【分析】先判断 是 的垂直平分线，推出 ， ．再证 ，
．最后利用三角形外角的性质可得 ，
即可求解．
【详解】如图，连接 并延长交 于点H，
∵ 是等腰直角三角形， 是其底边 上的高，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ．
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，解题的关键是根
据等腰三角形三线合一的性质得出 垂直平分 ．
17．（2023秋·江苏·八年级专题练习）等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为12和18两部分，则
腰长为 ．
【答案】8或12
【分析】设腰长为x，分①12是腰长与腰长的一半的和，②18是腰长与腰长的一半的和求解，再求出底
边长，然后根据三角形的三边关系判定是否能组成三角形．
【详解】解：设腰长为x，
①若12是腰长与腰长的一半的和，则 ，
解得 ，此时，底边 ，
8、8、14能组成三角形；
②若18是腰长与腰长的一半的和，则 ，
解得 ，此时，底边 ，
12、12、6能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的腰长是8或12．
故答案为：8或12．
【点睛】本题考查了等腰三角形两腰相等的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是
否能组成三角形．
18．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图， 与 是等边三角形，连接 、 ，有以下结论：
（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ）无论如何改变
的度数， 与 始终全等．其中正确结论的序号为 ．【答案】（ ）（ ）（ ）
【分析】根据 与 是等边三角形可得 ， ， ，继而得到
，可证 ， ， ， ，在改变
的度数时， 的度数也会发生变化，同时也会出现 、 、 三点共线情况，即可得到正确
结论．
【详解】解：∵ 与 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ；
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴故（ ）正确；
∴ ， ，
∴结论（ ）正确；
设 与 相交于点 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ；
∴结论（ ）正确；
∵当 或 时， 、 、 三点共线，构不成三角形，
∴无论如何改变 的度数， 与 始终全等不成立；
∴结论（ ）错误；∵当 时， ，当 发生变化时， 的度数也会变化，
∴结论（ ）错误；
故答案为：（ ）（ ）（ ）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关
键．
三、解答题
19．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图， ，E是 上的一点，且 ，
．求证： 是直角三角形．
【答案】证明过程见解析
【分析】根据 可得 ，根据直角三角形的判定证明 ，再由全等三角形的
性质可得 ，从而可得 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 是直角三角形．
【点睛】本题考查直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形是解
题的关键．
20．（2023春·河南焦作·八年级焦作市实验中学校考期中）如图，在 中， 平分 ， 平分
，过点 作直线 ，交 、 于点 、 ，若 ， ，则 的周长等于
多少？
【答案】15
【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义可得到 ，所以可得 ，同理可得
，从而得 ， 的周长即为 ，可得出答案．
【详解】解：∵ 是角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，由条件得到 ，
是解题的关键．
21．（2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知：在 中， ， ，点D边
上运动，以 为边作 且 ， 与 交于点G，连结 ．(1)当 时，求 的度数；
(2)当 且 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据题意证明出 ，然后得到 ，进而得到
，然后利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可；
（2）首先根据题意证明出 ，然后得到 ，然后利用垂直平分线的性质得到
，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵在 和 中
∴
∴
∴
∴
∵
∴ ；
（2）∵
∴ ，即∴在 和 中
∴
∴
∵ ，
∴ 垂直平分
∴
∵
∴
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知
识点．
22．（2023秋·福建厦门·八年级校考期末）如图， 是等腰三角形， 是边 上的中线．
(1)尺规作图：在边 上求作点 ，使得 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证： 是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图，作 ， 交 于点 即可．
（2）利用平行线的性质和等腰三角形的性质，证明 ，从而得 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图， 即为所作；（2）解：由（1）作图可知： ，
∴
∵ ， 是边 上的中线．
∴ 是 的角平分线，即
∴
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
【点睛】本题考查作平行线，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握利用尺规，经过直线外
一点作直线的平行线和等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
23．（2023春·江苏南通·八年级校考开学考试）已知：在 中， ， ，点D边
上运动，以 为边作 且 ， 与 交于点G，连结 ．
(1)当 时，求 的度数；
(2)当 且 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据题意证明出 ，然后得到 ，进而得到
，然后利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可；（2）首先根据题意证明出 ，然后得到 ，然后利用垂直平分线的性质得到
，进而求解即可．
【详解】（1）∵在 和 中
∴
∴
∴
∴
∵
∴ ；
（2）∵
∴ ，即
∴在 和 中
∴
∴
∵ ，
∴ 垂直平分
∴
∵
∴
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
24．（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，点 在等边三角形 的边 上，点 在 的
延长线上， ，交 于点 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过 作 交 于 ，通过证明 ，得到 ，再根据
等边三角形的性质即可得到答案；
（2）先求出 ，得到， ，得到 ，由（1）得 ，
是等边三角形，从而得到 ，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：过 作 交 于 ，则 ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
是等边三角形，
∴ ；
（2）解：如图，
，
是等边三角形， ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
由（1）得： ， 是等边三角形，
， ， ，
，
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质，等角对等
边等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
25．（2023春·江苏南通·八年级校考开学考试）在 中， ，点D是射线 上的一动点（不与
点B、C重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ， ，连接 ．(1)如图1，当点D在线段 上，且 时，那么 ______度；
(2)设 ， ．
①如图2，当点D在线段 上， 时，请你探究 与 之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段 的延长线上， 时，请将图3补充完整，并直接写出此时 与 之
间的数量关系．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）易证 ，即可证明 ，可得 ，即可解题；
（2）①易证 ，即可证明 ，可得 ，根据
即可解题；
②易证 ，即可证明 ，可得 ，根据
即可解题．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
（2）解：①∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②作出图形，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证 是解题的关键．
26．（2023秋·八年级课时练习）已知 与 为等腰直角三角形， ，连接
．
(1)如图（1），若 ， ，求 的度数；
(2)如图（2），若A，D，E三点共线， 与 交于点F， 为 中 边上的高．
①求 的度数，并说明线段 之间的数量关系；
②若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)① ， ；②
【分析】（1）先证明 得到 ，再求出 ，利用三角形内角和
定理求出 ，则 ；
（2）①先求出 ，则 ，根据全等三角形的性质得到 ，
，则可得 ；根据等腰直角三角形的性质可得 ，由此即可得
到结论；②证明 ，得到 ， ．则 ， ，进一步
求出 ，由此根据三角形面积公式即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ， 都是等腰直角三角形， ，∴ ， ， ， ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：①∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ．
由（1）得 ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ 是等腰直角三角形， 为 上的高，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ．
②由①知 ， ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ．
由①知， ，∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三线合一定理等等，熟知全等三角形的
性质与判定条件是解题的关键．
