文档内容
专题 14 实际问题与一元一次方程（6 个知识点 7 种题型 2 个易错点 3
个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.配套问题（重点）
知识点2工程问题（重点）
知识点3.商品销售问题
知识点4.积分问题
知识点5.分段计费问题
知识点6.常见一元一次方程应用题类型归纳（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.用一元一次方程解决劳动力调配问题
题型2.用一元一次方程解决利润率问题
题型3.用一元一次方程解决生产问题
题型4.用一元一次方程解决行程问题
题型5用一元一次方程解决图表信息问题
题型6.用一元一次方程解决方案决策问题
题型7.用一元一次方程解决分段计费问题
【方法三】差异对比法
易错点1.单位不统一，导致错误
易错点2.解方程后未进行检验，导致错误
【方法四】 仿真实战法
考法1.销售问题
考法2.年龄增长问题
考法3.方案设计问题【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 通过分析实际问题，能找出问题中的已知量和未知量，分析它们之间的数量关系，能列出一元一次方
程解决问题，并总结出运用方程解决实际问题的基本过程。
2. 通过列一元一次方程解决实际问题，经历思考、探究、交流、反思等活动，积累数学活动的经验，并
提高分析问题与解决问题的能力。
3. 进一步加深一元一次方程与实际生活的密切联系，继续体验数学建模思想。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.配套问题（重点）
在现实生活和生产中常见“产品配套”问题，解决这类题的基本相等关系是加工(或生产)
的各种零配件的总数量比等于一套组合件中各种零配件的数量此比
【例1】（2023上·全国·七年级专题练习）某家具厂有60名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，
工人每天每人可以加工3个桌面或6个桌腿．怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和
桌腿配套．【答案】应分配20人生产桌面，40人生产桌腿
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配 人生产桌面，则 人生产桌腿，找出合适的等
量关系，列方程求解是解题的关键．
【详解】解：设应分配 人生产桌面，则 人生产桌腿，
由题意，得 ，
解得 ．
则 （人）．
答：应分配20人生产桌面，40人生产桌腿．
知识点2工程问题（重点）
工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
【例2】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做10天完
成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，共计12天完成，问乙做了几天？
【答案】乙做了4天
【分析】设乙做了x天，根据“甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下
的部分由甲独做，共计12天完成”列出方程，即可求解．
【详解】解：设乙做了x天，根据题意得：
，
解得 ，
答：乙做了4天．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键．
知识点3.商品销售问题
(1)售价=标价x打折率;
(2)利润=售价-进价;
(3)利润=进价x利润率；
(4)利润率=利润/进价 x100%
【例3】（2023上·北京西城·七年级北京四中校考期中）根据下面栗栗和小齐的对话，判断小齐买平板电脑
的预算是（ ）
柔柔：小齐，你之前提到的平板电脑买了没？
小齐：还没，它的售价比我的预算多 元呢！
柔栗：这台平板电脑现在正在打7折呢！小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少 元！
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】C
【分析】不同课程一元一次方程的实际应用．设小齐买平板电脑的预算是 元，则电脑售价为 元，
即可根据题意建立方程求解．
【详解】解：设小齐买平板电脑的预算是 元，则电脑售价为 元，
由题意得：
解得：
故选：C
知识点4.积分问题
积分问题经常出现在球赛及竞赛等问题中,不同的赛事规定胜、负场及对、错题的得分不一
致,但计算方法相类似。
(1)积分问题中常用比赛总场数及比赛总得分来找相等关系,
(2)有些比赛结果只有胜、负之分,如篮球比赛;有些比赛结果有胜、负,平之分,如足球比赛中
【例4】（2023上·吉林白城·七年级校联考期中）七年级进行法律知识竞赛，共有 道题，答对一道题得4
分，不答或答错一道题扣2分，小红同学参加了竞赛，成绩是 分，请问小红在竞赛中答对了多少道题？
【答案】小红在竞赛中答对了 道题
【分析】设小红在竞赛中答对了 道题，依题意列出 ，解出 ，即可作答．
【详解】解：设小红在竞赛中答对了 道题，
依题意， ，
解得 ．
所以小红在竞赛中答对了 道题．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，难度较小，正确依题意列出方程是解题的关键．
知识点5.分段计费问题
在分段计费中，超出第一段的部分按第二段的收费标准来计算；超出第二段的部分按第
三段的收费标准来计算，依次类推。
【例5】（2023上·北京房山·七年级统考期中）为了更好地使用和节约水资源，自2014年5月1日起，北
京市居民生活用水开始实施阶梯水价，下表为北京市居民用水（自来水）水费收费标准：价格组成（单位：元/立方米）
每户年用水量 水单价
阶梯
（单位：立方米） （单位：元/立方米）
水费 水资源费 污水处理费
第一阶
0～180（含180） 5
梯
第二阶
180～260（含260） 7
梯
第三阶
260以上 9
梯
例如，某用户的年用水量为300立方米，按三阶梯计量应缴纳水费为：
（元）．
请解答以下问题：
(1)如果 用户的年用水量为100立方米，则 用户需缴纳的水费为________元；
(2)如果 用户一年缴纳的水费为1040元，则 用户该年用水量为________立方米；
(3)如果 用户的年用水量为 （ ）立方米，求 用户该年应缴纳水费多少元？（用含 的代数式表
示，并化简）
【答案】(1)500
(2)200
(3) 用户该年应缴纳水费 元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用：
（1）利用单价乘以水量即可；
（2）首先得出所用自来水的范围，设未知数、根据等量关系列方程即可；
（3）根据数量关系，列出算式即可；
解题的关键是明确题意，找准数量关系，列出方程．
【详解】（1）解： （元），
答：则 用户需缴纳的水费为500元，
故答案为：500．
（2） （元），则使用自来水260立方米时，应缴纳： ，
设 用户该年用水量为 立方米，
则1 ，
解得： ，
答： 用户该年用水量为200立方米，
故答案为：200．
（3） ，
，
，
，
答： 用户该年应缴纳水费 元．
知识点6.常见一元一次方程应用题类型归纳（重点）
用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.等积变形：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.
2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
3.行程问题：路程＝速度×时间
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
7.数字问题：多位数的表示方法：例如： .
8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
【例6】（广西壮族自治区南宁市2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）幻方是古老的数学问题，
我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方﹣九宫格，把1﹣9这9个数填入3×3方格中，每一竖列以及两条
斜对角线上的数之和都相等．如图是一个未完成的“幻方”，则其中x的值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程的应用，列方程 求出 ，再根据 即可求出答案．
解题的关键是根据每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的数之和都相等求出左下角a的值，再列方程
解决问题．
【详解】解：如图：
∵每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的数之和都相等，
∴ ，解得 ，
∵ ，即
∴ ，
故选：D．
【变式】（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但
其利润率恰好为10％，则该商品可以打（ ）折（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.8
【答案】D
【分析】设打x折，由题意可得 ，然后求解即可，理解题意列出一元一次方程是解题关
键．
【详解】解：设打x折，由题意得 ，
解得： ；
故选D．【方法二】实例探索法
题型1.用一元一次方程解决劳动力调配问题
1.某车间 名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓 个或螺母 个．现有 名工人生产螺栓，其
他工人生产螺母，恰好每天生产的螺栓和螺母按 配套，为求 列出的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】题目中存在等量关系：生产螺栓的数量 生产螺母的数量，据此可得到答案．
【详解】设现有 名工人生产螺栓，则有 名工人生产螺母．
根据生产螺栓的数量 生产螺母的数量，得
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查实际问题与一元一次方程，能根据题目中的等量关系得到方程是解题的关键．
题型2.用一元一次方程解决利润率问题
2.文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖60元，以成本计算，第一台盈利 ，另—台亏本 ，则
本次出售中，商场（ ）
A．不赚不赔 B．赚10元 C．赚5元 D．赔5元
【答案】D
【分析】设盈利的那台电子琴成本为 元，则有 ，求解可知盈利的那台电子琴成本为50元；
设亏本的那台电子琴的成本为 元，可得 ，求解可知亏本的那台电子琴成本为75元．分别
计算两台电子琴的成本和销售所得，即可获得答案．
【详解】解：设盈利的那台电子琴成本为 元，
由题意可得 ，
解得 （元），
设亏本的那台电子琴成本为 元，
由题意可得 ，解得 （元），
∴这两台电子琴的成本共为 （元），
而两台电子琴共卖了 ，
∵ ，
∴商场赔了： （元）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程在实际生活中的应用，理解盈利与亏本的含义是解题关键．
题型3.用一元一次方程解决生产问题
1.（2023上·全国·七年级课堂例题）一项工程，甲队单独完成需要 天，乙队单独完成需要 天．若先由
甲队单独做 天，剩下部分由甲、乙两队合作完成，则还需要的天数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设甲、乙两队合作完成还需的天数为 天，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，列出方程，
即可．
【详解】设甲、乙两队合作完成还需的天数为 天，
∵甲队单独完成需要 天，乙队单独完成需要 天
∴甲队的工作效率为： ，乙队的工作效率为： ，甲、乙两队合作的工作效率为： ，
∴
解得： ．
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握一元一次方程的实际运用．
题型4.用一元一次方程解决行程问题
4．（2023上·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校联考阶段练习）如图，甲乙两只蚂蚁分别从数轴
上的A，B两点处同时出发，相向而行．甲蚂蚁的速度为每分钟6个单位长度，乙蚂蚁的速度为每分钟4个
单位长度．一只蝴蝶精灵与甲同时从A地出发，当蝴蝶精灵碰到乙后，马上返回遇上甲，再返回遇上乙，
依次反复，直至甲和乙两只蚂蚁相遇为止．已知蝴蝶精灵的速度为每分钟20个单位长度，那么，在这一过
程中，蝴蝶精灵一共飞行了（ ）个单位长度．A．2020 B．4420 C．5400 D．缺少条件，无法计算
【答案】B
【分析】设甲乙两只蚂蚁经过x分钟相遇，然后列方程求解即可．
【详解】设甲乙两只蚂蚁经过x分钟相遇，则蝴蝶精灵一共飞行了 个单位，
根据题意可得，
解得
∴ ．
∴蝴蝶精灵一共飞行了 个单位长度．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列方程求出甲乙两只蚂蚁相遇所用时
间．
题型5用一元一次方程解决图表信息问题
5.（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）如图所示的是2023年11月份的月历，用以下形状的四个阴影图形
依次分别覆盖月历中的5个数字，若覆盖的5个数字之和为121，则可能是以下哪一个形状覆盖的结果（
）
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，日历问题；本题由日历中上下相邻的两个数相差7，左右相
邻的两个数相差1，再设出框中的五个数，再建立一元一次方程求解即可；列出正确的方程，再解方程并
检验是解本题的关键．
【详解】解：∵日历中上下相邻的两个数相差7，左右相邻的两个数相差1，
∴设选项A中的五个数分别为： ， ， ， ， ，
∴ ，
解得： ，解得 ，不是整数，故A不符合题意；
∴设选项B中的五个数分别为： ， ， ， ， ，
∴ ，
解得： ，解得 ，是整数，结合图形符合题意；故B符合题意；
∴设选项C中的五个数分别为： ， ， ， ， ，
∴ ，
解得： ，解得 ，不是整数，故C不符合题意；
∴设选项D中的五个数分别为： ， ， ， ， ，
∴ ，
解得： ，解得 ，是整数，但是 的下面只有1行，不符合题意，故D不符合题意；
故选B
题型6.用一元一次方程解决方案决策问题
6.（2023上·七年级课时练习）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买
车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样
的，则七年级三个班级共有（ ）A．60人 B．61人 C．62人 D．63人
【答案】D
【分析】设七年级三个班级共有 人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设七年级三个班级共有 人，
根据题意得 ，
解方程组得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程．
题型7.用一元一次方程解决分段计费问题
7.某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2元；若用水超过
20m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水（ ）m3．
A．38 B．34 C．28 D．44
【答案】C
【详解】试题解析：设小明家5月份用水xm3，
当用水量为20m3时，应交水费为20×2=40（元）．
∵40＜64，
∴x＞20．
根据题意得：40+（2+1）（x-20）=64，
解得：x=28．
故选C．
【方法三】差异对比法
易错点1.单位不统一，导致错误
1.（2023上·七年级课时练习）某商品进价100元，售价150元，商店要求以不低于进价5%的利润率打折
出售，问最低可以打几折？
【答案】最低可以打七折
【分析】设可以打 折，可根据售价来列等量关系：标价 进价 利润率），把相关数值代入列
方程求解即可．
【详解】设可以打 折，由题意得，
解得 ．
答：最低可以打七折．
【点睛】考查一元一次方程的应用，得到售价的等量关系是解决本题的关键．
易错点2.解方程后未进行检验，导致错误
2.（2023上·福建泉州·七年级校联考期中）嘉嘉和淇淇玩游戏，如图是两人的对话．
(1)如果淇淇想的数是 ，求他告诉嘉嘉的结果；
(2)若淇淇告诉嘉嘉的结果是66，求淇淇想的那个数是几．
【答案】(1)
(2)61
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意建立方程求解即可．
【详解】（1）解：
答：淇淇告诉嘉嘉的结果是 ．
（2）解：设淇淇想的那个数为 ，依题意得，
解得 ，
答：淇淇想的那个数是61．
【方法四】 仿真实战法
考法1.销售问题
1.某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．该超市2020年4月份销售总额增长 其
中线上销售额增长 ．线下销售额增长 ，
设2019年4月份的销售总额为 元．线上销售额为 元，请用含 的代数式表示2020年4月份的线
下销售额(直接在表格中填写结果)；
求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【答案】 ；
【分析】 根据增长率的含义可得答案；
由题意列方程 求解 即可得到比值．
【详解】解： 年线下销售额为 元，
故答案为： ．
由题意得：
2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：
【点睛】本题考查的列代数式及一元一次方程的应用，掌握列一元一次方程解决应用题是解题的关键．
考法2.年龄增长问题
2.爷爷现在的年龄是孙子的5倍，12年后，爷爷的年龄是孙子的3倍，假设现在孙子的年龄是 岁， 则可
列出一元一次方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意现在孙子的年龄为 岁，则爷爷的年龄为 ，12年后孙子的年龄为（ ），而爷爷
的年龄为 ，根据12年后爷爷的年龄是孙子的3倍这个关系即可列出方程．
【详解】 现在孙子的年龄为 岁，则爷爷的年龄为
12年后孙子的年龄为（ ），爷爷的年龄为 ，
12年后爷爷的年龄是孙子的3倍
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，根据题中的条件，找出合适的等量关系，
列方程即可．
考法3.方案设计问题
3.为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知
甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造
面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工
费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪
一种方案的施工费用最少？
【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米；（2）选择方案①完成施工费用最少
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米
的绿化改造面积，列出方程，求解即可；
（2）利用施工费用=每天的施工费用×施工时间，即可求出选择各方案所需施工费用,再比较后即可得出结
论．
【详解】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）
米，
依题意得：x+x+200=800
解得：x=300，
x+200=500
∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米．
（2）选择方案①甲队单独完成所需费用= （元）；
选择方案②乙队单独完成所需费用= （元）；
选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用= （元）；
∴选择方案①完成施工费用最少．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）利
用总费用=每天支出的费用×工作时间，分别求出选择各方案所需费用．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023上·广西贺州·七年级统考期中）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三
人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每
3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一
次方程，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：依题意，得 ．故选：A．
2．（2023上·江苏盐城·七年级校考期中）小峰在超市买1瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共用了19元，A
种饮料每瓶4元，如果设B种饮料每瓶x元，那么下面所列方程正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据买1瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共用了19元，列出方程
即可．
【详解】解：设B种饮料每瓶x元，由题意，得： ；
故选B．
3．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻
方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相
等．如图是一个未完成的幻方．则图中m的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程组的应用及等式基本性质的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方
程组是解题的关键．设正中间的数为x，根据每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等列
出方程求解即可．
【详解】解：设正中间的数为x，
则 ，
解得 ，
∴ ，
解得 ．
故选：B．
4．（2023上·广东广州·七年级华美英语实验学校校考期中）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二
百三十里，驽马日行一百三十里．驽马先行一十一日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走
230里，跑得慢的马每天走130里．慢马先走11天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则
可列方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设快马 天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的
路程相等建立方程即可．
【详解】解：设快马 天可以追上慢马，
据题题意： ，
故选：D．
5．（2023上·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）为筹备缤纷节“快乐易物”活动，甲乙两个小组计
划分别制作一些个性书签．已知甲组比乙组多2人，若甲组每人制作4个书签，乙组每人制作5个书签，
则两个小组制作书签的总数相同，设乙组有x人，由题意，可列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两个小组制作书签的总数相同即可列出一元一次方程．
【详解】解：根据题意，得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，理解题意，根据两个小组制作书签的总数相同列出方程是解题的关
键．
6．（2023上·江苏无锡·七年级校考阶段练习）小明在日历的纵列上圈出了三个数，算出了它们的和，则和
不可能是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．57
【答案】A
【分析】设最小的数为x，则另外两个数分别为 ，然后求出三个数的和，再对每个选项的值建
立方程求解即可．
【详解】解：设最小的数为x，则另外两个数分别为 ，
∴这三个数的和为 ，
当 时，解得 ，此种情况不成立；
当 时，解得 ，此种情况成立；当 时，解得 ，此种情况成立；
当 时，解得 ，此种情况成立；
故选A．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解图表，用未知数表示出三个数是解题的关键．
7．（2023上·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）如图，表中给出的是本月的月历，任意选
取“ ”型框中的6个数（譬如阴影部分所示），则这6个数的和不可能是（ ）
A．87 B．99 C．129 D．135
【答案】B
【分析】本题主要考查整式的加减运算及一元一次方程的解法，可设这6个数按从小到大的数分别为 ，
， ， ， ， ，然后根据整式的加减运算可进行求解．
【详解】解：设这6个数按从小到大的数分别为 ， ， ， ， ， ，由题意得：
；
∴当 时，解得： ；
当 时，解得： ，此时 在表格外；
当 时，解得： ；
当 时，解得： ；
根据这6个数的特征可知：这6个数的和不可能是99；
故选B．
8．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考期中）两件商品都卖84元，其中一件盈利 ，
另一件亏损 ，则两件商品卖出后（ ）
A．亏本3元 B．盈利3元 C．盈利6.8元 D．不赢不亏
【答案】B
【分析】先根据题意设出赚钱的和亏本的衣服的本钱x，y，列出关于x，y的方程，求得两件衣服的本钱，再根据售价即可得出盈利3元．本题考查一元一次方程的应用，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】解：设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，
则 ，解得 ， ，解得 ，
∴ 元．
答：两件商品卖后赢利3元，
故选：B．
9．（2023上·河南郑州·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上，点 分别表示数 ，且 ．若
，则点 表示的数为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据题意先得到 ，再由数轴上两点距离公式得到 ，据此可得 ，解方
程即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离公式，一元一次方程的应用，正确推出 ， 是解
题的关键．
10．（2023上·江苏常州·七年级统考期中）如图，将正整数1至1000按一定规律排列，整体平移表中带阴
影的三个方框，平移后被方框遮住的三个数的和可能是（ ）
A．1002 B．1004 C．1006 D．1008【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设第一个数为 ，则第二个数为 ，第三个数为 ，三个数
的和为 ，分别让三个数的和，等于选项中的各数，求出 的值为正整数，即可．解题的关键是正确
的表示出三个数．
【详解】解：设第一个数为 ，则第二个数为 ，第三个数为 ，
∴三个数的和为 ，
当 时， ；不符合题意；
当 时， ；不符合题意；
当 时， ；符合题意；
当 时， ；不符合题意；
故选C．
二、填空题
11．（2023上·江苏宿迁·七年级统考期中）明代程大位所著的数学名著《算法统宗》中有一道僧分馒头问
题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大和小和得几丁？”意思是100个和尚分
100个馒头，大和尚1人吃3个馒头，小和尚3人吃1个馒头，问大、小和尚各有几人？如果设大和尚有
人，则可列出一元一次方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是利用“大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人
分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个”列方程即可．
【详解】解：设大和尚有 人，则可列出一元一次方程为
，
故答案为： ．
12．（2023上·辽宁营口·七年级统考期中）如图，在数轴上 两个点表示的数分别为 和6，点 分
别从点 出发同时向右运动，若 的速度为每秒2个单位长度，点 速度为每秒1个单位长度，那么当点 与点 的距离为2个单位长度时．点 运动的时间是 秒．
【答案】6或10/10或6
【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，分类讨论思想．设当点 与点 的距离为2个单位长度时．
点 运动的时间是t秒，则点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ，然后分两种情况讨论：当点P
在点Q的左侧时，当点P在点Q的右侧时，结合数轴上两点间的距离，即可求解．
【详解】解：设当点 与点 的距离为2个单位长度时．点 运动的时间是t秒，则点P表示的数为
，点Q表示的数为 ，
当点P在点Q的左侧时， ，
解得： ；
当点P在点Q的右侧时， ，
解得： ；
综上所述，当点 与点 的距离为2个单位长度时．点 运动的时间是6秒或10秒．
故答案为：6或10
13．（2023上·广西南宁·七年级校联考期中）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如 转化为
分数时，可设 ， ，即 ，解得 ， ，那么 转化为分数是
．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次方程，循环小数及循环节，模仿题干的解题思路，即设 ，则
，那么 ，解方程即可．
【详解】解：依题意，设
则
那么 ，
即 ，解得：
故答案为： ．
14．（2023上·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）如下表，从左向右依次在每个小格子中都
填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于 ．已知第 个数为 ，第 个数为
，第 个数为 ，第 个数为 ，则第 个数为 ； 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查数字的变化规律；根据题意，任意四个相邻格子中的和等于 ，即 个数为 组循
环，根据规律列出等式，计算出 的值；再求出第 个数是几即可．
【详解】解：任意四个相邻格子中的和等于 ，即 个数为一组循环，
所以第 个数、第 个数、第 个数、第 个数分别对应一组循环中的第 个数、第 个数、第 个数、第
个数，
根据题意得： ，
解得 ，
则 ，
，
第 个数是 ．
故答案为： ； ．
15．（2023上·广西南宁·七年级校联考期中）若 和 是同类项，那么 ．
【答案】6
【分析】本题考查了同类项、一元一次方程的应用等知识，熟记同类项的定义“所含字母相同，并且相同
字母的指数相同，这样的项叫做同类项”是解题关键．根据同类项的定义可得 ，再代入计算即
可得．
【详解】解：∵ 和 是同类项，
，
，
，
故答案为：6．
16．（2022上·广西南宁·七年级校考阶段练习）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“ ”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和可能是①55；②70；
③84；④105；⑤140，其中正确的可能有 ．（填写序号）
【答案】②③④
【分析】设 框形中间数为 ，可得到 框形的其他值为： ， ， ， ， ， ，得
出七个数之和为 ，由此逐个判断即可得到答案．
【详解】解：设 框形中间数为 ，
∴可得到 框形的其他值为： ， ， ， ， ，
，
，
当 时，解得 ，不能求得这7个数；
当 时，解得 ，能求得这7个数；
当 时，解得 ，能求得这7个数；
当 时，解得 ，能求得这7个数；
当 时，解得 ，20位于第六列，故⑤不符合条件；
∴正确的有：②③④，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出一元一次方程是解此题的关键．
17．（2023上·安徽淮南·七年级淮南实验中学校联考期中）按如图所示程序计算，若最终输出的结果为 ，
则输入的正整数x是 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了代数式求值，根据运算程序列出方程，然后求解即可．【详解】解：当最后的结果是 ，列出方程： ，
解得
再由： ，
解得 ，
再由： ，解得 ，不符合题意，舍去，
所以输入的正整数x可能是 ， ．
故答案为： ， ．
18．（2023上·江苏南通·七年级统考期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个
数（如阴影部分所示），这7个数的和可能是下列选项①55，②70，③84，④105，⑤140中的
（填写序号）．
【答案】②③
【分析】本题考查数字规律探究，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
设出最中间的数字为 ，根据图形中数字规律，表示出这7个数字的和，再令这7个数字的和等于各个小
题中的数据，求出相应的 的值，再观察图形，即可判断哪个小题中的数据符合题意．
【详解】解：设最中间的数字为 ，
则这7个数字之和为： ，
当 时， （不符合题意，舍去），故①不符合题意；
当 时， ，故②符合题意；
当 时， ，故③符合题意；
当 时， ，由图可知 在最右边，不符合实际，故④不符合题意；
当 时， ，由图可知 在最右边，不符合实际，故⑤不符合题意；
故答案为：②③．三、解答题
19．（2023上·江苏常州·七年级统考期中）把同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
(1)第5个图形需______颗黑色棋子；
(2)照这样的规律摆下去，第n个图形需______颗黑色棋子；
(3)照这样的规律摆下去，第______个图形恰好用了96颗黑色棋子．
【答案】(1)18
(2)
(3)31
【分析】本题考查图形类规律探究，一元一次方程的应用．
（1）观察图形，后一个图形比前一个图形多3颗黑色棋子，用4中的棋子数加3即可；
（2）根据规律得到第n个图形需 颗黑色棋子；
（3）根据（2）中结论，列出方程进行求解即可．
根据已有图形，得到图形规律，是解题的关键．
【详解】（1）解：观察图形，后一个图形比前一个图形多3颗黑色棋子，
第4个图形有15颗棋子，
∴第5个图形需18颗棋子；
故答案为：18；
（2）观察图形，后一个图形比前一个图形多3颗黑色棋子，第1个图形有6颗棋子，
∴第n个图形需 颗棋子；
故答案为： ．
（3）当 时，解得： ；
故答案为：31．
20．（2023上·江苏宿迁·七年级统考期中）已知： ， ．
(1)当 取何值时， 与 的值相等？(2)是否存在这样 的值，使 与 的值互为相反数．如果存在，求出 的值；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)当 时， 与 的值相等
(2)故不存在这样 的值，使 与 的值互为相反数，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，相反数的定义，根据题意列出方程是解题的关键．
（1）根据 ，列出关于 的等式即可求出 ；
（2）根据 与 互为相反数，列出关于 的等式即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
故当 时， ；
（2）解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
∴ ，
该方程无解，
故不存在这样 的值，使 与 的值互为相反数．
21．（辽宁省大连市金普新区2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）一艘船从甲码头到乙码头顺流
而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千
米/时，求水流的速度和甲乙码头相距多少千米？
【答案】水流的速度为3千米/时，甲乙码头相距60千米
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设水流的速度为 千米/时，则顺流的速度为 千米/时，逆流的速度为 千米/时，根据顺流、逆流时行驶路程相等列方程，解方程即可．根据题意正确列出方
程是解题的关键．
【详解】解：设水流的速度为 千米/时．
．
去括号，得 ．
移项及合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
．
答：水流的速度为3千米/时，甲乙码头相距60千米．
22．（2023上·浙江温州·七年级温州市龙湾区海城中学校联考期中）根据以下素材，尝试解决问题
怎么做出更多的纸盒
素 如右图，用4个长方形纸板作侧面，1个正方形纸板作底面可以做成1个竖式
材1 无盖纸盒
素 如右图，用2个长方形纸板与2个正方形纸板作侧面，1个长方形纸板作底面
材2 可以做成1个横式无盖纸盒
素
现有200张长方形纸板与100张正方形纸板
材3
问题解决
问 若要使做成的竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，则最多可以做成多少个无盖纸盒（两
题1 种纸盒之和）？
问 若要使做成的竖式无盖纸盒比横式无盖纸盒多10个，则最多可以做成多少个无盖纸盒（两种纸
题2 盒之和）？
问 若要先做出10个竖式无盖纸盒，接着再做竖式无盖纸盒或横式无盖纸盒，则最后最多可以做成
题3 个无盖纸盒（两种纸盒之和，包括先做出的10个纸盒）？（直接写答案）
【答案】（1）56；（2）54；（3）60
【分析】（1）由题意可得做一个竖式无盖纸盒需要长方形纸板 个，正方形纸板 个；做一个横式无盖纸
盒需要长方形纸板 个，正方形纸板 个；在“竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多”的前提下，
计算 ， ，即可求解；
（2）设做横式无盖纸盒 个，则竖式无盖纸盒 个，令 ，令 ，即可求解；
（3）要做成10个竖式无盖纸盒需要长方形纸板40个，正方形纸板10个；则还剩余长方形纸板160个，
正方形纸板90个；可列表算出竖式无盖纸盒、横式无盖纸盒的数量，即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：做一个竖式无盖纸盒需要长方形纸板 个，正方形纸板 个；做一个横式无
盖纸盒需要长方形纸板 个，正方形纸板 个
，
∴若要使做成的竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，
则做成的竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量均为
故：最多可以做成无盖纸盒的个数为： （个）
答：最多可以做成 个无盖纸盒
（2）设做横式无盖纸盒 个，则竖式无盖纸盒 个，
令 ，得 ；
令 ，得 ；
∴取 ，则
（个）
答：最多可以做成 个无盖纸盒
（3）要做成10个竖式无盖纸盒需要长方形纸板40个，正方形纸板10个；则还剩余长方形纸板160个，
正方形纸板90个
如下表：
做成竖式无盖纸
做成横式无盖纸盒 需要长方形纸板 需要正方形纸板
盒
53 0 159 106
52 1 160 105
48 4 160 100
44 7 160 95
40 10 160 90
36 13 160 85
∴最多的是横式无盖纸盒40个，竖式无盖纸盒20个，最多共60个故答案为：60
23．（2023上·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数
c，b是最小的正整数，且a、b满足
(1) _______， _______， _______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数_______表示的点重合；
(3)点A、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点C以每秒4个单位
长度的速度向左运动，假设运动时间为t秒，
①则当 _______时，A、C重合．
②则当 _______时， （表示A，C两点之间的距离等于1）
【答案】(1)
(2)4
(3) 或
【分析】（1）根据非负数的意义求出a，c的值，由b是最小的正整数，可得 ；
（2）先求出对称点，即可得出结果；
（3）先表示出点A和点B表示的数，然后根据 列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵b是最小的正整数，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵点A和点C表示的数为 ，
∴数轴是以数 进行折叠的，∴点B与数 表示的点重合，
故答案为：4．
（3）解：①由题意得，点A表示的数为 ，点C表示的数为 ，
∴当A，C重合时有 ，
解得 ，
故答案为：3；
②由题意得，点A表示的数为 ，点C表示的数为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，解题的关键是利
用数轴的特点能求出两点间的距离．
24．（2023上·河南郑州·七年级校考阶段练习）已知数轴上 三点对应的数分别为 且满足
，动点 从 出发，以每秒1个单位的速度向终点 移动．
(1)求 的值；
(2)当 到 的距离为 点到 点距离的一半时，求 的运动时间；
(3)当 运动到 时，动点 从 点出发，以每秒3个单位的速度向终点 移动，当一个点到达终点时，另
一个点也随之停止运动，若 的距离为2个单位长度时，请直接写出 的运动时间．
【答案】(1) ， ，
(2)3秒或9秒
(3)3秒或5秒【分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得 ， ， ，解方程即可求出 、 、
的值；
（2）分两种情况讨论可求得点 的对应的数；
（3）分类讨论：点Q追上点P之前，点Q追上点P之后，点Q到达终点之后，根据两点间的距离是2个
单位长度，可得方程，解方程，即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
， ， ，
， ， ；
（2） ，
①点 在 之间时， ，
（秒），
②点 在 的延长线上时， ，
（秒），
综上所述，点 移动的时间为3秒或9秒；
（3）由题意可得：t秒后，
点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ；
点Q追上点P之前，
，
解得： ；
点Q追上点P之后，
，
解得： ；
点Q到达终点之后，
，
解得： ；综上所述，点 的运动时间为3秒或5秒．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，掌握非负数的性质，结合数轴是解决问题的关
键．
25．（2023上·浙江金华·七年级校联考期中）如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是 ，4．请回答
以下问题：
(1)A与B之间距离为 ，A，B中点对应的数为 ．
(2)若点C对应的数为 ，只移动C点，要使得A，B，C其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有
的移动方法．
(3)若点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点Q从B出发，以每秒5个单位长度
的速度向左做匀速运动，P，Q同时运动：
①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？
②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？
【答案】(1)6，1
(2)见解析
(3)①3秒；② 秒或 秒．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴上两点间的距离以及数轴上的动点问题．
（1）利用数轴上两点间距离的知识即可求解；
（2）分情况讨论C点的运动，再根据距离来判断符合题意的可能情况；
（3）设点P运动t秒，应用一元一次方程，分情况解决所有的可能即可．
【详解】（1）解： A、B分别表示的数是 ，4．
A与B之间距离为 ，
A，B中点对应的数为1，
故答案为：6，1；
（2） 点C对应的数为 ，
当C点移动到 位置时，A点到B、C两点的距离相等，都是6；
当C点移动到1位置时，C点到B、A两点的距离相等，都是3；
当C点移动到10位置时，B点到A、C两点的距离相等，都是6；（3）①设点P运动t秒时，点P和点Q重合，
根据题意，得 ，
解得： （秒），
点P运动3秒时，点P和点Q重合；
②设点P运动t秒时，点P和点Q之间的距离为3个单位长度，
P，Q之间的距离为3个单位长度有两种可能，
当Q在P的右边时，
根据题意得 ，
解得： （秒），
当Q在P的左边时，
根据题意得 ，
解得： （秒），
当点P运动 秒或 秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度．
26．（2023上·江苏南京·七年级统考期中）展板的形状如图所示，四角是半径相等的扇形，其余部分都是
长方形．
(1)请用含a，b，r的代数式表示该图形的面积；
(2)已知 ， ，现用一根长 的金线为广告牌边框镶一圈边，若金线恰好用完，求r．
（不考虑接头部分损耗，π取3）
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查了根据图形列代数式以及求值的知识，
（1）图形的面积等于一个圆的面积加五个矩形的面积，据此列式作答即可；
（2）先表示出图形的周长，再代入计算即可．
【详解】（1）根据图形有： ，
即该图形的面积为： ；
（2）根据图形有： ，
∵ ， ，图形的周长 ，
∴ ，
解得： ，
即 ．
