文档内容
专题 10 整式加减（4 个知识点 7 种题型 2 个易错点 3 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.同类项（重点）
知识点2.合并同类项（重点）（难点）
知识点3.去括号（难点）
知识点4.整式的加减（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.同类项概念的应用
题型2.整式的化简求值
题型3.整式加减中的无关问题
题型4.解整式加减中的看错符号问题
题型5运用整式加减解决实际问题
题型6.运用整式的加减探究图形的排列规律问题
题型7.运用整式的加减进行新定义运算
【方法三】差异对比法
易错点1.括号前是负号，去括号时只改变首项符号而致错
易错点2.去括号时，括号前的系数只乘一项，其他项漏乘
【方法四】 仿真实战法
考法1.同类项的概念
考法2.整式的加减
考法3.图形规律探究
【方法五】 成果评定法
【学习目标】1. 理解同类项的概念，能辨别同类项。
2. 理解合并同类项的概念，掌握合并同类项法则，并会熟练地合并同类项。
3. 借助乘法分配律理解去括号法则，能准确进行取括号。
4. 掌握整式加减的运算法则，能熟练进行整式的加减运算、化简求值。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.同类项（重点）
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
判定几个单项式是同类项需注意：
（1）同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关；
（2）抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不
可. 并且不要忘记几个常数项也是同类项.
【例1】指出下列各题的两项是不是同类项，如果不是，请说明理由．
(1)－x2y与x2y； (2)23与－34；
(3)2a3b2与3a2b3； (4)xyz与3xy.
解析：根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，对各式进行判断即可．
解：(1)是同类项，因为－x2y与x2y都含有x和y，且x的指数都是2，y的指数都是1；
(2)是同类项，因为23与－34都不含字母，为常数项．常数项都是同类项；
(3)不是同类项，因为2a3b2与3a2b3中，a的指数分别是3和2，b的指数分别为2和3，所以不是同类项；
(4)不是同类项，因为xyz与3xy中所含字母不同，xyz含有字母x、y、z，而3xy中含有字母x、y.所
以不是同类项．
方法总结：(1)判断几个单项式是否是同类项的条件：所含字母相同；相同字母的指数分别相同．(2)
同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)常数项都是同类项．
【变式】判别下列各题中的两个项是不是同类项：
(1)-4a2b3与5b3a2；(2) 与 ；(3)-8和0；(4)-6a2b3c与8ca2．
【答案与解析】 (1)-4a2b3与5b3a2是同类项；(2)不是同类项；(3)-8和0都是常数，是同类项；(4)-6a2c
与8ca2是同类项．
【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的
指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．此外注意常数项都
是同类项.
知识点2.合并同类项（重点）（难点）
1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．
要点：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；
(2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)．
“合并同类项”的方法：
一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出；
二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内；
三合，将同一括号内的同类项相加即可.
【例2】将下列各式合并同类项．
(1)－x－x－x；
(2)2x2y－3x2y＋5x2y；
(3)2a2－3ab＋4b2－5ab－6b2；
(4)－ab3＋2a3b＋3ab3－4a3b.
解析：逆用乘法的分配律，再根据合并同类项的法则“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字
母和字母的指数不变”进行计算．
解：(1)－x－x－x＝(－1－1－1)x＝－3x；(2)2x2y－3x2y＋5x2y＝(2－3＋5)x2y＝4x2y；
(3)2a2－3ab＋4b2－5ab－6b2＝2a2＋(4－6)b2＋(－3－5)ab＝2a2－2b2－8ab；
(4)－ab3＋2a3b＋3ab3－4a3b＝(－1＋3)ab3＋(2－4)a3b＝2ab3－2a3b.
方法总结：合并同类项的时候，为了不漏项，可用不同的符号(如直线、曲线、圆圈)标记不同的同类
项．
【变式】合并下列各式中的同类项：
(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy (2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
【答案与解析】
解： (1) - 2 x 2- 8y 2 + 4y 2 - 5 x 2-5x+5x-6xy
＝(-2-5)x2+(-8+4)y2+(-5+5)x-6xy＝-7x2-4y2-6xy
(2) 3x 2 y - 4xy 2 -3+ 5x 2 y + 2xy 2 +5
＝(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)＝8x2y-2xy2+2
【总结升华】(1)所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；(2)
在进行合并同类项时，可按照如下步骤进行：第一步：准确地找出多项式中的同类项(开始阶段可以用不同的符
号标注),没有同类项的项每一步保留该项；第二步：利用乘法分配律的逆运用，把同类项的系数相加，结果用
括号括起来，字母和字母的指数保持不变；第三步：写出合并后的结果．
知识点3.去括号（难点）
去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
要点诠释：
(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相
乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一
定要注意括号前的符号．
（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
【例3】去掉下列各式中的括号：
(1). 8m-(3n+5)； (2). n-4(3-2m)；(3). 2(a-2b)-3(2m-n).
【答案】(1). 8m-(3n+5)＝8m-3n-5.
(2). n-4(3-2m)＝n-(12-8m)＝n-12+8m.(3). 2(a-2b)-3(2m-n)＝2a-4b-(6m-3n)＝2a-4b-6m+3n.
知识点4.整式的加减（重点）
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
要点：
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．
(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字
母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
【例4】设A = ，B = ，
(1)求A+B；
(2)当 ＝-1时，A+B=10，求代数式 的值
【答案】（1） ；（2）8
【分析】（1）根据合并同类项的性质计算，即可得到答案；
（2）根据含乘方的有理数混合运算、代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）∵A = ，B =
∴ ；
（2）∵ ＝-1时，A+B=10
∴
∴
∴ ．
【点睛】本题考查了合并同类项、含乘方的有理数混合运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握合并
同类项、含乘方的有理数混合运算、代数式的性质，从而完成求解．
【变式】求多项式3x2+5x 与多项式-6x2+2x+3的和与差.
解：3x2+5x+（-6x2+2x+3）=3x2+5x-6x2+2x+3=-3x2+7x+3．
3x2+5x-（-6x2+2x+3）=3x2+5x+6x2-2x-3=9x2+3x-3．
【方法二】实例探索法
题型1.同类项概念的应用
1．（2021秋•香洲区校级期中）已知单项式2x2my7与单项式5x6yn+8是同类项，求2m+n2的值．
【分析】利用同类项的定义求出m与n的值即可，再代入所求式子计算即可．定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【解答】解：∵单项式2x2my7与单项式5x6yn+8是同类项，
∴2m＝6，n+8＝7，
解得m＝3，n＝﹣1，
∴2m+n2＝6+1＝7．
【点评】此题考查了同类项，以及代数式求值，熟练掌握同类项的定义求出m与n的值是解本题的关键．
2．（2021秋•韩城市期中）已知单项式﹣2x2my7与单项式﹣5x6yn+8是同类项，求﹣m2﹣n2021的值．
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出m、n的值，代入计算即可
得出答案．
【解答】解：因为单项式﹣2x2my7与单项式﹣5x6yn+8是同类项，
所以2m＝6，n+8＝7，
所以m＝3，n＝﹣1，
所以﹣m2﹣n2021＝﹣32﹣（﹣1）2021＝﹣8．
【点评】本题考查了同类项的知识，属于基础题，掌握同类项中的两个相同是解答本题的关键．
题型2.整式的化简求值
3．（2022•开福区一模）先化简，再求值：3（a2b﹣2ab2﹣1）﹣2（2a2b﹣3ab2）+1，其中a＝2，b＝﹣
1．
【分析】先去括号，再合并同类项，再把a＝2，b＝﹣1代入求值即可．
【解答】解：原式＝3a2b﹣6ab2﹣3﹣4a2b+6ab2+1
＝﹣a2b﹣2，
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝﹣22×（﹣1）﹣2
＝﹣4×（﹣1）﹣2
＝4﹣2
＝2．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，去括号是解题的关键，特别是当括号前是“﹣”号，去掉
括号后，括号内各项的符号都改变．
4．（2021秋•雁峰区校级期末）已知M＝3x2﹣2xy+y2，N＝x2﹣xy+y2．
（1）化简：M﹣2N；
（2）当x＝﹣1，y＝2时．求M﹣2N的值．
【分析】（1）根据去括号法则和合并同类项法则计算即可．（2）代入x，y值计算即可．
【解答】解：（1）M﹣2N＝（3x2﹣2xy+y2）﹣2（x2﹣xy+y2）
＝3x2﹣2xy+y2﹣2x2+2xy﹣2y2
＝x2﹣y2．
（2）当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝（﹣1）2﹣22
＝1﹣4
＝﹣3．
【点评】本题考查整式的化简求值，解题关键是熟知去括号法则和合并同类项法则．
5．（2021秋•井研县期末）先化简再求值：3（a2﹣2ab）﹣[3a2﹣2b+2（ab+b）]，其中a、b满足（a+
）2+|b﹣3|＝0．
【分析】由（a+ ）2+|b﹣3|＝0求出a、b的值，去括号、合并同类项把整式化简后，代入进行计算，
即可得出结果．
【解答】解：∵（a+ ）2+|b﹣3|＝0，
∴a+ ＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣ ，b＝3，
3（a2﹣2ab）﹣[3a2﹣2b+2（ab+b）]
＝3a2﹣6ab）﹣3a2+2b﹣2（ab+b）
＝3a2﹣6ab﹣3a2+2b﹣2ab﹣2b
＝﹣8ab，
当a＝﹣ ，b＝3时，
原式＝﹣8×（﹣ ）×3＝12．
【点评】本题考查了整式的加减—化简求值，去括号、合并同类项把整式正确化简是解决问题的关键．
题型3.整式加减中的无关问题
6．（2021秋•卫辉市期末）多项式﹣8x2+3x﹣1与多项式2x3+2ax2﹣2的和不含x的二次项，则a的值为（
）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】先合并同类项，再根据不含x的二次项列出方程，求解即可．
【解答】解：﹣8x2+3x﹣1+2x3+2ax2﹣2＝2x3+（2a﹣8）x2+3x﹣3．
∵和不含x的二次项，
∴2a﹣8＝0．
∴a＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了整式的加减，掌握“不含未知数的某次项时，该未知数的系数和为零”是解决本
题的关键．
7．（2021秋•井研县期末）已知A＝2x2+xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy．
（1）当x＝﹣1，y＝3时，求A﹣2B的值；
（2）若3A﹣6B的值与y的值无关，求x的值．
【分析】（1）把A＝2x2+xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy代入A﹣2B，通过去括号、合并同类项化简后，再把x＝
﹣1，y＝3代入计算即可；
（2）把A＝2x2+xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy代入3A﹣6B，通过去括号、合并同类项化简后，结合题意得出关
于x的等式，即可求出x的值．
【解答】解：（1）∵A＝2x2+xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy，
∴A﹣2B
＝（2x2+xy+3y﹣1）﹣2（x2﹣xy）
＝2x2+xy+3y﹣1﹣2x2+2xy
＝3xy+3y﹣1，
当x＝﹣1，y＝3时，
原式＝3×（﹣1）×3+3×3﹣1
＝﹣9+9﹣1
＝﹣1；
（2）∵A＝2x2+xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy，
∴3A﹣6B
＝3（2x2+xy+3y﹣1）﹣6（x2﹣xy）
＝6x2+3xy+9y﹣3﹣6x2+6xy
＝9xy+9y﹣3
＝（9x+9）y﹣3，∵3A﹣6B的值与y的值无关，
∴9x+9＝0，
∴x＝﹣1．
【点评】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握去括号法则，合并同类项法则把整式正确化简是解决
问题的关键．
题型4.解整式加减中的看错符号问题
8.有这样一道题“当a＝2，b＝－2时，求多项式3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)＋(a3b3＋a2b)－2b2＋3
的值”，马小虎做题时把a＝2错抄成a＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这
是怎么回事吗？说明理由．
解析：先通过去括号、合并同类项对多项式进行化简，然后代入a，b的值进行计算．
解：3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)＋(a3b3＋a2b)－2b2＋3＝(3－4＋1)a3b3＋(－＋＋)a2b＋(1－2)b2
＋b＋3＝b－b2＋3.因为它不含有字母a，所以代数式的值与a的取值无关．
方法总结：解答此类题的思路就是把原式化简，得到一个不含指定字母的结果，便可说明该式与指定
字母的取值无关．
9．（2022秋•池州期末）老师出了这样一道题：“当 a＝2022，b＝﹣2021时，计算（2a3﹣3a2b﹣2ab2）
﹣（a3﹣2ab2+b3）+（3a2b﹣a3+b3）的值．”但在计算过程中，有一位同学错把“a＝2022”写成“a＝
﹣2022”，而另一位同学错把“b＝﹣2021”写成“b＝﹣20.21”，可他俩的运算结果都是正确的，请
你说明其中的原因．
【分析】先将原式化简，得原式＝0，故不管a，b取什么样的值，结果都为0．
【解答】解：（2a3﹣3a2b﹣2ab2）﹣（a3﹣2ab2+b3）+（3a2b﹣a3+b3）
＝2a3﹣3a2b﹣2ab2﹣a3+2ab2﹣b3+3a2b﹣a3+b3
＝2a3﹣a3﹣a3﹣3a2b+3a2b﹣2ab2+2ab2﹣b3+b3
＝0．
∵化简结果等于0，和a，b的取值无关，
∴不管a，b取什么样的值，结果都为0．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式混合运算法则是解题关键．
10．已知代数式A＝3x2﹣x+1，马小虎同学在做整式加减运算时，误将“A﹣B”看成“A+B”了，计算的
结果是2x2﹣3x﹣2．
（1）请你帮马小虎同学求出正确的结果；
（2）x是最大的负整数，将x代入（1）问的结果求值．
【分析】（1）先根据题意求出B，再根据A﹣B列出算式，去括号、合并同类项即可得；（2）根据最大负整数即为﹣1得出x的值，再代入计算可得．
【解答】解：（1）根据题意知B＝2x2﹣3x﹣2﹣（3x2﹣x+1）
＝2x2﹣3x﹣2﹣3x2+x﹣1
＝﹣x2﹣2x﹣3，
则A﹣B＝（3x2﹣x+1）﹣（﹣x2﹣2x﹣3）
＝3x2﹣x+1+x2+2x+3
＝4x2+x+4；
（2）∵x是最大的负整数，
∴x＝﹣1，
则原式＝4×（﹣1）2﹣1+4
＝4﹣1+4
＝7．
【点评】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括
号，然后合并同类项．
题型5运用整式加减解决实际问题
11.如图，小红家装饰新家，小红为自己的房间选择了一款窗帘(阴影部分表示窗帘)，请你帮她计算：
(1)窗户的面积是多大？
(2)窗帘的面积是多大？
(3)挂上这种窗帘后，窗户上还有多少面积可以射进阳光．
解析：(1)窗户的宽为b＋＋＝2b，长为a＋，根据长方形的面积计算方法求得答案即可；
(2)窗帘的面积是2个半径为的圆的面积和一个直径为b的半圆的面积的和，相当于一个半径为的圆的
面积；
(3)利用窗户的面积减去窗帘的面积即可．
解：(1)窗户的面积是(b＋＋)(a＋)＝2b(a＋)＝2ab＋b2；
(2)窗帘的面积是π()2＝πb2；(3)射进阳光的面积是2ab＋b2－πb2＝2ab＋(1－π)b2.
方法总结：解决问题的关键是看清图意，正确利用面积计算公式列式即可．
12.做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）:
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？
解：（1）做这两个纸盒共用料（单位：cm2）（2ab+2bc+2ac）+（6ab+8bc+6ca）=8ab+10bc+8ac.
（2）做大纸盒比做小纸盒多用料（单位：cm2）（6ab+8bc+6ca）-（2ab+2bc+2ca）=4ab+6bc+4ac.
13.某公司计划砌一个形状如下图（1）的喷水池，后有人建议改为如下图（2）的形状，且外圆直径不变，
只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种需用的材料多（即比较两个图形的周长）？若
将三个小圆改为n个小圆，又会得到什么结论？
思路点拨：设大圆半径为R，小圆半径依次为r ，r ，r ，分别表示两个图形的周长，再结合r+r+r=R，
1 2 3 1 2 3
化简式子比较大小.
设大圆半径为 R，小圆半径依次为 r，r，r ，则图（1）的周长为 4πR，图（2）的周长为
1 2 3
2πR+2πr+2πr+2πr r=2πR+2π（r+ r+ r），因为2 r+2 r+2 r=2R，所以r+ r+ r=R，因此图
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
（2）的周长为2πR+2πR=4πR．两种方案，用材料一样多.将三个小圆改为n个小圆，用料还是一样多．
题型6.运用整式的加减探究图形的排列规律问题
14．（2022秋•宣城期末）如图，每个小正方形的面积均为1．将左图中黑色的小正方形移动，得到右边拼
成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式：
（1）请写出第3个等式： ；
（2）猜想第n个等式为： （用含n的等式表示）；
（3）当n为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？【分析】（1）根据给出的等式写出答案即可；
（2）根据这3个等式写出答案即可；
（3）因为最底端有2024个小正方形，所以2（n+1）＝2024，得出n的值，再计算有多少个小正方形即
可．
【解答】解：（1）2+4+6+8＝4×5；
（2）2+4+6+⋯+2（n+1）＝（n+1）（n+2）；
（3）因为最底端有2024个小正方形，
所以2（n+1）＝2024，
解得：n＝1011，
所以2+4+6+⋯+2024＝1012×1013＝1025156（个）
答：n＝1011，共有1025156个小正方形．
【点评】本题考查图形的规律，根据给出的式子找到规律是解题的关键．
题型7.运用整式的加减进行新定义运算
15．（2022秋•黄山期末）对a、b、c、d规定一个运算法则为： ＝ad﹣bc（等号右边是普通的减法运
算）．
（1）计算： ＝ ；
（2）化简 ，并计算当a＝2，b＝﹣1时代数式的值．
【分析】（1）根据题目中的信息列式进行计算即可；（2）根据题目中的信息列式，利用整式加减运算法则化简，然后代入数据计算即可．
【解答】解：（1） ＝3×4﹣2×5＝12﹣10＝2，
故答案为：2；
（2）
＝3（a+b）﹣（2a﹣b）×（﹣1）
＝3a+3b+2a﹣b
＝5a+2b，
当a＝2，b＝﹣1时，原式＝5×2+2×（﹣1）＝8．
【点评】本题主要考查了整式加减运算，代数式求值，有理数混合运算、新定义，解题的关键是理解题
意，熟练掌握有理数混合运算法则和整式加减的运算法则，利用新定义解答．
【方法三】差异对比法
易错点1.括号前是负号，去括号时只改变首项符号而致错
1.下列去括号正确吗？如有错误，请改正．
(1)＋(－a－b)＝a－b；
(2)5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1＋xy；
(3)3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy－2y；
(4)(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋3b.
解析：先判断括号外面的符号，再根据去括号法则选用适当的方法去括号．
解：(1)错误，括号外面是“＋”号，括号内不变号，应该是：＋(－a－b)＝－a－b；
(2)错误，－xy没在括号内，不应变号，应该是：5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1－xy；
(3)错误，括号外是“－”号，括号内应该变号，应该是：3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy＋2y；
(4)错误，有乘法的分配律使用错误，应该是：(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋9b.
方法总结：本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项
相乘，再运用括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”，去括号后，括
号里的各项都改变符号．
易错点2.去括号时，括号前的系数只乘一项，其他项漏乘
2.去括号：d-2(3a-2b+3c)；
【答案与解析】(1)d-2(3a-2b+3c)＝d-(6a-4b+6c)＝d-6a+4b-6c；
【总结升华】去括号时．若括号前有数字因数，应先把它与括号内各项相乘，再去括号．【方法四】 仿真实战法
考法1.同类项的概念
1．（2022•湘潭）下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2b B．﹣2ab2 C．ab D．ab2c
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可判断．
【解答】解：在a2b，﹣2ab2，ab，ab2c四个整式中，与ab2为同类项的是：﹣2ab2，
故选：B．
【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
2．（2022•永州）若单项式3xmy与﹣2x6y是同类项，则m＝ 6 ．
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可得出答案．
【解答】解：∵3xmy与﹣2x6y是同类项，
∴m＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了同类项，掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同是解题的
关键．
3．（2023•乐山）计算：2a﹣a＝（ ）
A．a B．﹣a C．3a D．1
【分析】直接合并同类项得出答案．
【解答】解：2a﹣a＝a．
故选：A．
【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．
4．（2023•宜宾）下列计算正确的是（ ）
A．4a﹣2a＝2 B．2ab+3ba＝5ab
C．a+a2＝a3 D．5x2y﹣3xy2＝2xy
【分析】根据合并同类项的运算法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：A．4a﹣2a＝（4﹣2）a＝2a，则A不符合题意；
B．2ab+3ba＝（2+3）ab＝5ab，则B符合题意；
C．a与a2不是同类项，无法合并，则C不符合题意；
D．5x2y与3xy2不是同类项，无法合并，则D不符合题意；
故选：B．【点评】本题考查合并同类项，其运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（2023•丽水）计算a2+2a2的正确结果是（ ）
A．2a2 B．2a4 C．3a2 D．3a4
【分析】根据合并同类项法则进行计算即可．
【解答】解：a2+2a2
＝（1+2）a2
＝3a2，
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项法则，能熟记合并同类项法则是解此题的关键，把同类项的系数相加作
为系数，字母和字母的指数不变．
6．（2023•株洲）计算：3a2﹣2a2＝ a 2 ．
【分析】利用合并同类项的法则运算即可．
【解答】解：3a2﹣2a2＝a2．
故答案为：a2．
【点评】本题主要考查了合并同类项，正确应用合并同类项的法则是解题的关键．
考法2.整式的加减
7．（2023•德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个
数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活
动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．m+n B．m C．n﹣m D．2n
【分析】依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每6个整式一循环，再求解每6个整式的整
式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，2023次后出现2025个整式，结合
2025÷6＝337…3，从而可以得解．
【解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；
第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；
第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；
第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；
第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；
……
第 2023次操作后得到 的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m；共2025个整式
归纳可得，以上整式串每六次一循环．每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+
（﹣n+m）＝0，
∵2025÷6＝337…3，
∴第2023次操作后得到的整式中，求最后三项之和即可．
∴这个和为m+n+（n﹣m）＝2n．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律，
并能灵活运算是解决本题的关键．
8．（2023•泰州）若2a﹣b+3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为 ﹣ 6 ．
【分析】直接利用整式的加减运算法则化简，进而把已知代入得出答案．
【解答】解：2（2a+b）﹣4b
＝4a+2b﹣4b
＝4a﹣2b
＝2（2a﹣b），
∵2a﹣b+3＝0，
∴2a﹣b＝﹣3，
∴原式＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】此题主要考查了整式的加减—化简求值，正确合并同类项是解题关键．
9．（2023•沈阳）当a+b＝3时，代数式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值为 2 ．
【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得﹣a﹣b+5，再把前两项提取﹣1，然后把a+b的值代入
可得结果．
【解答】解：2（a+2b）﹣（3a+5b）+5
＝2a+4b﹣3a﹣5b+5
＝﹣a﹣b+5＝﹣（a+b）+5
当a+b＝3时，原式＝﹣3+5＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的
关键．
考法3.图形规律探究
10．（2022•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形
需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根
小木棒，则n的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
【分析】根据图形特征，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图
形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，得出第n个图形需要的小木棒根数即可．
【解答】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，
当8n﹣2＝2022时，
解得n＝253，
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形的变化规律，解决问题的关键是由特殊找到规律：第n个图形需要（8n﹣
2）根小木棒是解题的关键．
11．（2022•青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第 n个图中共有木料
根．【分析】观察图形可得：第n个图形最底层有n根木料，据此可得答案．
【解答】解：由图可知：
第一个图形有木料1根，
第二个图形有木料1+2＝3（根），
第三个图形有木料1+2+3＝6（根），
第四个图形有木料1+2+3+4＝10（根），
.....．
第n个图有木料1+2+3+4+......+n＝ （根），
故答案为： ．
【点评】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的变化规律是解题的关键．
12．（2021•凉山州）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼
第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；…照这样拼图，则第n个图形需要
(2 n +1) 根火柴棍．
【分析】根据数值的变化找出变化规律,即可得出结论．
【解答】解：设第n个图形需要a （n为正整数）根火柴棒，
n
观察发现规律：第一个图形需要火柴棍：3＝1×2+1，
第二个图形需要火柴棍：5＝2×2+1；
第三个图形需要火柴棍：7＝3×2+1，…，
∴第n个图形需要火柴棍：2n+1．
故答案为：(2n+1)．
【点评】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律
是关键．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知 与 为同类项，则 的值为（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据同类项的定义求解即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【详解】解：由题意得： ，
故选： ．
【点睛】本题考查了同类项．解题的关键是熟练掌握同类项的定义．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）合并同类项 时，依据的运算律是
（ ）
A．乘法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．乘法结合律
【答案】C
【分析】合并同类项：系数相加减，字母连同指数不变，据此判断即可求解．
【详解】解：由题意得
，
所以这个过程依据是乘法分配律，
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，理解合并同类项法则是解题的关键．
3．（2020秋·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据去括号，合并同类项法则计算即可．
【详解】解：A、 ，故错误，不合题意；
B、 ，故错误，不合题意；
C、 不能合并，故错误，不合题意；D、 ，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握去括号，合并同类项法则．
4．（2023秋·全国·七年级课堂例题）去括号的依据是（ ）
A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律与分配律
【答案】C
【分析】根据去括号法则解答即可．去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符
号与原来的符号相同：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反.
【详解】解：根据去括号法则可知，去括号就是用括号外的因数乘以括号内的每一项.
所以去括号的依据是分配律．
故选C．
【点睛】本题考查去括号法则，掌握去括号法则是解题关键．
5．（2023秋·全国·七年级课堂例题）三个连续奇数，最小的奇数是 （ 为自然数），则这三个连续
奇数的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可确定另两个奇数分别为 和 ，再根据整式的加法法则求其和即可．
【详解】解：∵三个连续奇数，最小的奇数是 ，
∴另两个奇数分别为 和 ，
∴这三个连续奇数的和为 ．
故选C．
【点睛】本题考查整式的加法运算．掌握整式的加法运算法则是解题关键．
6．（2023春·江苏淮安·七年级统考开学考试）若多项式 的值为 ．则多项式 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 的值为8，得到 ，整体代入，进行计算即可．
【详解】解：∵多项式 的值为 ，
∴ ，∴ ；
故选A．
【点睛】本题考查已知式子的值，求代数式的值．熟练掌握整体代入法，是解题的关键．
7．（2023秋·全国·七年级课堂例题）下列去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据去括号法则进行判断即可．
【详解】解：A． ，故A错误；
B． ，故B错误；
C． ，故C错误；
D． ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了去括号，解题的关键是熟练掌握去括号法则，注意括号前面为负号时，括号内每
一项的符号要发生改变．
8．（2022秋·江苏徐州·七年级校考期中）如图是2022年11月的月历，竖着取连续的三个数字，它们的和
可能是（ ）
A．18 B．33 C．38 D．75
【答案】B
【分析】设中间一个数为 ，则它上面的数是 ，下面的数是 ，则竖着取连续的三个数字，它们的
和为 ，是3的倍数，再分别分析各选项结合图即可得到答案．【详解】解：设中间一个数为 ，则它上面的数是 ，下面的数是 ，
根据题意得： ，
竖着取连续的三个数字，它们的和是3的倍数，
， ， ， ，且由图可知中间数不能为6和25，
竖着取连续的三个数字，它们的和可能是33，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减的应用，根据题意，得出竖着取连续的三个数字，它们的和是3的倍
数，是解题的关键．
9．（2023秋·全国·七年级课堂例题）按一定规律排列的一组式子依次为： ， ， ，
， ， ，按此规律排列下去，则这组式子中第 个式子为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据这组式子的特点，对组成每个多项式的两个单项式系数和次数分别探索即可解决问题．
【详解】解：由题知：在这列式子中，
含 的单项式的系数依次为： ， ， ， ， ，
则第 个式子中 的系数为 ，
又 的次数依次加 ，
则第 个式子中 的次数为 ；
含 的单项式的系数依次为： ， ， ， ， ， ，
则第 个式子中 的系数为 ，
又 的次数依次加 ，
则第 个式子中 的次数为 ；
综上所述：第 个式子为 ，
∴第 个式子为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查数式的排列规律，能发现各项的系数和次数的特征是解题的关键．
10．（2022秋·福建泉州·七年级校考期末）三个边长分别为a、b、c的正方形如图摆放，则阴影部分的周长（ ）
A．只与a，b有关B．只与a、c有关 C．只与b、c有关 D．与a，b、c有关
【答案】B
【分析】将阴影部分横向的边和纵向的边分别往一个方向平移，从而利用周长公式可得答案．
【详解】解：阴影部分的周长为： ．
故选：B
【点睛】本题考查不规则阴影部分的周长，熟练掌握平移法是解题的关键．
二、填空题
11．（2023秋·全国·七年级课堂例题）把 当作一个整体，合并多项式
中的同类项，结果是 ．
【答案】
【分析】把相同整体的系数相加减，整体及其指数不变，从而可得答案．
【详解】解：
；
故答案为：
【点睛】本题考查的是合并同类项，熟记合并同类项的法则是解本题的关键．
12．（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知 ，则 的值为 ．【答案】4
【分析】根据 ，把 ， ，解答出即可．
【详解】解：∵ ，
∴把 代入得，
原式 ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了求代数式的值，能整体代入是解题的关键．
13．（2023秋·海南海口·七年级海南华侨中学校考开学考试）图中的涂色部分是正方形，图中最大的长方
形的周长是 厘米．
【答案】58
【分析】设正方形的边长为x厘米，根据题意，大长方形的长为 ，宽为x，计算周长即可．
【详解】设正方形的边长为x厘米，根据题意，大长方形的长为 ，宽为x，
故大长方形的周长为 （厘米），
故答案为：58．
【点睛】本题考查了列代数式、整式加减的应用，熟练掌握长方形的周长的表示法是解题的关键．
14．（2023秋·全国·七年级课堂例题）化简：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】（1）利用括号前是正号，去括号后，括号里的各项都不改变符号，进而得出答案；
（2）利用括号前是负号，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进而得出答案．
【详解】解：（1） ；故答案为： ；
（2） ，
故答案为： ；
【点睛】此题主要考查了去括号法则，正确掌握去括号法则是解题关键．
三、解答题
15．（2023秋·全国·七年级课堂例题）合并下列各式的同类项：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）根据合并同类项的法则进行计算即可；
（2）根据合并同类项的法则进行计算即可；
（3）根据合并同类项的法则进行计算即可；
（4）根据合并同类项的法则进行计算即可；
（5）根据合并同类项的法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
．
【点睛】本题考查了合并同类项：把系数相加减，字母与字母的指数不变．
16．（2023秋·全国·七年级课堂例题）先合并同类项，再求值：
(1) ，其中 ．
(2) ，其中 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式合并同类项得到最简结果，把 的值代入计算即可求出值；
（2）原式合并同类项得到最简结果，把 与 的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：原式 ，
当 时，原式 ；
（2）原式 ，
当 ， 时，原式 ．
【点睛】此题考查了整式的加减 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（2023秋·全国·七年级课堂例题）先化简，再求值：(1) ，其中 ；
(2) ，其中 ．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ．
【分析】（1）根据整式的加减运算法则计算即可化简，再将 代入化简后的式子求解即可；
（2）根据整式的加减运算法则计算即可化简，再将 代入化简后的式子求解即可．
【详解】（1）解：
，
当 时，原式 ；
（2）解：
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查整式加减中的化简求值．掌握整式的加减运算法则是解题关键．
18．（2023秋·全国·七年级课堂例题）有一道题目：“当 时，求多项式
的值．”甲同学做题时，把“ ”错抄
成“ ”，乙同学没抄错题，但他们做出来的结果一样，你知道这是怎么回事吗？
【答案】见解析【分析】根据整式的化简，先去括号，合并同类项，化简后，通过结果中没有a可知结果与a的值无关，
即可求解.
【详解】解：原式 ．
因为此多项式化简后的结果中不含字母 ，即多项式的值与字母 的取值无关，所以甲同学把“ ”错
抄成“ ”，乙同学没抄错题，但他们做出来的结果一样．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
19．（2023秋·全国·七年级课堂例题）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
(2)通过猜想写出与第 个点阵图相对应的等式（n为正整数）．
【答案】(1) ；
(2) （ 为正整数）
【分析】（1）观察、分析第4和5两幅图中“点”的个数和序号之间的关系即可得到④、⑤两个等式；
（2）分析所得等式中等号左、右两边的式子和序号之间的数量关系即可得到第n个式子．
【详解】（1）解：由图中信息可得第4个等式为：④ ；
第5个等式为：⑤ ；
故答案为： ； ；
（2）解：分析前面所得等式可知：第n个等式为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查图形类规律探索，观察、分析所给图形和等式，找到等式左、右两边的式子和序号间的
关系是解答本题的关键．20．（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图是两种长方形铝合金窗框，已知窗框的长都是 米，宽都是
米，若一用户需①型的窗框2个，②型的窗框2个．
(1)该用户共需铝合金的长度为________________米（用含 的式子表示）；
(2)若1米铝合金的平均费用为 元，求当 时，该用户所需铝合金的总费用为多少元．
【答案】(1) ；
(2)2400元．
【分析】（1）根据题意列出代数式并合并同类项即可；
（2）利用1米铝合金的平均费用乘以总的长度即可得到答案．
【详解】（1）解：该用户共需铝合金的长度为：
米．
故答案为： ．
（2）解：∵1米铝合金的平均费用为 元， ，
∴该用户所需铝合金的总费用为 （元）．
【点睛】此题考查了整式加减的应用，根据题意正确列出代数式是解题的关键．
21．（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知某种商品每件的成本为 元．
(1)按 的利润率定售价，则该种商品每件的售价是多少元？
(2)在（1）的条件下，出现了库存积压，需降价出售，现按（1）中售价的八折出售，则该种商品每件的现
售价是多少元？每件还能盈利多少元？
【答案】(1) 元(2)该种商品每件的现售价是 元，每件还能盈利 元
【分析】（1）用成本加上增加的价格即为售价；
（2）用售价乘 即为现售价，再减去成本价即为盈利．
【详解】（1）解：每件售价是： 元；
（2）解： 元，
．
所以现售价 元，每件还能盈利 元．
【点睛】本题考查了列代数式，主要是销售问题，理解成本、售价、盈利之间的关系是解此类题目的关键．
22．（2022秋·福建三明·七年级校考期中）数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要．例如：已
知 ，则代数式 ， ．
请根据以上材料解答下列问题：
(1)若 ，求 的值；
(2)若整式 的值是8，求整式 的值；
(3)当 时，多项式 的值是5，求当 时，多项式 的值．
【答案】(1)9
(2)1
(3)
【分析】（1）将 变形为 ，再整体代入 ，进行计算即可；
（2）先由整式 的值是8得到 ，再将 变形为 ，整体代入
，进行计算即可；
（3）先根据当 时，多项式 的值是5求出 ，再将 代入 得
，最后整体代入 ，进行计算即可．
【详解】（1）解： ，；
（2）解： 整式 的值是8，
，
，
；
（3）解： 当 时，多项式 的值是5，
，
，
当 时，
．
【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握整体代入的思想，准确进行计算是解此题的关键．
23．（2023秋·全国·七年级课堂例题）老师设计了一个数学试验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有多项
式的卡片，规则是两名同学的多项式相减等于第三名同学的多项式，甲、乙、丙三名同学的卡片如下，其
中丙同学卡片上的多项式未知．
甲： 乙： 丙：
(1)若乙同学卡片上的多项式为一次二项式，则 的值为________________；
(2)若甲同学卡片上的多项式减去乙同学卡片上的多项式等于丙同学卡片上的多项式，且结果为常数项，求
的值；
(3)当 时，丙同学卡片上的多项式减去甲同学卡片上的多项式等于乙同学卡片上的多项式，求丙同学
卡片上的多项式．
【答案】(1)0
(2)2
(3)
【分析】（1）根据一次二项式，得到二次项的系数为0，进行求解即可；
（2）用甲同学卡片上的多项式减去乙同学卡片上的多项式，根据结果为常数项，进行求解即可；
（3）用甲同学卡片上的多项式加上乙同学卡片上的多项式，进行求解即可．【详解】（1）解：∵ 是一次二项式，
∴ ；
故答案为：0；
（2）解： ，
∵结果为常数项，
∴ ；
故答案为：2；
（3）当 时， ；
由题意，得：丙卡片上的多项式为： ．
【点睛】本题考查整式的加减运算．解题的关键是掌握合并同类项法则，正确的计算．
