文档内容
专题 02 与三角形有关的角（3 个知识点 8 种题
型 1 个易错点 3 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：三角形内角和定理（重点）
知识点2：直角三角形的性质与判定（重点）
知识点3：三角形的外角及三角形内角和定理的推论（重点、难点）
【方法二】 实例探索法
题型1：利用三角形内角和定理求角的度数
题型2：利用三角形内角和定理的推论求角的度数
题型3：直角三角形的判定与性质运用
题型4：三角形内角和定理及其推论与三线综合
题型5：三角形内角和定理及其推论与平行线综合
题型6：利用三角形内角和理及其推论解决实际问题
题型7：三角形内角和理及其推论和角平分线的综合应用
题型8：探究题
【方法三】 差异对比法
易错点：忽视分类，造成漏解
【方法四】 仿真实战法
考法1：三角形内角和定理
考法2：三角形内角和定理的推论
考法3：三角形内角和与平行线性质的综合
【方法五】 成果评定法【学习目标】
1．理解三角形内角和定理的证明方法；
2．掌握三角形内角和定理及推论
3．能够运用三角形内角和定理及推论进行相关的计算，证明问题.
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：三角形内角和定理（重点）
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
【例1】证明：三角形的内角和为180°.
【答案与解析】
解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错
角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．
又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），
所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．
证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．
因为DF∥AC（已作），
所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．
因为DE∥AB（已作）．
所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．
所以∠A=∠2（等量代换）．
又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），
所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．
证法3：如图3所示，过A点任作直线 ，过B点作 ∥ ，过C点作 ∥ ，
因为 ∥ （已作）．所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．
同理∠3=∠4．
又 ∥ （已作），
所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．
又∠2+∠3=∠ACB，
所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．
证法4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角.
证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；在图5－2中过A作
MN∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角.
知识点2：直角三角形的性质与判定（重点）性质：直角三角形的两个锐角互余.
判定1：有一个角是直角的三角形式直角三角形
判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形
【例2】（2023春·湖南娄底·八年级统考阶段练习）在 中， ， ，则 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： ， ，
，
【变式1】（2023春·湖南怀化·八年级统考期中）直角三角形的一锐角是 ，那么另一锐角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：直角三角形的一锐角是 ，那么另一锐角是 ，
【变式2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有 对互余的角？有 对相等的锐角？
【答案】3,2．
知识点3：三角形的外角及三角形内角和定理的推论（重点、难点）
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
要点诠释：
(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边
的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个
外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．
另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
【方法二】实例探索法
题型1：利用三角形内角和定理求角的度数
1.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．
【答案与解析】
解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，
知∠C＝100°．
又∵ ∠C＝2∠B，
∴ ∠B＝50°．
∴ ∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．
2.已知，如图 ，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.
【答案】
解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A
设∠A=x
则∠C=∠ABC=2x
x+2x+2x=180°
解得：x=36°
∴∠C=2x=72°
在△BDC中， BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°
∴∠DBC=180°－90°-72°=18°
题型2：利用三角形内角和定理的推论求角的度数
3.（1）如图，AB和CD交于交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．
【答案与解析】
解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，
同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，
所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．
（2）如图，延长线段BD交线段与点E，
在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；
在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，
将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．
4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 度．
【答案】如图连接CE，
根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，
∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．
5.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，
∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．
【答案与解析】
解：∵ ∠CEF＝∠AED＝48°，∠BCA＝∠CEF+∠F，
∴ ∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，
∴ ∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°．
6.如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.
解：∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE.
∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.
∵∠BFC是△BEF的一个外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF.
∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.
7.如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC
＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝
100°.
方法总结：利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．
8.（一题多解）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法二：延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.
解法三：连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
题型3：直角三角形的判定与性质运用
9．在△ABC中，若∠A＝ ∠B＝ ∠C，试判断该三角形的形状．
【答案与解析】
解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．
由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．
解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．
故△ABC是直角三角形．
题型4：三角形内角和定理及其推论与三线综合
10.如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．
【答案与解析】
解：∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（己知）
∴∠BAC=180°﹣38°﹣100°=42°（三角形内角和180°）．
又∵AD平分∠BAC（己知），
∴∠BAD=21°，
∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°（三角形的外角性质）．
又∵AE是BC边上的高，即∠E=90°，∴∠DAE=90°﹣59°=31°．
11.如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC于G，试说明∠BPD
与∠CPG的大小关系并说明理由．
【答案】
解：∠BPD＝∠CPG．理由如下：
∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴ ∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠BAC，∠3＝ ∠ACB．
∴ ∠1+∠2+∠3＝ (∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°．
又∵ ∠4＝∠1+∠2，
∴ ∠4+∠3＝90°．
又∵ PG⊥BC，
∴ ∠3+∠5＝90°．
∴ ∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．
题型5：三角形内角和定理及其推论与平行线综合
12．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）已知直线 ，一个含 角的直角三角尺
如图叠放在直线 上，斜边 交 于点 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵含 角的直角三角尺
∴∠A=30°，∠ACB=60°
∵
∴∠1=∠ACB=60°
13.（2023秋·八年级单元测试）如图，在 中， 平分 交 于点 ，过点 作 交
于点 ．若 ， ，则 ______．
【答案】39°．
【详解】解： ， ，
，
平分 ，
，
，
，
14．（2023·浙江·八年级假期作业）已知直线 ，将一块含30°角的直角三角板按如图方式放置（
），若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
15．（2023秋·江西萍乡·八年级统考期末）已知点 在射线 上， ．
(1)如图1，若 ，求证： ；
(2)如图2，若 ，垂足为 ， 交 于点 ，请探究 与 的数量关系，写出你的探究结
论，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点 作 交射线 于点 ，当 ，
时，求 的度数．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：
理由如下：∵ 是 的外角，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（3）设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ 的度数为 ．
16．（2023春·海南海口·七年级海南中学校考期中）如图1，已知直线 与直线 交于点E，直线 与
直线 交于点F， 平分 交直线 于点M，且 ．
(1)求证： ；
(2)点G是射线 上的一个动点（不与点M、F重合）， 平分 交直线 于点H，过点H作交直线 于点N，设 ， ．
①如图2，当点G在点F的右侧时，若 ，求α的值，并说明理由；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
【详解】（1）证明： 平分 ，
，
，
，
；
（2）解：① 平分 ，
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
解得 ；
②α和β之间的数量关系为 或 ，理由如下：
当点G在点F的右侧，由（2）①得 ，
当点G在点F的左侧时，如图2，平分 ，
，
，
，
，
，
∴ ，即 ，
综上所述，α和β之间的数量关系为 或 ．
17．（2023春·重庆彭水·七年级统考期中）已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，B的坐标是
，其中 满足 ，将点B向左平移 个单位到点C，连接 交y轴
于点D．（注： 表示 的面积）(1)求点 的坐标．
(2)如图1，若 ，求满足条件的m的取值范围．
(3)如图2，若 ， 平分 交 于点E（不与点A重合），射线 交直线 于点G，交射线
于点M，求 ， 的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)当点F在线段 上时， °；当点F在 的延长线上时，
【详解】（1）解：∵ ，
又 ， ，
，
∴ ；
（2）解：由题意 ，
，
，
，， ，
，
解得， ；
（3）解：如图中，点F是 与x轴的交点，当点F在线段 上时
理由： 平分 ，
，
，
又
，
，
，
；
如图2﹣2中，当点F在 的延长线上时， ．
理由： ，，
，
，
，
．
综上所述，当点F在线段 上时， °；当点F在 的延长线上时，
题型6：利用三角形内角和理及其推论解决实际问题
18．探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①
的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．
(1)解：∵ ， ．
∴ ．
∵ ________ ，
∴ ________ ，
∴ ________ ．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求 ， ，
， ， 的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点 落在 上，点 落在 上，若 ，则
________ ．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)
【详解】（1） ， ．
．，
，
；
（2） ， ．
．
，
；
（3） ．
题型7：三角形内角和理及其推论和角平分线的综合应用
19．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在 中， 是角平分线， 是高，已知 ，
，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
20.（2022·河南郑州·八年级期末）如图，BP是ABC中ABC的平分线，CP是ACB的外角的平分线，
如果ABP20，ACP50，则P__________．【答案】30�
【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P=∠PCM-∠CBP=50°-20°=30°，
故答案为：30�．
21．（2022秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，根据下列条件，求
∠BPC的度数．
（1）若∠A＝68°，则∠BPC＝ °；
（2）从上述计算中，我们能发现：∠BPC＝ （用含∠A的式子表示），并说明理由．
【解答】解：（1）∵∠A＝68°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，
∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝ ∠ABC+ ∠ACB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ ×112°＝56°，
∴∠BPC＝180°﹣56°＝124°，
故答案为：124°；
（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A由（1）得：∠PBC+∠PCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝90°﹣ ∠A
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣ ∠A）＝90°+ ∠A
故答案为：90°+ ∠A．
22.如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.
(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；
(2)猜想：∠E与∠A有什么数量关系(写出结论即可)；
(3)如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．
解析：先计算特殊角的情况，再综合运用三角形的内角和定理及其推论结合三角形的角平分线概念解决．
解：(1)根据外角的性质得∠ACD＝∠A＋∠ABC＝60°＋50°＝110°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠1＝∠ACD＝55°，∠2＝∠ABC＝25°.∵∠E＋∠2＝∠1，∴∠E＝∠1－∠2＝30°；
(2)猜想：∠E＝∠A；
(3)∵BE、CE是两外角的平分线，∴∠2＝∠CBD，∠4＝∠BCF，而∠CBD＝∠A＋∠ACB，∠BCF＝∠A＋
∠ABC，∴∠2＝(∠A＋∠ACB)，∠4＝(∠A＋∠ABC)．∵∠E＋∠2＋∠4＝180°，∴∠E＋(∠A＋∠ACB)＋
(∠A＋∠ABC)＝180°，即∠E＋∠A＋(∠A＋∠ACB＋∠ABC)＝180°.∵∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°，
∴∠E＋∠A＝90°.
方法总结：对于本题发现的结论要予以重视：图①中，∠E＝∠A；图②中，∠E＝90°－∠A.
题型8：探究题
23．（2023秋·八年级课时练习）如图， 和 分别是 的内角平分线和外角平分线， 是
的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线，若 ，则 ______．
【答案】
【详解】解： 和 分别是 的内角平分线和外角平分线，
， ，
又 ， ，
，
，
同理可得： ，
，
则 ，
故答案为： ．
24．（2023春·浙江·八年级专题练习）探索归纳：(1)如图1，已知 为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去 ，则 ．
A． 90° B． 315° C． 135° D. 270°
(2)如图2，已知 中， ，剪去 后形成四边形，则 度．
(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想 与 的关系是 ．
(4)如图3，若 没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想 与 的关系是 ．
【答案】(1)D
(2)240
(3)
(4)
【详解】（1）解： ， ，
，
故选：D．
（2）解： ， ，
，
故答案为：240．
（3）解： ， ，
，
故答案为： ．
（4）解：连接 ，
， ，
，
，
，
故答案为： ．【方法三】差异对比法
易错点：忽视分类，造成漏解
25.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?
【答案与解析】
解：分两种情况讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，
∵ BD是AC边上的高(已知)，
∴ ∠ADB＝90°(垂直定义)．
又∵ ∠ABD＝30°(已知)，
∴ ∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．
又∵ ∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，
∴ ∠ABC+∠C＝120°，
又∵ ∠ABC＝∠C，∴ ∠C＝60°．
(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵ ∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．
∴ ∠BAC＝120°．
又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，
∴ ∠ABC+∠C＝60°．
∴ ∠C＝30°．
综上，∠C的度数为60°或30°．
【方法四】 仿真实战法
考法1：三角形内角和定理
1．（2023•聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB
的度数为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．95°
【解答】解：∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠EBC＝80°，
∵∠CAD+∠ADC+∠ACB＝180°，∠CAD＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣25°﹣80°＝75°，
故选：B．
2．（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝
55 °．
【解答】解：∵DE∥BC，∠BDE＝120°，
∴∠B＝180°﹣120°＝60°，∵FG∥AC，∠DFG＝115°，
∴∠A＝180°﹣115°＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝55°，
故答案为：55．
3．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC
＝ ．
【解答】解：如图，
由题意得：∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，
∵∠EAB＝35°，
∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝85°，
∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝50°，
∴∠CGF＝∠AGD＝50°，
∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝100°．
故答案为：100°．
4．（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．
意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝ 矩，1欘＝1 宣（其中，1
矩＝90°）．问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B
＝1欘，则∠C＝ 度．
【解答】解：∵1宣＝ 矩，1欘＝1 宣，1矩＝90°，∠A＝1矩，∠B＝1欘，
∴∠A＝90°，∠B＝1 × ×90°＝67.5°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣∠B＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，
故答案为：22.5．
5．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 三角形．
【解答】解：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°，
根据题意得：x+2x+3x＝180，
解得：x＝30，
∴3x°＝3×30°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
考法2：三角形内角和定理的推论
6．（2021•乐山）如图，已知直线l 、l 、l 两两相交，且l ⊥l ，若 ＝50°，则 的度数为（ ）
1 2 3 1 3
α βA．120° B．130° C．140° D．150°
【解答】解：如图，根据对顶角相等得：∠1＝∠ ＝50°，
∵l 1 ⊥l 3 ， α
∴∠2＝90°．
∵∠ 是三角形的外角，
∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，
故选β：C．
考法3：三角形内角和与平行线性质的综合
7．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝
（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，
∴∠C＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故选：C．
8．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，
则∠CED＝90°﹣40°＝50°，
∵l∥AB，
∴∠1＝∠CED＝50°，
故选：C．
【方法五】成功评定法
一、单选题
1．（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，直线 ，直线 与 、 分别相交于 、 两点，
交 于点 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 交 于点 ，，
∴ ，
∴ ，
2．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍少 ，则两锐角的度数分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【详解】解：设另一个锐角为 ，则一个锐角为 ，
由题意得， ，
解得 ，
，
所以，这两个锐角的度数分别为 ， ，
3．（2023秋·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）如图， ， ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
4．（2023·河南南阳·统考一模）如下图所示，能利用图中作法：过点A作 的平行线，证明三角形内角
和是 的原理是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】B
【详解】解：根据题意得， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
5．（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知 ， ， ，则
为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．105°
【答案】D
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
同理可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
6．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，在 中，点P是 的三条角平分线的交点，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： 点 是 三条边角平分线的交点，
， ， ，，
，
7．（2023春·四川达州·七年级统考期末）如图是一张直角三角形纸片 ， ， ，将
折叠使点B和点A重合，折痕为 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵将 折叠，使点B与点A重合，
∴ ，
∴ ，故A正确．
8．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图所示， 是 的内角平分线， 是 的外角平分
线，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵ 是 的内角平分线， 是 的外角平分线，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
9．（2023秋·吉林松原·八年级统考期末）将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放在同一平面内，含
角的直角三角尺的直角顶点 在含 角的直角三角尺的斜边 上，且点 在 的延长线上，若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ 是 的外角， ，
∴ ，
10．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图，已知 ， ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图所示，设 与 交于点 ．∵ ，
∴ ．
∴ ．
二、填空题
11．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图， ，直线 分别交 于 ， 平分
，若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
12．（2023春·吉林四平·八年级四平市第三中学校校考开学考试）如图，在 中，点D、E分别为边
、 上的点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，使 ．若 ， ，
则 的大小为 ．【答案】
【详解】解：如图，设 交于G，
∵ ，
∴ ，
由折叠性质可知， ，
∴ ，
13．（2023秋·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ， 分别是角
平分线和高，则 的度数是 ．
【答案】
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 角平分线，
∴ ，
∵ 是 的高，
∴ ，∴ ，
∴ ．
14．（2023春·上海奉贤·七年级校考期中）在 中，点D在边 的延长线上， 是 的一
个外角， ，则 是 三角形（按角分类）
【答案】钝角
【详解】如图，
∵ ，
∴设 ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是钝角三角形，
15．（2023春·辽宁大连·七年级统考期末）如图，在 中． ． ， ，则
．
【答案】145
【详解】解： 在 中． ，
，
， ，
，，
，
16．（2023春·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考期中）将一副三角板按如图放置，则下列结论：①
；②如果 ，则有 ；③如果 ，必有 ；④ ．其
中正确的有 ．（填写序号）
【答案】①②④
【详解】解：由三角板的特征可知， ， ， ， ，
， ， ，
，①结论正确；
， ，
，
，
，②结论正确；
，
，
，
，
，
，
与 不平行，③结论错误；
， ， ，
，
，
，④结论正确，
综上可知，正确的结论有①②④，故答案为：①②④．
17．（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，直线 ， 被直线 ， 所截．若 ， ，
，则 ．
【答案】
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
18．（2023秋·江西上饶·八年级校联考期末）定义：一个三角形的三个角的度数分别为x，y，z，若满足
，则该三角形为“善美三角形”，度数为x的角被称为善美角．若 是“善美三角形”，且
，则 的善美角的度数为 ．
【答案】 或 或【详解】解：设善美角的度数为 ，
则 ，或 ，或 ，
∴ 或 或 ，
三、解答题
19．（2023秋·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）如图， 中， ， ， 平分
， 于 ， 于 ，求 的度数．
【答案】
【详解】解：∵在 中， ， ，，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ．
20．（2022秋·天津津南·八年级校考期中）如图， 是 的外角 的平分线，且 交 的延
长线于点E．若 ， ，求 的度数．
【答案】
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的外角 的平分线，
∴ ，
∴ ．
21．（2022秋·天津津南·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， 为 的平
分线， ，垂足为 ，求 的度数．
【答案】 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 中 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
22．（2022秋·天津东丽·八年级统考期中）如图，在 中， ， 平分 ，求
的度数．【答案】
【详解】解：∵ ，
∴
∵ 平分 ，
∴ ．
23．（2022秋·广东惠州·八年级校考开学考试）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置
了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，
灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是 /秒，灯B
转动的速度是 /秒，且a、b满足 ．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即
，且 ．
(1)则 ， ．
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束
互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作 ， 交
于点D，则在转动过程中， 与 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改
变，请求出其取值范围．
【答案】(1)3，1
(2)10秒或85秒(3)不变，
【详解】（1）解：∵ ，且 ， ，
∴ ，解得 ，
故答案为：3，1；
（2）解：设灯A射线转动t秒，两灯的光束互相平行，根据题意，分以下情况：
①当灯A射线转到 之前， ，如图，
则 ，
由题意， ， ， ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
则 ，解得 ；
②当灯A射线转到 之后且返回 之前， ，如图，
则 ，
由题意， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，解得 ；③当灯A射线转到 之后第二次转向 之前， ，如图，
则 ，
由题意， ， ， ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
则 ，解得 ，不合题意，舍去；
综上，当A灯射线转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解：在转动过程中， 与 的数量关系不发生变化．
设灯A射线转动t秒，则 ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24．（2022秋·广东江门·八年级江门市福泉奥林匹克学校校考开学考试）已知， 中， ，
点 、 分别是边 ， 上的点，点 是斜边 上一动点.令 ， ， ．(1)如图（1）所示，当点 运动至 时，则 ______；
(2)如图（2）所示，当 运动至 上任意位置时，试探求 ， ， 之间的关系：
(3)如图（3）所示，当点 运动到 的延长线上，再次探求 ， ， 之间的关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1） ， ，
，
四边形 的内角和是 ，
，
，
故答案为： ；
（2） ，
理由： ，
，
，
四边形 的内角和是，
；
（3）由三角形的外角性质可知， ，
．
25．（2022秋·河北张家口·八年级统考期中）如图，在 中， ，点 自点 开始
向点 移动，连接 为 延长线上一点， 所在直线于点 ．
(1)若 平分 ，求 的度数；
(2)在点 的整个运动过程中，请分析说明 大小的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） 平分 ，
,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ;
（2）∵ ，∴
当 时， 最大为 ，
此时 两点重合， ；
当 与 重合时， 最小，
此时 ；
的范围是： ．
26．（2023春·重庆彭水·七年级统考期中）如图，点 在直线 的上方，点 、 、 在直线 上．
(1)按要求作图（作图必须规范）：
①过点 作直线 交 于点 ；
②过点 作直线 ；
③连接 ；
④过点 作直线 交直线 于点 ，在直线 上取点 （点 在点 的右下方）．
(2)在（1）的条件下，若
解：∵ ，
∴ 是直角三角形；
∴ ；
∴ ；
∵ ；∴ ；
∴ ．
【答案】(1)见解析
(2) ，
【详解】（1）解：如图：
（2）∵ ，
∴ 是直角三角形；
∴ ；
∴ ；
∵ ；
∴ ；
∴ ，
故答案为： ， ．
27．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）已知：如图 ，在三角形 中， ， ，
将线段 沿直线 平移得到线段 ，连接 ．
(1)当 时，请说明 ．
(2)如图 ，当 在 上方时，且 时，求 与 的度数．
(3)在整个运动中，当 垂直三角形 中的一边时，求出所有满足条件的 的度数．
【答案】(1)见解析(2) ，
(3) 或 或
【详解】（1）证明： 将线段 沿直线 平移得到线段 ，
，
，
，
；
（2）解： 将线段 沿直线 平移得到线段 ，
，
， ，
，
，
， ，
；
（3）解：如图 ，当 时，
， ，
，
，
，
，
；
如图 ，当 时，，
，
如图 ，当 时，
∵ ，
∴
综上所述： 或 或 ．
