文档内容
拔高点突破 04 新情景、新定义下的立体几何问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：曲率问题................................................................................................................................2
题型二：斜坐标系与定义新运算........................................................................................................3
题型三：定义新概念............................................................................................................................4
题型四：空间平面方程与直线方程....................................................................................................5
题型五：三面角问题............................................................................................................................6
题型六：数学文化................................................................................................................................8
03 过关测试.........................................................................................................................................10面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合。明确
解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式。在
解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题。对于复杂问题，可尝试建立空间
直角坐标系，利用向量法进行计算和证明。同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化
求解对象。最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未
来遇到类似问题时能够迅速应对。
题型一：曲率问题
【典例1-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在
数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面
体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等
于该多面体各项点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在
每个顶点的曲率为 ，故其总曲率为 ．已知多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足
，则八面体的总曲率为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】阅读数学材料：“设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为
，其中 为多面体
的所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体 的所有以 为公共点的面. ”已知在直四棱柱 中，底面 为菱形. . （角的运算均采
用弧度制）
(1)若 ，求四棱柱 在顶点 处的离散曲率；
(2)若四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，求 与平面 的夹角的正弦值；
(3)截取四面体 ，若该四面体在点 处的离散曲率为 与平面 交于点 ，证明：
.
【变式1-1】设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为
，其中 （ ，2，…，k， ）为多面体M的所
有与点P相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体M的所有以P
为公共点的面．已知在直四棱柱 中，底面ABCD为菱形，且 ．
(1)求直四棱柱 在各个顶点的离散曲率之和；
(2)若直四棱柱 在点A处的离散曲率为x，直四棱柱 体积为 ，求函数
的解析式及单调区间．
题型二：斜坐标系与定义新运算
【典例2-1】（多选题）设 是空间中两两夹角均为 的三条数轴， 分别是与
轴正方向同向的单位向量，若 ，则把有序数对 叫作向量 在
坐标系 中的坐标，则下列结论正确的是（ ）
A．若向量 ，向量 ，则
B．若向量 ，向量 ，则C．若向量 ，向量 ，则当且仅当 时，
D．若向量 ，向量 ，向量 ，则二面角 的余弦值为
【典例2-2】（2024·高三·上海徐汇·期末）已知 ， ， ，定义一种运
算： ，已知四棱锥 中，底面 是一
个平行四边形， ， ，
（1）试计算 的绝对值的值，并求证 面 ；
（2）求四棱锥 的体积，说明 的绝对值的值与四棱锥 体积的关系，并由
此猜想向量这一运算 的绝对值的几何意义.
【变式2-1】已知 ， ， ，定义一种运算：
，在平行六面体 中， ，
， .
(1)证明：平行六面体 是直四棱柱；
(2)计算 ，并求该平行六面体的体积，说明 的值与平行六面体
体积的关系.
题型三：定义新概念
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”．
已知长方体 ，下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是（ ）
A． ， ， 的长度
B． ， ， 的长度
C． ， ， 的长度
D． ，BD， 的长度【典例3-2】（2024·河南·二模）等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体
的体积为12，则用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【变式3-1】（2024·青海·模拟预测）如图，在正方体 中， ， ， ， ， ， 分别
为棱 ， ， ， ， ， 的中点， 为 的中点，连接 ， ．对于空间任意两点 ，
，若线段 上不存在也在线段 ， 上的点，则称 ， 两点“可视”，则与点 “可视”的点为
（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·安徽合肥·三模）几何中常用表示 的测度，当 为曲线、平面图形和空间几何体时，
分别对应其长度、面积和体积．在 中， ， ， ， 为 内部一动点（含边
界），在空间中，到点 的距离为 的点的轨迹为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
题型四：空间平面方程与直线方程
【典例4-1】（1）在空间直角坐标系中，已知平面 的法向量 ，且平面 经过点
，设点 是平面内 任意一点.求证： .
（2）我们称（1）中结论 为平面 的点法式方程，若平面 过点
，求平面 的点法式方程.
【典例4-2】空间直角坐标系 中，经过点 ，且法向量为 的平面方程为
，经过点 且一个方向向量为 的直线的方程为 ，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面 的方程为
，经过 的直线 的方程为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程．即过点 且
一个法向量为 的平面 的方程为 ，过点 且方向向量
为 的直线l的方程为 ．三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题：
“已知平面 的方程为 ，直线l是两个平面 与 的交线，则直线l与平面
所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了．谁知“诸葛亮”很快就算出了答案．请
问答案是 ．
【变式4-2】在空间直角坐标系中，定义：平面 的一般方程为
，点 到平面 的距离
，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于 ．
题型五：三面角问题
【典例5-1】类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线 ， ，
构成的三面角 ， ， ， ，二面角 的大小为 ，则
．
（1）当 、 时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，平行六面体 中，平面 平面 ， ， ，
①求 的余弦值；
②在直线 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，说明理由．【典例5-2】类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余
弦定理：如图1，由射线 ， ， 构成的三面角 ，记 ， ， ，
二面角 的大小为 ，则 ．如图2，四棱柱 中，
为菱形， ，A A =2√3， ，且 点在底面 内的射影为 的中点 ．
1
(1)求 的值；
(2)直线 与平面 内任意一条直线夹角为 ，证明： ；
(3)过点 作平面 ，使平面 平面 ，且与直线 相交于点 ，若 ，求 值．
【变式5-1】（2024·高三·河北·期末）由空间一点 出发不共面的三条射线 ， ， 及相邻两射线
所在平面构成的几何图形叫三面角，记为 ．其中 叫做三面角的顶点，面 ， ， 叫
做三面角的面， ， ， 叫做三面角的三个面角，分别记为 ， ， ，二面角
、 、 叫做三面角的二面角，设二面角 的平面角大小为 ，则一
定成立的是（）
A． B．
C． D．题型六：数学文化
【典例6-1】我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹
在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这
两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，
与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底
面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个
截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即 .现将椭圆
绕 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体
积等于（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor，1781-1846）在其
《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例 ，泰勒还引用了古
希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，若 ，
则由勾股定理， ，即 ，因此可求得 为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856
英尺的正方形 ，顶点 的投影在底面中心 ， 为 中点，根据以上信息， 的长度（单位：
英尺）约为（ ）．A．611.6 B．481.4 C．692.5 D．512.4
【变式6-1】球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形(特别是三角形)的角､边､面积等问题，
其在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心
的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点 ， ， ，过任意两点的大圆
上的劣弧 ， ， 所组成的图形称为球面 ，记其面积为 .易知：球的任意两个大圆均
可交于一对对径点，如图1的 和 ；若球面上 ， ， 的对径点分别为 ， ， ，则球面
与球面 全等.如图2，已知球 的半径为 ，圆弧 和 所在平面交成的锐二面角 的大
小为 ，圆弧 和 所在平面､圆弧 和 所在平面交成的锐二面角的大小分别为 ， .记
.
（1）请写出 ， ， 的值，并猜测函数 的表达式；
（2）求 (用 ， ， ， 表示).
【变式6-2】球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A、B、C
为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设 表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆 的劣弧
AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为 ．
(1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；
(2)若平面三角形ABC为直角三角形， ，设 ．则：
①求证： ；
②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为 ， ，S
为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值，及此时平面AEC截球
O的面积．
1．设 、 、…、 为平面 内的 个点，在平面 内的所有点中，若点 到 、 、…、 点的距离
之和最小，则称点 为 、 、…、 点的一个“中位点”，有下列命题：① 、 、 三个点共线，
在线段 上，则 是 、 、 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点；
③若四个点 、 、 、 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的
唯一中位点；其中的真命题是（ ）
A．②④ B．①② C．①④ D．①③④
2．（多选题）（2024·江西·三模）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 的
半径为R，A，B， 为球面上三点，劣弧BC的弧长记为 ，设 表示以 为圆心，且过B，C的圆，同
理，圆 的劣弧 的弧长分别记为 ，曲面 （阴影部分）叫做曲面三角形， ，则
称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面
．设 ，则下列结论正确的是（ ）A．若平面 是面积为 的等边三角形，则
B．若 ，则
C．若 ，则球面 的体积
D．若平面 为直角三角形，且 ，则
3．（多选题）设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为
，其中 ， 为多面体 的所有与点
相邻的顶点，且平面 ，平面 ，平面 和平面 为多面体 的所有以 为公共
点的面.已知在直四棱柱 中，四边形 为菱形， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．四棱柱 在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若 ，则四棱柱 在顶点 处的离散曲率为
C．若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面
D．若四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，则直线 与平面 所成的角的正弦值
为
4．（多选题）所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，拟柱体的侧面是三角形、梯形或平行
四边形，其体积是将上下底面面积、中截面(与上下底面距离相等的截面)面积的4倍都相加再乘以高(上下
底面的距离)的 ，在拟柱体 中，平面 //平面 ， 分别是
A B C D
1 1 1 1
的中点， 为四边形 内一点，设四边形A B C D 的面积 的面积为 ，面
1 1 1 1
截得拟柱体的截面积为 ，平面
A B C D
与平面 的距离为 ，下列说法中正确的有（ ）
1 1 1 1
A．直线 与 是异面直线B．四边形 的面积是 的面积的4倍
C．挖去四棱锥 与三棱锥 后，拟柱体剩余部分的体积为
D．拟柱体 的体积为
5．（多选题）如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为 ，则
（ ）
A．三棱锥的直度的最大值为1
B．直度为 的三棱锥只有一种
C．四棱锥的直度的最大值为1
D．四棱锥的直度的最大值为
6．（多选题）（2024·安徽滁州·模拟预测）阅读数学材料：“设 为多面体 的一个顶点，定义多面体
在点 处的离散曲率为 ，其中
为多面体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ， ，平面 和平面 为多
面体 的所有以 为公共点的面 ”解答问题：已知在直四棱柱 中，底面 为菱形，
，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱 在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若 ，则四棱柱 在顶点 处的离散曲率为
C．若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面
D．若四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，则 与平面 的夹角为
7．（多选题）（2024·全国·模拟预测）设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率
为 ，其中 为多面体 的所有与点
相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体 的所有以 为公共
点的面．已知在直四棱柱 中，底面 为菱形， ，则下列结论正确的是
（ ）
A．直四棱柱 在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若 ，则直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为C．若 ，则直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为
D．若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面
8．将 个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱
的中点重合.设最下方正方体的下底面 的中心为 ，过 的直线 与平面 垂直，以 为顶点，
为对称轴的抛物线 可以被完全放入立体图形中.若 ，则 的最小值为 ；若
有解，则 的最大值为 .
9．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：
，其中 （i=1，2，…，k， ）为多面体M的所
有与点P相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 遍历多面体M的所有以
P为公共点的面．
（1）任取正四面体的一个顶点，在该点处的离散曲率为 ；
（2）已知长方体 ， ， ，点P为底面 内的一个动点，则四
A B C D
1 1 1 1
棱锥P－ABCD在点P处的离散曲率的最小值为 ．
10．（2024·高三·云南保山·期末）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯
曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体
的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率
之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在每个顶点的曲率为
，故其总曲率为 .根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为
.
11．18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体 的统一体积公式 )(其中 分别为 的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积)，
我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为 ，可得该球的体积为
；已知正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，可得该正四棱锥的体积为
.类似地，运用该公式求解下列问题:如图，已知球 的表面积为36πcm2，
若用距离球心 都为 的两个平行平面去截球 ，则夹在这两个平行平面之间的几何体 的体积为
.
12．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为
，其中 为多面体M的所有
与点P相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体M的所有以P为
公共点的面.已知在直四棱柱 中，底面ABCD为菱形， .
①直四棱柱 在其各顶点处的离散曲率都相等；
②若 ，则直四棱柱 在顶点A处的离散曲率为 ；
③若 ，则直四棱柱 在顶点A处的离散曲率为 ；
④若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面 .
上述说法正确的有 （填写序号）
13．（2024·江西南昌·三模）球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广
泛的应用，如图，A，B，C是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这
三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为 ，由这三条劣弧围成的图形称为球面 ．已知地球
半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点若P，Q在赤道上，且 ，则球面 的面
积为 ；若 ，则球面 的面积为 ．14．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．
用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的
内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面
体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的
曲率为 ，故其总曲率为 ，则四棱锥的总曲率为 ．
15．（2024·山东日照·一模）若点 在平面 外，过点 作面 的垂线，则称垂足 为点 在平面 内
的正投影，记为 .如图，在棱长为1的正方体 中，记平面 为 ，平面
为 ，点 是棱 上一动点（与 ， 不重合） ， .给出下列三个
结论：
①线段 长度的取值范围是 ；
②存在点 使得 平面 ；
③存在点 使得 ；
其中正确结论的序号是 .16．（2024·高三·浙江·开学考试）已知 是棱长为 的正四面体 ，设 的四个顶点到平面 的距
离所构成的集合为 ，若 中元素的个数为 ，则称 为 的 阶等距平面， 为 的 阶等距集.
(1)若 为 的1阶等距平面且1阶等距集为 ，求 的所有可能值以及相应的 的个数；
(2)已知 为 的4阶等距平面，且点 与点 分别位于 的两侧.若 的4阶等距集为 ，
其中点 到 的距离为 ，求平面 与 夹角的余弦值.
17．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过顶点S的平面α相交，
记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母线所成角θ的一半，为
探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与平面α的切点为F，直线l
与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M， ，
．
(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b， 关系式；
(2)求证：曲线C是抛物线．18．（2024·全国·模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱
截去三个相等的三棱锥 ， ， ，再分别以 ， ， 为轴将 ， ，
分别向上翻转 ，使 ， ， 三点重合为点 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所
示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，
而每一顶点的曲率规定等于 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内
角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点 的曲率的余弦值．
19．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为
，其中Q（i＝1，2，…，k，k≥3）为多面体M的所有
i
与点P相邻的顶点，且平面QPQ，平面QPQ，…，平面Q PQ 和平面QPQ 遍历多面体M的所有以P
1 2 2 3 k﹣1 k k 1
为公共点的面．（1）如图1，已知长方体ABC D﹣ABCD，AB＝BC＝1， ，点P为底面ABC D 内的一个动点，
1 1 1 1 1 1 1 1
则求四棱锥P﹣ABCD在点P处的离散曲率的最小值；
（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然
后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的
是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）
20．（1）如图，对于任一给定的四面体 ，找出依次排列的四个相互平行的平面 ， ， ， ，
使得 ，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面 ， ， ， ，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个
正四面体 的四个顶点满足： ，求该正四面体 的体积．
21．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为 ，其中 为多面体M的
所有与点P相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体M的所有以
P为公共点的面．
(1)求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)如图，已知在三棱锥 中， 平面ABC， ， ，三棱锥 在顶点C处
的离散曲率为 ．
①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；
②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．
22．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散
曲率为 ，其中 为多面体 的
所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体 的所有以
为公共点的面.
(1)求四棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)如图，现已知四棱锥 的底面 是边长为2的菱形，且 ，顶点 在底面的射影 为
的中点.
①若 ，求该四棱锥在 处的离散曲率 ；
②若该四棱锥在 处的离散曲率 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
