专题15.2分式的运算（5大知识点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解）（人教版）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2025版

专题 15.2 分式的运算（5 大知识点 13 类题型）（知识梳理与题型分 类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的乘除法 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表 a c ac   b d bd a、b、c、d bd 0 示为： ，其中 是整式， . 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表 a c a d ad     b d b c bc a、b、c、d bcd 0 示为： ，其中 是整式， . 【要点提示】 （1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式. （2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘. （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是 1的代数式）和分式的分子相乘作为 分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分. （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 【知识点2】分式的乘方 a n an    b bn n 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （ 为正整 数）. 【要点提示】 a n an a n an       b bn b b （1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把 写成 （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解 因式，再约分. ab 2 ab2 a2 b2      b  b2 b2 （4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如 .【知识点3】同分母分式的加减 a b ab   c c c 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；可用式子表为： . 【要点提示】 （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式 时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符 号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【知识点4】异分母分式的加减 a c ad bc ad bc     b d bd bd bd 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.可用式子表为： . 【要点提示】 （1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 【知识点5】分式的混合运算 与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算 加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须 达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 【要点提示】 （1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础， 要牢牢掌握； （2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的. （3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大 大提高运算速度. 知识点与题型目录 【考点一】分式的乘除 【题型1】分式乘法...........................................................3【题型2】分式除法...........................................................3 【题型3】分式乘除混合运算...................................................4 【题型4】分式乘方...........................................................4 【题型5】含乘方的分式乘除混合运算...........................................4 【考点二】分式的加减 【题型6】同分母分式加减法...................................................5 【题型7】异分母分式加减法...................................................5 【题型8】整式与分式相加减...................................................6 【题型9】已知分式恒等式,确定分子或分母......................................6 【考点三】分式的加减乘除混合运算 【题型10】分式加减乘除混合运算..............................................7 【题型11】分式化简求值......................................................7 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型12】直通中考..........................................................7 【题型13】拓展延伸..........................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式乘法 【例1】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）化简： ． 【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）化简 的结果是 ． 【题型2】分式除法 【例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2) ．【变式1】（22-23九年级下·河北衡水·期中）若 ，则_________上的分式是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业） ． 【题型3】分式乘除混合运算 【例3】（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习） （1）计算： ； （2）计算： ； （3）计算： ． 【变式1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，规定 ，按此规定图2中M处的代数式是 （ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）化简 ，其结果为 【题型4】分式乘方 【例4】（24-25八年级上·山东淄博·期中）计算： 【变式1】（2024·辽宁鞍山·模拟预测）下列计算正确的是（ ） A． B．C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川内江·期中）已知 ，则 的值为 ． 【题型5】含乘方的分式乘除混合运算 【例5】（2024·福建泉州·模拟预测）根据如图所示的程序，求输出 的化简结果． 【变式1】（22-23八年级上·广西桂林·期中）计算 的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21八年级上·全国·课后作业） ． 【题型6】同分母分式加减法 【例6】（23-24八年级下·山西朔州·阶段练习）计算： ； 【变式1】（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D．【变式2】（22-23八年级上·湖南郴州·期中）化简： ； = ． 【题型7】异分母分式加减法 【例7】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2) ． 【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）若分式 的值为零，则a的值为 （ ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知 ( ，且 )， ，则（结果用含x的代数式表示）： （1） ； （2） ． 【题型8】整式与分式相加减 【例8】（2024·河北石家庄·一模）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计 算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； (2)请你写出正确的解答过程． 【变式1】（2021·河北·中考真题）由 值的正负可以比较 与 的大小，下列正确的是 （ ）A．当 时， B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【变式2】（20-21七年级下·安徽·期末）计算 的结果是 ． 【题型9】已知分式恒等式,确定分子或分母 【例9】（23-24八年级上·全国·单元测试）课堂上，李老师出了这样一道题： 已知 求整式 A，B． 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式 相等，分母相等，则分子也相等，即： ，利用多项式相等则对应的系数相等可 求得A，B． 请你根据上面的思路解决下列问题： 已知 ，求 A，B 的值． 【变式1】（17-18八年级上·四川德阳·期末）若 ，则M、N的值分别为( ) A．M=-1,N=-2 B．M=-2,N=-1 C．M=1,N=2 D．M=2,N=1 【变式2】（20-21八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知 ＝ ，且A、B为常数，则 A+3B＝ ． 【题型10】分式加减乘除混合运算 【例10】（23-24八年级上·全国·课后作业）化简下列各式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ．【变式1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）化简 的结果为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）当x分别取值 ， ， ， ，…， ， 0，1，2，…，2021，2022，2023，2024时，计算代数式 的值，将所得结果相加，其和等于 ． 【题型11】分式化简求值 【例11】（24-25八年级上·重庆·期中）化简求值： ，其中x，y满足 ． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如果 ，那么 的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）已知 ，则 ． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型12】直通中考 【例1】（2022·湖南·中考真题）有一组数据： ， ， ， ， ．记 ，则 ． 【例2】（2024·山东淄博·中考真题）化简分式： ，并求值（请从小宇和小丽的对 话中确定 ， 的值）【题型13】拓展延伸 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于 的不等式组 的整数解仅为 ，若 为整数，则代数式 的值为 ． 【例2】（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）已知 ，则 的值为 ． 【例3】（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）已知，，则的值为 （用含m，n的式子表示）．