文档内容
专题 09 整式（4 个知识点 6 种题型 2 个易错点 4 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.用含字母的式子表示数或数量关系（重点）
知识点2.单项式
知识点3.多项式（重点）
知识点4.整式（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.整式相关概念的应用
题型2.运用整体思想求整式的值
题型3.用整式表示数量关系
题型4.用整式解决生活中的实际问题
题型5.与整式有关的规律探究题
题型6.图形摆放的规律探究题
【方法三】差异对比法
易错点1.书写不规范
易错点2.确定单项式的系数及次数时易出现错误
【方法四】 仿真实战法
考法1.用整式表示数量关系
考法2.单项式的次数和系数
考法3.整式的求值
考法4.整式的规律探究
【方法五】 成果评定法
【学习目标】1. 会用含字母的式子表示数或数量关系。
2. 理解并掌握单项式、多项式和整式的概念以及它们之间的关系。
3. 会确定单项式的系数和次数、多项式的项和次数及常数项，掌握它们之间的区别与联系。
4. 通过单项式、多项式的应用过程，培养符号意识及观察、归纳、概括和语言表达的能力。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.用含字母的式子表示数或数量关系（重点）
① 数与字母、字母与字母相乘时省略乘号，数与字母相乘时数字在前；
② 出现多个字母时，字母按照26个字母顺序排列；
③ 相同字母相乘时应写成幂的形式；
④ 1或-1与字母相乘时，1通常省略不写；
⑤ 式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写，带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数.
【例1】下列各式中，符合代数式书写要求的是( )
(1)1x2y； (2)a×3； (3)ab÷2； (4).
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1】用字母表示下列问题中的数量关系：
(1)为落实“阳光体育”工程，某校计划购买m个篮球和n个排球，已知篮球每个80元，排球每个60
元，购买这些篮球和排球的总费用为__________元．
(2)在运动会中，一班总成绩为m分，二班比一班总成绩的还多5分，则二班的总成绩为________．
(3)某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：将原来每件m元，加价50%，再做两次降价处理，第一次降价30%，第二次降价10%.经过两次降价后的价格为______________元．
【变式2】用字母表示图中阴影部分的面积：
(1) (2)
知识点2.单项式
单项式的概念：如 ， ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一
个字母也是单项式．
要点：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独
的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如： 可以写成 。但若分母中含有字母，如
就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如： 写成 ．
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
要点：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
【例2】在代数式 中，单项式的个数是（ ）
A．6 B．5 C．3 D．4
【变式】单项式﹣23a2b3的系数和次数分别是（ ）
A．﹣2，8 B．﹣2，5 C．2，8 D．﹣8，5
知识点3.多项式（重点）
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
要点：“几个”是指两个或两个以上．
多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要点：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如： 是一个三项式．
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式
中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
升幂排列与降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个
字母降幂排列;若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列．
1
如:多项式2x3y2-xy3+ x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为
2
1
2
-5x4+2x3y2+ x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-
1
2
xy3+ x2y4．
要点：
(1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；
(2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．【例3】关于多项式 ，下列说法错误的是（ ）
A．这个多项式是五次四项式
B．四次项的系数是
C．常数项是
D．按 降幂排列为
【变式】多项式x3﹣4x2y3+26的次数是 ．
知识点4.整式（重点）
整式
单项式与多项式统称为整式．
要点：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．
即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
【例4】判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式．
(1)－3xy2； (2)2x3＋1； (3) (x＋y＋1)； (4) ； (5)0；
(6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) ．【方法二】实例探索法
题型1.整式相关概念的应用
1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）已知多项式 与单项式 的次数相同．
(1)求m的值；
(2)把这个多项式按x的降幂排列．
2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）已知多项式 是六次四项式，且单项式 的
次数和该多项式的次数相同，求m，n的值．
3.把下列各代数式的序号填入相应集合的括号内：
①2a2b+ ；② ；③0；④ ；⑤﹣ mn；⑥2x﹣3y=5；⑦2a+6abc+3k
单项式集合：{ }；
多项式集合：{ }；
二项式集合：{ }．题型2.运用整体思想求整式的值
4.已知x2﹣2x＝5，则代数式2x2﹣4x+2021的值是（ ）
A．2021 B．2031 C．2041 D．2051
5.当
x=1
时，代数式
px3 +qx+1
的值是2001，则当
x=−1
时，代数式
px3 +qx+1
的值为 ( )
A. —1999 B. —2000 C. —2001 D. 1999
px3qx1 px3qx1
6.已知：当 时，代数式 的值为2014；求当 时，代数式 的值．
题型3.用整式表示数量关系
7.填空题：
（1）2000元人民币存入银行，定期2年，年利率 ，扣除20%的利息税后，到期取得本利和
元．
（2）一种商品进价为每件 元，按进价增加 出售，则售价是 元；后因库 存积压降
价，按售价的九折出售，则此时的售价为 元， 每件还盈利 元．
（3）某市去年GDP为180亿，今年比去年增加 ，今年该市的GDP是___________．
8. 表示一个两位数， 表示一个两位数，把 放在 的左面，末位再添上1得到一个五位数，求这个五位
数等于多少？
9.一个三位数M，一个四位数N，用M、N的代数式表示：
（1）把M放在N左边所组成的七位数；（2）把M放在N右边所组成的七位数．10.一个三位数，他的百位上的数字式x，十位上的数字比百位上的数字的2倍多3，个位上的数字比百位
2
3
上的数字的 少2，则这个三位数可表示多少？
题型4.用整式解决生活中的实际问题
11．（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，小明家的住房结构平面图（单位：
米），装修房子时，他打算将卧室和客厅的地面铺上木地板砖，厨房和卫生间的地面铺上瓷砖．
(1)若铺瓷砖的价格为120元/平方米，那么购买瓷砖需要花多少钱？（用含 、 的代数式表示）；
(2)在（1）的条件下，若 ， ，且每平方米木地板砖的价格是 200 元，请问小明铺完整个房间地
面共要花费多少元？12．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）春暖花开，新学期伊始，某中学为了给学生提供充足的体育运
动器材，准备购买一批某品牌的足球和跳绳，足球每个定价为150元，跳绳每条定价为25元．该品牌通过
线下实体店和网店两种方式进行销售，线下实体店的销售方案为：买一个足球送一条跳绳；网店的销售方
案为：足球和跳绳都按定价打九折．
(1)如果购买足球60个，跳绳a条（ ），若在实体店购买，共需付款 元；若在网店购买，共需付款
元（用含a的代数式表示）．
(2)如果购买足球60个，跳绳120条，通过计算说明怎样购买最合算．
13．（2023秋·云南曲靖·七年级校考期末）某书店为了响应全民阅读活动，开设两种租书方式：
方式一：零星租书，每本收费1元；
方式二：会员卡租书，会员每月交会员费12元，租书费每本0.4元．
张琳同学经常来租书，若张琳同学每月租书数量为x本．
(1)分别写出两种租书方式下，张琳同学每月应付的租书金额（用含x的式子表示）；
(2)当张琳同学每月租书为20本时，哪种租书方式合算？
(3)若张琳同学在一个月内租25本书，试问哪种租书方式合算？题型5.与整式有关的规律探究题
14．（2022秋·江苏·七年级专题练习）观察下列数据: ，它们是按一定规律排列的，依照此
规律，第n个数据是
15．（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）观察下列单项式： ， ， ， ，…，根据你发现的
规律，第10个单项式为_____________．
题型6.图形摆放的规律探究题
16．（2022秋·七年级单元测试）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则第n个“口”字
需要用棋子（ ）
A．（4n﹣4）枚 B．4n枚 C．（4n+4）枚 D．n2枚
17．如图所示，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列各图：则第n个图形中需要
用黑色瓷砖 块．（用含n的代数式表示）
18.观察下列图形：
它们是按一定规律排列的．
(1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？
(2)摆成第n个图案需要几个五角星？
(3)摆成第2015个图案需要几个五角星？【方法三】差异对比法
易错点1.书写不规范
1．设某数为 ，用 表示下列各数：
（1）某数与 的差；
（2）某数的 与 的和；
（3）某数与1的差的平方；
（4）某数与2的和的倒数；
（5）某数的30%除以 的商．
易错点2.确定单项式的系数及次数时易出现错误
2．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
， ， ， ， ，a-3， ， ，【方法四】 仿真实战法
考法1.用整式表示数量关系
1．（2021•青海）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数是（ ）
A．x+y B．10xy C．10（x+y） D．10x+y
2．（2021•温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每
立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）
A．20a元 B．（20a+24）元
C．（17a+3.6）元 D．（20a+3.6）元
3．（2023•长春）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，
他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．
（用含x的代数式表示）
考法2.单项式的次数和系数
4．（2023•江西）单项式﹣5ab的系数为 ．
5．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D． x2y
6．（2021•海南）下列整式中，是二次单项式的是（ ）
A．x2+1 B．xy C．x2y D．﹣3x
考法3.整式的求值
7．（2023•南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
8．（2023•淮安）若a+2b﹣1＝0，则3a+6b的值是 ．
9．（2023•河北）根据表中的数据，写出a的值为 ，b的值为 .
2 n
3x+1 7 b
a 1
考法4.整式的规律探究10．（2023•甘孜州）有一列数，记第n个数为a ，已知a ＝2，当n＞1时，a ＝ ，
n 1 n
则a 的值为 ．
2023
11．（2023•西藏）按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…．则按此规律排列的第n个单项式
为 ．（用含有n的代数式表示）
12．（2023•重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个
图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，
则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）
A．39 B．44 C．49 D．54
13．（2023•绥化）在求1+2+3+…+100的值时，发现：1+100＝101，2+99＝101…，从而得到1+2+3+…
+100＝101×50＝5050．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作a ＝1；分别连接这个三
1
角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作a ＝5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点
2
得到图（3），有9个三角形，记作a ＝9；按此方法继续下去，则a +a +a +…+a ＝ .（结果用
3 1 2 3 n
含n的代数式表示）
14．（2023•十堰）用火柴棍拼成如图图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②
个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 ．（用含n的式子表示）
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·七年级课时练习）下列式子：① ；②5；③ ；④ ，其中属于代数式的是（
）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
2．（2023秋·七年级单元测试）若 表示一个两位数， 也表示一个两位数，小明想用 、 来组成一个
四位数，且把 放在 的左边，你认为下列表达式中哪一个是正确的（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·全国·七年级课堂例题）下列式子： 中，多项式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022秋·四川泸州·七年级统考期末）单项式 的系数和次数分别为( )．
A． B． C． D．
5．（2020秋·福建厦门·七年级大同中学校考期中）下列代数式书写规范的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·海南海口·七年级海南华侨中学校考开学考试）男生有a人，女生人数比男生的4倍少5人，
下面可以表示女生人数的式子是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2020秋·福建南平·七年级统考期中）一组按规律排列的式子： ， ， ， ， ，则第 个
式子是（ ）
A． B． C． D．8．（2023秋·全国·七年级课堂例题）我们知道，用字母表示的式子是具有一般意义的，则下列赋予 实
际意义的例子中不正确的是（ ）
A．若葡萄的价格是 元/千克，则 元表示买 千克葡萄的金额
B．若王师傅每天做 个零件，则 表示王师傅 天做的零件个数
C．若 表示一个等边三角形的边长，则 表示这个等边三角形的周长
D．若 和 分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，则 表示这个两位数
9．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）如图，在一个直径是 的圆形纸板上挖去两个直径分别是
和 的小圆形纸板，则剩余纸板的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020秋·福建厦门·七年级大同中学校考期中）关于多项式 ，下列说法错误的
是（ ）
A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1
C．按y降幂排列为 D．四次项的系数是3
二、填空题
11．（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知下列各式：① ，②8，③ ，④ ，⑤ ，
⑥ ，
⑦ ，⑧ ，⑨ ，⑩ ，其中代数式有 （填写序号）．
12．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）写出一个系数为 ，次数为4的单项式，这个单项式可
以是 ．
13．（2023秋·全国·七年级专题练习）以下是2003年1月份的日历，如果用 表示类似灰色矩形框中4
个数字，试用等式写出 之间的关系 ．14．（2022秋·河南开封·七年级校考阶段练习）仔细观察，照这样摆下去，第 个图形需要用 根小
棒．
15．（2023秋·七年级课时练习）如图，将若干个三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第
2023个图形是 ．
16．（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知多项式 是六次四项式，单项式 的次
数与这个多项式的次数相同，则 的值为 ．
17．（2023秋·全国·七年级课堂例题）对单项式“ ”，我们可以这样解释：香蕉每千克5元，某人买了
x千克，共付款 元．请你对“ ”再给出另一个实际生活方面的合理解释：
．
18．（2023秋·全国·七年级课堂例题）若正方形的边长为 ，则正方形的面积是 ，周长是
；
三、解答题
19．（2023秋·全国·七年级课堂例题）填表：
单项式
系数
次数20．（2023秋·全国·七年级课堂例题）先阅读下列材料，然后解答问题．
材料一：将多项式按某个字母（如 ）的指数从大到小（或从小到大）依次排列，叫做这个多项式按这个
字母（如 ）的降幂（或升幂）排列．如：把多项式 按字母 的降幂排列为
．
材料二：多项式 中含有 项， 项，常数项，按 的降幂排列缺 项，我们可以补入 作
为 的二次项，使原式成为 的形式，这样的做法叫做补入多项式的缺项．
解答下列问题：
(1)把多项式 按字母 的升幂排列；
(2)请补入多项式 的缺项，并按 的降幂排列．
21．（2023秋·全国·七年级课堂例题）观察下列单项式： ， ．回答下列
问题：
(1)这组单项式的系数的规律是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第 （ 为正整数）个单项式是什么吗？
(4)根据你的猜想，请写出第2022，2023个单项式．22．（2023秋·全国·七年级课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内：
．
单项式：{ …}；
多项式：{ …}
整式：{ …}．23．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，
小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格
点的个数之和为x．
(1)图中①﹣④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如
表：
多边形的序号 ① ② ③ ④ …
多边形的面积S 2 3 4 …
各边上格点的个数和
4 5 6 …
x
请完成表格并直接写出S与x之间的关系式；
(2)如图⑤，图⑥的格点多边形内部都只有2个格点．
①请你仿照图⑤，图⑥，在图⑦，图⑧的位置再画出两个不同的格点多边形，使这两个多边形内部都有且
只有2个格点；
②结合图⑤﹣⑧的格点多边形，直接猜想此时所画的各多边形的面积S与它各边上格点的个数之和x之间
的关系式为： ．24．（2023秋·全国·七年级课堂例题）一次足球比赛中，有 个球队参加比赛，假设此次比赛为单
循环比赛（参加比赛的每一个队都与其他所有的队比赛一场），球队总数与总的比赛场数如下表．
球队总数
2 3 4 5 6
比赛场数
(1)请先完成表格；
(2)当有 个球队参加时，共比赛多少场？
25．（2023秋·七年级课时练习）把下列式子按单项式，多项式，整式，二项式进行分类：（只写序号）
① ；② ；③ ；④ ；⑤0；
⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩ ．26．（2021秋·安徽六安·七年级校考期末）有一系列等式：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
第4个： ；
……
(1)请写成第5个等式：
(2)请写出第 个等式：
(3)依据上述规律，计算： ．
